Численный анализ свободных колебаний системы «Диск – лопатки» турбомашин с расстройкой на основе модели уменьшенного порядка методом конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 534.1: 539.3 Репецкий Олег Владимирович,

д. т. н., профессор, президент Восточно-Сибирского института экономики и права, e-mail: repetskiy@vsiep.ru

До Мань Тунг,

аспирант кафедры «Информатика и математическое моделирование», Иркутская государственная сельскохозяйственная академия, e-mail: manhtungcvp@yahoo. com

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ «ДИСК - ЛОПАТКИ» ТУРБОМАШИН С РАССТРОЙКОЙ НА ОСНОВЕ МОДЕЛИ УМЕНЬШЕННОГО ПОРЯДКА МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

O. V. Rcpetskiy, Do Manh Tung

TURBOMACHINES MISTUNED DISK-BLADE FREE VIBRATIONS NUMERICAL ANALYSIS ON THE BASIS OF REDUCED-ORDER MODEL BY FINITE ELEMENT METHOD

Аннотация. В статье представлено явление расстройки параметров лопаток на динамике роторов турбомашин. Приведены математическое моделирование и решение задач собственных колебаний системы «диск - лопатки» с расстройкой параметров на основе модели уменьшенного порядка.

Ключевые слова: расстройка, колебание, метод конечных элементов, модель уменьшенного порядка.

Abstract. This paper provides phenomenon of blade parameters mistuning on the turbomachinery dynamics rotors. The authors present the mathematical modeling and the solution of the task of free vibrations of mistuned blades disks on the basis of reduced-order model.

Keywords: mistuning, vibration, finite element method, reduced-order model.

Введение

При анализе динамики роторов турбомашин рабочие колеса рассматриваются как циклически-симметричные системы. Циклическая схема позволяет аналитикам значительно снизить вычислительные затраты на модель одного сектора.

На практике у реальных систем при изготовлении или эксплуатации всегда возникают отличия друг от друга (по массе, геометрии, материалу...). Все эти малые отличия лопаток, так называемая расстройка параметров, нарушают циклическую симметрию. На практике расстройка параметров является случайной величиной. Для этого можно применять статистический анализ, который использует вычисления Монте-Карло. Но этот метод сложно использовать для полной модели системы «диск - лопатки» турбомашин (рис. 1, а).

В этой работе мы представляем методику расчета модели уменьшенного порядка (МУП), чтобы анализировать рабочие колеса с расстройкой на основе одного сектора методом конечных элементов (МКЭ) (рис. 1, б). Мы используем вариант компонента форм колебаний, в котором движение диска изображается конечным элементом форм колебаний диска, а упругое движение лопатки изображается конечным элементом форм колебаний одной неподвижной лопатки на границе между лопаткой и диском. Движение лопатки в связи с диском описывается как суммирование движений диска на границе между лопаткой и диском. Использование методики МУП дает

значительные экономии вычислении, связанных с решением динамического отклика всего расстроенного колеса на основе сокращенной части степеней свободы.

1. Реализация расстройки В этой работе расстройка лопаток моделируется путем изменения эквивалентных жестко-стей Л или изменения собственных частот лопаток, когда они стационарны (собственные частоты консольных лопаток). Эквивалентная расстроенная жесткость к-й формы п-й лопатки представлены в виде [6, 7]

^ = (1 + А/ъ )ЛЪ, (1)

Л1„ = (т,„) =(1 + А/иъ )Л;

м =

К =

ма о

О М;

К, О "

О К,

1®М,

о

1®Кс1

о

о

1®МЬ

о

(2)

А ® В =

апВ

а^В

атВ

апВ

а^В

аЫ2В

ашВ

а2МВ

аыыВ.

включает в себя формы колебаний одной лопатки, защемленной между диском и лопаткой (рис. 2, б).

где Лъ — жесткость к-й настроенной формы колебаний консольной лопатки и А/пъ — расстройка

параметров к-й формы п-й лопатки.

В большинстве опубликованных исследований по расстройке системы диск-лопатки рассмотрены изменения модуля упругости как исходные данные расстроенных лопаток. Если материал каждой лопатки однороден, то расстроенный параметр А/1 в уравнении (1) заменяется значением А/п , которое обозначает изменение номинального модуля упругости.

2. Общая схема моделей уменьшенного порядка

Предположим, что степени свободы упорядочены так, чтобы дать блочно-диагональные формы при сборке матриц масс и жесткости всей конструкции. Они представлены в виде [8, 9, 13]

где I - единичная матрица размера N - число секторов, Мс1, Кс} - матрицы масс и жесткости

одного сектора диска, Мь, Кь - матрицы масс

и жесткости одной лопатки, символ ® обозначает оператор Кронекера:

Свойства оператора Кронекера (А®В)(С®В)=(АС)®(ВВ), (А®Б)"1=Л"1®Б"1 , (А®В)Т=АТ®ВТ. На рис. 2 изображены два основного компонента форм колебаний для модели конечных элементов одного сектора диск-лопатки. Первая часть

41111111

Рис. 2. Компоненты форм одного сектора: а - циклические формы для одного сектора системы «диск - лопатки»; б - нормальные формы одной консольной лопатки

Для колес без полки модальная матрица 5Ъ для N идентичных лопаток является блочно-

диагональной и собрана как / О сУ'. где дь -форма колебаний одной консольной лопатки. Вторая часть представляет собой формы колебаний диска, которые являются циклическими формами полной сборки, где к диску присоединены безмассовые лопатки (рис. 2, а). Часть форм колебаний диска с лопаткой принадлежат степеням свобод лопатки и обозначаются 5", а часть диска — . После совмещения двух частей компонентов форм колебаний получим перемещения всей структуры в виде [10, 11, 12]

Гп

(3)

где а — вектор обобщенных координат диска для

[Т Т Т

а0 ах ... ар , ап — один вектор

обобщенных координат, соответствующих п узловым диаметрам диска, Р — максимальное число гармоник или максимальное число узловых диаметров, Ь — вектор обобщенных координат для

всех N лопаток и Ь = "Ьр Ьр ... ЬрJ , где Ь7 — вектор обобщенных координат 7-й лопатки.

Кинетическая энергия системы может быть написана как [13]

1 р . . р

"О "

X = а +

5Ь

1

+— 2

/ 2 п п

Ми

т=0 Р

/ 2 т т

1 Р Л ... г Р

= -У ата +-ЪТЪ + ЪТЬЬ М, У 5

2/ ' п п Г% о / .1

п=О 2 п=О

+ ±-{уатьАмъЬьЪ + 2(6?," " ь

я-

мь5Л 5Л ыъ5ь

ът 1 4 ъЛ

5ь Мь 5

(4)

1 р , . р

+ —

2 „_„

Её первый дифференциал представлен в виде

р р

К л +5" КЬ5Л

5Л К5ь

5ь К5" В^

ахав (1 + а/)

К

= 0, (11) с/У = УсШ'а +с1Ь'Ь + Ус1Ь'& М^'а + гдс Вс1,аЛ'] ~ блочно-диагональная матрица,

^^ п п ^^ о п п

- диагональная матрица, , Кл - соот-

+Ус/а15<'М15нЬ + УУс/аХМД'а.

п п о п п ® т т

п=0 т=0п=0

Аналогично энергия деформации системы может быть записана как

1 р р и = 1IК ^ } Кл I №т }

1

+ — 2

п=0 т=0

1Т

1К«п +5ьь

п = 0

К

15 "а +5ьь

^^ т т

т=0

=1 УаТК, а +1 ьт5ь К, 5ьь +

/ у п ап п ь

2 п=0 2

+1 ьт 5»тКь ¿5.4 +1 [¿о/ ^ ] Кь5ьь +

ветственно матрица масс и жесткости диска в размере Nmd х Ытс1, когда все формы с матрицей

масс нормированы, т - число форм колебаний диска, , Кь - соответственно матрица масс и жесткости N лопаток в размере Ыть х №тъ, когда все формы с матрицей масс нормированы.

Определение циклических форм колебаний. Матрица, представляющая собой циклические формы колебаний, определена как

п=0 Р

п =0 Р

(6)

& =(Р®1)За

(12)

+ — 2

1 Р г ч Р

1Iи5Лт}КI |5"а }

/-ч / 1 I п п I ь / 1 I т т I

и первый дифференциал представлен как

р

Ли = ±ЛаТК, а + Льт5ь К,5ьь +

/ ^ п ап п ь

где У - реальная матрица Фурье, I - единичная

матрица размера Ы, 3е' - форма колебаний одного сектора в циклических координатах, имеющая блочно-диагональную структуру, определена как

(13)

к=0,...,Р

п=0

где <9/ = + - форма колебаний одного р р 1 +Ус1Ьт5ьТКЪс'а + У с/ат 8й' К §''Ь + (1) сскт0Ра- соответствующая к узловых диаметров,

/ / Ъ п п / / п п Ъ ^ '

соответственно реальная и мнимая

Сг йа

+УУЛаТп5" К,5"а .

/ : / : п п ь т т

т=0п=0

Если применяем принцип Гамильтона

к

^[аи - лт ] & = 0,

¿1

то найдем величины дифференциала

р

5а : а„ + 5(МьУ&'й + ЬС'ТМ,8ЬЬ + К, а -

п п п о ^^ т т по ап п

часть

я? и 7 = >/-1 •

(8)

(9)

]

Матрица Фурье в размере N^N имеет вид

Е = [еи], е^(~-1)к-1), (к, 1=1,...,

где ] = у/—1 и a=2л/N.

Тогда реальные значения матрицы определены в виде

^ =

Лпап-

+ 5& К, 5ьь + 5ЛТК, ±5аа = 0,

п ь п ь ^^ т т '

т=0

56: Ь+^Ьь1мХап + ^Ьь1КъЬ

и=0 и=0 (10)

ахав (1 + А/к) Къь = 0,

к=1,..,тъ

где mb - число форм колебаний консольной лопатки.

Из уравнений (9) и (10) можно написать управление движений в виде матрицы

+ ВШав

п=1,.., N

1 12

\ Ы

1 2

—С N

1 2

—c N

' ' '■/п . ' ' /N

. 2

0

[2-[2-

— 2а

1

1

__1_

1

ИГ

т=0

р

где последний столбец существует только для четных N.

Отметим, что матрица Е и Е являются ортогональными, поэтому Е.ЕР = Е.Ет = I, где I — единичная матрица в размере N.

Из выражений (12) и (13) можно получить форму колебаний в циклических координатах как

5; =-

V NЬ X 52; 1=1

# у п=1 X 52 ¿—1 1.п _ 1=1 _

(7=1, ..., Щ

(16)

где

5

3" =

с1

" ^ (14)

3. Численные результаты модели уменьшенного порядка

Собственные частоты и формы. Эта методика МУП удобна для определения частот и форм собственных колебаний. Для системы «диск — лопатки» без расстройки собственные частоты определены в зависимости от числа узловых диаметров и узловых окружностей. Число узловых диаметров одной формы колебаний нумеруется так, чтобы соответствовать одной фазе между смежными лопатками, определенной как

0 „ = ^ , (п = 0, ..., Р) , (15)

где п — число узловых диаметров и N - число лопатки в системе.

Евклидова норма перемещений. Форма колебания выражена скалярной величиной, называющейся формой относительных перемещений

лопаток 5г . Эта норма перемещений для 7-й лопатки определена как

— перемещение ]-й степени свободы 7-й

лопатки, NЬ — число степеней свободы одной лопатки и N — число лопаток в системе.

Тестовый пример. В качестве примера рассмотрим модельное рабочее колесо, содержащее 24 лопатки. Геометрические размеры и характеристики материала рассчитываемой конструкции: внутренний радиус 0,0135 м, внешний радиус 0,06 м, толщина диска и лопатки 0,002 м, длина лопатки 0,036 м, ширина лопатки 0,012 м, модуль упругости материала 210 ГПа, плотность 7850 кг/м3, коэффициент Пуассона 0,3.

Расстройка параметров. Мы строим модель конечных элементов полной конструкции, у которой один сектор изображен на рис. 1, б. Расстройка вводится путем изменения модуля упругости лопаток. Тогда модуль упругости 7-й лопатки определен как

Е =(1 + А/) Ео , (17)

где Е0 — модуль упругости лопатки без расстойки, А/ — параметр расстройки 7-й лопатки. Параметры

расстройки лопаток приведены в табл. 1.

Конечноэлементная модель сектора рабочего колеса на основе треугольных конечных элементов 8Т1218 [1, 2, 3, 4] содержит 174 степени свободы и показана на рис. 3. Результаты расчета частот и форм собственных колебаний системы «диск — лопатки» без расстройки приведены на рис. 4, 5 в виде частотной диаграммы и в табл. 2.

Подобные результаты исследований колеба-

Т а б л и ц а 1

Лопатка 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Д£ (%) -0,52 -1,87 -1,82 -0,39 -5,01 -0,85 1,42 7,62 2,93 2,72 2,77 -4,92

Лопатка 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Д£ (%) -8,07 -4,91 5,93 -6,92 -0,41 0,43 1,84 -5,47 2,39 3,81 4,11 3,92

Рис. 3. Конечноэлементная модель Рис. 4. График частот собственных колебаний диск-лопатки

рабочего колеса без расстройки

ний рабочего колеса с расстройкой параметров по собственным частотам и евклидовым нормам перемещений лопаток приведены в табл. 3 и на рис. 6, 7.

Рис. 5. График форм колебаний системы «диск - лопатки» без расстройки

Т а б л и ц а 2

Сопоставление расчетных и экспериментальных значений частот собственных колебаний модельного

диска без расстойки [1, 2]

п т = 0 т = 1 т = 2

МКЭ эксп. М (%) МКЭ эксп. М (%) МКЭ эксп. М (%)

0 267 265 0,57 1497 1386 8 2764 - -

1 261 210 24 1559 1362 14 4624 4281 8

2 329 340 -3,3 1780 1723 3,3 5089 4950 4,9

3 504 501 0,6 2200 2109 4,3 5880 5820 1

4 685 681 0,6 2781 2714 2,5 6980 6812 2,5

5 828 803 3,1 3437 3452 -0,4 7850 7021 11

6 934 922 1,3 4100 4102 0 7864 - -

7 1012 938 7,9 4727 4738 -0,2 7832 - -

8 1067 961 11 5282 5112 3,3 7787 - -

9 1106 1008 9,7 5743 5513 4,2 7731 - -

10 1132 1027 10 6094 5983 1,86 7671 - -

11 1147 1030 11 6318 6212 1,71 7620 - -

12 1151 1032 11,5 6397 6221 2,83 7599 - -

Т а б л и ц а 3

Собственные частоты колебаний модельного диска с расстойкой

Число форм 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Частоты кол-ний Без р-ки 261,4 266,5 328,6 504 685 828 934,4

С р-кой 261,2 261,5 266,6 328,6 328,8 503,8 504,5 684,4 685,3 827,3 828 932,4

Число Форм 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Частоты кол-ний Без р-ки ¡934,4 II 1011,8 1 1 1067,41 1 1106,4 1 11321 1 1146,6 1151,4

С р-кой 934,8 1010,2 1011,2 1063 1068 1102 1109 1127 1131,2 1141 1155 1156,9

9000 8000 =г 7000

.а

I-

о к о (О

3" ф

л

X

х

О)

ш

р

о ю о О

6000 5000 4000 3000 2000 1000

еГ ф 2

Колебания с 1 расстройкой 1

1 ;

; ;

; •

1 1

10 20 30 40 50 60

Число форм колебаний

70

80

90

Рис. 6. График собственных частот рабочего колеса с расстройкой параметров

а) — Без расстрш ки 1559 (Гц)

10 15

Число лопаток

В) - С расстрой кой 1554 (Гц)

10 15

Число лопаток

Рис. 7. График евклидовой нормы перемещений лопаток, соответствующей собственным расстроенным частотам

Вывод

В данной работе даны частоты собственных колебаний системы «диск - лопатки» без расстройки (табл. 2) и с расстройкой (рис. 6, табл. 3). На графике частот собственных колебаний системы «диск - лопатки» без расстройки возникают поворотные зоны частот (рис. 4). В этих зонах, когда рассматриваем собственные колебания диск-лопатки с маленькой расстройкой, евклидова норма перемещений лопаток значительно изменяется (рис. 7, б, г). Эти результаты позволяют решать задачи вынужденных колебаний и повышений прочности рабочих колес с расстройкой при проектировании.

Представленная методика создает ещё один систематический подход к разработке МУП, который является типичным для промышленных газотурбинных роторов. Показаны снижение трудоемкости, численных затрат времени на ЭВМ и результаты в сравнении с моделями роторов, имеющих большой порядок.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Борискин О. Ф. Суперэлементный расчет циклически симметричных систем. Калуга: Эйдос, 1999. 230с.

2. Борискин О. Ф., Кулибаба В. В., Репецкий О. В. Конечноэлементный анализ колебаний машин. Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 1989. 144 с.

3. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М. : Мир, 1975. 541 с.

4. Репецкий О. В. Компьютерный анализ динамики и прочности турбомашин. Иркутск : Изд-во ИрГТУ, 1999. 301 с.

5. Репецкий О. В., До Мань Тунг. Математическое моделирование и численный анализ колебаний идеальных циклически-

симметричных систем методом конечных элементов // Известия ИГЭА. 2012. №3. С. 149-153.

6. Bladh J.R., Castanier M.P., Pierre C. Component-Mode-Based Reduced Order Modeling Techniques for Mistuned Bladed Disks - Part I: Theoretical Models // Journal of Engineering for Gas turbines and Power. January 2001. Vol. 123. № 8. P. 89-99.

7. Bladh J.R., Castanier M.P., Pierre C. Component-Mode-Based Reduced Order Modeling Techniques for Mistuned Bladed Disks - Part II: Application // Journal of Engineering for Gas turbines and Power. January 2001. Vol. 123. № 8. P. 100-108.

8. Bladh J R., Castanier M.P., Pierre C., Kruse M.J. Dynamic Response Predictions for a Mistuned Industrial Turbomachinery Rotor using Reduced-order modeling // Journal of Engineering for Gas turbines and Power. April 2002. №4. P. 311-323.

9. Bladh J R., Castanier M.P., Pierre C. Reduced Order Modeling and Vibration Analysis of Mistuned Bladed Disk Assemblies with Shrouds // Journal of Engineering for Gas turbines and Power. July 1999. Vol. 121. № 7. P. 515-522.

10. Craig R.R., Mervyn C.C., Bampton. Coupling of Substructures for Dynamic Analyses // Journal AIAA. 1968. № 7. P. 1313-1319.

11. Fortescue C.L. Method of Symmetrical Coordinates Applied to the Solution of Poly Phase Networks // In transactions of the American institute of electrical engineers. 1918. vol 37. P. 1027-115.

12. Hurty W.C. Dynamic Analysis of Structural Systems using Component Modes // Journal AIAA. 1965. № 4. P. 678-685.

13. Ottarsson G.A. Reduced-order Modeling Technique for Mistuned Bladed Disks// Journal of vibration anh acoustics. 1997. № 3. P. 439-447.