Формирование волновых фронтов в продольно-неоднородных асимметричных градиентных волноводах Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.Б. Валяев, С.Г. Кривошлыков

ФОРМИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ В ПРОДОЛЬНО-НЕОДНОРОДНЫХ АСИММЕТРИЧНЫХ ГРАДИЕНТНЫХ ВОЛНОВОДАХ

Определение и формирование волнового фронта пучков представляет интерес в связи с исследованием распространения излучения различной природы в волноводах как искусственного, так и естественного происхождения.

Если показатель преломления среды п в масштабе длины волны Л меняется незначительно ((Л/п)Уп)«1, то распространение излучения для гармонических полей описывается скалярным уравнением Гельмгольца [і — 3]:

ДФ + капа¥ = 0, (1)

к = 2п/\.

Уравнение (1) допускает точное решение в квадратурах лишь для ограниченного числа функций п(г) - эталонных профилей показателя преломления, обзор которых дан в [1].

Градиентные волноводы с симметричным профилем обычно аппроксимируются параболическим распределением показателя преломления. При этом уравнение (1) в параксиальном приближении эквивалентно уравнению Шрединге-ра для гармонического осциллятора с переменной частотой. Это позволяет для его исследования использовать хорошо развитые методы квантовой механики. Например, в [4] были найдены коэффициенты связи между модами начального и конечного продольно-однородных участков при наличии в волноводе регулярных продольных неоднородностей. Полученные выражения по-

зволяют определить волновой фронт пучка на выходе волновода, если он известен на входе. При этом формирование требуемого волнового фронта можно проводить путем введения необходимых продольных неоднородностей среды.

С другой стороны, по известным параметрам пучка в таких волноводах можно решить обратную задачу - определять параметры неоднородностей среды. Так, в [5] для нахождения изменения градиентного параметра волновода и величины поперечного смещения оси предлагается использовать экспериментально полученные относительные интенсивности мод, а в [б] по измерениям конечной ширины пучка при различных начальных находить закон изменения продольных неоднородностей волновода.

Аналогичные задачи для асимметричных градиентных волноводов до сих пор не рассматривались, хотя и представляет интерес, так как ряд градиентных волноводов характеризуется ярко выраженной асимметрией. Такими волноводами являются большинство подводных звуковых каналов (ПЗК) глубокого и мелкого океана (например, ПЗК Средиземного моря [7]),а также ионосферные радиоканалы [2]. Асимметрия в поперечном распределении показателя преломления наблюдается также в диффузных интегрально-опти-ческих световодах и активных волноводах, возникающих в поперечной плоскости гетероструктурных лазеров [з].

В данной работе для исследования формирования волновых фронтов в асимметричных волноводах предлагается использовать новый эталонный профиль, учитывающий продольные неоднородности градиентной среды. На основе предложенного модельного профиля исследуются задачи:

- влияние параметров продольных неоднородностей на волновой фронт излучения;

- восстановление параметров неоднородностей по известным параметрам

излучения.

Для простоты рассматривается двумерный волновод и вводится эталонный профиль показателя преломления:

па(х; г) = п2(х0; г) - о2(х2-х2) - 2д {— - К) х>0, д>0 (2)

о

где:

хо - координата оси волновода;

п(хо; г) - показатель преломления на оси;

со - градиент показателя преломления;

д - параметр асимметрии.

Уравнение (1) в параксиальном приближении для профиля (2) эквивалентно уравнению Шредингера для сингулярного осциллятора, что позволяет для его исследования использовать методы квантовой механики [8].

Произвольное поле |Ф> в волноводе (2) можно разложить по модам, причем квадраты модулей коэффициентов разложения |<п|У>|2 задают распределение поля между модами. Если среда однородна в продольном направ-

лении, то в параксиальном приближении все моды распространяются с одинаковыми групповыми скоростями (спектр постоянных распространения мод эквидистантен [9]) и начальный фазовый фронт возбуждающего пучка периодически восстанавливает свою форму. Причем в промежутках между значениями г, при которых восстанавливается фронт пучка, зная параметры среды, легко рассчитать фазовый волновой фронт пучка.

Наличие продольно-неоднородного участка в среде (2) приводит к перераспределению энергии между модами, т.е. к изменению амплитуды поля волны.

Авторами найдены коэффициенты связи мод и реккурентные соотношения для их расчета при стыковке двух асимметричных градиентных волноводов. Полученные соотношения позволяют определить волновой фронт пучка во втором волноводе, если он известен в первом.

Приведем выражение для интегралов перекрытия мод:

---- I

2\/ со со . , , \ , 1 со., I , \ а +ш+1, а +п+1 2

Тп = (______1_1)*<а1+аа>+1(_1)*(а1-а2> (г[-Ц------—Ц-------]) х

га со1+со2 ш2 *■ п+1, т+1

На1+а2)+1 2(о1 2со2

* ГЕ а 1+1, аТг] • Га(*(а1+аа)+1, -п, -ш; а^!, а^!;^^-, ^-) , (3)

где:

|т>, Iп> соответственно моды первого и второго волноводов;

А, а ,...а р 1

ГЬг—уГ------------(Н = П Г(ак)/ П Г(ЬГ);

Ь1, Ь2,...,Ь1 к=1 к Г=1 Г

Г(1) - гамма-функция;

Г2 - функция Аппеля двух переменных.

Коэффициенты связи определяются квадратами модулей интегралов перекрытия между модами, координата оси волновода связана с параметром а: аа 1

х2 = • 1=1 2,

Хо. 1 ’ '

1 1

а смещение оси волновода также полностью определяется через заданные параметры:

• 151

О 12

Далее исследуется влияние регулярного продольного изменения градиента среды на волновой фронт пучка при а=сопз^ В этом случае также найдены коэффициенты связи между модами и реккурентные соотношения для их расчета. Коэффициенты связи симметричны и полностью определя-

ются численными параметрами: И - коэффициентом надбарьерного отражения [4] и а - параметром асимметрии среды (2).

Для экспериментального определения данных численных параметров можно использовать относительные интенсивности мод д(п>, п)=«^/Ю°

* - pfrftSf - ч11'01] <6>

a . q»(1.0) - q(2,0) . (7)

q (2,0) - q2(1,0)/2

2

В случае стыковки двух волноводов при a=const и различными о)п,

, аз„ - со .

^ ? 1 2 Асо

градиентными параметрами можно оценить параметр И. И = —----------------- = -г— .

СО^ + С02 /.(О

Тогда из (6) получаем оценку изменения градиентного параметра.

В заключение метод восстановления закона продольных неоднородностей волновода с параболическим профилем показателя преломления, который предложен в [б] , обобщается на асимметричные волноводы (2).

Данная задача сводится к решению интегрального уравнения Гельфан-да - Левитана - Марченко:

К (х, у) + Г (х+у) + 7к(х, у)ги+у)с^=0, х<у,

X

где: Е(х)*п 1 Re.fr (ш)е ^ШХ(Зш - спектральная функция; о

г(ш)=Н^.е1(6а"61) - коэффициент отражения.

Для определения спектральной функции необходимо найти коэффициент отражения при различных ширинах падающего на неоднородный участок пучка. Коэффициент отражения можно вычислить, используя выражение [9];

<х2> = ——-----------{(1+Ю а+4Нсоэ26 -4н^соэ6 [соэ(2ш+Е+26 -б )+Исоз (2ш+Б-б )]}

ксо+ (1-Ю 2 12

Данное выражение связывает конечную ширину пучка с коэффициентом отражения. Определяя таким образом спектральную функцию и решая интегральное уравнение, находим К(х, у) и восстанавливаем неизвестный

со2 (£) = - (х, х).

Литература

1. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. - М.: Наука, 1973.

2. Гуревич А.В.,Цедилина Е.Е. Сверхдальнее распространение коротких радиоволн. - М.: Наука, 1979.

3. Адамс Л.М. Введение в теорию оптических волноводов. _ М.: Мир, 1984.

4. Кривошлыков С.Г., С и с а к я н И.Н. - Квант, электр., 1980, т. 10, с. 553.

5. Krivoshlykov S.G., Sissakian I.N. -Opt. and Quant. Electr., 1983, vol. 11, p. 393.

6.Кривошлыков С.Г., Петров Н.И., С и -с а к я н И.Н. - Письма в ЖТФ. 1985, т. 11, с. 891.

7. Лерой К. -В кн.: Подводная акустика. - М.: Мир, 1970, 274.

8. М а л к и н И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. - М.: Наука, 1979.

9. Валяев А.Б., Кривошлыков С.Г., С и -сакян И.Н. - Препринт ИОФАН, 1986, т. 68.