Исследование устойчивости решений системы дифференциально-разностных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН

2006, том 49, №2

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

К.Г.Валеев, С.З.Курбаншоев ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 09.12.2005 г.)

Предлагается метод исследования устойчивости решений системы дифференциально-разностных уравнений с достаточно малыми запаздываниями аргумента. Метод основан на сведении системы дифференциально-разностных уравнений к асимптотической системе дифференциальных уравнений без запаздываний аргумента.

1. Рассматривается система уравнений

= т> 0, (1)

at

допускающая нулевое решение, т.е. f (t, 0, 0)=0.

Предполагается, что вектор-функция f (t, Х,У) непрерывна по t и удовлетворяет условию Липшица

sup II Д/,ВД)-Д/,*2,У2) ||< А II X, —Х2 II +L2 II уг-у2 II

t

при II Xk\\< ю, || Ук\\< ю (к =1,2).

В работе [1] было показано, что при достаточно малых значениях т > 0 существует система обыкновенных дифференциальных уравнений

= 0{t, X(t), т), 0{t, 0,т) = 0, (2)

at

все решения которой являются решениями системы уравнений (1) и любое решение системы уравнений (1) стремится при t^ +ю к одному из решений системы уравнений (2). Систему уравнений (2) будем называть асимптотической для системы (1). При этом устойчивость нулевого решения системы уравнений (1) равносильна устойчивости нулевого решения системы уравнений (2).

В работе [1] был указан общий метод построения асимптотической системы уравнений (2), который для системы уравнений (1) принимает следующий вид.

Решения системы уравнений (2) удовлетворяют системе интегральных уравнений

X(s)=X(t)+ J Ф(г, X(z), т)ск.

t

Поскольку на решениях системы уравнений (2) правые части систем уравнений (1) и (2) совпадают, то имеем тождество

Ф( I, X ft), т) =f( t, X(t), X(t) + J Ф( z, X (z), t) dz).

t

Обозначим для простоты X(t)=Х, приходим к системе функциональных уравнений

ФО, х, т) /(I, X), Х+ | Ф(г, Х(г), т)<Ь),

^1 = ф(2,Х(г),т), Х(0 = Х. (3)

аг

Полученную систему уравнений для неизвестной вектор-функции Ф(1 Х(^, т) можно решать методом последовательных приближений

Ф„+1 (I, X, т) =/(1 X, X | Ф„ (г, Хп (г), т) ск),

^^ = Ф„(г,А'„(г),г), Х,(2) = Х, (и = 0,1,2,...), (4)

аг

полагая Ф0^, X, т)=0.

В работе [1] доказано, что при достаточно малых значениях т>0 метод последовательных приближений сходится. Приведем некоторые результаты, следующие из работы [1].

Пусть А=шах{Д,£2}, Ь - наименьший положительный корень уравнения Ь=Аеьн,0<т<к

Теорема 1. При 0 < г < 17' 1п 2 последовательность вектор-функции Фп (7, X, т) (4) сходится равномерно по I, X в любой ограниченной по X области.

Теорема 2. Пусть /г = гпт{—; ^----1 Тогда при 0<т<к для любого

[Ае Ь ¿(¿ + А)\

решения X(t) системы уравнений (1) с запаздыванием аргумента существует решение Х=Хт (t) системы уравнений (2), являющееся решением системы уравнений (1) и такое, что

о-л’ЛИ

Пример. Исследуем устойчивость нулевого решения уравнения

с/х(1)

Л

Асимптотическое уравнение имеет вид

йх{1)

= cos t-x(t-r), г > 0. (5)

= (cosí — 0,5 sin т - 0,5тcos2t + 0(т ))x(Y). dt

Следовательно, при достаточно малых значениях т>0 нулевое решение уравнения (5) асимптотически устойчиво.

2. Для отыскания системы уравнений (2) можно использовать разложения по степеням запаздывания т .

Теорема 3. Пусть вектор-функция F(t, X, У) k раз дифференцируема по t, X, У в области

-ю < t < ю, || X || < е, || У || < е.

Тогда вектор-функция Ф (t, X, т) будет k раз дифференцируема по t, X, т в некоторой области

-ю < t < ю, || X || <ej, |т| < h.

Используя этот результат, можно искать вектор-функцию Ф(1, X, т) в системе уравнений (2) в виде разложения по степеням т

Ф (г, X, т)= Фо (г, Х,)+ т Ф1 (г, Х)+ т2 Ф2 (г, Х,)+... . (6)

Из тождества

Ф (г, Х(г), т) =/(г, X (г), Х(г- т)), которое выполняется для решений системы уравнений (2), можно определить последовательно вектор-функции Фк(1, X) (к=0, 1, 2, ...). В частности, получим

Фо (г, X) = / (г, X, Х),

Ф,(г,Х)=т^’У\у^--Ф„(1,Х),

Пример. Исследуем устойчивость решений системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами

с1Щ*± = АХ{1)+ВХ{1-т), (т > 0). (7)

ш

При достаточно малых значениях т>0 устойчивость решений системы уравнений (7) равносильна устойчивости решений системы уравнений

^^- = С(т)Х(1), С(т) = А + Ве~тС(т).

Ж

Матрица С(т) может быть найдена в виде разложения по степеням малого параметра т>0. При этом находим разложение

т2 ,

С(т) =(А +В) -т В(А+В) - — В(А-В) (А+В)+ 0(т3).

Замечание 1. Изложенный выше способ сведения можно распространять на случай нескольких запаздываний аргумента.

Для системы дифференциально-разностных уравнений

0<т</,

-ке

асимптотическая система уравнений имеет вид

^й = сх(?), с = ХА

к=0

Матрицу С можно найти численно методом последовательных приближений или в виде разложения по степеням запаздывании тк

N N N

с=Е4--ег.д.-:е4+о(л!).

к-0 к-0 к-0

Замечание 2. Отыскание разложения асимптотической системы по степеням малого параметра предлагалось также в работе [2].

Замечание 3. Аналогичный метод разложения по степеням запаздывания можно применять для дифференциально-разностных уравнений с распределенным запаздыванием.

Пример. Исследуем устойчивость решений нулевого решения дифференциальноразностных уравнений

dx(t) dt

п

cost■ jx(t-r)dr, h> 0. (8)

0

Асимптотическое дифференциальное уравнение имеет вид

= (hcost - 0,5h3 cos21 + 0(h4))x(t). dt

Следовательно, нулевое решение уравнения (7) асимптотически устойчиво при достаточно малых значениях h>0.

3. Изложенный метод разложения асимптотической системы уравнений по степеням запаздывания аргумента можно использовать при исследовании устойчивости в критических случаях.

Исследуем устойчивость решений системы уравнений

= АХ{t - т) + zFx (X(t - г), V(t - т)Х dt

= В У (t - т) + tF2 (X(t - г), y(t - г)), г > 0,

dt

где Re A f (А) = 0, ЯеЛ^В) < 0. Вектор-функция (ОС У) (к =1, 2) дифференцируема по

X, У и Fk(0, 0)=0 (к =1,2).

Устойчивость нулевого решения системы (9) при достаточно малых значениях т>0 равносильна устойчивости нулевого решения асимптотической системы

= AX(t) - rA2X(t) + tF1 (X(t), У (t)) + 0(т2Х dt ^

= ВУ(?) - zB2y(t) + tF2 (X(tX У(0) + 0(т2Х

dt

В силу принципа сведения Ляпунова [3] систему уравнений (10) можно свести к системе уравнений для критических переменных X=X(t)

dX

- = AX-zA2X + tF1 (X ,—тВ1 F2 (Х,0)) + 0(r2)|x||.

Устойчивость нулевого решения этой системы уравнений равносильна устойчивости нулевого решения системы (9).

Очевидно, что изложенный метод применим для исследования устойчивости решений более сложных систем дифференциально-разностных уравнений.

Пример. Исследуем устойчивость нулевого решения системы дифференциально -разностных уравнений

C^- = ax\t-Tl)-/3y(t-T2X at ^

<^р- = ~1У(*-Тз) + д,с3(*-т4)- У>°-dt

Разлагая правые части, исключая производные в первом приближении, получим асимптотическую систему уравнений в первом приближении

Их

— = (а + Р3т2)хъ -(/? + /Зут2)у ; x = x(t),

dt

^7 = -(Г + Аз )У + (3 + 8утъ )х3.; у = y(t). dt

(12)

Условие асимптотической устойчивости решений систем уравнений (11), (12) принимает вид

ЛИТЕРАТУРА

1. Валеев К.Г., Кулеско Н.А. - Укр. мат. журн., 1968, т.20, №6, с.739 -749.

2. Стрижак Т.Г. Асимптотический метод нормализации. - Киев: Вища школа. Головное изд-во, 1984, 280 с.

3. Валеев К.Г., Жаутыков О.А. Бесконечные системы дифференциальных уравнений. Алма-Ата: Наука, 1974, 415 с.

К.Г.Валеев, С.З.Курбоншоев ТАДКИЦИ УСТУВОРИИ Х,АЛЛХ,ОИ СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНСИАЛЙ-ФАРЦЙ

Дар макола методи таджики устувории х,аллх,ои системаи муодилах,ои дифференсиалй-фаркй бо аргументи деркунандаи ба кадри кифоя хурд пешних,од карда шудааст. Ин метод дар асоси ба системаи муодилах,ои дифференсиалй асимптотикй бе аргументи деркунанда овардани системаи муодилах,ои дифференсиалй-фаркй таъсис ёфтааст.

It is offered method investigation to stability solution of system of differential-differences equations with it is enough small retarded argument. Method is founded on connection system of differential-differences equations to asymptotic system of differential-differences equations without retarded argument.

(ay- PS)(1 + ут3) < 0.

Российско-Таджикский (Славянский) университет

Поступило 9.12.2005 г.

K.G.Valejev, S.Z.Kurbanshoev INVESTIGATION TO STABILITY SOLUTION OF SYSTEM OF DIFFERENTIAL-DIFFERENCES EQUATIONS