CC BY
33
А.А. Назаров, М.А. Никитина
ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ СТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМА В СЕТЯХ СВЯЗИ С А-НАСТОЙЧИВЫМ ДОСТУПОМ
Построены математические модели сетей связи, управляемых й-настойчивыми протоколами случайного множественного доступа с непрерывным и дискретным контролем сигнала оповещения о конфликте. Определены условия существования стационарного режима в данных сетях связи.
Исследованию сетей связи с протоколами случайного множественного доступа с оповещением о конфликте посвящено большое число публикаций, например [1-3]. Одной из основных задач исследования является проблема существования в них стационарных режимов [4, 6]. В данной работе рассмотрены сети связи, управляемые протоколами й-настойчивого доступа с непрерывным и дискретным контролем сигнала оповещения о конфликте. Так как в таких сетях канал связи совместно используют все абонентские станции, которые могут осуществить передачу в любой момент времени, то возможно совпадение времени передачи сообщений нескольких станций, при этом сообщения искажаются (попадают в конфликт). Все сообщения, попавшие в конфликт, передаются повторно. Для избежания искажения других сообщений распространяется сигнал оповещения о конфликте. В сети связи с непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте после его окончания все абонентские станции, отправившие за это время свои сообщения в сеть, сразу же делают попытку повторной передачи. Если после этого сообщение попало в конфликт, то оно с вероятностью й передается повторно, с вероятностью 1-й теряется. В сетях связи с дискретным контролем каждое сообщение, поступающее в сеть на этапе оповещения, с вероятностью й передаётся повторно, а с вероятностью 1-й теряется.
Математическая модель сети связи с А-настойчивым протоколом
случайного множественного доступа с непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте
В качестве математической модели данной сети связи рассмотрим однолинейную систему массового обслуживания (СМО), на вход которой поступает простейший с параметром X поток заявок. Если прибор свободен, поступающая заявка начинает обслуживаться. Время обслуживания распределено по экспоненциальному закону с параметром ц. Если за это время другие требования не поступают, то заявка, завершив обслуживание, покидает систему. Если во время обслуживания поступает другая заявка, то возникает конфликт. Каждая заявка, попавшая в конфликт, переходит в источник повторных вызовов (ИПВ). На приборе начинается этап оповещения о конфликте. Его продолжительность распределена по экспоненциальному закону с параметром ц1. Все заявки, поступившие в систему на этапе оповещения о конфликте, становятся в очередь. После окончания этапа оповещения о конфликте все заявки, находящиеся в очереди, обращаются к прибору. Если в очереди нет заявок, прибор остается свободным, если в очереди одна заявка, она начинает обслуживаться, если в очереди больше одной заявки, то каждая из них с вероятностью й уходит в ИПВ, а с вероятностью 1-й теряется. В ИПВ каждая заявка находится случайное вре-
мя, распределенное по экспоненциальному закону с параметром ст. Состояние системы определим вектором (к, і, у), где
1) к - состояние канала: к=0 - прибор свободен; к=1 - прибор занят обслуживанием заявки; к=2 - в системе реализуется сигнал оповещения о конфликте;
2) і - число заявок в ИПВ;
3) если к=2, то ] - число заявок в очереди, если к^2, то компонента ] не определяется.
Процесс {к(0, і(0, _/'(/)} изменения во времени состояния системы является марковским.
Существование стационарного режима
в сети связи с непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте
Для нахождения условия существования стационарного режима для данного марковского процесса построим модифицированную модель. Те заявки, которые в исходной модели должны попасть в конфликт (находящиеся в очереди), принимают решение о повторении попыток обслуживания не в момент конфликта, а в момент своего поступления в систему. При этом такие заявки могут вновь обратиться к прибору на этой же фазе этапа оповещения и с вероятностью 1-й покинуть систему, что исключается для исходной модели, пока заявка находится в очереди. В условиях большой задержки (а именно в этих условиях будет проводиться исследование рассматриваемой модели) вероятность повторного обращения к прибору одной и той же заявки в течение одного этапа оповещения о конфликте стремится к нулю. В этом смысле модифицированная модель эквивалентна исходной. Тогда компонента к принимает следующие значения: к=0 - прибор свободен, к=1 - на приборе идет обслуживание. На этапе оповещения будем различать три состояния канала:
к=20 - в очереди нет заявок;
к=21 - в очереди одна заявка;
к=22 - такая фаза этапа оповещения о конфликте, после окончания которой опять начинается этап оповещения. Процесс {к(ї), і(ґ)} является цепью Маркова с непрерывным временем. Модифицированная модель гораздо проще исходной, так как ее функционирование определяется ленточным графом.
Эргодичность случайного процесса полностью определяется [5] эргодическими свойствами вложенной в него цепи Маркова при условии конечности средних времен пребывания в состояниях процесса.
Пусть 4 - моменты времени, непосредственно следующие за изменением состояния прибора или поступлением заявки на этапе оповещения о конфликте. Процесс с дискретным временем {к(4), і(4)} является вложенной цепью Маркова для процесса {к(0, /'(/)}. Вероятности ди,,(кД перехода за один шаг из состояния (п,і) в состояние (ку) имеют вид:
Чо.
,(1,і)=\в~ia,d (1-в^' )=
X
; (1, і - 1) = і в (1 - в-СТ')
X + іст іст
X + іст
ди (0, і) = | в-Х'в-iстtd(1 - в~ц')
0
дм (20, і +1) = | в-х‘в-цtd(1 - в-ст'-
0
ОТ
ди (20, і + 2) = | в-гстtв-цtd(1 - в^'-
ц
0
ОТ
д20, (21, і +1) = | в-(Ц1 +іст)íd(1 - в-х'-
X + іст + ц іст
X + іст + ц
X ;
X + іст + ц’
X
X + іст + ц1
д20,і (21, і) = | вЧЦ1 +X)td(1 - в-іст'-
0 ОТ
д20 і (0, і) = | в-(X+гст)td( - в-ц')---------------------Ц1-------
0 а + іст + ц
X + іст + ц1
д 21,і(1, і -1) =
д 21,і (22, і +1) =
д 21,і(22,і)=
ц1
X + (і - 1— + ц1 ’ Xй2 ;
X + (і - 1)ст + ц
(і-1)ст -й1 +
X
X+(і - 1)ст+ц
д 21,і(22, і -1) =
X+(і - 1)ст+ц
(і - 1)ст
2й(1-й);
X + (і - 1)ст + ц
X Л , \2
2й(1 - й) +
X + (і - 1)ст + ц
(1 - й)2
д 21, і(22, і - 2) = т—,(. 1)---------------------(і- й)2;
X + (і - 1)ст + ц Xй
д 22, і (22, і +1) =
X + іст + ц1
ч X(1 - й) істй
д22,і (22,і) = " +
д 22, і (22, і - 1!) =
д 22, і(20, і) =
X + іст + ц1 X + іст + ц1 іст(1 - й)
X + іст + ц1
ц1
ЕЕ?»,/(к’Л)хк(Л) - х»(/)-е для 1 > /> > (!)
к=1 Л=0
^ да ____
ЕЕ?»,/(к’Л)хк(Л) <’ для 1 -го’ п=1,(2)
к=1 Л=0
При этом существует единственное эргодическое распределение, совпадающее со стационарным».
Условие (2) выполняется всегда, так как в суммах (2) конечное число слагаемых. Условия (1) для рассматриваемой модели имеют вид системы пяти неравенств:
х (/)+—^—Х1 (/ -1) - Хо(/) - -е;
Х+/ст Х+/ст
^ /ч /СТ 1Ч
-Хо(/) +"—:-----Х2о(/ +1) +
X+iст+ц X+іст+ц
X
X + іст + ц
Л-20 (і + 2) - хО ) <-е ;
----------;-------------Хц (і + 1) + ------------------------ц------------------------Хд (і) +
X + іст + ц1 X + іст + ц1
іст
X+іст+ц1
Хц (і) - хм(і) <-є;
Xй2
X+(і - 1)ст+ц^
'Хц (і +1) +
(і -1)стй
X+(і - 1)ст+ц
X2й(1-й) X+(і - 1)ст+ц
Х22 (і) +
+ (і-1)ст2й(1-й) X+(і - 1)ст+ц
х х22(і - 2) +
X(1-й)2
X+(і —1)ст+ц
х22 (і —1) +
(і-1)ст(1-й)2 X+(і —1)ст+ц
ц1
X+(і - 1)ст+ц
х1(і -1) - х21(і) < -є;
Xй X(1 - й) + істй
х22 (і +1) + х22 (і) +
X + іст + ц1
X + іст + ц1
іст(1 - й)
+ Х 22 (і - 1) +
ц1
X + іст + ц1
X + іст + ц1
Х20 (і) - (3)
— X22 (і) < —Є.
Числа Хк (і) будем искать в виде
хк(і)=Аі+вк, (4)
Подставив (4) в (3), получим неравенства:
В1 - В0 < -є +
іст
X + іст
-А;
ц
-в0 +-
X + іст
X + іст + ц X + іст + ц
В20 В1 <
іст + 2X
<-є------------------------А;
ц1
Х + /СТ + ц1
Из вида вероятностей перехода следует, что данная цепь неприводима и непериодична.
Для доказательства существования стационарного режима воспользуемся эргодической теоремой Мустафы [5], которая в рассматриваемом случае будет иметь следующий вид:
«Для того чтобы неприводимая, непериодическая цепь Маркова была эргодична, достаточно существования е>о, натурального /о и набора неотрицательных чисел хк(/) таких, что
-в0 +-
X + іст + ц X + іст
X + іст + ц1 X + іст + ц1
В21 В20 <
< -Є --
X
X + іст + ц1
А;
ц1
-в, + х+(і 1)ст в22 - в21 <
X+(і—1)ст+ц^ X+(і—1)ст+ц^
< є| ц1 +X(1-2й)+(і -1)ст2(1-й) А
X+(і — 1)ст+ц1
ц1
■В20 --
ц1
X+iст+ц1 X+iст+ц1
в22 <
+
+
іст(1-й) ^й
<—є +— -------- -----А.
X + іст+ц1
(5)
В (5) заменим є на 2є и перейдем к пределу при і——от, получим систему неравенств, которая, в частности, обращается в систему равенств:
В1 — В0 = —2є + А ; Вю — В1 = —2є — А ;
Вц — Вю = —2є ; Вц — Вц = —2є + 2(1 — й)А;
0 = -2є + (1 - й) А. (6)
Система неравенств (6) имеет положительное решение, если й < 1. Например,
А =
2є
1-й
; В0 =
6є 1—й
; в1 =
6є + 2єй 1 - й
В = 2є + 4єй ; В = 6єй ; в = 4єй + 2є
£>-,/4 . -Оті . -Оо") '
1-й
1-й
1-й
следующие за моментами изменения состояния прибора или поступления заявки на этапе оповещения о конфликте. Процесс с дискретным временем {к('п),і('п)} является вложенной цепью Маркова для процесса {к('),і(')}.
Вероятности дпі(ку) перехода за один шаг из состояния (п,і) в состояние (к, у) имеют вид:
д0,(1 .о =
X
X + іст
; д0,і(1, г -1) =
іст
X + іст
д1,г(0, г)=т—ц—; д\,г(2, г+1) = гст
д1,і (2,. + 2) =
X + іст + ц X ; X + іст + ц'
X + іст + ц Xй
X + іст + ц1
Если существует положительное решение предельной системы (6) для 2є, то найдется такой номер і0, что для любого і>і0 будет выполняться допредельная система неравенств (5) для є. Таким образом, при выполнении условия й<1 в системе с непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте существует стационарный режим для любых значений параметра X.
Математическая модель сети связи с А-настойчивым протоколом случайного множественного доступа с дискретным контролем сигнала оповещения о конфликте
В качестве математической модели данной сети связи рассмотрим однолинейную систему массового обслуживания (СМО), на вход которой поступает простейший поток заявок с параметром X. Если прибор свободен, поступающая заявка начинает обслуживаться. Время обслуживания распределено по экспоненциальному закону с параметром ц . Если за это время другие требования не поступают, то заявка, завершив обслуживание, покидает систему. Если во время обслуживания поступает другая заявка, то возникает конфликт. Каждая заявка, попавшая в конфликт, переходит в источник повторных вызовов (ИПВ). На приборе начинается этап оповещения о конфликте. Его продолжительность распределена по экспоненциальному закону с параметром ц1 . Все заявки, поступившие в систему на этапе оповещения о конфликте, с вероятностью й становятся в очередь, и с вероятностью 1-й теряются.
Состояние системы определим вектором (к,і), где к - состояние канала: к=0 - прибор свободен; к=1 - прибор занят обслуживанием заявки; к=2 - в системе реализуется сигнал оповещения о конфликте; і - число заявок в ИПВ. Процесс {к('),і(')} изменения во времени состояния системы является цепью Маркова с непрерывным временем.
Существование стационарного режима в сети связи с дискретным контролем сигнала оповещения о конфликте
Для нахождения условия существования стационарного режима для данной цепи построим вложенную цепь. Пусть 'п - моменты, непосредственно
„ (2 г) М1 - й) +істй . (2 . іст(1 - й)
д2,.(2,г) = Л . . .------; д2,. (2,г -1) = ■
Х + /ст + ц1 " ■'Л‘ч ' Х + /ст + ц1
д 2/(°О = -——1—.
Х + /ст + ц1
Для доказательства существования стационарного режима в данной системе также воспользуемся эргодической теоремой Мустафы [5].
Условие (2) выполняется всегда, так как в суммах (2) конечное число слагаемых. Условия (1) для рассматриваемой модели имеют вид системы трех неравенств:
. Х. х1 (/) + — х1 (/ -1)-Хо(/) - -е;
Х + /ст Х + /ст
----------хо (/) +---—-----х2 (/ +1) +
Х+ /ст+— 0 Х+ /ст+— 2
X
X + іст + ц
х2 (і + 2) - х1 (і) < -є;
Xй X(\ - й) + істй
Х2 (г +1) +---------------------------Х2 (г) +
X + іст + ц1
X + іст + ц1
іст(1 - й)
+------------------х2(і - 1) +
ц1
X + іст + ц1
X + іст + ц1
Х2(і) - (7)
— Хц (і) < —є.
Подставив выражение (4) в (7), получим неравенства:
В1 - В0 < -є +
X + іст
А,
ц
X + іст + ц
В0 +■
X + іст
X + іст + ц
іст + 2X
< -є------------------------------А
X + іст + ц
"В0 "
В2 - В1 <
X + іст + ц X + іст + ц
іст(1 - й) -}й < -є + А .
X + іст + ц
В2 <
(8)
В (8) заменим є на 2є и перейдем к пределу при і — от , получим систему неравенств, которая, в частности, обращается в систему равенств
В1 — В0 = —2є + А ; В2 — В1 = —2є — А; 0 = -2є + (1 - й) А.
(9)
Система неравенств (9) имеет положительное решение, если к < 1, например:
Л = Л. ; « =- 5е
1-й
1-й
5є + 2єй є + 4єй
В1 — ; В2 — "
1-й
1-й
Если существует положительное решение предельной системы (9) для 2є, то найдется такой номер і0, что для всех і>і0 будет выполняться допредельная система неравенств (8) для є . Таким образом, при выполнении условия й<1 в системе с дис-
кретным контролем сигнала оповещения о конфликте существует стационарный режим для любых значений параметра Х .
Заключение
В данной работе показано, что в сетях связи, управляемых протоколом к-настойчивого доступа с непрерывным и дискретным контролем сигнала оповещения о конфликте, существует стационарный режим при выполнении условия к<1. Рассмотренный подход может быть применен и для исследования других сетей связи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лившиц Б.С., Пшеничников А.П., Харкевич А.Д. Теория телетрафика. М.: Связь, 1979.
2. КлейнрокЛ. Вычислительные системы с очередями. М.: Мир, 1979.
3. Бертсекас Д., ГалагерР. Сети передачи данных. М.: Мир, 1989.
4. Назаров А.А., Туренова Е.Л. Исследование устойчивости сетей связи, управляемых протоколами случайного доступа с оповещением о конфликте // Автоматика и вычислительная техника. 2оо1. № 4. С. 32-43.
5. КоролюкВ.С. Стохастические модели систем. Киев: Наукова думка, 1989.
6. Шохор С.Л. Эргодичность цепей Маркова с ленточным графом и их применение к задачам анализа условий существования стационарных режимов в сетях связи с динамическими протоколами случайного множественного доступа // Проблемы передачи информации. 2оо1. № 2. С. 3-18.
7. Климов Г.П. Стохастические системы массового обслуживания. М.: Наука, 1966.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики
Томского государственного университета, поступила в научную редакцию номера 3 декабря 2оо1 г.
