CC BY
51
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _________________________________2009, том 52, №12____________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
К.Г.Валеев, С.З.Курбаншоев ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 15.10.2009 г.)
Найдены достаточные условия устойчивости решений системы линейных стохастических дифференциальных уравнений с помощью функций Ляпунова [1,2].
Исследуется система линейных стохастических дифференциальных уравнений
ах = АХйг + нХ(Шг), (1)
где винеровский случайный процесс, удовлетворяющий условиям
Здесь < • > - символ математического ожидания.
Пусть С - положительно определенная матрица. Вводим функцию Ляпунова в виде квадратичной формы
Находим дифференциал функции у(х) в силу системы уравнений (1)
Учитывая, что
X с{х + АХйг + НХ<1\к{О).
находим равенство
(І < с1и{х') > сії
= ХхА*СХ + Х*САХ + Х*Н*СНХ.
Отсюда находим следующий результат.
Теорема 1. Если квадратичная форма
\к(_Х) =Х*(_А*С+СА+Н*СЮХ
является отрицательно определенной, то нулевое решение системы уравнений (1) является асимптотически устойчивым в среднем квадратичном.
Теорема 2. Нулевое решение системы линейных стохастических дифференциальных
является отрицательно определенной.
Полученные простые результаты можно перенести на систему нелинейных стохастических дифференциальных уравнений
где 1У(Г) - стандартный винеровский случайный процесс.
Введем квадратичную положительно определенную функцию Ляпунова 'ї\Л ) = .ч С.\. Находим
является отрицательно определенной, то нулевое решение системы стохастических дифференциальных уравнений (2) является асимптотически устойчивым в среднем квадратичном.
Если функция является положительно определенной, то нулевое решение сис-
темы уравнений (2) является неустойчивым.
Пример. Исследуем устойчивость нулевого решения линейного стохастического дифференциального уравнения
уравнений
її
Іґ=1
где - независимые винеровские процессы
< а ]#к (г) > 0 (к. Ф у)
асимптотически устойчивы в среднем квадратичном, если квадратичная форма
(2)
< <Ь(Х) >= Х*СР<Х)(ІІ + Р*{Х)СХ(ІІ + Н\Х)СН{Х)й1,
откуда приходим к теореме.
Теорема 3. Если функция
= Х*СР (Х}+ Р*(Х)СХ + Н*(Х)СН{Х)
Используем положительно-определенную функцию Ляпунова
(3)
Находим функцию
Если а < 0, то нулевое решение уравнения (3) асимптотически устойчиво в среднем квадратичном. Если а > 0, то нулевое решение уравнения (3) неустойчиво.
Рассмотрим систему нелинейных стохастических дифференциальных уравнений
ах = РСХ)&+23^1нкооам?к(д1
(4)
где Р 00і (х) — дифференцируемые вектор-функции
Теорема 4. Пусть V (X) = X СХ - положительно определенная квадратичная форма. Нулевое решение системы уравнений (4) асимптотически устойчиво в среднем квадратичном, если функция
и/(Х) = Х*СР (X) + ¥*{Х)СХ + у Н* (Х)СНк(Х)
I
к= 1
является отрицательно определенной.
Российско-Таджикский (Славянский) университет
Поступило 15.10.2009 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Валеев К.Г., Карелова О.Л., Горелов В.Н. Оптимизация линейных систем со случайными коэффициентами. - М.: РУДН, 1996, 258 с.
2. Кореневский Д.Г. Дестабилизирующий эффект параметрического белого шума в непрерывных и дискретных динамических системах. - Киев: Академпериодика, 2008, 128 с.
К.Г.Валеев, С.З.Курбоншоев ТАДКИЦИ УСТУВОРИИ ^АЛЛИ СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ СТОХАСТИКИ
Дар мак;ола шартх,ои кифоягии устувории хдлли системаи муодилах,ои дифферен-сиалии хаттии стохастикй бо ёрии функсияи Ляпунов ёфта шудаанд.
K.G.Valeev, S.Z.Kurbanshoev THE RESEARCH OF STABILITY OF SOLUTIONS OF SYSTEM OF THE STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS
It is found sufficient conditions of stability of solutions of system of the linear the stochastic differential equations by the Lyapunov functions.
