CC BY
44
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №6_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.91
Г.Э.Гришанина, член-корреспондент АН Республики Таджикистан Э.М.Мухамадиев
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ В ЦЕЛОМ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Международный университет природы, общества и человека "Дубна", Россия, Вологодский государственный технический университет, Россия
В работе получены критерии устойчивости и асимптотической устойчивости стационарного решения автономной системы дифференциальных уравнений в терминах поведения решений на отрицательной полуоси, а также альтернативные условия существования нестационарного ограниченного решения или асимтотической устойчивости в целом стационарного решения квазилинейной системы.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения - стационарное решение - устойчивость - асимптотическая устойчивость - устойчивость в целом.
Основы теории устойчивости были заложены в конце XIX в. А.М.Ляпуновым [1]. К настоящему времени разработаны и продолжают разрабатываться эффективные методы исследования устойчивости решений для различных классов систем дифференциальных уравнений [напр.,1-3], эти исследования имеют широкое практическое применение, что обусловливает их актуальность. В работах [4,5] были найдены признаки асимптотической устойчивости и устойчивости в целом системы
X = F (x), x еЩ" , не имеющей седла в бесконечности, где F: Щ" — Щ" - непрерывное векторное
поле.
В данной работе получены критерии устойчивости и асимптотической устойчивости стационарного решения в терминах поведения решений на полуоси (—да, 0) и альтернативные условия существования нестационарного ограниченного решения или асимптотической устойчивости в целом системы x' = Ax + f (x) , где A: Щ" — Щ" - линейное отображение, f : Щ" — Щ" - непрерывное отображение, удовлетворяющее определённому условию роста на бесконечности. 1. Рассмотрим автономную систему дифференциальных уравнений
x' = F (x), x еШ" , (1)
где F : Щ" —^ ЩЩ" - непрерывное векторное поле. Будем предполагать, что каждое решение x(t) этой системы однозначно определено начальным условием x(0) = y и может быть продолжено на всей оси (—да, +да) . Через (p(t, y) обозначим решение x(t), удовлетворяющее начальному условию x(0) = y, то есть p(0, y) = y .
Адрес для корреспонденции: Гришанина Гульнара Эргашевна. 141981, РФ, г. Дубна Московской обл., ул. Университетская, 19, Международный университет природы, общества и человека "Дубна". E-mail: [email protected]; Мухамадиев Эргашбой. 160034, РФ, г.Вологда, ул. Ленина, 15, Вологодский государственный технический университет. E-mail: [email protected]
Пусть x(t) = x0 - стационарное решение системы (1), то есть F (x0) = 0 . Стационарное решение x(t) = x0 системы (1) называется устойчивым (по Ляпунову) [6], если для любого £ >0 существует такое 5 >0, что каждое решение (p(t, y), начальное значение которого удовлетворяет неравенству | y — x0 |< 5, при всех t > 0 удовлетворяет неравенству | (p(t, y) — x0 |< £ , где |. | - норма в пространстве Щ".
Устойчивое стационарное решение x(t) = x0 называется асимптотически устойчивым, если существует такое 50 >0 , что при всех значениях y , удовлетворяющих условию | y — x0 |< 50, имеет место равенство
lim |p(t, y) — xJ = 0, (2)
t^w1 1
и асимптотически устойчивым в целом, если последнее равенство имеет место для любого y е Щ" .
Понятия устойчивости и асимптотической устойчивости стационарного решения системы (1) связаны с поведением решений на полуоси (—да, 0).
Теорема 1. Для устойчивости стационарного решения x(t) = x0 системы (1) необходимо и достаточно, чтобы для некоторого г0 >0 и любого r е(0, r0) решения (p(t, y) этой системы удовлетворяли условию
](r) = inf ||p(r, z) — x0| :r< 0, |z — x0| = rj >0. (3)
Доказательство. Достаточность. Пусть для любого r е (0, r0 ) выполнено условие (3). Пусть £ е (0, r0 ). По определению функции 77 (r) справедливо неравенство ]£) <£ . Поэтому для вектора у, удовлетворяющего условию |y — x0| <]£) , множество jt: |p(t, y) — x0| < £, t > 0j содержит максимальный полуинтервал [0, t0 ), 0 < t0 < . Покажем, что t0 = . Действительно, если
t0 < , то |p(t0, y) — x0| = £ , и решение р(т, z) , где z = p(t0, y) на отрезке —10 <т< 0 удовлетворяет условиям
|p(0, z) — x^ = |z — xJ = £, |p(—t^ z) — x^ = |y — x\<v(£).
Но это противоречит определению функции 7] (r) . Полученное противоречие доказывает справедливость равенства t0 = . Таким образом, имеет место неравенство p(t, y) — x0 < £ при всех t > 0, если |y — x0| < ]](£) . Устойчивость стационарного решения доказана.
Необходимость. Пусть стационарное решение x(t) = x0 системы (1) устойчиво. Тогда для £ = r >0 существует такое 5 = 5(е) > 0, что для любой точки y, |y — x0| < 5 справедливо неравен-
ство |р(/, у) — х0| < £ при всех X > 0. Очевидно, 8<£, и любое решение р(Х, 2), где |2 — х0| = £, удовлетворяет неравенству |р(г, 2) — х0| >8 при всех т< 0. Отсюда следует, что Г](г) >8(г)>0. Необходимость доказана. Теорема доказана.
На сфере {у: |у — х01 = г } определим функцию
с( г, У) = ^ { X: |р(г, у)—х0| < г, X <т< о|
со значением в расширенной числовой полуоси [—да, 0].
Лемма 1. Функция с(г, у) при фиксированном г >0 на сфере |у — х0| = г полунепрерывна
снизу по у : Ншс(г,у) >с(г,у0).
у^ у0
Теорема 2. Для асимптотической устойчивости стационарного решения х(х) = х0 системы (1) необходимо и достаточно, чтобы для некоторого г0 >0 и любого г е (0, г0) система (1) не имела решений р (X, у), удовлетворяющих условиям
|р(г, 2) — х0| < ¡2 — х0| = г, Ут< 0. (4)
Доказательство. Достаточность. Пусть для некоторого г0 >0 при всех г е (0, г0) система (1) не имеет решений р(X, г), удовлетворяющих условиям (4). Тогда функция с(г, 2) принимает конечное значение для каждой пары (г, 2): с(г, 2) > —да . В силу леммы 1 функция с(г, 2) полунепрерывна снизу по 2 на сфере |2 — х0| = г . Поэтому для ее( 0, г0) функция с(е, 2) ограничена снизу: с(е, 2) > /0 = /0 (е), |2 — х01 = £ . В силу непрерывной зависимости функции р(X, у) существует 8 >0 такое, что при всех у, |у — х0| < 8 справедливо
|р(х, у) —х„|< £, 0 < X <— V (5)
Покажем, что при всех у, |у — х0| < 8 справедливо более сильное неравенство
|р(X,у) — х„|< £, X > 0. (6)
Действительно, если предположить противное, то существует X >0, удовлетворяющее условиям р(х, у ) — х0| < |р(Х1,у) — х0| = £, 0 <х < х1. Вводя обозначение 2 = р(хх,у), последнее неравенство перепишем в виде |2 — х0| = £, |р(^, 2) — х0| <£, — Х1 <т< 0. Из этих условий и определения функции с(е,2) следует, что число X удовлетворяет неравенству с(е,2)<— X , и, следовательно,
—^ - , то есть ^ < —. Но это противоречит выбору числа 8 и неравенству (5). Полученное противоречие доказывает справедливость неравенства (6). Устойчивость стационарного решения доказана. Достаточность доказана.
Необходимость. Пусть стационарное решение х(*) = х0 асимптотически устойчиво, и 80 >0
такое, что при всех у,|у — х0| < 80 выполнено равенство (2). В силу устойчивости стационарного решения по числу 8 — 80 можно указать такое 8 = 8(8 >0, что если |у — х0| < 8, то ((*, у) — х01 < 80 пРи * - 0. Шкаж^ что для любого г е(0, г0), г0— 80 система (1) не имеет решения р(*, У), удовлетворяющего условиям (4).
Действительно, если система (1) при некотором г е(0, г ), Г = 8 имеет решение р(*, ^о), удовлетворяющее условиям |((т,) — х01 < — х01 — г, Vт< 0,то для величины а = тГ Цн (г, ^ ) — х01: т < 0} возможны два случая: 1) а — 0 ; 2) а >0 .
В случае 1) существует последовательность ^ такая, что Ц ^—да, р(*к,) — х0| ^ 0 при к ^ да . Положим 28 — вир{|р(*, ) — х0|: * е(—да, . По ех выберем 8 >0 так, что если |у—х0| < 8, то ((*,У) — х0|< 81 при всех * - 0 . Для решения р(*,^) = ((* + Ч,2о) , где ^ — , ^ ), при достаточно больших к имеем \хк — х01 < 8 , и поэтому |р (*, ^ ) — х01 < 8, V* - 0 .
Но это противоречит выбору ех, так как при к ^ да 8ир{|р(*, ) — х0|: * - 0| ^ 28г Полученное противоречие доказывает невозможность случая 1).
В случае 2) рассмотрим последовательность решений р(*,2к) — ((* — к,), ^ — р(—к,^) .
Пусть ^ - предельная точка последовательности . Тогда решение р (*, ^ ) удовлетворяет условиям |р(* , ) — х0| -а, — х0| < г < 80, V* - 0. Но это противоречит выбору 80. Итак, случай 2)
также невозможен. Необходимость доказана. Теорема доказана.
2. Будем говорить, что система (1) имеет седло в бесконечности [6], если существует последовательность решений хк (*) этой системы, удовлетворяющих условиям
§иР (|хк (0)| + |хк (тк ^) < да 11ттах|хк (*) — да. (6)
к 4 ' к^да 0<*<Тк
Справедлива следующая
Теорема 3. Если стационарное решение х(*) = х0 устойчиво в целом, то система (1) не имеет седло в бесконечности.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида
x = Ax + f (x), (8)
где A: Ш" ^ Ш" - линейное отображение, f : Ш" ^ Ш" - непрерывное отображение. Предположим, что f удовлетворяет условию
lim |x|^ f (x)| = 0. (9)
Xi^w1 1 1 1
Приведём необходимое условие существования седла в бесконечности у системы (8).
Лемма 2. Пусть система (8) имеет седло в бесконечности. Тогда линейная однородная система
X = Ax (10)
имеет ненулевое ограниченное на всей оси решение.
Отметим, что условие существования у системы (10) ненулевого ограниченного на всей оси решения эквивалентно существованию мнимого собственного значения у линейного отображения A [7]. Из теоремы Брауэра следует
Лемма 3. Пусть линейное отображение A: Ш" ^Ш" имеет обратное отображение A^1. Тогда алгебраическая система
Ax + f (x) = 0 (11)
имеет по крайней мере одно решение.
Теорема 4. Пусть все собственные значения линейного отображения A имеют отрицательную вещественную часть, а уравнение (11) имеет единственное решение x0. Тогда справедливо
одно из следующих утверждений:
а) система (8) имеет нестационарное ограниченное на всей оси решение;
б) стационарное решение x0 (t) = x0 системы (8) асимптотически устойчиво в целом. Доказательство. Рассмотрим семейство систем
x' = F(x,X), 0 <Л< 1, (12)
где F(x, Л) = Ax + Л f (Ä~lx), если 0 < Л < 1 и F(x, Л) = Ax, если Л = 0. В силу непрерывности f и условия (9) вектор-функция F(x, Л) непрерывна по(x, Л) на Ш" х [0,1]. Из условий теоремы следует, что x0(t,Ä) = Äx0 является единственным стационарным решением системы (12). Согласно
теореме 2 [4], это стационарное решение асимптотически устойчиво в целом при всех Л , если:
1) при Л = 0 нулевое стационарное решение системы (12) устойчиво;
2) система (12) при всех Л е[0,1] не имеет ограниченных решений, отличных от стационарного решения x0 (t, Л) = Äx0 ;
3) система (12) при всех Я е [0,1] не имеет седла в бесконечности.
Условие 1) выполняется по предположению о расположении собственных значений оператора A , а выполнение условия 3) следует из леммы 2. Так как ограниченное решение х0 (t, Я), Я > 0 системы (12), как нетрудно видеть, по формуле X (t) = Я *х0 (7, Я) определяет ограниченное решение
системы (8), то, если условие 2) не выполняется, мы получим утверждение пункта а) теоремы, а если выполняется, то получим утверждение пункта б) теоремы. Теорема доказана.
Теорема 5. Пусть х0 - единственное решение системы (11), и вектор-функция f (х) непрерывно дифференцируема в окрестности точки х0. Пусть оператор A не имеет мнимых собственных значений, а все собственные значения оператора A + f'(х0) имеют отрицательную вещественную часть. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:
а) система (8) имеет нестационарное ограниченное на всей оси решение;
б) стационарное решение х0 (t) = х0 системы (8) асимптотически устойчиво в целом.
Доказательство. Предположим, что система (8) не имеет ограниченных на всей оси решений, отличных от стационарного решения. В силу леммы 2 система (8) не имеет седла в бесконечности. В силу теоремы Ляпунова [7] стационарное решение х0 (t) = х0 асимптотически устойчиво. Тогда, согласно теореме 3 [5], имеет место утверждение б) теоремы, то есть стационарное решение х0 (t) = х0 асимптотически устойчиво в целом. Теорема доказана.
Поступило 25.04.2013.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. - М.-Л.: Гостехиздат, 1950, 472 с.
2. Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. - ДАН СССР, 1952, т. 86, № 3, с. 453-456.
3. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. - М.: Физматгиз, 1959, 211 с.
4. Гришанина Г.Э. Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна. Тезисы докл., 2010, с. 47-48.
5. Гришанина Г.Э., Иноземцева Н.Г., Садовников Б.И. - Математические заметки, 2013, т.93, №4, 2013, с. 624-629.
6. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. - М.: Гостехиздат, 1949, 550 с.
7. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: Наука, 1967, 472 с.
Г.Э.Гришанина, Э.М.Мухамадиев* ОИДИ УСТУВОРИИ ЯКЛУХТИ СИСТЕМАХОИ КВАЗИХАТТЙ
Донишго^и байналмилалии табиат, цамъиат ва инсон «Дубна», Россия, *Донишго%и давлатии техникии Вологда, Россия
Дар макола барои системаи муодилах,ои дифференсиалй критерияи устуворй ва асимптотикй устувории хдлли статсионарй таввасути хосияти х,алх,о дар нимтираи манфй ва шартх,ои алтернативии мавчудияти х,алх,ои махдуд ё устувории яклухт оварда шудааст. Калима^ои калиди: муодила^ои дифференсиалй - уалли статсионарй - устуворй - устувории асимптотикй - устовории яклухт.
G.E.Grishanina, E.M.Muhamadiev* ABOUT STABILITY IN THE WHOLE QUASI-LINEAR SYSTEMS
Dubna International University for Nature, Society and Man, Russia, *Vologda State Technical University, Russia
The paper presents the criteria of stability and asymptotic stability of the stationary solution of an autonomous system of differential equations in terms of the behavior of solutions to the negative real axis, as well as alternative conditions for the existence of a bounded nonstationary solution or asymptotically stable stationary solutions in the whole quasi-linear system.
Key words: differential equation - the stationary solution - stability - asymptotic stability - stability in whole.
