Исследование температурной зависимости поперечной жесткости системы в двумерной XY-модели Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестн. Ом. ун-та. 2010. № 2. С. 83-86.

УДК 544.344

В. В. Прудников, П. В. Прудников, С. В. Алексеев

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ПОПЕРЕЧНОЙ ЖЕСТКОСТИ СИСТЕМЫ В ДВУМЕРНОЙ ХУ-МОДЕЛИ*

Проведено численное исследование температурной зависимости поперечной жесткости системы в двумерной ХУ-модели методами Монте-Карло.

Л Лг\ тт'ту^-Т/* о-

іето ды м Монте- Ко^^додерецнад^^^^^^^вумерная ^Х^У-мо-

дель.

В последние годы исследование систем, характеризующихся медленной динамикой, вызывает значительный интерес как с теоретической, так и экспериментальной точек зрения. Это обусловлено предсказываемыми и наблюдаемыми в них свойствами старения при медленной эволюции систем из неравновесного начального состояния и нарушениями флуктуационно-диссипативной теоремы [1]. Хорошо известными примерами подобных систем с медленной динамикой и эффектами старения являются такие комплексные неупорядоченные системы как стекла: дипольные, металлические и спиновые стекла. Однако данные особенности неравновесного поведения как показали различные аналитические и численные исследования могут наблюдаться и в структурно однородных системах в критической точке или вблизи нее при фазовых переходах второго рода, так как критическая динамика таких систем характеризуется аномально большими временами релаксации. К системам с медленной динамикой относится и двумерная ХУ-модель при температурах ниже и равной температуре 7кт фазового перехода Березинского-Костерлица-Таулеса [2]. В отличие от трехмерных систем среднее значение параметра порядка для двумерной вырожденной системы всегда равно нулю, а дальний порядок отсутствует при любых температурах. Однако при числе компонент параметра порядка п=2 происходит фазовый переход, приводящий к появлению в низкотемпературной фазе жесткости системы относительно поперечных флуктуаций. Другими словами, коррелятор параметра порядка на больших расстояниях переходит от экспоненциального спадания при высоких температурах к степенному спаданию при низких. При этом корреляционная длина становится беско-

* Работа поддержана грантами 2.1.1/930 программы "Развитие научного потенциала высшей школы" и 2010-1.1121-011-047 программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" и грантом Президента РФ МК-3815.2010.2.

Численные исследования были проведены с привлечением ресурсов СКИФ МГУ «Чебышев» и Межведомственного суперкомпьютерного центра РАН.

нечной и мырованных систем. В работе [3] в пренебрежении эффектами взаимо-имеем классдействия вихрей осуществлено аналитическое описание неравновес-сильно коррели-ного поведения двумерной ХУ-

модели в низкотемпературной фазе и проведено вычисление временной корреляционной функции. Предсказывается следующее неуниверсальное асимптотическое степенное поведение для корреляционной и автокорреляционной функций:

С (х - х')~(х - х')—2А , (1)

А(ї — ї') ~ (ї — ї') , (2)

где показатель

А = Т /(4пр (Т)) (3)

непрерывно зависит от температуры. Кроме того, в критической точке поведение корреляционной функции

С (х — х')~(х — х')— (4)

определяется критическим индексом Фишера п = 1/4.

В данной работе методами компьютерного моделирования исследуется температурная зависимость жесткости системы в двумерной ХУ-модели при температурах Т<Ткт при реализации динамики Метрополиса.

Гамильтониан двумерной ХУ-модели можно записать следующим образом:

Н = -1ЕЩ. (5)

І,І

где Л>0 - обменный интеграл, « - плоский классический спин, связанный с г-м узлом двумерной решетки. Рассматривалась плоская решетка, содержащая Ы=Ь2 узлов с линейным размером Ь=256.

Для численного статистического описания применялся гамильтониан модели в форме:

Н = — 1 £ С08(р, — (р}) (6)

І. І

с фі - углом г-го спина относительно произвольной вертикальной оси.

При реализации алгоритма Метрополиса из созданной некоторой начальной неравновесной спиновой конфигурации системы выбирался случайным образом

спин « и осуществлялось пробное изменение его направления на случайный угол из интервала [-ге, ге] в соответствии с соотношением ф'= ф +Б[2ге г- ге]$, где г - случайное число, равномерно распределенное в интервале [0, 1], 8 - число из интервала (0, 1), подбираемое таким образом, чтобы в результате принималось не менее 50 % пробных изменений направления спинов. Затем осуществлялось вычисление изменения энергии системы ДИ, обусловленное пробным изменением состояния спина при учете его взаимодействия только с ближайшими спинами. Если при этом ДИ < 0, то пробное изменение направления спина принимается, если же ДИ > 0, то вычисляется вероятность изменения состояния W=exp(-ДH/T), сопоставляемое со случайным числом г в интервале (0,1), и если г < W, то пробное изменение направления спина также принимается, в противном случае сохраняется исходная конфигурация. За единицу временного изменения процесса принимается шаг Монте-Карло на спин (МСБ/б), содержащий N случайных выборок спинов системы.

Динамика Метрополиса переворотов отдельных спинов, задаваемая данным алгоритмом, описывает диссипативные процессы в системе, сопровождающиеся релаксацией намагниченности (параметра порядка) из начального неравновесного отличного от нуля значения к равному нулю для двумерной ХУ-модели равновесному значению. Она отражает стохастические процессы динамики спиновых флуктуаций в критической области, описываемых уравнением Ланжевена с несо-храняющимся параметром порядка (динамическая модель А).

Гамильтониан модели с учетом ангармонических вкладов безвихревых флуктуаций параметра порядка может быть записан в виде:

Н =Ру Е (Р( х + а) — р( х))2’ (7)

2 х,а

* Работа поддержана грантами 2.1.1/930 программы «Развитие научного потенциала высшей школы» и 02.740.11.0541 программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», грантами РФФИ 10-0200507, 10-02-00787 и грантом Президента РФ МК-3815.2010.2.

86

В. В. Прудников, П. В. Прудников, С. В. Алексеев

где а - постоянная решетки, рр - поперечная жесткость системы, которая определяется самосогласованным уравнением

[4]:

Р* = Т /41Р*) . (8)

Данное уравнение определяет температурную зависимость жесткости системні. При Т=0 величина рр = 1. При Т > ТКТ

существует лишь решение рр = 0. Метод

самосогласования приводит к выводу, что в точке фазового перехода Березинского-Костерлица-Таулесса жесткость системы принимает конечное значение [4].

В данной работе был осуществлен расчет жескости системы, находящейся в состоянии равновесия. Для моделирования использовалась плоская решетка с линейным размером Ь=256. Системе задавался старт из начального полностью упорядоченного состояния с одинаково ориентированными спинами. Из этого состояния системе предоставлялась возможность свободно эволюционировать во времени в соответствии с алгоритмом Метрополиса в течение времени 20 000 МСБ/б, после чего проводились измерения величины рр. Для получения значений жесткости системы использовалось следующее выражение:

4 — 1Е ^Рі —Рі)

0,0 0.2 0.4 0,6 0.8 1,0

1

Температурная зависимость жесткости системы

Температурная зависимость жесткости системы была иссследована в температурном интервале от Т/^=0.1 до Ткт/^“0.89 [5] с шагом АТ/^0.1. Для каж-

дой температуры Т проводилось усреднение получаемых значений по 100 прогонкам.

На рис. представлен график полученной нами температурной зависимости для

Р . На графике видно, что при критической температуре величина жескости системы р принимает ненулевое значение.

Кроме того, полученный график имеет вид, согласующийся с графиком аналогичной температурной зависимости, полученной в работе [4] из решения самосогласованного уравнения (8). В табл. 1 представлены полученные значения жесткости системы Р для всех исследуемых температур.

Т а б л и ц а 1 Значения жесткости системы

Т /1 Рр

0,1 0,987(18)

0,2 0,974(14)

0,3 0,959(21)

0,4 0,943(27)

0,5 0,921(29)

0,6 0,887(30)

0,7 0,818(28)

0,8 0,698(32)

0,89 0,558(38)

Для проверки теоретических предсказаний работы [3] будем сопоставлять значения показателя Др, полученные нами на основе определения р (Т) и ее подстановки в выражение (3) для Д, с показателями координатной зависимости корреляционной функции (1) и временной зависимости автокорреляционной функции (2), также полученными нами при компьютерном моделировании неравновесного поведения двумерной ХУ-модели в рамках динамики Метрополиса.

Т а б л и ц а 2

Сравнение показателей Др, полученных путем измерения жесткости системы, и ДА при измерении временной зависимости

автоко рреляционной функции

Т /1 Др Да

0,1 0,0081(2) 0,0096(2)

0,2 0,0164(2) 0,0190(3)

0,3 0,0249(5) 0,0287(4)

0,4 0,0338(10) 0,0389(5)

Исследование температурной зависисмости...

87

0,5 0,0432(13) 0,0499(6)

0,6 0,0539(18) 0,0620(6)

0,7 0,0681(23) 0,0759(7)

0,8 0,0912(41) 0,0931(8)

0,89 0,1270(86) 0,1164(9)

Автокорреляционная функция системы определяется следующим выражением:

- о = N 2 S (t )S (С). (10)

Для решетки с линейным размером L=256 было проведено усреднение по 6 000 прогонкам для каждой исследуемой температуры на интервале времени [0;1000] MCS/s. В табл. 2 представлены полученные значения показателей ДА для всех исследуемых температур при сравнении с аналогичными показателями Др.

Сопоставление полученных значений показателей Да и Др, представленных в табл.2, показывает, что наблюдаемое их численное несоответствие превышает пределы статистических погрешностей их определения. Мы связываем это с недостаточной статистикой определения показателей для автокорреляционной функции.

Как показано в работе [6], показатель для статической корреляционной функции C(x-x') эффективнее всего определять при исследовании размерной зависимости среднего квадрата намагниченности системы:

< m 2(T, L) >~ L-2A. (11)

Измерения проводились на решетках с линейными размерами L=4, 8, 16, 32, 64 в низкотемпературной фазе вплоть до критической температуры. Полученные численные значения показателя 2Д, отражающие его температурную зависимость, со статистическими погрешностями их определения приведены в табл. 3 в сравнении с аналогичными показателями Др,

полученными с помощью величины р . В

критической точке Ткт/^=0.89 для показателя получено значение п=0.248(4), что в пределах погрешности хорошо согласуется с точным теоретическим значением

П=1/4.

Т а б л и ц а 3

Сравнение значений показателя 2Дс, полученных путем измерения температурной зависимости корреляционной функции, и показателя 2Др при измерении жесткости системы

T / J 2Дс 2Др

0,1 0,0161(6) 0,0162(4)

0,2 0,0334(5) 0,0328(4)

0,3 0,0522(4) 0,0498(10)

0,4 0,0716(6) 0,0676(20)

0,5 0,0938(7) 0,0864(26)

0,6 0,1161(10) 0,1078(36)

0,7 0,1456(11) 0,1362(46)

0,8 0,1805(10) 0,1824(82)

0,89 0,2480(40) 0,254(172)

Сопоставление полученных значений показателей 2Дс и 2Др, представленных в табл. 3, показывает их хорошее соответствие в пределах статистических погрешностей их определения.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Calabrese P., Gambassi A. // J. Phys. A. 2005. V. 38. P. R133.

[2] Lei X. W, Zheng B. Short-time critical dynamics

and ageing phenomena in two-dimensional XY model // Phys. Rev. E. 2007. V. 75. P. 040104.

[3] Prudnikov V. V., Teitelbaum G. B. Non-universal

dynamic scaling in two-dimensional degenerate systems // Phys. Lett. A. 1977. V. 63. P. 1-3.

[4] Покровский В. Л., Уймин Г. В. Магнитные свой-

ства плоских и слоистых систем // ЖЭТФ. 1973. Т. 65. № 4. С. 1691-1703.

[5] Gupta R, Baillie C. F. // Phys. Rev. B. 1992. V. 45.

P. 2883.

[6] Binder K., Landay D. P. Critical properties of the

two-dimensional anisotropic Heisenberg model // Phys. Rev. B. 1976. V. 13. P. 1140.