Исследование влияния параметров приближенного зацепления на распределение нагрузки по длине зубьев колес Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»



УДК 621.833:539.4

Исследование влияния параметров приближенного зацепления на распределение нагрузки по длине зубьев колес

Ф.И. Плеханов

Рассматривается внутреннее зацепление эвольвентного сателлита с колесом, зубья которого выполнены в виде перемычек; создана математическая модель, на базе которой установлено влияние нагруженно-де-формированного состояния элементов зацепления на закон распределения нагрузки.

Ключевые слова: зацепление, планетарная передача, нагружен-но-деформированное состояние, распределение нагрузки.

The internal mesh of involute planet pinions of planetary train with gear, the teeth of which are carried out in the form of cross — piece is considered in the article. Mathematical model is created, on base of which the influence of stressed — deformated state of mesh elements on the law of load distribution is established.

Keywords: mesh, planetary gear, laden — strained state, loading distribution.

ТТспользование в планетарных передачах приближенного внутреннего зацепления позволяет существенно упростить конструкцию механического привода, снизить его радиальный размер. Особенно эффективно использование такого зацепления в планетарных передачах S — 2R, содержащих три центральных колеса в качестве основных звеньев (солнечную шестерню S и два колеса с внутренними зубьями R). В указанной конструкции ведомое тихоходное центральное колесо выполнено в виде барабана с зубьями-перемычками, боковые профили которых очерчены по удлиненной эвольвенте, эпитрохоиде или прямой, и расположено коаксиально внутри неподвижного центрального колеса с укороченными эвольвентными зубьями (рис. 1). Солнечная шестерня и сателлиты имеют эвольвентные зубья [1].

Отсутствие момента, разворачивающего сателлит, в описываемой передаче позволяет избавиться от сложного в изготовлении водила, заменив его плавающим опорным кольцом, что благоприятно сказывается на распределении нагрузки по потокам мощности и на несущей способности привода. Однако прогиб зуба-перемычки в процессе работы механизма приводит к неравномерному распределению нагрузки по его длине. В связи с этим для рационального проектирования такой передачи важно установить влияние параметров приближенного зацепления на нагруженно-деформированное состояние зубьев и на закон распределения нагрузки.

ПЛЕХАНОВ Федор Иванович

доктор технических наук, профессор, директор Глазовского инженерно-экономического института (филиал Ижевского государственного технического университета)

и

викэшш ©шеджшй

А . А-А

1—-[ р А

1 Щ

Рис. 1. Планетарная передача с приближенным внутренним зацеплением колес

Для снижения неравномерности распределения нагрузки по длине зуба-перемычки необходимо зуб сателлита выполнить бочкообразным (рис. 2). В этом случае связь между перемещениями в зацеплении выражается уравнением

y^x) = v - Уз^) - |yH(x)|, (1)

где ys(x) — контактное перемещение (сближение зубьев); v = const; y,(x) — уравнение линии зуба (уравнение линии пересечения боковой поверхности зуба с осной поверхностью сателлита); yH(x) — перемещение перемычки, обусловленное действием изгибающего момента M(x) и поперечной силы Q(x).

х

Ъ

Рис. 2. Схема нагруженно-деформированного состояния зубьев сателлита и тихоходного колеса

Запишем уравнение связи контактного перемещения с погонной нагрузкой g(x) и контактной жесткостью зацепления:

С (С = E/4 [2],

где E — модуль Юнга, а также уравнение изогнутой оси перемычки:

У^) = цЦд/С, (2)

у и1 = M(x)/(IE) + kg(x)/(GF), (3)

x

M(x) = M - / gи- z)dz, (4)

0

где k — коэффициент формы сечения перемычки ^ = 1,2); I — осевой момент инерции поперечного сечения перемычки (I = Ля3/12); h — высота сечения; s — средняя его толщина; F — площадь поперечного сечения ^ = hs); G — модуль упругости 2-го рода.

С учетом этого уравнение (1) примет следующий вид:

^/С = - уЗ1^) + M(x)/(IE) + kg(x)/GF. (5)

Определим у^), соответствующее равномерному распределению нагрузки (g(x) = g):

x

у31(x) = [М -1g(x - z+ kg/(GF) (6)

0

или

уЗ1 (x) = (М - gx2/2)/IE + kg/(GF). (7)

Из универсального уравнения изогнутой оси М = gb2/6. Тогда, интегрируя дважды дифференциальное уравнение (7), получим

У&) = gx2[(b2 - ОдаД/Е) + 7,2/^]/12. (8)

Толщина бочкообразного зуба сателлита у торца должна быть меньше его толщины в средней части:

2Уз(Ь) = 2Х = gb2[3/(hs) + Ь2/^3)]/Е. (9)

Реализовать такое очертание технологически сложно. Наиболее легко реализуемым является очертание в виде дуги окружности радиуса Я. В этом случае при уз(Ь) = X(Ь2 + + Х2)/(2Х) уравнение кривой имеет вид

уз^) = Я - (Я2 - x2)1/2 = (Ь2 + Х2)/(2Х) -

- {[(Ь2 + Х2)/(2Х) — x2]}1/2. (10)

Установим закон распределения нагрузки по длине зуба сателлита, очерченного по кривой, описываемой выражением (10), используя для простоты решения аппроксимацию этого уравнения в виде гиперболического косинуса:

Уз^) = Х[<Л(1,32/Ь) - 1], (11)

где величина X определяется из равенства (9).

Из уравнения (5) после подстановки в него выражений (4), (11) и дифференцирования по х дважды получим

^(х) - ¿11(х)Ск/(ОТ) + g(x)C/(IE) =

= -ХС(1,32/Ь)4 сЬ(1,32х/Ь). (12)

Решение данного дифференциального уравнения имеет следующий вид:

g(x) = С^к(ах) 8тфх) + С2сЬ(ах) ео8(Рх) +

+ АсЬ(1,32х/Ь). (13)

Здесь

А = XС[ Ск(Ь/1,32)2/( ОТ) -—С(Ь/1,32)4/(1Е) - 1]-1, а = псо8ш, р = пяпш;

п = [128С/(НЕ)]1/4/8; ш = 0,5агссо8{к/[48#СУ(С££)]1/2}.

Постоянные интегрирования С! и С2 определяются из уравнения совместности перемещений (1) и уравнения статики:

ь

g1(b)/С = у^Ь)- у 1(Ь), /g(x)йх = gЬ.

0

Подставляя сюда выражения (11), (13) и учитывая, что при х = Ь угловое перемещение перемычки обусловлено только действием поперечной силы (деформацией кручения зуба колеса у мест его заделки в обод пренебрегаем ввиду ее малости, т. е.

Уи(Ь) = fkg(x)dx/(GF) + Сз|х=ь,

С3 = 0 из условия симметрии кривой перемещения), получим после преобразований:

С^ас^аЬ) ¡япфЬ) - р8Ь(аЬ) со8(рЬ)] +

+ С2[рсЬ(аЪ) 8тфЬ) + а8Ь(аЬ) со8(рЬ)] =

= Ь^ -1,3174)(а2 + Р2), (14)

С^асЫаЬ) ¡япфЬ) + р8Ь(аЬ) со8(рЬ)] +

+ С2[-рсЫаЬ) 8тфЬ) + а8Ь(аЬ) со8(рЬ)] = = к%ЬС/(ОТ) - 2,294(4 + ХС)/Ь. (15)

На рис. 3 представлены кривые распределения нагрузки, отнесенной к среднему ее значению g, в зависимости от длины зуба сателлита, выраженной в долях модуля зацепления т, при отсутствии бочкообразности, т. е. при Х = 0 (по оси абсцисс отложена координата, отнесенная к половине длины зуба Ь), а на рис. 4 показаны

аналогичные кривые при наличии бочкообраз-ности, построенные по уравнению (13) при Н = т, 8 = 1,5т.

Из представленных на рис. 3 и рис. 4 графиков следует, что при выполнении зубьев сателлита бочкообразными распределение нагрузки по их длине близко к равномерному (при рациональном значении длины всего зуба В = = 2Ь = 3т коэффициент неравномерности кщ = gmax/g не превышает 1,03).

2

.1.793.

SlOÖ БЗД g3(jö

.0.566

1.5

0 5

1 1 I [ у

У

- / -

у

..........

" 1 1 i 1

0.2

0.4

0.6

0 S

Рис. 3. Кривые распределения нагрузки по длине линии контакта при отсутствии бочкообразности зуба сателлита:

— В = 2Ь = 2т;-------В = 2Ь = 3т;

-------- - В = 2Ь = 4т

Рис. 4. Кривые распределения нагрузки по длине бочкообразного зуба сателлита:

— B = 2b = 2m;

------B = 2b = 3m;

- B = 2b = 4m

Список литературы

1. Плеханов Ф.И., Молчанов С.М., Скопин А.А. Симметрия нагружения элементов — важнейший принцип конструирования зубчатых передач / Приводная техника. 2003. № 4. С. 30—34.

2. Айрапетов Э.Л., Генкин М.Д. Деформативность планетарных механизмов. М.: Наука, 1973. 212 с.

Статья поступила в редакцию 02.03.2009 г.