Анализ влияния расстройки параметров на колебания рабочих колес турбомашин на основе пружинно-массовой модели Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Рис. 10. Оптимальный вариант устройства в открытом состоянии

Оптимальные параметры устройства, полученные в результате моделирования:

1. Межосевое расстояние запорного органа и проходной трубы 10 мм.

Рис. 11. Оптимальный вариант устройства в закрытом состоянии

2. Диаметр запорного органа РУ250 мм.

3. Длина запорного органа 350 мм.

4. Толщина эластичной части 9 мм. С помощью параметрического моделирования

можно на порядки сократить время, затрачиваемое на получение моделей, кроме того, оно дает возможность применения методов оптимизации на этапе численного моделирования.

Библиографический список

Таким образом, построена параметрическая модель запорного устройства, на базе которой проведен ряд виртуальных исследований. Удалось определить значения основных конструктивных параметров устройства, которые обеспечивают его работоспособность.

Полученные значения заложены при проектировании опытно-промышленного образца.

1. Эластичные механизмы и конструкции: монография / Шихирин В.Н [и др]. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2006. 287 с.

2. Кольцов В.П., Попова Е.С., Герасимова Е.О. Трубопроводная арматура нового поколения // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2011. №9. С.27-31.

3. Патент РФ № 2376519 МПК3кл. F16K 7/07, 27/00. Запорное устройство для перекрытия трубопроводов / Кольцов В.П., Бухвалов А.В., Куницын А.Г. 0публ.20.12.2009. Бюл. №

35. С.7. 4. Учебные ресурс] //

пособия по Autodesk Inventor [Электронный Параметры: [сайт]. [2012]. URL: http://http://wikihelp.autodesk.com/Inventor/rus/2012/Help/2144-Учебные_2144/2145-Учебные_2145/2310-Параметр_2310.Мт (дата обращения: 03.07.2013). 5. Инженерные расчёты механических конструкций в системе MSC.Patran-Nastran: учеб. пособие / Е.К. Рыбников [и др.]. М., 2003. Ч.1. 130 с.

УДК 534.1: 539.3

АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ РАССТРОЙКИ ПАРАМЕТРОВ НА КОЛЕБАНИЯ РАБОЧИХ КОЛЕС ТУРБОМАШИН НА ОСНОВЕ ПРУЖИННО-МАССОВОЙ МОДЕЛИ

© О.В. Репецкий1, До Мань Тунг2

1Восточно-Сибирский институт экономики и права, 664050, Россия, г. Иркутск, ул. Байкальская, 258А. 2Иркутская государственная сельскохозяйственная академия, 664038, Россия, Иркутская обл., п. Молодежный, 233а.

В исследовании колебаний машин самой популярной моделью является пружинно-массовая модель. Мы можем использовать эту модель для анализа колебания системы диск-лопатки турбомашин, а также влияния расстройки на колебания системы диск-лопатки. Для этой модели легко построить математическое описание, но трудно определить эквивалентные параметры (массу, жесткость лопатки и диска). В статье дан метод определения параметров модели и приведены математическое моделирование и решение задачи колебаний системы диск-лопатки с расстройкой параметров на основе пружинно-массовой модели. Ил. 6. Табл. 4. Библиогр. 7 назв.

Ключевые слова: расстройка; колебания; рабочие колеса; турбомашины; пружинно-массовая модель.

1Репецкий Олег Владимирович, доктор технических наук, профессор, президент Восточно-Сибирского института экономики и права, тел.: (3952) 357144, e-mail: [email protected]

Rеpetsky Oleg, Doctor of technical sciences, Professor, President of the East Siberian Institute of Economics and Law, tel.: (3952) 357144, e-mail: [email protected]

2До Мань Тунг, аспирант, тел.: 79248220283, e-mail: [email protected]

Do Manh Tung, Postgraduate, tel.: 79248220283, e-mail: [email protected]

ANALYZING PARAMETER DETUNING EFFECT ON TURBOMACHINE ROTOR WHEEL VIBRATIONS BASED ON

SPRING-MASS MODEL

O. V. Repetsky, Do Manh Tung

East Siberian Institute of Economics and Law, 258A Baikal St., Irkutsk, 664050, Russia. Irkutsk State Academy of Agriculture, Molodezny Settlement, Irkutsk region, 664038, Russia.

A spring-mass model is the most popular one in the studies of machine vibrations. We can use it to analyze the vibrations of a turbomachine disk-blade system and a detuning effect on the disk-blade system vibrations. It is easy to build a mathematical description for this model, while its equivalent parameters (mass, blade and disk stiffness) are difficult to determine. The article presents a method to determine model parameters and provides the mathematical simulation and the solution of the problem of disk-blade system vibrations with detuned parameters based on the spring-mass model. 6 figures. 4 tables. 7 sources.

Key words: detuning; vibrations; rotor wheels; turbomachines; spring-mass model.

1. Математическое моделирование системы диск-лопатки на основе пружинно-массовой модели

Рис. 1. Моделирование системы диск-лопатки на основе модели «масса-пружины»

На основе модели «масса-пружины», система диск-лопатки турбомашин без расстройки может быть разделена на N одинаковых секторов (рис. 1) [6].

Уравнения движения j-ого сектора имеет вид

Ъ8Ь + cSb + kb(1 + iV%, Sd,)= ДО , (1)

m,

M,

d^d, + kb(1 + ivi^d, ~sb,)+ kdsd, + kc(2^d, -^d,+i -Sd,-i)

= 0,

(2)

где г = 7-1; 8Л}, 8Ь] - перемещения сосредоточенных масс j-ой лопатки и j-ого сектора диска; с - коэффициенты демпфирования; тъ, ЫЛ - соответственно массы лопатки и одного сектора диска; кь, ка, кс- соответственно жесткость лопатки, жесткость одного сектора диска и жесткость связи между секторами диска; () - возбуждающая сила.

Уравнение движения для системы «масса-пружины» может быть записано в матричном виде

М8}+И8}+М{8}={/(0}. (3)

Предположим, что решение {8} существует и имеет такую же формулу {8}={80}е'"' и кьКо! >8^0, ,8ъ0 ,8М ,...,8ъ0 ,8^0 } - вектор амплитуд перемещений сосредоточенных масс лопатки и секторов диска; г = Далее вектор возбуждающих сил представлен как {/(0}={/0;

{/0} = 0,егф,0, ...,ег(й-1)ф,0,...,е'(м-1)ф,0^0 ;

; ф =

2лС

N

C - порядок энергии возбуждений; F0 - коэффициент, не

зависящий от времени. Тогда уравнение (3) может быть записано как

(-ф2 m ] + j4c]+[k fe}={/o},

(4)

где K =

- k*

- k*

kd + 2kc + kb

0 0 .

o - к

-k

-k

** kb kb

00 00

- k*

- kc - kb kd + 2kc + kb

- матрица жесткости системы диск-лопатки

k

0

0

0

ъ

0

0

0

0

0

0

0

k

0

0

Ъ

размером 2Nx2N и к* = кь (1+;

0 0 ... 0 0

м =

Ши

0 мй 0 ... 0 0

0 0 0

Шь 0

0 0 0 ... 0 м

, с =

с 0 0 0

00 00

0 0 .

0 0

00 00

с0 00

- соответственно матрицы масс и демпфирования

системы размером 2Nx2N.

Из уравнения (4) можно получить уравнение равновесия для свободных колебаний системы диск-лопатки без демпфирования:

(-®2[М]+[К]){(50}= 0. (5)

Реализация расстройки. Расстройка лопаток моделируется путем изменения эквивалентной жесткости лопаток кь или изменения собственной частоты лопаток /ь. Тогда расстройка ¡-ой лопатки может быть определена как

Г 2 - {2 / = ы 2ь

кы - кь к

(6)

где Д/ - расстройка ¡-ой лопатки; кь,- жесткость ¡-ой лопатки с расстройкой; кь - жесткость лопатки без рас-

стройки; /ы =^ , / -

соответственно собственная частота колебаний лопатки без расстройки и с

К / Ш ' * / Ш

расстройкой.

2. Определение эквивалентных параметров модели

Определение параметров лопатки [6]. Лопатка может изображаться в виде консольной балки и рассматриваться как одна степень свободы вибратора (рис. 2).

Рис. 2. Моделирование балки на основе модели «масса-пружины»

Уравнение движения изгиба непрерывной консольной балки может быть записано как

,2 (

д_

д 2 х

Е1

д2 х

д 2д

= РА „2

д

(7)

где Е - модуль упругости; А - площадь сечения балки; I- инерционный момент поперечного сечения балки.

Точное решение для собственных частот консольной балки из частного дифференциального уравнения определено в следующем виде:

°п = кп

Е1

, кп = 3,515; 22,03,...

Собственная частота системы «масса-пружины» определена как

,2

к

(8)

(9)

о = —,

Ш

где к и т - эквивалентная жесткость и масса балки.

С помощью анализа между непрерывной балкой и моделью «масса-пружины» находим следующее отношение:

/3

. (10)

2 _ , , 3Е1 _ , 3Е1 /13

°п = = ] п . , Л = ] п

рА1

рА1

3Е1

т =

Из уравнения (10) известно, что кь = ^

рА^ иолло <Т\г\ГЛ\/\Л' '_ /п

- эквивалентная статическая жесткость консольной балки;

/п

-- масса балки; /' = — - коэффициент, который зависит от формы колебаний и граничных условий.

т

Определение параметров диска [6]. Аналогично можно идентифицировать и параметры диска. Диск можно разделить на N одинаковых секторов как N систем «масса-пружины». Математическое моделирование диска на основе модели N «масса-пружины» показано на рис. 3.

Рис. 3. Моделирование диска на основе модели «масса-пружины»

Уравнение частоты системы «масса-пружины» для колебаний одного сектора диска может быть написано в следующем виде:

^ + 2^ I 1 - соб

2т

N

-ю2Ыс, = 0,

(11)

где п - число узловых диаметров; N - число лопаток; kd - эквивалентная статическая жесткость сектора и с -

эквивалентная жесткость связи между секторами диска. Однако основное уравнение движения круглых и кольцевых пластин в полярных координатах может быть написано как [3]:

DД 8 + рdh8 = pd , Eh3

(12)

E - модуль упругости пластины; - толщина

где Д - оператор Лапласа в полярных координатах; D =

12(1 -М2)

пластины; м - коэффициент Пуассона; рЛ - плотность материала; р^ - масса пластины, отнесенная к единице поверхности; 8 - перемещение круглых пластин; pd ^у, - внешняя сила. Частота собственных колебаний круглых и кольцевых пластин имеет вид

Г2 =-

J П

4 gn

D

gn

2т

22 gn

ь4

Pdh

gn

2т

к.

M,

(13)

(2т)2Ь4 Pdh

где gn - параметр частоты, который зависит от формы колебаний, граничных условий пластины и свойства материала.

Жесткость Ke является эквивалентной статической жесткостью сектора и имеет формулу

^ = ^ + 2kc I 1 - соб

2т

N

Из уравнений (13) и (14) мы имеем

/П =1^

2т

2 kd + 2КI 1 - соб

2т

N

ЫЛ

(14)

(15)

Для собственных колебаний круглых пластин значения юп и gn в уравнении (15) получены с помощью проведения экспериментов или метода конечных элементов (МКЭ) с использованием кольцевых элементов [2] или программного комплекса ANSYS. Предполагаем, что масса Md известна, тогда мы используем два значения и , чтобы определить значения kd и kc в уравнении (15). Следует отметить, что жесткость ка является маленьким значением, которое изображает движение твердого тела диска, поэтому для простоты кd может не учитываться, когда вычисляем kc. Это правильно, потому что жесткость kd не влияет на характеристики динамики системы.

Идентификация параметров диска с лопатками [4]. Параметры отдельной лопатки (mb, kb) и отдельного диска (, kd, kc) определены выше, однако для системы диск-лопатки эти параметры должны идентифицироваться. Параметры системы идентифицируются с помощью нескольких экспериментальных собственных частот.

Из характеристик колебания рабочего колеса без расстройки известно, что когда число узловых диаметров увеличивается, то кривая частоты приближается к первой форме колебаний. Эта характеристика является ха-

рактеристикой колебания диска, и изменение кривой частоты зависит от жесткости кс диска, так как жесткость кл маленькая и не влияет на характеристики динамики системы. С помощью изменения жесткости кс другие параметры не изменяются, мы строим график частоты в зависимости от жесткости кс (рис. 4). На графике мы отметим точки Р и Q, соответствующие экспериментальным значениям частоты колебания. Из графика выбираем кривую частоты, которая расположена ближе к точкам Р и Q. Таким образом, мы получили параметры системы диск-лопатки на основе модели «масса-пружины».

Тестовый пример. В качестве примера рассмотрим модельное рабочее колесо, содержащее 24 лопатки. Геометрические размеры и характеристики материала рассчитываемой конструкции: внутренний радиус 0,0135 м; внешний радиус 0,06 м; толщина диска и лопатки 0,002 м; длина лопатки 0,036 м; ширина лопатки 0,012 м; модуль упругости материала 210 Гпа; плотность 7850 кг/м3; коэффициент Пуассона 0,3.

Параметры расстройки лопаток из равномерного распределения со средним значением 0 и стандартным отклонением 5% приведены в табл. 1.

_Таблица 1

Лопатка ДЬ (%) Лопатка ДЬ (%)

1 -0.52 13 -8.07

2 -1.87 14 -4.91

3 -1.82 15 5.93

4 -0.39 16 -6.92

5 -5.01 17 -0.41

6 -0.85 18 0.43

7 1.42 19 1.84

8 7.62 20 -5.47

9 2.93 21 2.39

10 2.72 22 3.81

11 2.77 23 4.11

12 -4.92 24 3.92

Из формулы (4) даны масса и жесткость лопатки: шь =ррА- = 0,00165 ; к, = = 108025. В табл. 2 даны ре/2 1

зультаты собственных частот диска без узловых окружностей и параметр частоты gn с помощью МКЭ и ANSYS.

Таблица 2

п 1 2 3 4 5 6

t (1ц) ДЫ8У8 (8011045) 763 932 1751 3008 4597 6488

МКЭ [2] 765 939.3 1762 3029 4637 6557

gn 2.2 2.7 3.4 4.6 5.8 7.0

лЕ2 р

Из формулы (4) даны масса и жесткости диска: М4 =-— = 0,007; кс0 = 119683 ; ка = 320.

N g2

Число узловых диаметров г

Рис. 4. График частоты первой формы колебаний системы диск-лопатки в зависимости от жесткости кс

Из рис. 4 выбираем жесткость связи диска: кс = 1,3.кс = 155590. Таким образом, мы получили параметры диска с 24-мя лопатками: тъ = 0,00165 ; къ = 108025 ; Ыа = 0,007 ; ка = 320; кс = 155590.

3. Результаты исследований

Используем математическую модель и параметры, приведенные выше, чтобы исследовать собственные колебания и вынужденные колебания диска с 24-мя лопатками без расстройки и с расстройкой. Результаты исследований частот и форм собственных колебаний системы диск-лопатки без расстройки и с расстройкой приведены в табл. 3, 4 и на рис. 5.

Л

£• -2 1924 |

1 -2-1926

—€>-- Перемещение диска -е- о-е-о-е-£>- -©-©--©-< —♦— Перемещение лопаток )--о- -е- -О--©—о- -е-£>--©- о..

| а)

;

10 15

Число лопаток

2.1936 2.1934 2.1932 | 2.193

| 2.1928 |

X 2 1926 ; 2.1924 2.1922 2-192 2-1918

■ —€>-- Перемещение диска —*— Перемещение лопаток

- ©^ ©--©-©-■< ^-е^-о-е-о-н ».--©-©¡¿©г-© -

10 16 20 Число лопаток

_ 2

&

5 1

I

—©-- Перемещение диска —*— Перемещение лопаток

д)

№ Л у \\ и' Л

ч В о

......М... V/

Число лопаток

—е— Пер мещение диска —»— Перем щение лопаток

м м М м м м

; \ II г \\ у \ I 5 в У

¡1 и я

а / 1) ' г/ г г/ п

е)

Число лопаток

Рис. 5. Графики колебаний системы без расстройки (а, б, в) и с расстройкой (г, д, е)

Таблица 3

Собственные частоты модельного диска с лопатками (Гц) без узловых окружностей _и различным числом узловых диаметров_

П 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

f Расчет 347,7 508 653,7 779,6 882.5 961,3 1018 1056 1080 1094 1098

Эксп. [1] 340 501 681 803 922 938 961 1008 1027 1030 1032

Дf (%) 2,2 2,4 -4,0 -2,9 -4,2 2,5 5,9 4,8 5,2 6,2 6,4

Таблица 4

Собственные частоты колебаний модельного диска с расстройкой (Гц)

Число форм 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

f Без р-ки 347,7 508 653,7 779,6 882,5 961,3

С р-кой 347,7 347,8 507,7 508,2 653,1 653,7 778,7 779,2 880 882,2 958 959,5

Число форм 16 17 18 19 20 21 22 23 24

f Без р-ки 1018 1056 1080 1094 1098

С р-кой 1009,4 1017 1048,2 1056 1071 1077 1084,2 1104,8 1107

Максимальная амплитуда перемещений лопаток вынужденных колебаний системы диск-лопатки, соответствующих порядкам энергии возмущения С=5, выражена на рис. 6.

0.02

г

0 018

о

я

0 01«

ч

Г 0 014

О

b 0 012

0.01

^

; 0.008

г

m 0 006

щ 0.004

X

3 0.002

—©— Колебания без расстройки —В— Колебания с расстройкой

|

!

11

п

!

\ J

К } Д f о ia

t#flOB-l

777 5

778

780 5

781

Возбуждающие частоты (Гц)

Рис. 6. График максимальных значений отклика вынужденных колебаний при С=5

Вывод

В данной работе приведен обратный метод для определения параметров рабочего колеса турбомашин на основе пружинно-массовой модели. Этот метод имеет простую математическую модель для исследования влияния расстройки жесткости лопаток на колебания рабочего колеса без расстройки и с расстройкой и даёт результаты расчета с высокой точностью. Использованием этого метода можно исследовать влияние расстройки массы и других параметров лопаток на колебания системы диск-лопатки, а также снижать трудоемкость и численные затраты времени на электронной вычислительной машине.

В табл. 4 и на рис. 5, 6 даны характеристики собственных и вынужденных колебаний системы диск-лопатки турбомашин с расстройкой жесткости лопаток. Для собственных колебаний отклики амплитуд колебаний лопаток системы диск-лопатки с расстройкой не обладают циклической симметрией, в отличие от системы диск-лопатки без расстройки. Особенно для вынужденных колебаний максимальная амплитуда лопаток серьезно изменяется и может повышаться до 20%, в отличие от отклика системы диск-лопатки без расстройки. Эти результаты совпадают с работами, которые опубликованы авторами Ewins D.J.[5], Yiu H. [6], Sanliturk K.Y.[7] и др., и позволяют решать задачи повышения прочности рабочих колес с расстройкой при проектировании.

Библиографический список

1. Борискин О.Ф. Конечноэлементный анализ колебаний машин. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 1989. 144 с.

2. Репецкий О.В. Анализ собственных колебаний круглых пластин с использованием кольцевых элементов // Известия ИГЭА. 2012. №3. С. 149-153.

3. Чижевский К.Г. Расчет круглых и кольцевых пластин. Справочное пособие. Л.: Машиностроение (Ленингр. отд-ние), 1977. 184 с.

4. Afolabi D.H. Vibration of mistuning bladed disc assemblies. Ph.D. Thesis, University of London, 1982. 267 p.

5. Ewins D.J. Vibration characteristics of Balded disc assemblies // Journal of Machanical Engineering Science. 1973. Vol.12. №5. P.165-186.

6. Hoi Yiu. Forced vibration characteristics of mistuned bladed disc assemblies. Ph.D. Thesis, University of London, 1995. 241 p.

7. Sanliturk K.Y. Vibration analysis of mistuned bladed systems. Ph.D. Thesis, University of London, 1992. 187 p.