CC BY
20
Радиофизика
УДК 517.5: 519.64: 535.8: 538.56: 621.3
Применение метода мод и метода функций Грина при векторном анализе волноводного рассеяния лазерного излучения
A.A. Егоров
Отдел колебаний, Институт общей физики им. A.M. Прохорова РАН, Россия, 119991, Москва, ул. Вавилова, 38
Кафедра общей физики, Российский университет дружбы народов, Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6
Решение трехмерной электродинамической задачи о рассеянии лазерного излучения в нерегулярном оптическом волноводе при наличии шума получено методом связанных мод в первом приближении теории возмущений. Приближенное решение неоднородного трехмерного волнового уравнения найдено с помощью метода мод и метода функций Грина. Приведены полученные формулы для векторных полей излучения в ближней и дальней зонах излучения. Дан анализ найденных выражений.
1. Введение
В работах [1-8] показана возможность использования волноводного рассеяния лазерного излучения для получения информации о статистических свойствах нере-гулярностей волновода из зашумленных данных измерения в дальней зоне. Применимость двумерного анализа задачи рассеяния в этом случае обеспечивается, например, установкой в дальней зоне щелевой диафрагмы параллельно плоскости падения и поляризатора [3,6]. Измеренные таким образом диаграммы рассеяния использованы для нахождения приближенного корректного решения обратной задачи рассеяния света на трехмерных шероховатостях подложки планарного оптического волновода [3]. Очевидно, что такой двумерный анализ применим только приближенно, например, в случае рассеяния света в устройствах интегральной оптоэлек-троники с трехмерной топологией элементов. В связи с этим векторный анализ волноводного рассеяния света в нерегулярном интегральном оптическом волноводе при наличии шума является актуальной задачей современной интегральной оптики и волноводной оптоэлектроники. Следует отметить, что в опубликованных ранее работах по приближенному трехмерному рассмотрению рассеяния света в оптических нерегулярных волноводах [6—9] электродинамическая задача решена без учета влияния шумов. Вместе с тем фактор шума является принципиально важным с учетом дальнейшей миниатюризации и интеграции элементов и устройств интегральной оптики и волноводной оптоэлектроники. Шумы и рассеяние лазерного излучения (в первую очередь — связанные с рассеянием потери и перекрестные помехи) в интегрально-оптических анализаторах спектра, датчиках физических величин, корреляторах, компараторах, мультиплексорах/демультиплексорах и др. могут быть критически важными лимитирующими факторами их работоспособности, особенно при субмикронных размерах основных топологических элементов устройств [14,22].
Неоепгляоный застоиеолновоаа
Затухающие моды излучения
Р аспро стр аняющиеся моды излучения
Ь
Рис. 1. Схема регистрации рассеянного в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе (образован средами 1-3) лазерного излучения в ближней зоне и вне волноводного слоя: 1 — обрамляющая среда (воздух); 2 — волноводный слой; 3 — подложка; 4 — тонкий слой иммерсии; 5 —кварцевый полукруг (или полусфера); 6— линза; ¿ — длина нерегулярной области; к — толщина волновода.
Рассмотрим рассеяние лазерного излучения волноводной моды в интегральном оптическом волноводе, содержащем случайные (статистические) нерегулярности (рис. 1). Как правило, трехслойный пленарный оптический волновод (ПВ) состоит из следующих слоев: обрамляющей среды, волноводного слоя и подложки с показателями преломления щ, П2 и п3 соответственно. Нерегулярности структуры ПВ могут быть обусловлены неровностями (шероховатостями) границ раздела сред, образующих волновод, под поверхностными дефектами (так называемый нарушенный или трещиноватый слой) и неоднородностями показателя преломления волноводного слоя. Неоднородности волноводного слоя и под поверхностные дефекты при рассмотрении задачи рассеяния могут быть описаны однотипно — как неоднородности показателя преломления соответствующей среды волновода. Для упрощения анализа задачи пренебрежем этими неоднородностями, а также кросскорреляцион-ными связями между неровностями границ раздела.
Электродинамическая задача о рассеянии направляемой волноводной моды в интегральном оптическом волноводе, содержащем случайные нерегулярности, решается методом связанных мод с помощью теории возмущений. В общем случае
для описания электромагнитного поля Е(х,у,г) — Е{г) в нерегулярном планарном волноводе используется уравнение, которое в трехмерных декартовых координатах имеет следующий вид [2,8,11,13]:
где е, —диэлектрическая проницаемость в каждом г-м слое ПВ (г = 1,2,3); и> = 2тт/, / — частота электромагнитного поля Е; \хг — магнитная проницаемость
2. Трехмерная задача волноводного рассеяния
лазерного излучения. метод функций грина
(1)
среды; = щк, щ — показатель преломления г'-го слоя, к — 2-к/Х, А — длина
волны света в вакууме; V2 = А — лапласиан.
Рассмотрим случай распространения в волноводе вдоль оси X основной ТЕ-моды с компонентами Еоу, Нх, Нг (для ТМ-моды анализ проводится аналогично). Тогда полное поле в нерегулярном пленарном оптическом волноводе можно записать в виде суммы полей падающей волноводной моды, поля рассеянной волны Ея и поля шумовой (аддитивной "+" или мультипликативной "х") компоненты Еп.(х,у,г): Е = [Еоу{х, г) + Ё3{х, у, г)]+ или хЁ„(х,у,г). При такой записи полагается, что все источники шума (независимо от их природы) дают вклад в полное поле Е как один эффективный источник шума приведенный к плоскости волновода. При более детальном анализе проблемы роль каждого источника шума и его влияние на решение задачи может быть оценено в рамках данного подхода (один из вариантов предложен в работе [4]). Будем полагать, что диэлектрическая проницаемость может быть представлена в виде £г.(х,у,г) — £г(г) = £ш(х,г) + Дег(х,у, г); £а{х,г) описывает регулярные свойства соответствующего слоя ПВ, а добавка ДеДаописывает трехмерные нерегулярности структуры волновода (как неровности границ раздела сред ПВ, так и неоднородности показателя преломления в каждом г-м слое ПВ). Тогда можем записать (1) в виде приближенного трехмерного уравнения. Оставляя в полученном уравнении только члены первого порядка малости относительно Е8, Е1¥ и Де(г) (пока без деполяризационного слагаемого — будет учтено в подразделе 2.3), получим приближенное неоднородное волновое уравнение, которое можно рассматривать как однородное волновое уравнение с возмущением в виде источника в правой части:
V2 Ёа(х,у, г) +и>2 /и,£0гЁв(х,у, г) и -иГ^е^А е.1(х,у,г)[Ё0у(х^) + ЁХу(х,у,г)] , (2)
где Епу — решение однородного невозмущенного уравнения, описывающего распространение ТЕ'о-моды в волноводе. С энергетической точки зрения «источником» в правой части уравнения (2) является интенсивность моды, падающей на нерегулярный трехмерный участок волновода при наличии шума и рассеиваемой в сферу во всем окружающем пространстве (так называемое "3-0 зоаНепп^). Решение данного неоднородного волнового уравнения методом функций Грина может быть получено в виде свертки некоторой трехмерной функции Грина С(х,у,г;х',у',г') с выражением для источника [2,5-8,11-13]:
Анализ уравнения (3) показывает, что в этом случае нельзя пренебречь поляризационными эффектами и рассмотрение задачи волноводного (многократного по сути) рассеяния света на трехмерных нерегулярностях при наличии шума сильно усложняется, т.к. нахождение аналитического выражения для функции Грина С (г') представляет здесь совершенно не тривиальную задачу. Действительно, при таком подходе в волноводе могут возникать гибридные моды, имеющие шесть компонент поля, а не три, как ТЕ- и ТМ-моды [2,11-14]. Для гибридных мод не выполняется условие д/ду — 0, т.е. существуют вариации полей в этом направлении. Таким образом, в случае трехмерных нерегулярностей любое произвольное распределение поля планарного оптического волновода необходимо будет представлять в виде разложения по всем возможным модам плоского волновода, включая суммирование и интегрирование по модам, соответствующим вариации поля по второй поперечной координате — по оси У.
Ё,{х,у,г) = -ш2ц£0г А£г(х\у',г')С{х,у,г:х',у',г')-
■ [Ёоу(х\ г') + Ёц/{х\ уг')) <Ь' ¿у' йг'.
(3)
2.1. Трехмерная волноводная функция Грина неоднородного
трехмерного уравнения
Найдем аналитические выражения для функции Грина О/,?') с помощью метода мод [2,6-8,11-14]. Для этого представим решение неоднородного трехмерного уравнения (2) в следующем виде [2,8,11-13]:
+ ОС
Ъ,у{х,у,г) = / С(и,/Зу)Ёиу{х1г)ехр{-г13уу)й(Зу+
" -со
+оо + 03
У <1@у J д{Р,Ру)Ё13у{х,г)ехр{-10уу)<1Р,
(4)
+
-оо —/Зз
где выполнено суммирование по распространяющимся четным и нечетным ТЕ-модам (и € I, где / — множество натуральных чисел), а комбинация из двух интегралов учитывает все моды излучения (для ТМ-мод анализ проводится аналогично); (3, /Зу — продольные составляющие постоянных распространения мод рассеяния (вдоль осей Z и У соответственно), формирующих диаграмму рассеяния; /?з = кщ. В (4) интегрирование по постоянным распространения (Зу учитывает наличие третьей координаты У; С(и,/Зу) и д(0, (Зу) — коэффициенты разложения, которые находятся с помощью соотношений ортогональности [11-13]; Е — электрические составляющие полей направляемых (дискретных) мод и (непрерывных) мод излучения несимметричного (в общем случае) интегрального оптического волновода. Отметим, что при поиске решения неоднородного трехмерного уравнения (2) в виде (4) мы используем теоретические методы изложенные, как в работах независимых авторов [11-13], так и в наших публикациях [1-9,14,19].
Подставив выражение (4) в исходное неоднородное уравнение (2) и выполнив дифференцирование (см. Приложение, формула (П.1)), получим
[ С(и, 0у)Ё„у(х, г) • схр(-ЦЗууМ - в2у) <1(3У
V
-оо
+ 00 + 03
+ I ¿Ру I д(0, ¡Зу)Ёру(х, г) ■ ехр(-фуУЖ - (%) ¿(3 ■
(5)
-оо -03 ,2
= -ш це<цА£1{х,у,г)[Е0у(х',г') + Ёщ{х',у',г')\ .
Для нахождения коэффициентов разложения С{у,{Зу) и ц((3,(3у) умножим обе части уравнения (5) на выражение (1/2чт)схр{1(3'уу) и проинтегрируем по у от —оо до +оо, используя свойства дельта-функции Дирака [16]. В результате получим следующее уравнение:
£ [ Ё^х, 2)<5(/з; - {3УШ - (32У)С(», ру)
V
+ II 9(0, Ру)Ёру(х, г)6((3'у - (3У){(32 - Ф <3{3<1{3У = см. (6) - (6)
= / и2№оЛ£ь(х,У,г)1Ё0у(х\г) + Ёуу(х\у\г')}схр{{13'уу}<1у,
где 6(/3'у - ¡3У) — одномерная дельта функция. При выводе уравнения (6) использованы известные свойства дельта функции [16] (см. Приложение, формулы (П.2), (П.З)).
Выполнив интегрирование по /Зу и опустив штрихи, получим уравнение:
+0з
РуЖ - Р2у)Еиу(х, г) + ( д((3, (3у)((32 - Р2у)ЕРу(х, г) ¿Р =
-Л (7)
Для получения системы связанных уравнений необходимо умножить полученное уравнение (7) на комплексно-сопряженную функцию Е1*у(х,г) и проинтегрировать результат по поперечному сечению волновода, используя свойства ортонор-мированности волноводных полей {Е„у(х, [2,8,11-13]:
Я
Л Е*,у(х, г)Е1/у(х: х) с1х йг , (8)
где Е„уу (х, г) — электрические составляющие полей соответствующих мод волновода, Р — мощность (например, единичная), переносимая направляемой модой ПВ; 8„>„ — символ Кронекера; переменная и принадлежит множеству натуральных чисел I.
В результате получаем
^С^вМ-Ц2^,» = 1Л ю2ре0гА£г(х, у, г)Ё*ф,г)-
■ [Ё0у{х, г) + у, г)] ехр[г/?„у] ¿х йу еЬ.
Теперь можем из формулы (9) найти выражение для коэффициента разложения направляемых волноводных мод
С{и,/Зу) = __—Л1ш2ц£ЫАег(х,у,г)Ё*у{х,г)-
2^1-01) Ш —V—(Ю)
• [Ё0у(х,г) + Ёф{х,у,г)\ схр[г/Зуу] йх(1ус1г.
Для полей непрерывного спектра излучения (излучательные моды) получаем аналогично (8)
Л ЕЬу(х,г)Е0у(х,г)<1х<1г=Р5{Ру-0у)- 00
2ицо
Тогда коэффициент разложения для мод рассеяния имеет вид:
= ф ¡11^тАег(х,у,гЩу(х,,гУ ^
■ [Е0у(х, г) + у, г)) схр[10уу} ¿х ¿у ¿г .
Как отмечено выше, решение исходного неоднородного волнового уравнения может быть получено в виде свертки некоторой трехмерной функции Грина С?(а:,у, г:х',у', г') с выражением для источника и)2ц£ог^£г{х, у, г)[Еоу(х, г) + Ёху(х,у,г}}(см. уравнение (3)). Для того чтобы найти явное выражение для функции Грина уравнения (3), необходимо подставить полученные выражения для коэффициентов разложения С(и,0у) и д(/3,/3у) в уравнение (4). После подстановки
10
Егоров А. А. Применение метода мод и метода функций Грина.
получаем (штрихи у функций и пределы интегрирования по переменным восстановлены):
1 (
Ё«(х, у. г) = Е / ///
^ - зс
■ [Е0и(х', г') + /:.г • ■/•'. ?/, 2')] Н.,,//!/•;„,(.,•. г). • охр: / ;,,//: <1х' (1у' сЬ'¡(01 -
+ -Х,
+ I <!1: I ,И ¡1:иЛ: ,{.>■'.!/'.
— ^ — Ли
■ г') + (/', г')] схр[г0уу]Ё^у(х, г)-
(13)
ехр[—-/(?уу'] <1х' йу' йг !(в2 — /?*)
Пределы интегрирования по поперечному сечению волновода ХУ и вдоль направления распространения волноводной моды 2 не указаны, т. к. зависят от размеров конкретного волновода и размеров трехмерной области нерегулярности.
После группировки подобных членов в правой части уравнения (13) получаем следующее выражение для электрической составляющей рассеянного поля:
Ё»{х,у. г) = ///
Еоу{х . г') + Е\у(х', у , г') \ схр(10уу) (1х <1у' (1г'х
(х',г')Е1,у(х,г)
]Г / схРН^г/(У - у'
-- эс
+ ос +,ъ
______ __. ,]Я -
(01 - Ю "
(14)
+ j <№у У схр[—¿0у(у - у')}
■V ¡"у Р* (т' г'
(Р2 -К)
¿0
Сравнивая (14) с уравнением (3), можем теперь записать явное выражение для искомой функции Грина исходного трехмерного волнового уравнения (2)
2тг
+ ОС
Е / СХР 1"гРу(У-1
/м Ё*(х', г')Еиу(х,
+ ёву схр [-¿ву(у-у')}
(15)
-эс
2.2. Анализ выражения трехмерной функции Грина. Распространяющиеся и затухающие моды. Комплексная диаграмма рассеяния
Анализ полученного выражения функции Грина (15) проведем с помощью диаграммы со спектрами постоянных распространения 0 направляемых мод и мод излучения нерегулярного несимметричного оптического волновода (рис. 2).
1гпр Направляемые моды (дискретный спектр)/
Ра спр остр аняющ и еся I воздушные моды излучения (непрерывный спектр)
№
Распространяющиеся подпожко-покр свные/ моды излучения 1 (непрерывный спектр)
затухающие моды излучения (непрерывный спектр)
Рис. 2. Диаграмма постоянных распространения ¡3 направляемых мод и моя излучения нерегулярного несимметричного волновода, иллюстрирующая процесс рассеяния лазерного излучения на нерегулярности х волновода: 0Х = кп\. ¡Ь — кпг, = кпз, /Зо = ку, где щ.г.з — показатели преломления воздуха (обрамляющая среда), волноводного слоя и подложки соответственно, п-2 > пз > щ; 7— коэффициент
замедления волновода; в — некоторый комплексный вектор постоянной распространения мод излучения с составляющими (У и /3".
Диапазон возможных значений 31, постоянных распространения направляемых мод дискретного спектра определяется неравенством: Дз < |ДГ| < Диапазон возможных значений 3 постоянных распространения мод излучения непрерывного спектра определяется неравенством: -Дз < 3 < +Дз- Этот диапазон включает диапазон покровных (воздушных) мод излучения < /3 < и два диапазона подложко-покровных мод излучения -Дз < [3 < —д\ и +[3\ < 3 < +Дз- Отметим, что диапазон возможных значений Д„ для направляемых мод существует для действительных значений коэффициента замедления волновода 7 (эффективное значение показателя преломления волновода): п-л < 7 < п-2- Диапазон возможных значений 3 распространяющихся мод излучения существует для действительных значений р. При действительных значениях р существует также еще один диапазон возможных значений в, которые задаются мнимыми значениями Дт: ;Згп, = —/?(. Этот диапазон значений 3 определяет затухающие моды нерегулярного волновода. Эти моды описывают локальные поля вблизи источников излучения (в области нерегулярности). Используя их, мы можем описать поле излучения в ближней зоне.
Будем в общем случае представлять постоянную распространения мод излучения как некоторый комплексный вектор Д постоянной распространения мод излучения с составляющими 3' и 3": 3 — 3' - г'Д", где в' — это вещественная часть комплексного Д, т.е. то Д которое мы обычно рассматриваем, а 3" — это мнимая часть 3. При таком рассмотрении полная рассеянная мощность состоит из суммы мощностей, переносимых затухающими и распространяющимися модами излучения [11-14]. Обычно первую составляющую называют реактивной (мнимой) мощностью, а вторую — активной. Величина реактивной мощности убывает экспоненциально в направлении распространения затухающих мод (неоднородные волны) и слабо участвует в формировании диаграммы рассеяния в дальней зоне (зоне Фраунгоферовой дифракции). Маркузе [11] ошибочно утверждал, что они не уносят мощность и, следовательно, не дают вклада в поле излучения в дальней зоне, а поэтому не являются важными при изучении потерь на излучение в нерегулярном волноводе. Необходимо отметить, что при высоком отношении сигнала к шуму и/или специальной регистрации и обработке данных рассеяния в дальней зоне можно извлечь некоторую информацию о локальных полях вблизи источника, которые, как известно, несут важнейшую информацию о субволновой структуре нерегулярностей [14,17-19]. Следовательно, анализ диаграмм рассеяния, как в
ближней зоне, так и в дальней зоне с учетом вклада полей излучения в ближней зоне позволит достичь сверхразрешения.
С учетом вышесказанного приведем окончательные выражения функции Грина (15) для двух теоретически и практически очень важных случаев: I) распространяющиеся моды излучения; II) затухающие моды излучения.
+ ЭС
Для вычисления в (15) интегралов вида / схр[-i/3y(y - y')]/(i32 - j32)d(3y в
— ос
случае распространяющихся мод воспользуемся интегрированием по методу вычетов [20] (см. Приложение, формула (П.4)). Имеем:
2
2m Ê Resm (Зу - ±/3) = -Am(cxp[-i0\y - г/Ц/2/3) -
m—1
- -27и(схр[-г/% - у'\}/[3).
Полученное значение интеграла (16) одинаково как при у' > у, так и у > у', т.к. под знаком экспоненты разность (у — у') берется по модулю (см. также [21]).
Теперь можем написать для случая распространяющихся мод излучения окончательное выражение для функции Грина G(г, г') исходного неоднородного волнового уравнения (2)
G(x,y,z:x',y',z') = -2г| Çexp[-zï^(y - у')}-
E;/y(x',z>)EUy(x,z)
¡Зу
+ ОС - (17)
+ / схр 1-гву(у-у')} >0 >Ы 'd/3
где сумма учитывает вклад в потери направляемой моды на межмодовое преобразование, а интеграл — вклад в потери направляемой моды на рассеяние во все окружающее пространство (ЗО-эсаИенг^). Оба вида потерь связаны с нерегулярностью структуры рассматриваемого интегрального оптического волновода, а именно — неровностью его границ и неоднородностью показателя преломления образующих его сред. Важно отметить, что выражение для функции Грина (17) учитывает эффекты многократного рассеяния и именно поэтому учитывает нелокальную связь между падающей и рассеянными волнами.
С учетом полученного выражения для функции Грина электрическая составляющая поля излучения, обусловленного потерями направляемой моды на межмодовое преобразование и на рассеяние во все окружающее трехмерное пространство, вне слоя волновода принимает вид:
j^outWG
+ L4/2 -|~эо -(-ОС
(x,y,z) = ~2гк2п? J dy1 J dx' J dz'ï
V r -.3 ( '\i Etyix'> z')Evy(x, z)
+ 7 г ■,j / rJ*0y(x',z')Ê?y(x,z) 1
+ J exp[~ifjy(y - y )]-£«---dâYx
х Ап2(х', уг')[Ё0(х', у\ г') + Ё\у(х', у\ г')} ехр(г^у),
где Ёо(х'.у'.г') = Еау(х',г')схр(—>Зоуу'), здесь использовано равенство а/2/^ = к2пп, — среднее значение показателя преломления /-го слоя, Ьу — длина нерегулярного трехмерного участка в направлении оси У.
В случае затухающих мод излучения для анализа интегралов вида
+ ОС
/ схр[-0у(у - у')}/(,82 - ¡¿у)с1!3у в полученном выражении для функции Гри-
— ос
на (15) необходимо рассмотреть диапазон значений ¡3, которые задаются мнимыми значениями Д;,„ = -г\[3\. Как указано выше этот диапазон значений 3 определяет затухающие моды нерегулярного волновода. Для нахождения интегралов в этом случае необходимо перейти на мнимую ось комплексной плоскости {1 — 3' — г,3", т.е. ось -г|/3|. Здесь интеграл также находится по методу вычетов (см. Приложение, формула (П.4)). Для физически реализуемого случая имеем:
2« | ¿ - :;з\ = ^{схр[-/?|у - ,/|]} . (19)
В результате можем записать для случая затухающих мод излучения окончательное выражение для функции Грина С(г,г') исходного неоднородного волнового уравнения (2):
гч ' ' М^Г г з I 'п 1 г')Еии(х, г) С(х,у,г:х ..у,г) = -О |ехр[-Дку|у - \\ |—±-д -+
+ ОС
+ I (ехР [-¿у\у -У I]} -д-М ,
(20)
— ос
где, как и в первом случае, сумма учитывает вклад в потери направляемой моды на межмодовое преобразование, а интеграл — вклад в потери направляемой моды на рассеяние во все окружающее пространство (или трехмерное рассеяние), но —в ближней зоне. С учетом полученного выражения для функции Грина поле излучения, обусловленное потерями направляемой моды на межмодовое преобразование и на рассеяние во все окружающее пространство в ближней зоне, соответствующее экспоненциально затухающим в направлении распространения волнам, принимает вид:
2 о +¿„/2 +/„./ 2 +Ы2 Ё?саг-гте(х,У,г) = I <1у' I йх' I' ¿г'х
-Ьу/2 -^/2 -¿,/2
(я^Г г I /П1 Е* (х',г')Еиу(х,г) X -^-+ (21)
г о | Щ }Щу(х',г')Ёву(х,г) )
+ у {схр [-ду\у - у О; —-^-^[х
-ОС
х Ап2(х'. у', г')[Ё0(х', у', /) + Ёп-(.г\ у\ г')] схр(*Д,.у),
где Ьх,у,г — протяженность локальной трехмерной нерегулярности в направлении осей X. У, £ соответственно.
Найденные выражения для полей излучения (18) и (21) позволяют решить на данном этапе, по крайней мере, прямую задачу трехмерного рассеяния лазерного излучения в нерегулярном интегральном оптическом волноводе в ближней, промежуточной и дальней зонах.
При рассмотрении поля излучения в ближней, промежуточной и дальней зонах в (18) и (21) необходимо взять только второе слагаемое под знаком тройного
интеграла
+ +ОС + ОС +ОС
/.WUY;l.r.= -2¡k2ñ2 j dy' J dx' J dz' J x
-L,J 2 -ос -ос
(22)
x exp|-'í(ii0y - 0)U -g-x
x An2(x'. y', z')[É0y{x', z) + Émr(x', z')] cxp{-i/3yy) d0,
где 0oy = á:„7 = fcn2 sin^ — модуль продольной составляющей Д>у вектора распространения к у ii2 волноводной моды вдоль оси Y. В (22) учтено, что поля падающей моды и шума зависят от у в соответствии с множителем охр; i i¡,.,y").
Аналогично (22) получаем для экспоненциально затухающего поля излучения в ближней зоне:
_о 2 +LJ2 +L,/2 +L-J 2
É<r '-""w(x. y.z) = j dy' I dx> I dz'x
-LJ2 -L,/2 —Lz/'2
/Т/ г „^yx'.^K^-r.,) 1 (23)
X l j |cxp!-/íy|,í/- y \}\—-g-d0\x
x An2(x',y'. z')[Éo(x\ y\ z') + Éw(x': y\ z')} cxp(:i0yy).
где Ёа(х\у', z') = Eog{x\ z') cxp(-i0Oyy').
Отметим, что мы ограничились рассмотрением случая распространения в пленарном волноводе ТЕ-моды, а не гибридной моды, имеющей шесть компонент поля, в отличие от ТЕ- и ТЫ-мод. Однако никаких других дополнительных предположений при выводе полученных выражений мы не делали, поэтому уравнения (18) и (21) в рамках рассмотренной модели можно считать точными. Предположения о виде функции е»(ж, у, z) — £o¡(.т, г) + Асг(х, у, г), где s0i(x, z) описывает регулярные свойства соответствующего слоя ПВ, а добавка Ae¡(x, y,z) описывает трехмерные нерегулярности структуры волновода (как неровности границ раздела сред ПВ, так и неоднородности показателя преломления в каждом г-м слое ПВ) и аддитивном характере шума могут быть заменены на предположения более общего характера. Несомненно, это приведет к серьезному усложнению аналитического решения рассмотренной выше трехмерной электродинамической задачи, но не даст каких-либо принципиально новых результатов, в отличие от результатов, полученных нами выше.
Комплексная трехмерная полевая диаграмма рассеяния E(r, в дальней зоне может быть записана в общем виде так:
E(r. ú. <Р) = Ё(г,ф) схр{ф) -Фо}}. (24)
где Е(г. д, ip) — (нормированная) амплитудная трехмерная диаграмма рассеяния, <р)—щ] — (нормированная) фазовая диаграмма рассеяния, ?/>0 — начальная фаза. Полная фаза [t¡:(-d,ip) -фо] очевидно определяется из экспоненциальной формы записи полевой диаграмма рассеяния как арктангенс отношения мнимой части комплексного поля к его действительной части:
И«?.*) - V'o] = arct.g j/m[¿(r.i», V)]/Re[E(r.Лy-)]} .
Диаграмма рассеяния по мощности находится из диаграммы рассеяния по полю как квадрат ее модуля. При исследовании статистического ансамбля нерегулярно-стей (шероховатость поверхности и/или объемные неоднородности волноводного
слоя) надо учитывать, что фазовая информация содержится в измеряемой диаграмме рассеяния по мощности (и соответственно в энергетическом спектре) в усредненном виде. Этот факт должен приниматься во внимание при анализе фазовой проблемы, т. к. из-за сложного характера формирования диаграммы рассеяния при волноводном рассеянии света на статистическом ансамбле нерегулярностей этот путь решения обратной задачи пока является трудно реализуемым. Для решения фазовой проблемы обычно используются [22]: пространственная ограниченность объекта и свойства аналитических сигналов, позволяющие найти фазу с помощью преобразования Гильберта.
2.3. Поляризационные явления при векторном волноводном
рассеянии света
Для учета в полученном приближенном решении рассмотренной электродинамической задачи распространения света (1), (2) в планарном оптическом волноводе с трехмерными нерегулярностями деполяризационной составляющей необходимо учесть в выражении для источника в уравнениях (2) и (3) аддитивную деполяри-зационную составляющую [V ■ Ео(х,у,г)} • у, г)/£01]. В этой составляющей
первый сомножитель — это дивергенция вектора Е0у, являющаяся мерой источников поля падающей волны, а второй — градиент диэлектрической проницаемости, характеризующий направление и величину максимального роста е(х,у,г) в заданной точке трехмерного пространства.
Запишем сразу конечное векторное выражение для электрической составляющей поля излучения вне волновода (распространяющиеся моды излучения), рассеянного на трехмерных нерегулярностях
Ё»ит'с'{г,у.г) = -2? I (1у! I (1х I ¿г' х
-Ь„/2 -оо -ос
7 г ,,, х I охр[-/(До«-^)у]—-^-х
— ЭС
х у', г') [Ё0у(х\ г') + Ёт,,(х'. г')] +
+ [V • Ё0у(х', г')} ■ [Че(х', у\ г')/е0<] 1 схр(-г/?,у) с13.
(25)
которое позволяет проводить исследование поляризацизационных явлений в интегральном оптическом волноводе. С учетом проведенного выше анализа вида полученной функции Грина, очевидно, что полученное выражение для рассеянного поля (25) описывает векторное волноводное рассеяние. При исследовании индикатрис векторного волноводного рассеяния на статистических нерегулярностях требуется априорно знать (или задать) вид функции спектральной плотности и/или автокорреляционной функции нерегулярностей, а также оптические параметры сред образующих волновод и учитывать состояние поляризации падающего и рассеянного излучения. Несомненно, что при этом существенно усложняется анализ данных углового рассеяния в прямой задаче рассеяния и особенно —в обратной — по сравнению с аналогичным анализом данных рассеяния лазерного излучения в волноводе с двумерной геометрией нерегулярностей.
Аналогично получаем векторное трехмерное выражение для электрической составляющей поля затухающих мод излучения:
+ +эс +зс +эс
Ё,"ат-*опе{х,у,г) = -2г | йу' | йх' | ¿г | х
— Ly/'2 -эс -оо
х {охр; .....у"' " х
х jfc2n2 Дп2(х', ?/, 2') [£о(х;, ?/, г') + Е,у(х\ ?/, г')] + + [V • Ёц(х', у', г')} ■ [Уф', у', z')/sо,;] 1 схр(-ißyy) dß.
(26)
Уравнения (25) и (26) позволяют провести строгий анализ поляризационных явлений в интегральном оптическом волноводе с трехмерной геометрией нерегу-лярностей в дальней, промежуточной и ближней зонах. Для получения точного значения поля излучения в дальней зоне необходимо численно определить значение интеграла (25). Приближенное аналитическое выражение поля излучения в дальней зоне можно найти, например, методом стационарной фазы. Мы не проводим здесь анализ поляризационных явлений и вычисление поля излучения в дальней зоне ввиду понятной, но достаточно трудоемкой и громоздкой процедуры их выполнения. Заметим только, что анализ этих уравнений действительно продемонстрировал появление у рассеянного поля кроме компоненты с исходной, например Т£-поляризацией, составляющих, определяющих TM-поляризацию. Поэтому мы можем при определенных условиях говорить о квази ТЕ и квази ТМ модах, избегая рассмотрения возникающих в волноводе гибридных мод, имеющих шесть компонент поля, а не три, как ТЕ и ТМ-моды [11-13]. При использовании выражения для рассеянного поля в виде (25) или (26) необходимо оценивать величину эффекта деполяризации для корректного применения трехмерного анализа электродинамической задачи рассеяния в нерегулярном волноводе с помощью ТЕ и TAI мод.
2.4. Потери мощности волноводной моды при векторном
волноводном рассеянии
Теперь можно найти полную мощность, переносимую всеми распространяющимися Т£-модами нерегулярного несимметричного планарного оптического волновода в следующем виде [11-13]:
= |2+Е /кСЗД(27)
I " "' = ! О J
где Р — мощность, переносимая модой на ширину волновода; р = (к2п\ - /32)1/2 — поперечная составляющая постоянной распространения мод рассеяния. С учетом выражений (13), (15) для полученных коэффициентов разложения выражение (27)
принимает вид (без учета поляризационных явлений):
+ ЭС +ОС
Ру. - р| Е 2,/Л,- У йу' I I X
~ Ь* у / 2: ЭС1 ос
х схр[-г(0Оу - 0„)у'] Ап2(х\ у', г') <1г' \ х
Ё:у{х\х'){Ёъу{х',г') + Ё(П¥(х>)г')\
0»
(28)
£
т=1
+ ОС +ЭС +-Ж
т2п2 I <1,у' I &х' I X
— У / 2 эс ос
х схр[-'/(^01/ - /?)?/] ЛгГ(.т', у', г') х Ё1у{х\г')\Ёф'..г')+Ёт,{х\г')
0и
■ ¿г'
йр),
где первое слагаемое учитывает мощность, переносимую в плоскости волновода во всех направлениях всеми направляемыми модами, а второе — мощность, рассеиваемую как в плоскости волновода (30-т-рШпе-БсаМеппд), так и мощность, рассеиваемую модами излучения во всех направлениях в окружающее волновод пространство {ЪХ)-ои1-о{-р1апе-5саиег'1пц). Эти две составляющие характеризуют полностью потери мощности направляемой моды на рассеяние. Видно, что в (28) достаточно четко выделяется аддитивная составляющая мощности шумов. Это обстоятельство позволяет использовать описанную выше модель шума, являющегося эффективной суммой шумов разной природы, приведенных к плоскости волновода, при рассмотрении прямой и обратной задач векторной теории волноводного рассеяния света. При таком подходе можно и рассеяние на нерегулярностях волновода рассматривать как источник дополнительного шума —«шума нерегулярностей».
В заключение заметим, что полная векторная теория волноводного рассеяния в статистически нерегулярном интегрально-оптическом волноводе еще не разработана. Несомненно, в дальнейшем для анализа полученных формул потребуется использовать численные методы трехмерного векторного моделирования на компьютере, требующие разработки достаточно сложных алгоритмов и программ. Однако в перспективе это позволит проводить исследование рассеяния в интегрально-оптических волноводах и устройствах на их основе с трехмерной геометрией, определять потери мощности волноводной моды на рассеяние и др. Несомненно, решение этой задачи имеет первостепенное значение для развития субволновых технологий в интегральной оптике и волноводной оптоэлектронике [10,23].
3. Заключение
В настоящей работе рассмотрены теоретические аспекты явления волноводного рассеяния лазерного излучения в интегральном оптическом волноводе с трехмерными нерегулярностями при наличии шума. Развита векторная теория волноводного рассеяния лазерного излучения на трехмерных нерегулярностях при наличии шума. Получены аналитические выражения для полей и мощности рассеянного излучения при наличии шума. Проведен физико-математический анализ полученных формул и дана соответствующая интерпретация. Отмечена роль поляризационных явлений, возникающих при рассеянии в волноводе с трехмерными нерегулярностями. Развитая в настоящей работе векторная теория волноводного рассеяния лазерного излучения на трехмерных нерегулярностях при наличии шума может стать основой для построения полной векторной теории волноводного рассеяния лазерного излучения в интегральном оптическом волноводе с произвольной трехмерной топологией. РОГ"'.•'«,•< г
4. Приложение
При выводе формулы (5) использованы следующие равенства: схр(-ЦГу) = -(ß'f схрНД'у).
+ {¿^М} - £Е»у{х,г), (П.1)
+ £2} *)} = г) -
При выводе уравнения (6) использованы следующие свойства дельта функции Дирака [11,12]:"
+ ЭС
¿ / СХР- Ш dy = Щ - 0у), (П.2)
— ОС
+А (
f / -dß4 = если ^ е • (п.з)
4h 1°>если i3у t [-Ä, +Дз] •
Значения интегралов (16) и (19), в которых подынтегральное выражение К (В) равно отношению двух голоморфных (однозначных аналитических) функций, находятся по методу вычетов (см. также [21]). Подынтегральные выражения имеют простые полюса при ßy — ±ßu,±ß в первом случае (распространяющиеся моды) и ¡By — ±iß„,±iß — во втором (затухающие моды). Для вычисления контурных интегралов воспользуемся интегрированием по методу вычетов [20], где значение интеграла по контуру С определяется следующим образом:
j К(3) dß = 2тггЛ_1 = 2-KiRes(ß'y), (П.4)
с
где А_i — это коэффициент в ряде Лорана при соответствующем члене ряда (ß — a Res(ßy) — обозначает вычет относительно рассматриваемого полюса
ßy. При вычислении (16) использовано правило вычисления вычета для простого полюса в тех случаях, когда I\'(ß) — w(ß)/b(ß) — это отношение голоморфных функций: Res(a) = w(ß)/[b(ß)}', где [b(ß)}' — первая производная от функции Ь(В).
Литература
1. Егоров А. А. // Известия вузов. Радиофизика. — 2002. — Т. 45, № 7. — С. 577.
2. Егоров А. А. // Квантовая электроника. — 2002. — Т. 32, № 4. — С. 357.
3. Егоров А. А. // Квантовая электроника. — 2003. — Т. 33, № 4. — С. 335.
4. Егоров А. А. // Оптика и спектроскопия. — 2003. — Т. 95, № 2. — С. 294.
5. Yegorov А. А. // Proc. SPIE. - 1999. - Vol. 3736. - P. 375.
6. Yegorov A. A. // Proc. SP1E. - 2002. - Vol. 4750. - P. 192.
7. Yegorov A. A. // Proc. SPIE. - 2003. - Vol. 4987. - P. 299.
8. Yegorov A. A. // Laser Physics. - 2003. - Vol. 13, No 9. - P. 1143.
9. Егоров A. A. // Известия РАН. Серия физическая. — 1999. — Т. 63, № 6. — С 1125.
10. Hall D. G. // Optics Letters. - 1981. - Vol. 6, No 12. - P. 601.
11. Маркузе Д. Оптические волноводы. — М.: Мир, 1974.
12. Содха М. С., Гхатак А. К. Неоднородные оптические волноводы. — М.: Связь, 1980.
13. Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов. — М.: Радио и связь, 1987.
14. Егоров А. А. // Сборник науч. трудов 3-й Науч.-техн. конфер. «Электроника, микро- и наноэлектроника». — М.: МИФИ, 2001. — С. 129.
15. Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. — М.: Наука, 1981.
16. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. — М.: Наука, 1974.
17. Обратные задачи в оптике./ Под ред. Г. П. Болтса. — М.: Машиностроение, 1984.
18. Аблеков В. К., Колядин С. А., Фролов А. В. Высокоразрешающие оптические системы. — М.: Машиностроение, 1985.
19. Egorov А. А. Ц Laser Physics. - 1998. - Vol. 8, No 2. - P. 536.
20. Маркуилевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций. — М.: Наука, 1978.
21. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. — М.: Наука, 1981.
22. Гудмен Дж. Статистическая оптика. — М.: Мир, 1988.
23. Хансперджер Р. Интегральная оптика: Теория и технология. — М.: Мир, 1985.
UDC 517.5: 519.64: 535.8: 538.56: 621.3
Use of Method of Modes and Method of Green's Functions in the Vector Analysis of the Waveguide Laser Radiation Scattering
A. A. Egorov
Oscillation Department, A.M. Prokhorov' General Physics Institute of Russian Academy of Sciences, 38, Vavilova sir., Moscow, 119991, Russia
Department of General Physics, Peoples' Friendship University of Russia, 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia
The solution of the three-dimensional electrodynamics problem on laser radiation scattering in an irregular waveguide is obtained via the coupled mod method with help of the theory of perturbations. The approximate solution of inhomogeneous three-dimensional wave equation is derived by the modes method and the Green functions method. The analytical formulas of the radiating fields for the propagating and evanescent modes are presented. Physico-mathernalical interpretation of derived expressions is given.
