CC BY
29
УДК 534.1: 539.3 Репецкий Олег Владимирович,
д. т. н., профессор, президент Восточно-Сибирского института экономики и права, e-mail: repetskiy@vsiep.ru
До Мань Тунг,
аспирант кафедры информатики и математического моделирования, Иркутская государственная сельскохозяйственная академия, e-mail: manhtungcvp@yahoo. com
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ НА СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ «ДИСК - ЛОПАТКИ» ТУРБОМАШИН С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ ЦИКЛИЧЕСКОЙ СИММЕТРИИ
O. V. Rcpetskiy, Do Manh Tung
STUDY OF THE INFLUENCE OF GEOMETRICAL NONLINEARITY ON THE NATURAL VIBRATIONS OF THE TURBOMACHINERY DISK-BLADE SYSTEMS USING THE PROPERTIES OF CYCLIC SYMMETRY
Аннотация. В данной работе даны математическое моделирование и решение задач собственных колебаний системы «диск - лопатки» турбомашин с учетом изменения жесткости конструкции лопаток, обусловленной центробежными силами. Также даны результаты расчета влияния вращения на собственные колебания системы «диск - лопатки» турбомашин и предложены рекомендации по собственным колебаниям рабочих колес турбомашин с учетом вращения.
Ключевые слова: системы «диск - лопатки», колебание, метод конечных элементов, геометрическая нелинейность, центробежная сила.
Abstract. This paper presents mathematical modeling and solution of the task of free vibration of the disk-blade system of turbomachines with account of the change of stiffness of the blades due to centrifugal forces. Also the authors give the results of calculating of the influence of the rotation on the free vibration of the disk-blade system and some recommendations for free vibration of the turbomachinery rotors with account of the rotation.
Keywords: disk-blade system, vibration, finite element method, geometric nonlinearity, centrifugal force.
1. Постановка проблемы
Задача расчета динамики и прочности механических систем на практике не является линейной при наличии большого разнообразия сложных факторов. Известно, что рабочие колеса турбомашин часто работают в сложных условиях не только переменных аэродинамических нагрузок, но и под действием большой скорости вращения,
следовательно, рабочие элементы роторов подвержены действию сильных полей центробежных сил, которые существенно изменяют динамические характеристики рабочих колес. В данной работе рассматривается геометрически нелинейная задача, связанная с влиянием вращения на матрицу жесткости системы методом конечных элементов (МКЭ) на основе трехмерных конечных элементов SOLID20 [1, 2, 4] и треугольных конечных элементов переменной толщины 8Т1218 [1, 2, 4], которая является частью комплексного расчета на долговечность. Учет геометрической нелинейности позволяет повысить точность расчета до 20 % (см. [4, 5, 6]).
Для определения влияния вращения на матрицу жесткости системы тонких оболочек типа рабочих лопаток, рассмотрим конструкцию в общей системе координат, когда рабочее колесо вращается вокруг оси ОХ с угловой скоростью О (рис. 1).
Согласно принципу Даламбера, уравнение движения рабочих колес для линейного демпфирования при использовании МКЭ и учёте влияния центробежных сил может быть описано следующим уравнением [1, 4]
[м]{5}+ [с]{5}+ ([к] + [Ка ]){§} = к }, (1)
где {?}, {?}, {5} - соответственно векторы перемещений, скоростей, ускорений узловых точек, [М] - матрица масс, [С] - матрица демпфирования, [К] - матрица жёсткости, [Кс ] - матрица геометрической жёсткости, } - вектор внешних действующих сил.
Рис 1. Общая и местная системы координат в алгоритме учета вращения
Матрица геометрической жесткости [Ка ], учитывающая влияние изгибных перемещений на деформации срединной поверхности, определена как
К ] = { ][8][О^У, (2)
V
где матрицы [5], [С] определяются уравнениями (3) и (4) для трехмерных и треугольных конечных элементов, соответственно
[5 ] =
И
[ 1з]
.0
<[!з]
3
< [1з] < [1з] <[!з] ['з] ['з] 1з]
[С] =
дх [ ^
дУ ['- £
дг
[ N ];
[ 'з] =
и
[5 ] =
;[С] =
[ N ],
здесь с , с ,
ХХ ? уу '
[N ]
матрица
д! дх
д_
ду _
функций
с , с , с
гг ? ху ? уг
Если рассматривается динамическая задача без демпфирования и нет внешних возмущений, то уравнение (1) запишется как
[М]Й+([К]+[КС]){^}={Р0}, (7)
где {Еп } - вектор центробежных сил.
Для трехмерных конечных элементов центробежная сила определена как
{^}=.[Мр{ап}Г , (8)
где
: 2О[Е^]{?}- О2[е^][<?],
, р - плотность
0 0
{оп}= 2О< у --О2 < у
г г
[Е ] =
"0 0 0" "0 0 0"
1 0 0 ■ [Е ]= 0 1 0
0 0 -1 0 0 1
(9)
материала, [N ] - матрица функций форм. Тогда выражение {Еп } примет вид
Е} = 2Ор| [N] [е]^-О2р| ^] [Е^
V V
= [МС ]{б}-[М |5}.
Для треугольных конечных элементов центробежная сила определена как
Е } = Р| [N1" [4 - рJ[N {4
V V
=[Мс ]{б}-М ]М,
(10)
где [ Лк ] =
(3)
(4)
форм,
О2 +О2
+О2
-ЦО3
-О2О3
о2 +О2
[ Лс ] =
о
2О3 2О,
2О 2О,
0
2О,
2О]
0
О1, О2, Оз - угловые
0
, с гх - начальные напряже-
ния, полученные с помощью статического уравнения (5) и известного уравнения напряжения (6), с учетом всех действующих сил
[К ]{^}= {ЕЕ}, (5)
И=М№МО). (6)
где [о], [5], {е0} - соответственно матрицы упругости, дифференцирования перемещений и вектор дополнительной деформации, которые описаны детально в работах [1, 2, 4].
скорости элемента вокруг осей местной системы координат (рис. 1).
Подставив (9) или (10) в (7), получим уравнение движения в виде
мй+мс]{§}+([к]+[к0]-|м]){5}=0 , (11)
где [м ] и [Мс ] - матрицы псевдомасс и Кориоли-са, определенные в (9) или (10).
В соответствии с исследованиями, выполненными в работах [1], влиянием Кориолисова ускорения на колебания, т. е. вторым членом в уравнении (11), можно пренебречь.
2. Использование свойств циклическиой симметрии
При анализе динамики роторов турбомашин, рабочие колеса без расстройки обычно рассматриваются как системы с конструктивной циклической симметрией. Это свойство заключается в том, что геометрические, упругие и массовые характеристики в таких структурах повторяются в окружном направлении с определённым интервалом a=2n/N (N - число лопаток). Свойство циклической симметрии позволяет аналитикам снижать вычислительное время на основе анализа одного сектора (рис. 2).
Можно написать уравнение колебаний p-го сектора «диск - лопатки» без демпфирования в матричном виде
[кР -v2Mp J|sp }={fp }, (12)
где Kp, Mp - матрицы жесткости и масс p-го сектора; 8 , f - векторы перемещений и силы p-го сектора.
Используя свойство циклической симметрии, получим отношение векторов перемещений и силы двух соседних секторов как
{8 p+1}= e*{8 p }; {fp+! }= ^{fp, } ц = I § n = ian ,(13)
где i = 4-1 ; p =1, 2, 3, ..., N- число секторов; n - число узловых диаметров и n = 0, 1, ..., N/2 -для четных N и n = 0, 1, ..., (N - 1)/2 - для нечетных N.
Из (12) и (13) получим уравнение частоты n-го сектора в зависимости от числа узловых диаметров «п» и узловых окружностей «m» как (см. [3])
[к 0-ш2м0* J{8 0p }= 0, (14)
* %
где K*, M * - эквивалентные матрицы жесткости и масс p-го сектора при использовании свойств циклической симметрии; 80 - вектор амплитуд
перемещений p-го сектора.
В настоящей работе выполнен расчет влияния вращения на собственные колебания модели «диск - лопатки» с использованием свойств циклической симметрии на основе треугольных ко-
нечных элементов переменной толщины STI218 МКЭ [2, 4].
3. Результаты исследований
Влияние центробежных сил на собственные колебания было исследовано на примере модельного диска с 8 лопатками. Геометрические размеры и характеристики материала рассчитываемой конструкции: внутренний радиус 0,035 м, внешний радиус 0,095 м, толщина диска и лопатки 0,003 м, радиус лопаток 0,155 м, ширина лопатки 0,02 м, модуль упругости материала 2,1-105 МПа, плотность 7800 кг/м3, коэффициент Пуассона 0,3.
Конечноэлементная модель сектора рабочего колеса на основе треугольных конечных элементов переменной толщины STI218 содержит 204 степени свободы, что меньше, чем число степеней свободы полной модели (1344 степени свободы). Конечноэлементная модель показана на рис. 3. Результаты расчета частот собственных колебаний без учета влияния вращения в зависимости от числа узловых диаметров «п» и узловых окружностей <ш» приведены на рис. 2. Для сравнения полученных данных с учетом влияния вращения в таблице 1 и 2 приведены результаты без узловых окружностей и одной узловой окружностью, полученные другими исследователями.
Рис. 3. Конечноэлементная модель «диск - лопатка»
Подобные результаты исследований влияния больших скоростей вращения на собственные колебания системы «диск - лопатки» приведены на рис. 4, 5.
1 2 3
Число узловых диаметров п Рис. 4. График частот собственных колебаний системы «диск - лопатки» без учета влияния вращения
0 12 3 4
Число узловых диаметров п
Рис. 5. График частот собственных колебаний системы «диск - лопатки» при числе окружностей т = 0, т = 1 и т = 2
4. Выводы
Из табл. 1, 2 видно, что численные результаты хорошо согласуются с результатами других исследователей. При увеличении скорости вращения ротора все значения собственной частоты увеличиваются. Изменение жесткости конструкции рабочего колеса турбомашин, обусловленное центробежными силами, оказывает значительное влияние на их динамические характеристики и прочность. Поэтому при проектировании рабочих колес турбомашин для обеспечения их надежной работы необходимо учитывать изменение жесткости конструкции рабочего колеса от центробежных сил. Эти результаты позволяют решать задачи
определения динамических напряжений, повышения прочности на основе собственных частот и форм колебаний, а также задачи вынужденных колебаний рабочего колеса с учетом геометрической нелинейности.
При анализе динамики роторов турбомашин, использование свойств циклической симметрии значительно снижает трудоемкость решения и численные затраты времени на ЭВМ. Однако использование треугольных или трехмерных элементов МКЭ позволяет учитывать модели со сложной геометрией сечения и получать численные результаты с высокой точностью.
Т а б л и ц а 1
Собственные частоты модельного диска с лопатками (Гц) без узловых окружностей
и при различном числе узловых диаметров п при различных угловых скоростях
n Источник Частота вращения диска Q (1/мин)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 Ritz [5] 299 299 302 305 310 316 324
FEARS/S [5] 286 287 289 293 298 305 313
NISA [5] 287 288 290 294 299 306 314
STI218 288 288 289 290 291 293 296
1 Ritz [5] 298 299 301 305 310 316 324
FEARS/S [5] 285 286 288 292 298 304 312
NISA [5] 286 287 290 293 299 306 313
STI218 286 287 288 291 294 298 302
2 Ritz [5] 330 330 332 336 341 347 355
FEARS/S [5] 309 310 312 316 322 329 338
NISA [5] 311 312 314 318 324 331 340
STI218 311 312 314 319 324 331 338
3 Ritz [5] 419 420 422 425 430 436 443
FEARS/S [5] 368 368 371 375 381 388 396
NISA [5] 372 373 375 379 385 392 400
STI218 375 377 381 387 396 406 418
4 Ritz [5] 419 419 422 425 429 435 442
FEARS/S [5] 396 396 399 403 409 416 424
NISA [5] 401 402 404 408 414 421 429
STI218 408 409 415 423 434 448 464
Т а б л и ц а 2
Собственные частоты модельного диска с лопатками (Гц) с одной узловой окружностью
и при различном числе узловых диаметров п при различных угловых скоростях
n Источник Частота вращения диска Q (1/мин)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0 Ritz [5] 1057 1058 1061 1065 1070 1078 1086
FEARS/S [5] 963 964 966 970 975 982 990
NISA [5] 972 973 975 979 984 990 998
STI218 989 989 990 992 994 998 1002
1 Ritz [5] 1067 1068 1071 1075 1080 1088 1097
FEARS/S [5] 969 970 972 976 982 989 997
NISA [5] 977 978 980 984 989 996 1005
STI218 995 996 998 1002 1007 1013 1021
2 Ritz [5] 1133 1134 1136 1141 1146 1154 1163
FEARS/S [5] 1033 1034 1037 1041 1047 1055 1064
NISA [5] 1038 1039 1041 1045 1051 1059 1068
STI218 1057 1058 1062 1068 1076 1086 1098
3 Ritz [5] 1334 1333 1335 1339 1345 1352 1360
FEARS/S [5] 1265 1266 1268 1272 1278 1286 1295
NISA [5] 1263 1263 1266 1270 1276 1283 1292
STI218 1286 1288 1293 1301 1312 1325 1342
4 Ritz [5] 1673 1673 1676 1679 1684 1690 1698
FEARS/S [5] 1698 1699 1701 1705 1711 1719 1728
NISA [5] 1693 1694 1696 1699 1703 1709 1715
STI218 1746 1748 1756 1766 1779 1794 1812
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Борискин О. Ф., Кулибаба В. В., Репецкий О. В. Конечноэлементный анализ колебаний машин. Иркутск : Изд-во ИрГТУ. 1989. 144 с.
2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М. : Мир. 1975. 541 с.
3. Репецкий О. В., До Мань Тунг. Математическое моделирование и численный анализ колебаний идеальных циклически-симметричных систем методом конечных элементов // Известия ИГЭА. 2012. №3. С. 149-153.
4. Репецкий О. В. Компьютерный анализ динамики и прочности турбомашин. Иркутск: Изд-во ИрГТУ. 1999. 301 с.
5. Hohlrieder M. Zur Statischen und Dynamischen Analyse Rotierender Elastischen (Turbinenschau-felen, Verdichter) bei Transienten Betriebsbed-ibgungen: Dis. Kassel. 1994. 202 p.
6. Mikkel Myhre. Numerical Investigation of the Sensitiviry of Forced Response Characteristics of Bladed Disks to Mistuning. Licentiate thesis, KTH, Superseded Departments, Energy Technology, Stockholm. 2003. 97 p.
