CC BY
60
УДК 62-233.3/9
Синтез приближенного внутреннего зацепления типа эвольвента — перициклоида
И.А. Казаков
Рассмотрена геометрия неэвольвентного профиля зуба-перемычки, образованного нестандартным долбяком с внутренними зубьями. Приведены уравнения синтеза приближенного внутреннего зацепления типа эвольвента — перициклоида.
Ключевые слова: планетарная передача, приближенное зацепление, укороченная перициклоида, нестандартный долбяк, синтез зацепления.
Synthesis of approximate internal cogging of involute type — pericycloid
I.A. Kazakov
The geometry of a non-involute cog-crosspiece profile formed by a non-standard pinion cutter with internal tooth is considered. The equations of synthesis for the approximate internal gearing of an involute type — pericycloid are presented.
Keywords: planet gear, approximate cogging, truncated pericycloid, non-standard pinion cutter, cogging synthesis.
I I ланетарные передачи типа 3К (передачи, основными звеньями которых являются три центральных колеса) обладают большим передаточным отношением в одной ступени. Однако наличие сложного в изготовлении водила и большого числа подшипников сателлитов сдерживает широкое их применение в технике. Безводильные конструкции указанных передач лишены этих недостатков [1]. На рисунке 1 представлена одна из таких передач, в которой неподвижное колесо выполнено двухвенцовым, тихоходное — в виде барабана с зубьями-перемычками, сателлиты расположены в два ряда, а числа зубьев центральных колес подобраны так, что фазы их зацеплений с сателлитами в одном ряду отличаются на 0,5 шага от фазы зацеплений в другом ряду. Это позволяет обеспечить непрерывность передачи движения от быстроходного вала к тихоходному при коэффициенте перекрытия в зацеплении сателлита g с неподвижным колесом b еgb > 0,5, с тихоходным e — еge = 1. При этом нагрузку несут поочередно то один, то другой ряд сателлитов.
Безводильные планетарные передачи типа 3К обладают хорошими массо-габаритными показателями, КПД передач составляет около 0,8; преимущественная область применения — тихоходные приводы (например лебедка).
В зависимости от применяемого режущего инструмента и способа формообразования профили зубьев-перемычек такой передачи могут
КАЗАКОВ Игорь Андреевич
аспирант кафедры «Технология машиностроения»
(Ижевский государственный технический университет; e-mail: i.a.kazakov@gmail.com)
ВШзехэшш] выкшшпх ©аведжшй
Рис. 1. Коаксиальная безводильная планетарная передача типа 3К с двухрядным расположением сателлитов
быть очерчены по удлиненной эвольвенте (используется нестандартная червячная фреза или рейка с близким к нулю углом профиля исходного контура), эпитрохоиде (нестандартный долбяк) или прямой (набор из дисковых фрез) [2]. Однако зубья-перемычки с такими очертаниями профилей не всегда удовлетворяют требованиям кинематической точности и изгиб-ной прочности из-за большого отклонения их от обычной эвольвенты и большой глубины врезания нестандартного инструмента в заготовку колеса.
Решить данную проблему можно, используя другой способ профилирования зубьев-перемычек — зубодолбление нестандартным долбя-ком с внутренними зубьями (рис. 2). В этом случае кривой, очерчивающей профиль зу-
ба-перемычки, является укороченная пери-циклоида или эквидистанта к ней. Данную линию описывает точка, взятая внутри производящей окружности радиуса ~0, перекатываемой без скольжения по неподвижной направляющей окружности радиуса ~ при внутреннем касании, причем ~0 > ~.
Уравнение укороченной перициклоиды представим в параметрическом виде, приняв в качестве параметра длину перпендикуляра ¡,, опущенного из центра концентрической окружности нестандартного колеса е на профильную нормаль.
Тогда текущие значения модуля радиус-вектора гуе и полярного угла ®уе точки кривой профиля зуба-перемычки могут быть найдены из следующих уравнений (рис. 3):
Гуе (¡у ) = {12 + [(Р0 + Ц, - 1)д/~2 - II -
\U,
J(r - h0/U0 У
1/2
(1)
( -y ) =
arccos-
.( -, )
(2)
-(U0 — l)arccos —+ U0arccos-
■h0/U o
'0/^0
где ~ — радиус начальной окружности нестандартного колеса в станочном зацеплении; р0 — радиус кривизны линии притупления продольной кромки зуба долбяка; к0 — расстояние от центра кривизны линии притупления продоль-
Рис. 2. Формирование зубьев-перемычек колеса (а) и профиль зубьев долбяка (б)
2
ной кромки зуба долбяка до его начальной окружности в станочном зацеплении; и0 — передаточное число станочного зацепления, и 0 = ~0 / ~ = г 0 / ге >1; ~0 — радиус начальной окружности долбяка в станочном зацеплении; г0, ге — числа зубьев долбяка и нестандартного колеса; 1у — длина перпендикуляра, опущенного из центра концентрической окружности нестандартного колеса е на профильную нормаль в произвольной точке профиля зуба-перемычки; гуе — текущее значение модуля радиус-вектора точки кривой профиля зуба-перемычки; ®уе — текущее значение полярного угла точки кривой профиля зуба-перемычки.
Как следует из выражений (1), (2), вид пери-циклоиды определяется параметрами Н0, р0 и
и0, варьирование которых позволяет приближать профиль зубьев-перемычек к эвольвентному.
При отсутствии притупления кромки зуба долбяка (р0 = 0) уравнения (1), (2) определяют укороченную перициклоиду, в противном случае — наружную эквидистанту к ней. Величину р0 рекомендуется принимать равной примерно 0,25т (т — модуль эвольвентных зубьев), так как при увеличении его возрастает глубина врезания инструмента в заготовку колеса, что ведет к снижению изгибной прочности зуба-перемычки, а при уменьшении снижается стойкость инструмента [3]. Притупление кромки зуба долбяка можно осуществить непосредственно при изготовлении самого инструмента на долбежном станке специальным фасонным резцом, который будет формировать впадину между зубьями и линию притупления.
Граничная точка I профиля зуба-перемычки является точкой пересечения укороченной пе-рициклоиды и огибающей прямой бокового профиля зуба долбяка. Примем боковой профиль зуба долбяка в виде отрезка прямой, проведенной из центра концентрической окружности этого инструмента касательно к окружности притупления продольной кромки зуба (см. рис. 2, б).
Положение граничной точки I зависит от передаточного числа и0. При и0 > 2 модуль радиус-вектора и полярный угол данной точки определяют из следующих уравнений (см. рис. 3, а):
г1е (у *) = ~д/ (и 0 -1)2 + и 0 (2 - и 0 )ес82 (у, - 80); (3)
, ч , ч г-еоБ^ * - 80) ~ 0 ,е (У * )= У * (и 0 -1)-аГееОК--+ 80, (4)
.(у *)
где 80 — угол между прямой бокового профиля
зуба долбяка и прямой, проведенной из центра концентрической окружности этого инструмента в центр кривизны линии притупления продольной кромки зуба,
8 = агс8т-
р0
ги0 -^
Используя уравнения (1), (2) и выражая угол у* через параметры, входящие в уравнение (3),
можно, при равенстве г1е (у*) = гуе (1у ), перейти к одному уравнению 01е (у*) = 0уе(1у ), из
которого находим значение 11е, соответствующее граничной точке профиля зуба-перемычки.
При и0 > 2 граничная точка I находится выше начальной окружности ~ колеса. При и0 = 2 точка лежит на самой окружности 8г :
г1е = 0,е = 280; I е =^(~и0 -80)2-~02 /и0. (5)
При и0 < 2 происходит срезание верхней части профиля укороченной перициклоиды той же кромкой зуба долбяка, которая при дальнейшем углублении в заготовку колеса формирует рабочий профиль, и точка лежит ниже окружности г.
Синтез приближенного зацепления передачи целесообразно осуществлять из условия совпадения граничных точек однопарного зацепления с граничными точками профилей зубьев сателлита и колеса, что позволяет получить минимальную высоту (максимальную изгибную прочность) зуба-перемычки колеса и достичь того, чтобы верхний наиболее близкий по очертаниям к эвольвенте участок профиля являлся активным [3].
Рассмотрим приближенное зацепление (рис. 3, б) сателлита g с нестандартным колесом е, задавшись углом зацепления а ж в точке контакта, соответствующей среднему значению передаточного отношения.
ВШзехэшш] выкшшпх ©аведжшй
Рис. 3. Очертания профиля зуба-перемычки (а) и схема приближенного зацепления типа эвольвента-укороченная перициклоида (б)
Условие некромочного контакта эвольвент-ного профиля зуба сателлита с профилем зуба-перемычки имеет вид
fre fry,g
+ a„, sma
w wy ■
I = rA + a cosa ,
У 'bg w wy '
где aw — межосевое расстояние зубчатой пары; rbg — радиус основной окружности сателлита.
Условия синтеза приближенного зацепления:
1) контакт в нижней граничной точке d зацепления, совпадающей с граничной точкой профиля зуба сателлита:
fr2 - r,g =Ро +(u0-1)V~2 - Id --u,
(~-"0/UO )2
Id - aw sina wd
Id = rbg + aw COSa wd .
(6)
Здесь т^ — радиус окружности граничных точек профиля зуба сателлита,
cosa
lg ,cosa
а^ — угол профиля в граничной точке, определяемый при нарезании сателлита инструментом реечного типа,
a lg = arctg
tga ■
4(h* - Xg ^ sin2a
где На — коэффициент высоты головки зуба; хе — коэффициент смещения исходного контура сателлита;
2) контакт в верхней граничной точке и зацепления, совпадающей с граничной точкой профиля зуба-перемычки:
arccos—ч -(U0 -l)arccos +
,(Iu )
+U0arccos
I
-arccos -
r -ho / Uо
rcos(v *)
= V * (Uо-1)-
,(Л )
+ arcsin -
о "о
V, = arccos
1
Uо (2-Uо)
,(Iu )
-(Uо-1)2
+
+arcsin -
о "о
Гие (I и )Ч I2 +(Ро +(Uo -1)V ~2 - IU
I,. = n„ + a,„ cosa......
w wu
(7)
о
о
Данные уравнения справедливы при и0 > 2. Для случая и0 < 2 система уравнений (7) имеет следующий вид:
Iu =<¡(rU0 - Л0 )2
I,. = ^ + о,. ,cosa„„
Ро2 /U
0
(8)
3) равенство коэффициента перекрытия единице: повороту сателлита на величину углового шага его зубьев соответствует поворот колеса на величину углового шага зубьев последнего, т. е.
2п
z„
+
+ [(Uо -!)(л/~2 - II Ч~2 - Id )- (9)
bg
-Un
- Ло/Uо)2 - II -
-/(г - Ло/U о )2 - I
(sinrwd - sinawu )
+
2п
■ = a
wd
a
+ (U о-l)x
X
arceos —— arceos 1 +
г ; i
(Ю)
+U
arccos
; - Ло /Uо
■ arceos-
; - Ло/U
о /
Таким образом, получены четыре уравнения (6), (7), (9), (10) с неизвестными 8, аки, а^. Радиус 8г можно выразить через нестандартный модуль: г = 0,5тге.
На рисунках 4, 5 представлены графики зависимостей к0 / к0 и т / т от числа зубьев колеса ге и угла теоретически точного зацепления а№е, построенные для планетарной передачи 3К при числе зубьев солнечной шестерни га = =9. Коэффициент смещения исходного контура сателлита при <17 принимался из условия отсутствия подрезания, а при >17 равным нулю. Число зубьев сателлита гв = 0,5(ге - га) - А, где
А = 0,5 при нечетной разности ге—га, А = 1 —
Рис. 4. Зависимость параметра й0 от числа зубьев-перемычек колеса и угла теоретически точного зацепления
т/т
1,03
1,02 1,03 1,00 0,99 0,98 0,97
\
ч
ч - S"
\ \ —1—1— 15" —1-1— __
X 12'
1 1
30
36 42
48
54
60 66
72
78
Рис. 5. Зависимость нестандартного модуля т от числа зубьев-перемычек колеса и угла теоретически точного зацепления
при четной [2]. Передаточное число станочного зацепления и0 = 2. Радиус кривизны линии притупления продольной кромки зуба долбяка р0 = 0,25т.
Приведенные графики позволяют определить рациональные значения параметров приближенного внутреннего зацепления и нестандартного долбяка.
Литература
1. Плеханов Ф.И. Исследование влияния параметров приближенного зацепления на распределение нагрузки по длине зубьев колес // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2011. № 1. С. 11—13.
2. Плеханов Ф.И. Зубчатые планетарные передачи. Типы, основы кинематики, геометрии и расчета на прочность. Ижевск: Удмуртия, 2003. 200 с.
3. Плеханов Ф.И. Теоретические основы проектирования и принципы конструирования нетрадиционных планетарных передач типа 3К: Автореф. дис. ... д-ра. техн. наук / ИжГТУ. Ижевск, 1996. 34 с.
Статья поступила в редакцию 02.04.2012
e
