CC BY
87
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2011, том 54, №5___________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
К.Г.Валеев*, С.З.Курбаншоев ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Российско-Таджикский (Славянский) университет,
Киевский национальный университет экономики, Украина
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан И.Курбановым 12.01.2010 г.)
Найдены необходимые и достаточные условия устойчивости решений системы стохастических дифференциальных уравнений, правые части которых зависят от конечнозначного марковского случайного процесса.
Ключевые слова: стохастические дифференциальные уравнения - винеровский случайный процесс -математическое ожидание - асимптотическое устойчивое в среднем квадратичном решение.
Рассматривается система линейных дифференциальных уравнений
dX(t) = A(C(t ))X(t )dt+H (£(t))X (t)dw(t), (1)
где w(t) - стандартный винеровский случайный процесс, удовлетворяющий условиям < w(t) >= 0, w(0) = 0, < w2 (t) > = t (t > 0), < dw(t)dw(t) >= dt.
Здесь <■> - символ операции математического ожидания и £(t) — конечнозначный марковский случайный процесс, принимающий значения £к (к = 1,..., п) с вероятностями
Рк (t) = P{C(t) = Ск } (к = U. п).
Предполагаем, что вероятности pk(t)(к = 1,...,п) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
^ = ^LaksPs(t) (к = п).
dt t?
Постоянные коэффициенты (к, s = 1,..., п) удовлетворяют известным условиям [1]
afe > 0 (к Ф s, к,s = 1,...,п), < 0 (к = 1,...,п),
Адрес для корреспонденции: Курбаншоев Сафарали Завкибекович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе; ул.Мирзо Турсунзаде, 30, Российско-Таджикский (Славянский) университет. Е-таіІ:ки_48@ИоШаі1.сот
П
£аь =0 (5=I,-, п).
к=1
Нулевое решение системы уравнений (1) будет асимптотически устойчивым в среднем квадратичном, если для любого решения Х(1;) системы уравнений (1) выполняется предельное соотношение
Нш < I\Х(Г)||2 > 0.
Для исследования устойчивости вводим положительно определенную квадратичную форму
м>(X¿($)) = X'Б(£($))X, Б(С(1)) > 0,
удовлетворяющую условию
Л||Х||2 < ЧX,С(г)) <^| |Х||2 (Я> 0).
Затем вводим функцию Ляпунова по формуле
г(>, X ,о=| < «< X (у),а у)) | (X (>)=X ,ао=о > «у.
I
Символ <'|‘> обозначает условное математическое ожидание. Дальше используются частные значения функции Ляпунова
5 5 = {< СуШу^1^ (0 = 555) = а) > Ф (5=и.п). (2)
I
Теорема 1. Для того, чтобы нулевое решение системы линейных дифференциальных стохастических уравнений (1) было асимптотически устойчиво в среднем квадратичном, необходимо и достаточно, чтобы сходились несобственные интегралы (2).
Находим приращения функций V (^, X) при ( + И (И > 0) и приходим к следующему результату.
Теорема 2. Для того, чтобы система линейных стохастических дифференциальных уравнений (1) имела асимптотически устойчивое в среднем квадратичном решение, необходимо и достаточно, чтобы система матричных уравнений
п
С,А, + А*С, +£аьС, + Н'СН. + В, = 0 (* = 1,...,п),
к=1
где введены обозначения
А = А(С), Н = на), в* = В(С) (5 = 1,...,п),
при В > 0(5 = 1,..., п), имела единственное решение С > 0(5 = 1,..., п).
В частном случае при Н(О(/)) = 0 эта теорема доказана в работе [2]. Теорема 2 также обобщает результаты работы [3] на случай коэффициентов, зависящих от конечнозначного марковского процесса.
Рассмотрим вопрос об устойчивости решений системы линейных стохастических дифференциальных уравнений
1
dx(t) = А(О(н ))x(t)dt+£ н а(t))x(t)dWj (/), (3)
]=1
где (/) - независимые винеровские стандартные случайные процессы, О(/) - марковский конеч-
нозначный случайный процесс. Вводим обозначения
н]к = н(О) (] = 1,..., 1; к = 1,...,п)
и приходим к теореме
Теорема 3. Для того, чтобы нулевое решение системы линейных стохастических дифференциальных уравнений (3) было асимптотически устойчивым в среднем квадратичном, необходимо и достаточно, чтобы система матричных уравнений для симметричных матриц С (, = 1,..., п)
С,А + А]с, + £а„Ск + £Н]С,Н. + В, = 0 (5 = 1,...,п)
к=1 ]=1
при В > 0 (, = 1,..., п) имела единственное решение С > 0 (, = 1,..., п).
Поступило 05.02.2010 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. - М.: Наука, 1980, 436 с.
2. Валеев К.Г., Карелова О.Л., Горелов В.Н. Оптимизация линейных систем со случайными коэффициентами. - М.: РУДН, 1996, 258 с.
3. Кореневский Д.Г. Дестабилизирующий эффект параметрического белого шума в непрерывных и дискретных динамических системах. - Киев: Академпериодика, 2008, 128 с.
Г.Валеев*, С.З.Курбоншоев
ТАДЦИЦИ УСТУВОРИИ ХДЛЛИ СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ХАТТЙ БО КОЭФФИСИЕНТ^ОИ ТАСОДУФЙ
Донишго^и Россияю Тоцикистон (Славянии),
*Донишго%и Миллии Иктисодии Киев (Украина)
Дар макола шартх,ои зарури ва кифоягии устувории хдлли системаи муодилах,ои диффе-ренсиалии стохастикии тарафи росташон аз х,олати тасодуфии марковй киммати охирнок во-баста мебошанд, ёфта шудаанд.
Калима^ои калиди: муодилауои стохастикиии дифференсиали - цолати тасодуфии винери - инти-зории математики - устувории асимптотики дар халли миёнаи квадрати.
K.G. Valeev*, S.Z.Kurbanshoev THE RESEARCH OF STABILITY OF SOLUTIONS OF SYSTEM OF THE LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH RANDOM COEFFICIENTS
Russian-Tajik (Slavyanian) University,
Kiev National University of Economic (Ukraina)
It is found necessary and sufficient conditions of stability of solutions of systems of the stochastic differential equations, the right parts of which depend from finite value of the Markovskiy random process. Key words: the stochastic differential equations - vinerovsky casual process - mathematical expectation -asimptotical stability in the medial quadratic solution.
