CC BY
34
А.А. Назаров, С.А. Цой
ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДВУХКАНАЛЬНОЙ СЕТИ
СЛУЧАЙНОГО ДОСТУПА
В работе рассматривается двухканальная сеть случайного доступа. Предлагается ее математическая модель в виде двулинейной системы массового обслуживания, исследование которой выполнено методом асимптотического анализа с использованием общего подхода к исследованию марковских моделей сетей случайного доступа, который также описывается в данной работе.
Топология «шины» является, как правило, основной при создании компьютерных сетей связи, управляемых протоколами случайного множественного доступа [2,10]. При технической реализации таких сетей помимо основного канала связи прокладывается также резервный, который используется в исключительных случаях, путем переключения абонентских станций на резервный канал.
Несомненно представляют интерес теоретические исследования возможностей совместного использования двух каналов одновременно в сетях случайного доступа.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВУХКАНАЛЬНОЙ СЕТИ СЛУЧАЙНОГО ДОСТУПА
В качестве математической модели двухканальной сети случайного доступа рассмотрим двулинейную систему массового обслуживания (СМО) [4,9], на вход которой поступает простейший поток заявок интенсивности X. Аналогичный подход рассмотрен в работах [5 - 8]. С вероятностью г поступившая заявка обращается к первому, а с вероятностью (1 - г) - второму прибору. Если соответствующий прибор занят обслуживанием другой заявки, то обе попадают в конфликт и переходят в источник повторных вызовов (ИПВ). От этого момента в каналах начинает распространяться сигнал оповещения о конфликте случайной продолжительности, имеющей экспоненциальное распределение с параметрами 1/а1 и 1/а2 для первого и второго каналов соответственно. Здесь а1 и а2 - средние значения времени распространения сигнала оповещения.
При этом возможны две ситуации:
1. Сигналы оповещения о конфликтах на первом и втором приборах физически неразличимы.
2. Сигналы оповещения о конфликтах на первом и втором приборах различимы.
Естественно, что во втором случае поступившая заявка обращается к тому прибору, для которого отсутствует сигнал оповещения о конфликте.
Заявки, обратившиеся к прибору во время распространения сигнала оповещения, переходят в ИПВ. Если заявка принята к обслуживанию, и в течение этого времени другие заявки к данному прибору не обращались, то обслуженная заявка покидает систему. Будем полагать, что время обслуживания имеет экспоненциальное распределение с параметром ц1 для первого и д2 - для второго приборов. После случайной задержки в ИПВ заявка вновь обращается к одному из приборов по вышеописанной схеме с повторной попыткой успешного обслуживания.
Состояния приборов определяется двумерным вектором (к1,к2), где ку = 0, если прибор свободен, ку = 1, если в нем обслуживается заявка и ку = 2, если
на приборе реализуется сигнал оповещения о конфликте. Состояние источника повторных вызовов определим величиной i - числом заявок в ИПВ. Состояние сети в целом определяется трехмерным вектором (kj,k2,i). Процесс ((t),k2(t),i(t)) изменения во времени состояния сети является марковским [1], поэтому для его распределения вероятностей
pklk2 (i, t) = P (kj (t) = kj, k2 (t) = k2, i(t) = i)
можно выписать равенства
Poo (i, t + At) = (1 - (X + CTi))P00 (i, t) + Ц1Р0 (i, t) +
+H-2P01 (i, t) +--P20 (i, t) +---P02 (i, t) + o(At) ;
a Ü2
Pj0 (i, t + At) = (1 -(X + CTi + Hi )) Pj0 (i, t) +1^2 Pi (i, t) +
+гст (i +1) P00 (i +1, t ) + r XP00 (i, t ) +—P2(i,t ) + o(At ),
a2
P)1 (i, t + At ) = (1 - (X + CTi + ц 2 )) P01 (i, t ) + M-1pÎ1(i, t ) +
+(1 - r )ct(i +1)P00 (i +1, t) +-P21(i,t) +
a1
+(1 - r )XP)0 (i, t) + o(At) ;
P11(i, t + At ) = (1 - (X + CTi + ц1 +ц 2 )) P11(i, t ) +
+(1 - r)XP10(i, t) + (1 - r)ct(i + 1)P0(i + 1, t) +
+rXP01 (i, t) + rCT(i + 1)P01 (i + 1, t) + o(At) ;
P02 (i, t + At ) = (1 - (X + rCTi +1/ a2 )) P02 (i, t ) +
+(1 - r )XP01 (i - 2,t) + ^1P12 (i,t) + P22 (i,t) +
a1
+(1 - r )ct(i-1)P01(i-1, t) + (1 - r )XP02 (i-1, t) + o( At); p20 (i, t + At) = (1 - (X + (1 - r )CTi +1/a1 )) P20 (i, t) +
+rXp 0 (i - 2, t ) + |a2 P21 (i, t ) +—P22 (i, t ) +
a2
+rCT(i -1)P 0 (i -1, t) + rXP20 (i -1, t) + o(At) ;
P 2 (i, t + At ) = (1 - (X + rCTi + ц1 +1/ a2 )) P 2 (i, t ) + +rXP02 (i, t) + rCT(i +1)P02 (i +1, t) + (1 - r )XP 1 (i - 2, t) +
+(1 - r )CT(i -1)P1 (i -1, t) + (1 - r)XP12 (i -1, t) + o(At) ;
P21 (i, t + At) = (1 - (X + (1 - r)CTi + Ц2 + Va1 )) P21 (i, t) + +rXP 1 (i - 2, t) + rXP21 (i -1, t) + (1 - r )CT(i +1)P20 (i +1, t) + +rCT(i -1)P 1(i -1, t) + (1 - r)XP20 (i, t) + o(At) ;
P22(i, t + At ) = (1 - (X + У a1 +1/ a2 )) P22(i, t ) +
+rXP 2 (i - 2, t) + гст(i -1)P 2(i -1, t) + XP22 (i -1, t) +
+(1 - r )XP21 (i - 2, t) + (1 - r )ct(i -1)P21 (i -1, t) + o( At).
Выполнив несложные преобразования, получим, что распределение Ркк (I, () удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений:
dPpo(i, t) dt
+ (Х+сті) Pqq (i, t) = Ц.1Р0О', t) + Ц P01 (i, t) +
+---------P20 ^, t) +-P02 ^, t) ;
ai a2
+ (X + CTi + ц) Pq (i, t) = Ц2 P1 (i, t) + +гст (i + 1) P00(i + 1, t) + r XPqq (i, t) +—P 2 (i, t),
dpo(i, t) dt
dPo1 (i, t) dt
+ (X+CTi + ц 2 )Pq1 (i, t) = ЦP 1(i, t) +
1
+(1 - r ) ct( /' +1) pqq (/' +1t) +— P21( ^ t) +
dP 1 (i, t)
dt
+(1 - r)XPqq(i, t);
+ (Х + сті + Ц1 +Ц2) P1 (i, t) = (1 - r )XP q (i, t) +
dPo2(i, t) dt
+(1 - r) ст( і +1) P 0 (i +1, t) + rXP01 (i, t) +
+гст(і + 1)P01 (i + 1, t);
+ (X + гсті +1 a2 )Pq2 (i, t) = (1 - r )XPq1 (i - 2, t) +
1
+M-1P12 (i,t) + —P22 (i,t) + (1-r)CT(i -1)Pq1 (i -1,t) +
+(1 - r) XPq2( і-1, t);
dpo (i, t)
dt
+ (X + (1 - r) сті + У a1 )P20 (i, t) = rXP10 (i - 2, t) +
1
+Ц2 P21 (i, t) +—P22 (i, t) + гст(і -1) Pq (i -1, t) +
dP2(i, t) dt
+rXP,Q(i -1, t);
+ (X+гсті + Ц +1/ a2 )p2 (i, t) = rXPQ2 (i, t) +
+гст(і +1) PQ2 (i +1, t) + (1 - r )XP 1 (i - 2, t) +
+(1 - r)ст(і -1)P1 (i -1, t) + (1 - r)XP12 (i -1, t); dP (i t)
2д/ + (x+(1 - r) сті+ц 2 + V a P (/, t) = dt
= rXP 1 (i - 2, t) + rXP21 (i -1, t) + (1 - r )XP2Q (i, t) + +(1 - r)ст(і +1)P2Q (i +1, t) + гст(і -1)P1 (i -1, t);
+ (X + V a + 1/ a2 ) P22 (i, t) = rXP 2 (i - 2, t) +
t)
дt
гст(1 -1)Р2 (I -1, /) + (1 - г)ХР!1(/- - 2, t) +
+(1 - г)ст(1 -1)Р,! (/■ -1, t) + ХР22 (/■ -1, t) .
При исследовании одноканальных сетей случайного доступа, функционирующих в стационарном режиме, были получены аналогичные системы уравнений. Для их решения применялся метод асимптотического анализа марковизируемых систем. Использование этого метода для системы (1) приводит к громоздким записям, выходящим за рамки научной публикации, поэтому, переходя к векторной форме, обозначим вектор-столбец
P(i, t) = {Pqq (i, t), Pq1 (і, t),Pq2 (І, t),Pq (i, t),P 1 (i, t),
P2 (i,t), P2Q(i,t), P21 (i,t), P22 (i, t)}
и матрицы A0(i), A1(i), B^i) и B2 определим таким образом, что систему (1) представим в виде
dP(i, t)
dt
■ = Aq (і) P(i, t)+A1 (i +1) P(i +1, t) +
+В (I -1)Р(1 -1, t) + В2 Р(1 - 2, t). (2)
Отметим, что аналогично (2) можно записать соответствующие системы уравнений, определяющих функционирование математических моделей и других сетей связи случайного доступа, поэтому нижеприведенный подход к исследованию математических моделей сетей случайного доступа имеет достаточно общий характер.
ОБЩИЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ МАРКОВСКИХ МОДЕЛЕЙ СЕТЕЙ СЛУЧАЙНОГО ДОСТУПА
Обозначим ст = 82, e.2t = т и покажем, что
х(т) = lim є2/ (т/є2)
є___Q ' '
(1)
8—>0
является детерминированной функцией,
82| (^82 )- х(т) у(т) = Пт---------------
8—0 8
- диффузионным процессом авторегрессии. Процесс изменений состояний каналов к (х/82) при 8 — 0 является дискретным марковским процессом независимым от процесса у(т).
Используя предельные процессы х(т) и у(т) для достаточно малых 8, рассмотрим процесс ¿(т) = х(т) +8у(т), который с точностью до о (8) совпадает с процессом 821 (тД2) и характеризует процесс изменения числа заявок в ИПВ. Покажем, что процесс ¿(т) является диффузионным, и найдем его коэффициенты переноса и диффузии.
Сформулированные результаты получим с помощью исследования системы (2), которая имеет место не только для рассматриваемой СМО, но также и для других сетей случайного доступа, математические модели которых можно представить в виде марковских СМО с источником повторных вызовов и конечным числом состояний канала.
Для получения указанных результатов в системе (2) выполним замену
82t = т; 821 = х(т) +ву; 1 Р(1, t) = Н (у, т, 8), (3)
8
где х(т) - некоторая заданная функция, вид которой будет определен ниже, тогда систему (2) перепишем следующим образом:
8 2 дН (у, т, 8) -8х,(т) дН (у, т, 8) =
дт
ду
= Aq( x+єу) H (у, т, є)+A1 (x+є( у + є))Н (у + є, т, є) + +B1(x+є(у-є))Н(у-є,т,є) + B2H(у-2є,т,є). (4)
2
a
a
2
Систему (4) будем решать в четыре этапа.
Первый этап
На первом этапе найдем распределения вероятностей значений процесса к(т). Для этого в системе (4) перейдем к пределу при 8 — 0, обозначив Н (у, т,0) = Н (у, т), и получим относительно вектора Н (у, т) однородную систему линейных алгебраических уравнений
К (х) Н (у, т) = 0, (5)
где матрица К (х) имеет вид
К (х) = А0( х) + А1( х) + В1( х) + В2 (6)
и является инфинитезимальной матрицей интенсивностей переходов случайного процесса к(т). Из свойств таких матриц следует, что их строки линейно зависимы, так как
ЕТК (х) = 0, (7)
где Е - единичный вектор столбец. Следовательно, система (5) имеет нетривиальное решение, которое представим в виде
Н (у, т) = Я( х)р (у, т), (8)
где р(у,т) - скалярная функция, а вектор Я(х) определяется аналогично (5) однородной системой линейных алгебраических уравнений
К (х) Я( х) = 0. (9)
Положим, что вектор Я(х) удовлетворяет условию нормировки
ЕТЯ( х) = 1. (10)
Тогда Я (х) имеет смысл распределения вероятностей значений процесса к(т), а р(у, т) является плотностью распределения вероятностей значений процесса у(т), ее вид будет определен ниже.
Отметим, что в силу равенства (8), процессы к(т) и у(т) стохастически независимы.
Покажем, что решение Я( х) системы (9), удовлетворяющее условию нормировки (10), существует и единственно.
Теорема 1. Решение Я( х) системы (9), удовлетворяющее условию нормировки (10), существует и единственно.
Доказательство. Для доказательства теоремы формально воспользуемся теоремой эргодичности. По инфинитезимальной матрице построим матрицу переходных вероятностей вложенной цепи Маркова с дискретным временем. Это реализуется исключением диагональных элементов матрицы К (х) и нормированием ее строк. Полученная матрица неприводима и непериодична, поэтому выполнены условия теоремы эргодичности, то есть, выполнены условия эргодичности для цепей Маркова с конечным числом состояний. Следовательно, существует единственное эрго-дическое распределение, которое для процесса с непрерывным временем определяется системой (9) и условием нормировки (10). Таким образом, решение
Я( х) однородной системы линейных алгебраических
уравнений (9), удовлетворяющее условию (10), существует и единственно.
Теорема доказана.
Еще раз подчеркнем, что приведенное доказательство использует теорему эргодичности не по существу, а чисто формально, так как распределение Я(х) зависит от значений функции х(т), следовательно, не является, вообще говоря, стационарным.
Второй этап
На втором этапе решения системы (4) найдем вид функции х = х(т).
Теорема 2. Функция х = х(т) является решением обыкновенного дифференциального уравнения [11]
х'(т) = ЕТУ (х) Я( х), (11)
где матрица V (х) имеет вид
V(х) = В1(х) + 2В2 - А1(х). (12)
Доказательство. Функции в правой части системы (4) разложим в ряд по приращениям аргумента у
с точностью до о(8) и перепишем эту систему в виде
-8х'(т) дН(Т’ 8) = К (х + 8у)Н(у, т, 8) -
ду
дН (у, т, 8)
-8 V ( х)--------- + о(8)
ду
(13)
где матрица V(х), очевидно, имеет вид (12). Просуммируем все уравнения системы (13) и, учитывая свойство (7) матрицы К , получим
-8» (т)ЕТ = _8Е>(х) + 0(8) .
ду
ду
Поделив левую и правую части этого равенства на 8 и полагая 8 — 0, запишем
х•(т)ЕТ Щ'Ш! = ЕГУ(х)дН(у,^18>. ду ду
Подставляя в это равенство Н (у, т) в виде (8), получим
х'(т) ЕТЯ( х)дР (У т) = ETV (х) Я( х)-^(У т)
дУ
ду
откуда, учитывая условие нормировки (10), получим обыкновенное дифференциальное уравнение
х'(т) = ETV (х) Я( х), (14)
определяющее вид функции х = х(т).
Теорема доказана. Третий этап
На третьем этапе найдем разложение функции Н (у, т, 8) в виде
Н(У,т,8) = Я(х)р(у,т) + 8Й(у,т) + 0(8) . (15)
Теорема 3. Вектор И(у,т) является решением неоднородной системы линейных алгебраических уравнений
К (х)Н( у, т) = [V (х) - х '(т) I ]](х)
дЕ (у, т)
дУ '
-К ( х)Я( х) у¥ (у, т), (16)
где I - диагональная единичная матрица, а х'(т) определяется равенством (16).
Доказательство. Систему (13) перепишем в виде
К (х + єу )Н (у, т, є) = є[ (х) - х '(т)І] ]Н(уіті£) + о (є)
у
и, подставив в это равенство разложение матрицы К(х+єу) вида К (х+єу) = К (х) + єуК'(х), получим К (х) Н (у, т, є) + єуК'(х) Н (у, т, є) =
= є[(х)-х'(т)І]Ну-тє)+о(є).
у
В это равенство подставим разложение (15), тогда К (х) Я( х) Е (у, т) + єК (х)И( у, т) + єуК'(х) Я( х) Е (у, т) =
= є[(х)-х'(т)/]Я(х)дЕ(y,т) +о(є) .
у
Учитывая равенство (9) и выполнив несложные преобразования, последнее равенство перепишем в виде
дЕ (у, т)
К (х)Н( у, т) = [ (х) - х '(т) I ]Я( х)-
у
-уК'(х)Я(х)Е(у,т),
совпадающем с (16). Матрица К (х) неоднородной системы (16) имеет определитель, равный нулю, поэтому данная система линейных алгебраических уравнений имеет решение только тогда, когда ранг собственной матрицы К (х) системы совпадает с рангом расширенной матрицы.
В силу теоремы 1 ранг матрицы К(х) на единицу меньше ее размерности. Покажем, что уравнения неоднородной системы (16) линейно зависимы.
Суммируя все уравнения системы (16), получим
ЕТ К(хЖу, т) = Ет [V(х) - х'(т)I]Я(х)
- Ет К'(х) Я( х) уЕ (у, т) =
дЕ (у, т)
ду "
= [етК (х) - Етх '(т) I ] Я( х)
дЕ (у, т)
ду "
-^г[еТК(х)}Я(х)уЕ(у,т).
где вектор А(1) (х) является решением системы
К(х)Ит(х) = ]у(х)-х'(т)/]Я(х). (18)
Доказательство. Выражение (17) подставим в систему (16), получим
К (х)И1'Г) (х)дЕ (y, т) + к (х) Я'(х) уЕ (у, т) +
у
+К (х) Я( х)С =
= [ (х) - х '(т)/]Я( х) дЕ (^У, т) - К'(х)Я( х) уЕ (у, т).
у
В силу (9) и (18) это можно переписать в виде К (х) Я'(х) уЕ (у, т) = -К (х)' Я( х) уЕ (у, т), откуда получим
(К(х)Я(х)) = 0 , которое выполняется тождественно в силу равенства (9). Следствие доказано.
Четвертый этап
На четвертом этапе найдем вид функции Е(у, т). Теорема 4. Функция Е(у, т) является плотностью распределения вероятностей значений диффузионного процесса авторегрессии и определяется уравнением Фоккера - Планка вида
дЕ(у, т) = / ТТ
дт
)- = -[ЕтУ(х)Я(х)) )уЕуут)) +
1-2ЕТ [Б(х)Я(х) - 2 (V(х) - х '(т)I)/г(1) (х)} >
д2 Е (у, т)
>-----^,
ду 2
(19)
где матрица В(х) имеет вид
Б( х) = В1 (х) + 4 В2 + А1 (х), (20)
а вектор Н('У)(х) является решением системы (18).
Доказательство. Функции в правой части системы (4) разложим в ряд по приращениям аргумента у
с точностью до о(82) , получим
„2 дН (у, т, 8) дН (у, т, 8)_
т
— єх'(т)-
ду
- = К (х+єу) Н (у, т, є) -
ёх
В силу равенства (7) левая часть равна нулю. В силу равенств (10) и (14) правая часть также равна нулю, следовательно, ранги соответствующих матриц совпадают, а система (16) имеет решение, определяемое с точностью до однопараметрического семейства векторов вида Я(х)С, где С - произвольная скалярная величина.
Теорема доказана.
Следствие 1. Решение И(у, т) системы (16) имеет вид
Н(у,т) = Н(У) (х)дЕ^т)+Я'(х)уЕ(у,т)+Я(х)С, (17)
ду
-8ду{V(х + 8у)Н(у, т, 8)} + 8-Б(х)д Н(у T, 8) +
ду 2 ду
+0(82),
где матрица Б(х), очевидно, имеет вид (20).
Сложив все уравнения этой системы и используя свойство (7) матрицы К , имеем
8 2 ЕТдН (у,т,8) - 8х (т) ЕТдН (у,т,8) =
т
-,т д
ду
= -єЕ — {V (х+єу) Н (у, т, є)} +
ду
+51 етщ х,д!Н<у^+о(є2)
2
ду2
Используя разложение V(х+єу) = V(х) + єу¥'(х), перепишем это равенство следующим образом:
є2ЕтдН(.у,т,є>_єх.(,)ет дН(у,т=
т
у
= -єEтV (х) дНуїє--є2 ЕV '( х)д{уН (у,т,є)} +
ду
ду
+є2 Ет Б( х)^^+о(є 2).
2 у 2
Подставляя разложение (17) функции Н (у, т, є).
получим
^ х) Е (у, Ієх •( т) етЯ( х)-дЕ <■у,^
т
у
-є2- х ад ¿т?!^ =
ду
= -єETV (х) Я( х) дЕ(у^-є2 Е^ (х)-дА( у,т)
ду
ду
-є2 ETV'(х) Я( х)
д{уЕ (у, т)}
ду "
+є-ЕтБ(х)Я(х)д Е^т) + о(є2),
2 у 2
которое в силу условия нормировки (10) и дифференциального уравнения (14) перепишем следующим образом:
є2 дЕ (у, т) є2 Т7тдк(у, т) =
т
— є х '(т)Е
у
= -є! ¿ту-(х) -є2 ¿ту-'(х) Я( х)дЕуЕ <•у,т)} +
ду ду
+є-ЕтБ(х)Я(х)д Е^т) + о(є2).
2 у 2
Выполнив несложные преобразования, получим
дЕ<у,т! = -ет V(х)-х'(,)I)-*<у,т)
т
у
-є2 Ет V'(х) Я( х)д{уЕ (У, т)} + (21)
у
+2ЕтБ(х)Я(x)д-FУ^ .
2 у 2
Рассмотрев первое слагаемое в правой части этого равенства и подставив в него представление (17) вектора к( у, т), имеем
Ет (V (х) - х '(т) I)
Як( у, т)
ду '
--Ет (V(х)-х'(т)!)(1)(х)д Е^т) +
у 2
ч,д{уЕ (У, т)}
+Ет (V(х) - х '(т)I)Я'(х)
у
Подставляя это выражение в (21), получим
=- ЕТу (х) Я'(х)-{уЕ (у т)} -
т у
-ЕТу'(х) Я( х) а^т»! -
у
-ЕТ (V(х)-х'(т)I)(1)(х)- Е(ут) +
у 2
+1 ЕтБ(х)Я(х)-2Е^т),
2 у 2
что, очевидно, совпадает с уравнением (19).
Теорема доказана.
Используя (11), коэффициент диффузии случайного процесса В( х) можно представить в виде
В2(х) = ЕТ {Б(х)Я(х) -
-2^ (х) - ETV (х) Я( х)1) к(1)( х)}, (22)
а для диффузионного процесса у(т) имеет место стохастическое дифференциальное уравнение [3]
/
ёу(т) = ^ETV(х)Я(х)) у(т)ёт + B(x)dw(т), (23)
где ^(т) - стандартный винеровский процесс.
Теперь рассмотрим для достаточно малых значений параметра 8 случайный процесс
¿(т) = х(т) + 8у(т), 2 (т) =821 (/82 ) (24)
и докажем следующую теорему.
Теорема 5. С точностью до о(8) случайный процесс ¿(т) является решением стохастического дифференциального уравнения
dz(т) = ETV(¿)Я(2)ёт + 8В(¿)^(т), (25)
т.е. ¿(т) является однородным диффузионным процессом с коэффициентом переноса ETV(z)Я(z) и диффузии 82В2 (2) .
Доказательство. Дифференцируя равенство (24), получим
dz(т) = х'(т)ёт + 8ёу(т).
В силу (13) и (25) его правую часть перепишем в виде х'(т) ё т+8ёу(т) = ЕТ V (х) Я( х) ё т +
/
+8^ETV(х)Я(х)) уёт+8В(х)ём>(т) =
= {етV(х)Я(х) +8у(етV(х)Я(х)) }ёт + 8В(х)ём!(т) =
= ETV (х+8у )Я( х+8у)ё т + 8В( х+8у )ём>(т) + о(8) =
= ЕтV(¿)Я(2)ёт + 8В(¿)ём>(т) + о(8), следовательно, процесс ¿(т) с точностью до 0(8) удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению (25).
Теорема доказана.
Таким образом, для достаточно малых значений параметра 8 случайный процесс 821 (т/82) можно аппроксимировать однородным диффузионным процессом ¿(т), удовлетворяющим стохастическому дифференциальному уравнению (25).
Далее полученные результаты применим к исследованию вышеописанной двулинейной сети.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯНИЙ КАНАЛОВ В ДВУХКАНАЛЬНОЙ СЕТИ СЛУЧАЙНОГО ДОСТУПА
Для рассматриваемой системы (2) найдем компоненты Як к2 вектора Я(х). Для этого в явном виде
выпишем уравнение (9)
(Х + х)Я00 = М-1Я10 + М2Я01 + Я20 + -^02 ,
г.§Я01 — М-1 Я11 + Я21, а1
гёЯи +М1Я11 = гgЯ0l,
- Я21 = г8Я11'; а
гёЯ02 — М1Я12 + Я22 , а1
гёЯ12 +М1Я12 — гgЯ02, Я22 — гёЯ12;
(1 г>8Я00 — М2Я01 + Я02 , а2
(1 - г >ЯЯ01 +М 2 Я01 = (1 - г > gЯ00,
—Я02 =(1 - г>яЯ01; а2
(Х + х +м2» Я01 =М1Я11 + Я21 +(1 -г )ХЯ00 +
+(1 - г) хЯ0,
1
Х + гх +---IЯ02 — (1 - г )ХЯ01 + (1 - г) хЯ01 +м1Я12 +
1
+----Я22 + (1 - г > ХЯ0
1
(Х + х + М1>Яю — М2Я11 + Я12 + гХЯ00 + гхЯ00 ,
а2
(Х + х + М1 + М2) Я11 — (1 — г )ХЯШ + гХЯ01 +
+(1 - г)хЯ10 + гхЯ01, (26)
Х + гх+м1 + — IЯ12 — гХЯ02 + гхЯ02 + (1 - г)ХЯ11 +
+(1 - г) хЯи + (1 - г) ХЯ12,
Х + (1 -г) х+— | Я20 —гХЯ10 +гхЯ10 +м2 Я21 + а1)
+ Я22 + гХЯ20 ,
Х + (1 -г) х+М2 +— IЯ21 — (1 -г) ХЯ20 +(1 -г) хЯ20 +
(1 г>ёЯ10 — М2Я11 + Я12 , а2
(1 - г> gЯ11 +М2 Я11 — (1 - г > gЯ10,
- Я12 — (1 - г) ЯЯП; а2
(1 г>ёЯ20 — М2Я21 + Я22 , а2
(1 - г > §Я21 +М2 Я21 — (1 - г > gЯ20,
Я22 — (1 - г> 8Я21.
а2
Очевидно, что если некоторое решение Як^2 будет
удовлетворять данным системам, то это же решение будет удовлетворять системе (26). Все системы имеют нетривиальное решение, определенное с точностью до мультипликативной составляющей, в силу того, что их определители равны 0. Будем искать решение в
виде произведения Як^2 — Я/к1»Я(кг>. Разрешая эти системы и добавляя условие нормировки (10):
Я(2) —1
получаем
к1 —0
я01! —-
к2 —0
г% + М1
(щ> а + 2^+м/
+гХЯ11 + гхЯ11 + гХЯ21,
Х +----\---1Я22 — г ХЯ12 + гхЯ12 + (1 — г) ХЯ21 +
а1 а2)
+(1 - г > хЯ21 +ХЯ22 .
Для решения системы (26) преобразуем ее к следующему виду, с учетом замены g — Х + х :
г8Я00 — М1Я10 + Я20 , а1
гgЯl0 +М1Я10 — гgЯ00,
—Я20— гgЯlo; а1
Я(1) — -
(^> а + 2^+М1
Я?> — -
(^) а1
2 (^ )2 а1 + 2^ + М1
я02> —
(1- г > g +М2
((1-г)g) а2 + 2(1- г)g + М2
Я(2) —
Я(2) — 2
(1 - г) g
((1 - г)g) а2 + 2(1 - г)g + М2
((1- г) g )2 а2
((1-г)g) а2 + 2(1-г)g + М2
2
2
ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО СРЕДНЕГО ЧИСЛА ЗАЯВОК В ИПВ ДЛЯ ДВУХКАНАЛЬНОЙ СЕТИ
По Теореме 2 процесс х(т), имеющий смысл асимптотического среднего нормированного числа заявок в ИПВ, является детерминированным, удовлетворяющим обыкновенному дифференциальному уравнению (11). Запишем данное уравнение для описанной двулинейной сети в явном виде
х'(т) = Х-
г (Х + х)^
(г(Х + х)) а + 2г(Х + х) + ц1
(1 - г)(Х + х) М2
(27)
((1 - г)(Х + х))2 а2 + 2(1- г)(Х + х) + М2,
Данное дифференциальное уравнение в зависимо -сти от параметров может иметь до 4 точек покоя. Особый интерес представляет ситуация, в которой уравнение имеет 4 точки покоя, две из которых будут
устойчивы. Устойчивые точки покоя будем называть точками стабилизации сети связи, а сеть связи бистабильной.
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФУЗИОННОЙ АППРОКСИМАЦИИ ПРОЦЕССА ИЗМЕНЕНИЯ ЧИСЛА ЗАЯВОК В ИПВ ДЛЯ ДВУХКАНАЛЬНОЙ СЕТИ
По Теореме 5 процесс ¿(т), аппроксимирующий
случайный процесс Л(т/82) - нормированное число
заявок в ИПВ, является диффузионным и удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению (25). Коэффициент диффузии для данного процесса определяется уравнением (22). Аналитическое выражение для него очень громоздко, поэтому в данной работе оно не приводится. Для задач большой размерности уравнение (22) позволяет определить коэффициент диффузии численно.
ЛИТЕРАТУРА
1. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969. 511 с.
2. Бертсекас Д., ГалагерР. Сети передачи данных. М.: Мир, 1989. 544 с.
3. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова думка, 1968. 353 с.
4. ГнеденкоБ.В. Введение в теорию массового обслуживания. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1987. 336 с.
5. Назаров А.А. Асимптотический анализ марковизируемых систем. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. 157 с.
6. Назаров А.А. Одышев Ю.Д. Исследование сетей связи с протоколом «синхронная Алоха» в условиях большой загрузки // Автоматика и вычислительная техника. 2001. № 1. С. 77-84.
7. Назаров А. А. Устойчивое функционирование нестабильных сетей связи с протоколом случайного доступа // Проблемы передачи информации. 1997. № 2. С. 101-111.
8. Назаров А.А. Шохор С.Л. Исследование управляемого несинхронного множественного доступа в спутниковых сетях связи с оповещением о конфликте // Проблемы передачи информации. 2000. № 1. С. 77-89.
9. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. 2-е изд. М.: Сов. радио, 1971. 519 с.
10. Флинт Д. Локальные сети ЭВМ. М.: Финансы и статистика, 1986. 357 с.
11. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление: Учебник для физических и физико-математических факультетов университетов. 4-е изд. М.: Эдиториал УРСС, 2000. 320 с.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 30 апреля 2003 г.
+
