Исследование эффектов старения в двумерной XY-модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2010. № 2. С. 55-58.

УДК 544.344

В. В. Прудников, П. В. Прудников, С. В. Алексеев

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТОВ СТАРЕНИЯ В ДВУМЕРНОЙ ХУ-МОДЕЛИ *

Проведено численное исследование явления старения в двумерной ХУ-модели при низких температурах при моделировании из упорядоченного состояния. Проведен расчет двухвременной корреляционной и спин-спиновой корреляционной функций.

Ключевые слова: методы Монте-Карло, эффекты старения, двумерная ХУ-модель.

В последние годы исследование систем, характеризующихся медленной динамикой, вызывает значительный интерес как с теоретической, так и экспериментальной точек зрения. Это обусловлено предсказываемыми и наблюдаемыми в них свойствами старения при медленной эволюции систем из неравновесного начального состояния и нарушениями флуктуационно-диссипативной теоремы [1]. Хорошо известными примерами подобных систем с медленной динамикой и эффектами старения являются такие комплексные неупорядоченные системы как стекла: дипольные, металлические и спиновые стекла. Однако данные особенности неравновесного поведения, как показали различные аналитические и численные исследования, могут наблюдаться и в структурно однородных системах в критической точке или вблизи нее при фазовых переходах второго рода, так как критическая динамика таких систем характеризуется аномально большими временами релаксации. К системам с медленной динамикой относится и двумерная ХУ-модель при температурах ниже и равной температуре Ткт фазового перехода Березинского-Костерлица-Таулеса [2]. Под процессом старения материалов понимают явление роста времени релаксации системы к состоянию равновесия с увеличением «возраста» материала, т. е. времени прошедшего после приготовления образца [3]. Явление старения проявляется математически прежде всего в двухвременных характеристиках системы, таких как корреляционные функции и функции отклика. При неравновесных процессах эти функции зависят от двух переменных временной природы: t и ^ , при t>tw, и не только от их разницы, но и от каждой в отдельности. Причем эта зависимость сохраняется и при достаточно больших временах наблюдения t. Временная переменная tw характеризует возраст образца, т. е. время, прошедшее после его приготовления, и называется временем ожидания. При явлении старения процесс релаксации системы

* Работа поддержана грантами 2.1.1/930 программы "Развитие научного потенциала высшей школы" и 2010-1.1121-011-047 программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" и грантом Президента РФ

МК-3815.2010.2.

© В.В. Прудников, П.В. Прудников, С.В. Алексеев, 2010

замедляется тем больше, чем больше возраст образца, т. е. с увеличением времени ожидания tw.

В данной работе методами компьютерного моделирования исследуются эффекты старения в двумерной XY-модели при температурах Т<Ткт посредством расчета временной зависимости автокорреляционной функции A(t, tw ) при реализации динамики Метрополиса.

Гамильтониан двумерной XY-модели можно записать следующим образом:

(1)

H = -JXSISJ,

где ^0 - обменный интеграл, Si - плоский классический спин, связанный с г-м узлом двумерной решетки. Рассматривалась плоская решетка, содержащая Ы=Ь2 узлов с линейным размером Ь=25б.

Для численного статистического описания применялся гамильтониан модели в форме:

H = - JX cos(^i -Vj )

(2)

с фі - углом г-го спина относительно произвольной вертикальной оси.

При реализации алгоритма Метрополиса из созданной некоторой начальной неравновесной спиновой конфигурации системы выбирался случайным образом

спин Бі и осуществлялось пробное изменение его направления на случайный угол из интервала [-ге, ге] в соответствии с соотношением ф'= ф +Б[2ге г- ге]$, где г - случайное число, равномерно распределенное в интервале [0, 1], 8 - число из интервала (0, 1), подбираемое таким образом, чтобы в результате принималось не менее 50 % пробных изменений направления спинов. Затем осуществлялось вычисление изменения энергии системы ДИ, обусловленное пробным изменением состояния спина при учете его взаимодействия только с ближайшими спинами. Если при этом ДИ < 0, то пробное изменение направления спина принимается, если же ДИ > 0, то вычисляется вероятность изменения состояния W=exp(-ДH/T), сопоставляемое со случайным числом г в интервале (0,1), и если г < W, то пробное изменение направления спина также принимается, в противном случае сохраняется ис-

ходная конфигурация. За единицу временного изменения процесса принимается шаг Монте-Карло на спин (МСБ/б), содержащий N случайных выборок спинов системы.

Динамика Метрополиса переворотов отдельных спинов, задаваемая данным алгоритмом, описывает диссипативные процессы в системе, сопровождающиеся релаксацией намагниченности (параметра порядка) из начального неравновесного отличного от нуля значения к равному нулю для двумерной ХУ-модели равновесному значению. Она отражает стохастические процессы динамики спиновых флуктуаций в критической области, описываемых уравнением Ланжевена с несо-храняющимся параметром порядка (динамическая модель А).

Автокорреляционная функция системы может быть задана в виде:

A(t • О = N X Si (t )S,(t').

(3)

Согласно работе [4], двухвременная зависимость автокорреляционной функции для Т<Ткт может быть представлена в следующей скейлинговой форме:

A(t, tw ) =

1

(t - tw )

П(Т)/2

(1 + Л)2 4Л

П(Т)/4

(4)

для времен * — >> а , где а - ультра-

фиолетовый параметр обрезания микроскопической природы, Л = * / , п(Т) -

критический индекс, связанный с поперечной жесткостью рэ системы следующим соотношением:

П(Т ) =

Т

2пр (Т )

(5)

На временах * — К << автокорреляционная функция ведет себя как:

A(t, tw )

1

(t - tw )

П(Т)/ 2

(6)

Это соответсвует квазиравновесному состоянию системы. На больших временах * — >> наблюдается спадание ав-

токорреляционной функции по степенному закону:

ч 1

А(>. )~ П577 • (7)

t

Исследование эффектов старения в двумерной XY-модели

57

Переход между двумя режимами происходит при ^ ^ ~ ^. Таким образом,

временные зависимости автокорреляционной функции при различных временах ожидания не совмещаются. Это явление получило название эффекта старения системы [4], т. е. проявление ее возраста при t>tw.

В данной работе мы будем исследовать эффекты старения для трех значений времени ожидания: tw =100, 500 и 1 000 МСБ/б. Системе задается старт из полностью упорядоченного состояния с одинаково ориентированными спинами. Из этого состояния системе предоставляется возможность свободно эволюционировать во времени в соответствии с алгоритмом Метрополиса до момента, равного времени ожидания ^, начиная с которого производился расчет автокорреляционной функции в течение времени наблюдения = 20 000 МСБ/б. Двухвременная зависимость автокорреляционной функции была иссследованиа в температурном интервале от Т/^=0.1 до ТКт/Л“0.89 [5] с шагом АТ/^0.1. Для каждой температуры Т проводилось усреднение получаемых временных зависимостей автокорреляционной функции по 6 000 прогонкам для каждого из выбранных значений времени ожидания £щ. В качестве примера, на рис. (а, б, в) в двойном логарифмическом масштабе представлены графики полученных нами временных зависимостей автокорреляционной функции для трех различных времен ожидания ^ при температуре Т/^=0.1, 0.5, 0.89. На графиках наглядно видно наличие двух линейных участков, отражающих степенную временную зависимость автокорреляционной функции в соответствующих временных интервалах, а также кроссоверной области, в которой осуществляется переход от одного степенного режима к другому. Для количественной характеристики данных степенных режимов можно ввести показатели временной зависимости для автокорреляционной функции. В табл. представлены полученные значения данных показателей для всех исследованных тем-

ператур. Выявлено, что с ростом времени ожидания tw режимы, характеризуемые различными показателями, становятся более ярко выраженными, т. е. количественное отличие показателей для этих режимов увеличивается, в то же время сохраняется в пределах статистических погрешностей отношение показателей равное 2, предсказываемое соотношениями

(6) и (7).

В качестве тестового исследования на соответствие полученных значений показателей временной зависимости автокорреляционной функции может служить сопоставление с показателем статической корреляционной функции

C(x - x')~(x — x')~n(T) (8)

для ряда температур с T/J < 0.89. Как показано в [6], показатель для статической корреляционной функции C(x-x') эффективнее всего определять при исследовании размерной зависимости среднего квадрата намагниченности системы:

< m 2(T, L) >~ L-n(T). (9)

Измерения проводились на решетках с линейными размерами L=4, 8, 16, 32, 64 в низкотемпературной фазе вплоть до критической температуры. Полученные численные значения показателя п(Т), отражающие его температурную зависимость, со статистическими погрешностями их определения приведены в табл. В критической точке Tkt/J=0.89 для показателя получено значение п =0.248(4), что в пределах погрешности хорошо согласуется с точным теоретическим значением П=1/4. Сопоставление значений показателя п(Т) со значениями показателей временной зависимости автокорреляционной функции на разных временных этапах эволюции показывает, что для t — tw << tw

в пределах статистических погрешностей выполняется соответствие п(Т)/2, как и предсказывалось соотношением (6), а для t — tw >> tw выполняется соответствие П(Т)/4, характеризуемое зависимостью

(7).

Временная зависимость автокорреляционной функции для различных значений времени ожидания: 1 -tw=100, 2 - tw=500, 3 - tw=1000 при температурах Т=0.1 (а), Т=0.5 (б), Т=0.89 (в)

Показатели для пространственной корреляционной и автокорреляционной функции, полученные для различных значений температур Т, времени ожидания № и асимптотических временных интервалов

T/J n(T) tw=100 tw=500 tw=1000

f0;601 [1000; 10001 [0;601 [1000; 100001 [0;1001 [10000;200001

0,1 0,0161(6) 0,0093(2) 0,0045(1) 0,0097(1) 0,0044(1) 0,0096(2) 0,0048(1)

0,2 0,0334(5) 0,0185(4) 0,0091(1) 0,0197(3) 0,0093(1) 0,0190(3) 0,0093(1)

0,3 0,0522(4) 0,0279(6) 0,0139(1) 0,0296(5) 0,0139(1) 0,0287(4) 0,0152(1)

0,4 0,0716(6) 0,0379(8) 0,0193(1) 0,0400(6) 0,0203(1) 0,0389(5) 0,0206(1)

0,5 0,0938(7 0,0486(9) 0,0250(1) 0,0512(8) 0,0245(1) 0,0499(6) 0,0263(1)

0,6 0,1161(10) 0,0603(10) 0,0313(1) 0,0635(9) 0,0322(1) 0,0620(6) 0,0356(1)

0,7 0,1456(11) 0,0738(13) 0,0388(1) 0,0774(10) 0,0397(1) 0,0759(7) 0,0425(1)

0,8 0,1805(10) 0,0903(12) 0,0477(8) 0,0948(12) 0,0483(1) 0,0931(8) 0,0534(1)

0,89 0,2315(42 0,1112(15) 0,0623(9) 0,1176(40) 0,0649(2) 0,1164(9) 0,0597(2)

В работе [4] численными методами было получено значение показателя автокорреляционной функции n(T = 0.3)/2 = 0.03 , а в работе [7] с помощью самосогласованного вычисления было получено значение rj(T = 0.3)/ 2 = 0.026 . Значения, полученные нами для этой температуры в данной работе, находятся в хорошем согласии с приведенными значениями.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Calabrese P., Gambassi A. // J. Phys. A. 2005. V. 38. P. R133.

[2] Lei X. W., Zheng B. Short-time critical dynamics

and ageing phenomena in two-dimensional XY model // Phys. Rev. E. 2007. V. 75. P. 040104.

[3] Struik L. C. E. Physical Aging in Amorphous Poly-

mers and Other Materials. Amsterdam: Elsevier, 1978.

[4] Berthier L., Holdsworth P. C. W, Sellitto M. Non-

equlibrium critical dynamics of the twodimensional XY model // J. Phys. A. 2001. V. 34. P. 1805.

[5] Gupta R., Baillie C. F. // Phys. Rev. B. 1992. V. 45.

P. 2883.

[6] Binder K., Landay D. P. Critical properties of the

two-dimensional anisotropic Heisenberg model // Phys. Rev. B. 1976. V. 13. P. 1140.

[7] Pokrovsky V. L, Uimin G. V // Phys. Lett. A. 1973.

V. 45. P. 467.