CC BY
26
ФИЗИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2010. №4. С. 76-81.
УДК 544.344
В. В. Прудников, П. В. Прудников, С. В. Алексеев
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ДЕФЕКТОВ СТРУКТУРЫ НА ДИНАМИКУ ДВУМЕРНОЙ ХУ-МОДЕЛИ В НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ФАЗЕ*
Осуществлено численное исследование влияния замороженных дефектов структуры на медленную динамику двумерной ХУ-модели в низкотемпературной фазе.
Ключевые слова: двумерная ХУ-модель, динамика, дефекты, методы Монте-Карло.
В последние годы исследование систем, характеризующихся медленной динамикой, вызывает значительный интерес как с теоретической, так и с экспериментальной точек зрения. Это обусловлено предсказываемыми и наблюдаемыми в них свойствами старения при медленной эволюции систем из неравновесного начального состояния и нарушениями флуктуационно-диссипативной теоремы [1]. Наряду с известными примерами подобных систем, такими как дипольные, металлические и спиновые стекла, различные аналитические и численные исследования показали, что данные особенности неравновесного поведения могут наблюдаться в различных системах в критической точке или вблизи неё при фазовых переходах второго рода, так как критическая динамика таких систем характеризуется аномально большими временами релаксации. К системам с медленной динамикой относится и двумерная ХУ-модель при температурах ниже и равной температуре ГКт фазового перехода Березинского-Костерлица-Таулеса [2]. В отличие от трехмерных систем среднее значение параметра порядка для двумерных вырожденных систем всегда равно нулю, а дальний порядок отсутствует при любых температурах. Однако при числе компонент параметра порядка п = 2 происходит фазовый переход второго рода, приводящий к появлению в низкотемпературной фазе жесткости системы относительно поперечных флуктуаций. При этом корреляционная функция для параметра порядка характеризуется степенным законом спадания с расстоянием. В работе [3] численными методами нами было выявлено степенное спадание автокорреляционной функции в низкотемпературной фазе и соответствующие этой медленной динамике модели эффекты старения.
Большинство реальных систем содержат дефекты структуры, которые могут оказывать заметное влияние на поведение системы, в том числе и вблизи температуры фазового перехода. Работа Харриса [4], посвященная изучению влияния эффектов «разбавления» спиновых систем немагнитными атомами примеси на их критическое пове-
* Работа поддержана грантами Министерства образования и науки РФ 2.1.1/930 и 2010-1.1-121-011047, грантами РФФИ 10-02-00507, 10-02-00787 и грантом Президента РФ МК-3815.2010.2.
© В.В. Прудников, П.В. Прудников, С.В. Алексеев, 2010
дение, стимулировала большое количество исследований в этой области. Из критерия, сформулированного Харрисом, следовало, что наличие дефектов такого типа может существенно изменить критическое поведение системы, если без их присутствия теплоемкость системы расходилась вблизи критической точки. В противном случае присутствие дефектов не влияет на характеристики системы, за исключением такой неуниверсальной величины, как критическая температура, которая убывает с ростом концентрации дефектов и при пороговой концентрации, соответствующей порогу перколяции системы, обращается в нуль. Согласно критерию Харриса предсказывается, что в двумерной ХУ-модели влияние дефектов структуры оказывается несущественным близи критической температуры Ткт- Однако в низкотемпературной фазе для Т<Ткт, как показали аналитические и численные исследования равновесных свойств модели [5,6], наличие дефектов приводит к изменению значений показателей для равновесной корреляционной функции и к их концентрационной зависимости. Однако динамика структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели до сих пор не исследована.
В данной работе методами компьютерного моделирования исследуется динамика неупорядоченной двумерной ХУ-модели при температурах Т<Ткт при реализации динамики Метрополиса.
Гамильтониан неупорядоченной двумерной ХУ-модели можно записать следующим образом:
Н = -^Р,Р/Ж’ (!)
",]
где 3 > О - обменный интеграл, - плоский классический спин, связанный с г-м узлом двумерной решетки, числа р1 = 1, если в г-м узле решетки находится спин, и р1 =0, если в узле находится немагнитный атом.
При моделировании рассматривалась плоская решетка, содержащая N = Ь2 узлов с линейным размером Ь = 256.
Для численного статистического описания применялся гамильтониан модели в форме
Н = ~'/Т,со^ ~ V:
и ]
с (р^ — углом г-го спина относительно произвольной вертикальной оси.
При реализации алгоритма Метрополиса из созданной некоторой начальной неравновесной спиновой конфигурации системы выбирался случайным образом
узел решетки, занятый спином ,*>. (немагнитные узлы решетки из алгоритма исключались), и осуществлялось пробное изменение его направления на случайный угол из интервала [—7Г, к] в соответствии с соотношением ф' = (р + э[2 к г- к], где г - случайное число, равномерно распределенное в интервале [0, 1], в - число из интервала (0, 1), подбираемое таким образом, чтобы в результате принималось не менее 50 % пробных изменений направления спинов. Затем осуществлялось вычисление изменения энергии системы ДН, обусловленное пробным изменением состояния спина при учете его взаимодействия только с ближайшими спинами. Если при этом ДН < 0, то пробное изменение направления спина принимается, если же ДН > 0, то вычисляется вероятность изменения состояния УУ= ехр(-ДН/Т), сопоставляемое со случайным числом г в интервале (0,1), и если г < W, то пробное изменение направления спина также принимается, в противном случае сохраняется исходная конфигурация. За единицу временного изменения процесса принимается шаг Монте-Карло на спин (МСБ/в), содержащий N случайных выборок спинов системы.
Динамика Метрополиса переворотов отдельных спинов, задаваемая данным алгоритмом, описывает диссипативные процессы в системе, сопровождающиеся релаксацией намагниченности (параметра порядка) из начального неравновесного, отличного от нуля значения к равному нулю для двумерной ХУ модели равновесному значению. Она отражает стохастические процессы динамики спиновых флуктуаций в критической области, описываемых уравнением Ланжевена с несо-храняющимся параметром порядка (динамическая модель А).
Для определения температурной области существования низкотемпературной фазы необходимо определить критическую температуру системы в зависимости от концентрации дефектов Сгтр (ИЛИ СПИНОВОЙ концентрации Р = 1 - С;шр). В
работе [7] приведен способ определения критической температуры системы на основе анализа температурного поведения величины отношения корреляционных функций для решеток с различными линейными размерами Ь. Корреляционная функция задается выражением
С=<М+Д^'+'>- (3)
Тогда отношение корреляционных функций для решеток с различными Ь запишется в виде:
ИОД)]
к =
(4)
где скобки <...> означают статистическое усреднение по прогонкам, а скобки [...] -по различным примесным конфигурациям. Для систем с линейными размерами Ь = 16, 32, 48 нами было осуществлено определение корреляционного отношения
(4) для спиновых концентраций р = 0.8 и р = 0.9. Усреднение проводилось по 10 прогонкам для каждой примесной конфигурации и по 50 примесным конфигурациям после эволюции системы в течение 10000 МСБ/з. Соответствующие графики температурной зависимости данных величин представлены на рис. 1-2. Для удобства графики аппроксимировались прямыми линиями. В данном случае это можно сделать, так как, в отличие от метода кумулянтов Биндера, графики имеют более монотонный вид. При этом сохраняется общая для этих методов характерная особенность, состоящая в том, что положение графиков, соответствующих Ь\ > Ь2, как бы инвертируются после точки пересечения - если до неё кривые ЩЬ]) > ЩЬ2), то после точки перечения -ЩЬ]) < ЩЬ2). Кроме того, кривые также имеют область (треугольник) пересечения в малой окрестности критической температуры.
В табл. 1-2 представлены значения температур пересечения корреляционных отношений для двух спиновых концентраций р = 0.8 и р = 0.9, а в табл. 3 - итоговые критические температуры и их сопоставление с критической температурой однородной системы. Из таблиц видно, что наличие примесей в системе существенно понижает температуру фазового перехода.
Рис. 1. Корреляционные отношения для спиновой концентрации р=0.8
Рис. 2. Корреляционные отношения для спиновой концентрации р = 0.9
Таблица 1 Точки пересечения корреляционных отношений для спиновой концентрации р = 0.8
А А ь
16 - 32 32 - 48 16 - 48 г^осо <^г^со ООО
Таблица 2 Точки пересечения корреляционных отношений для спиновой концентрации р = 0.9
А А Е~ч
16 - 32 32 - 48 16 - 48 0.673 0.692 0.680
Таблица 3 Значения критической температуры для различных спиновых концентраций и однородной системы (р = 1)
Р Е~ч
1 0.893(5)
0.9 0.681(9)
0.8 0.485(5)
Временная автокорреляционная функция неупорядоченной ХУ-модели определяется следующим выражением:
1
(5)
\рЫ ‘
Исследования автокорреляционной функции мы проводили для спиновых концентраций р = 0.8, 0.85, 0.9, 0.95, 0.98 на временах ожидания Ь_и= 1000, Ъи = 10000 и Ъо= 50000 МСБ/в при температурах Т ^ = 0.1 и Т ^ = 0.4. Общее время наблюдения составляло от
30000 МСБ/в до 1000000 МСБ/з. Для каждой температуры Т проводилось усреднение получаемых значений по 100 прогонкам и 100 примесным конфигурациям. На рис. 3 представлены в двойном логарифмическом масштабе графики временной зависимости автокорреляционной функции для слабо неупорядоченной модели с р = 0.98 и однородной модели с р = 1 при температуре Т / J = 0.4 и времени ожидания tw= 1000 МСБ/з. Видно, что даже малая концентрация дефектов существенно меняет динамику системы. Так, для однородной системы поведение автокорреляционной функции характеризуется двухвременной зависимостью для Т< Ткт[8]:
1
\Ч(Т)!2
«-К)
где >](Т) = Т И^р^Т)
(1 + '/02
(6)
неуниверсальныи
критический показатель, р<; - жесткость системы. На временах t — tw « tw автокорреляционная функция ведет себя как:
Жл0~(*-0“7(Г)/2> (7)
в то время как для t — tw » tw :
ДМИ,)~Г';(Г)/4. (8)
В работе [8] нами приведено численное подтверждение данных эффектов старения для однородной модели и, в частности, для Т / J= 0.4 были получены значения показателей для автокорреляционной функции Дд= 0,0389(5) для t-tw«tw=Ш0 МСБ/в и ДА= 0,0206(1) для = 1000 МСБ/в, подтвер-
ждающие зависимости (7) и (8).
Рис. 3. Поведение автокорреляционной функции при температуре Т=0.4 и времени ожидания и=1000 МСв/э: 1 - для неупорядоченной системы с р=0.98, 2 - однородной системы с р=1
Для неупорядоченной системы с р = 0.98 на временах t — /и ~ /и наблюдается замораживание временной зависимости А(1) и лишь на временах t — /и » tw
наблюдается степенное временное спадание А($ с показателем Дд= 0,0409(2). Данное значение показателя оказывается близким к значению показателя однородной системы г|(Т) /2 для времен «I .
М> М>
На рис. 4 в двойном логарифмическом масштабе представлен график полученной нами временной зависимости автокорреляционной функции при температуре Т / J= 0.4 и времени ожидания tw= 10000 МСЭ/в для различных спиновых концентраций. Из графиков видно, что в поведении автокорреляционной функции для данных неупорядоченных систем можно выделить три динамических режима, соответствующих следующим временным интервалам: при
t — tw « tw реализуется начальный режим
замораживания временного поведения автокорреляционной функции, для которого А(^ш) аппроксимируется линейной зависимостью А(^ш) = І-a(^-^lt^), при t — tw » tw осуществляется режим степенной релаксации на больших временах наблюдения с /1(7, /1Г) ~ / ' и при t — tw ~ tw - промежуточный режим кроссоверного поведения.
Рис. 4. Поведение автокорреляционной функции при температуре Т = 0.4, времени ожидания ?№ = 10000 МОЭ/э и различных спиновых концентрациях:
1 -р = 0.8, 2-р = 0.85,
3 - р = 0.9, 4 - р = 0.95
Также из графиков на рис. 4 видно, что с увеличением концентрации дефектов начало степенного режима поведения автокорреляционной функции сдвигается в область больших времен. При этом с ростом концентрации дефектов относительное изменение величины этого временного сдвига уменьшается.
На рис. 5 представлено в двойном логарифмическом масштабе поведение автокорреляционной функции при различных временах ожидания. Видно, что с увеличением времени ожидания ^ процесс степенной релаксации в неупорядоченной двумерной ХУ-модели наступает раньше.
К»
Рис. 5. Поведение автокорреляционной функции при температуре Т = 0.4, времени наблюдения f = 50000 МСв/э, спиновой концентрации р = 0.9 и различных временах ожидания:
1 - ^ = 1000 МСв/э,
2 - ^ = 10000 MCS/s,
3 - ^ = 50000 MCS/s
м.
Рис. 6. Поведение автокорреляционной функции при времени ожидания ^ = 10000, времени наблюдения = 50000 МС/э, различных температур и спиновых концентраций:
1 - Т/Л=0.4, р = 0.95; 2- ТІ и = 0.4, р= 0.9;
3 - Т / J = 0.4, р = 0.85; 4 - Т / J = 0.4, р = 0.8;
5 - Т / J = 0.1, р = 0.95; 6 - Т / J = 0.1, p = 0.9;
7 - Т / J = 0.1, р = 0.85; 8 - Т / J = 0.1, р = 0.8
На рис. 6 представлены в двойном логарифмическом масштабе кривые временных зависимостей автокорреляционной функции при температурах Т / J = 0.1 и Г / 1/= 0.4 для всех рассмотренных нами спиновых концентраций. Из приведенных графиков видно, что увеличение температуры заметно сокращает длительность начального интервала замораживания в поведении автокорреляционной функции, приводя к заметно более раннему началу режима степенной релаксации, и существенно увеличивает значения показателя Дл(Т,р). Увеличение концентрации дефектов приводит также к увеличению значений показателя Дд(Т,р), хотя концентрационное влияние на Дд(Т,р) значительно слабее температурного.
В работе [6] для структурно неупорядоченной двумерной ХУ-модели с малой концентрацией дефектов был проведен расчет показателя степенного убывания с расстоянием равновесной корреляционной функции С(г-г') с применением теории возмущения:
С (г -г') ~\ г — 7*'рЛс (9)
с использованием показателя Дс = г|риге(Т) = = Т / 2ш1 для однородной модели при достаточно низких температурах, считая жесткость системы />;« 1. Влияние дефектов было представлено в виде корректирующего множителя Дс= г]ітр(Т,р) = г\уМГ,(Т)а(р) с а(р), вычисленного в виде ряда по малой концентрации дефектов Сітр= 1 - р « 1 и
имеющего вид а(р) » (1 + 2.73(1 - р) + + 1.27(1 -рП
В отличие от работы [5], в которой влияние дефектов интерпретировалось через увеличение эффективной температуры системы с ростом их концентрации, физически более правильно влияние дефектов определять через их воздествие на величину жесткости системы, вводя для неупорядоченной модели показатель Дс= г]1тр(Т,р) = Т / 2тирв{Т,р) и считая, что с ростом концентрации дефектов жесткость системы уменьшается. В работе [9] нами было осуществлено численное определение для однородной модели температурного поведения жесткости системы />; (Т,р = 1), которое показало монотонное убывание (>; с повышением температуры от /*з = 0.987(18) при Т = 0.1 до /*з = 0.558(38) при критической температуре Т = Ткт ~ 0.89. Отметим, что ре = 0 при Т > Ткт.
В табл. 4 приведены рассчитанные значения показателя Дс для автокорреляционной функции на временах t — tw » tw для различных спиновых концентраций р и температур Т / J= 0.1 и Т / J= 0.4. Данные значения подтверждают выявленную тенденцию влияния температуры и концентрации дефектов на характер степенной релаксации двумерной ХУ-модели в низкотемпературной фазе на больших временах наблюдения.
Таблица 4
Значения показателя автокорреляционной функции Дс для различных спиновых концентраций р
на временах t — tw » ^
T/J=0.1 T/J=0.4
p=0.8 0.0130(3) 0.0527(3)
p=0.85 0.0118(2) 0.0494(3)
p=0.9 0.0106(2) 0.0443(2)
p=0.95 0.0101(1) 0.0425(2)
В заключение отметим, что в данной работе впервые было выявлено, что динамика неупорядоченной двумерной ХУ-модели существенно отличается от динамики однородной модели, исследованной в работе [3]. В поведении автокорреляционной функции модели было выделено три различных динамических
режима: режим замораживания при
t — tw «tw, на котором временное поведение автокорреляционной функции A(t,tw) аппроксимируется линейной зависимостью A(t,tw) = 1 — a(t—tw), режим степенной релаксации с A(t,tw) ~ t Аа при t — tw »tw и промежуточный режим кроссоверного поведения при t — tw ~ tw.
Режим замораживания связан с эффектами локализации пар вихрь-антивихрь на дефектах структуры и замедлении спиновой диффузии на временах, удовлетворяющих неравенству 1л\/й RimP, где ldif~ (PJps(t - tw))1!2, Г - кинетический коэффициент СПИНОВОЙ диффузии, Rimp -среднее расстояние между дефектами. При степенном режиме релаксации показатель Дс характеризуется сильной температурной зависимостью Дс = Т / 2 mJps( Т,р) и более слабой концентрационной зависимостью жесткости системы />;.
Численные исследования были проведены с привлечением ресурсов СКИФ МГУ «Чебышев» и Межведомственного супер-компьютерного центра РАН.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Calabrese P., Gambassi A. // J. Phys. A. 2005. V. 38. P. R133.
[2] Lei X. W, Zheng B. Short-time critical dynamics and ageing phenomena in two-dimensional XY model // Phys. Rev. E. 2007. V. 75. P. 040104.
[3] Прудников В. В., Прудников П. В., Алексеев С. В. Исследование эффектов старения в двумерной XY-модели // Вестник Омского гос-университета. 2010. № 2. С. 55-58.
[4] Harris А. В. // J. Phys. С. 1974. V. 7. Р. 1671.
[5] Berche B., Farinas-Sanchez A. I., Holovatch Yu., Paredes R. // Eur. Phys. J. B. 2003. V. 36. P. 91.
[6] Kapikranian O., Berche B., Holovatch Yu. // e-print. 2006. arXiv:cond-mat / 0611712.
[7] Tomita Y, Okabe Y. // Phys.Rev. B. 2002. V. 65. P. 184405.
[8] Berthier L., Holdsworth P.C.W., Sellitto M. Non-equlibrium critical dynamics of the twodimensional XY model // J. Phys. A. 2001. V. 34. P. 1805.
[9] Прудников В. В., Прудников П. В., Алексеев С. В. Исследование температурной зависимости поперечной жесткости системы в двумерной XY-модели // Вестник Омского госуни-верситета. 2010. № 2. С. 83-86.
