CC BY
42
УДК 519.872
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ СТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМА В НЕМАРКОВСКИХ RQ-СИСТЕМАХ С КОНФЛИКТАМИ ЗАЯВОК
А.А. Назаров, Е.А. Судыко
Томский государственный университет E-mail: ESudyko@yandex.ru
Рассмотрена немарковская RQ-система с конфликтами заявок, при возникновении которых обе заявки переходят в источник повторных вызовов. Для процесса изменения состояний системы построена вложенная цепь Маркова. Найден вид функции, определяющий условия теоремы Мустафы об эргодичности цепи Маркова.
Ключевые слова:
Теория массового обслуживания, RQ-системы, конфликты заявок.
Key words:
The Retrial Queueing theory, Retrial queues, conflicts of requests.
Важным вопросом в теории массового обслуживания является определение условий существования стационарного режима в RQ-системах (Retrial Queues). Несмотря на обилие работ [1, 2], посвященных данному вопросу, проблема эргодичности RQ-систем с конфликтами заявок не нашла должного отражения в научной литературе. В данной работе мы использовали эргодическую теорему Мустафы для определения условий существования стационарного режима в немарковских RQ -системах.
Рассмотрим однолинейную немарковскую RQ-систему (рисунок) с конфликтами заявок, на вход которой поступает простейший поток с интенсивностью Я. Требование, обратившиеся к прибору и заставшее его свободным, немедленно занимает прибор и начинает обслуживаться в течение случайного времени, имеющего произвольную функцию распределения B(x). Если за время обслуживания заявки другие требования не поступали, то заявка покидает систему после завершения обслуживания. Если прибор занят, то поступившая и обслуживаемая заявки вступают в конфликт, и обе переходят в источник повторных вызовов (ИПВ), где осуществляют случайную задержку, продолжительность которой имеет экспоненциальное распределение с параметром ст. Из ИПВ после случайной задержки заявка вновь обращается к прибору с повторной попыткой его захвата. И если прибор свободен, то заявка из ИПВ немедленно занимает его для обслуживания. Если же прибор занят, то вновь возникает конфликт, и обе заявки переходят в ИПВ.
Обозначим i(t) - число заявок в ИПВ в момент времени t.
Определим условия, при выполнении которых в рассматриваемой RQ-системе существует стационарный режим, т. е. процесс i(t) является эрго-дическим.
Так как случайный процесс i(t) для рассматриваемой RQ-системы является полумарковским, а эргодические свойства такого процесса полностью определяются эргодическими свойствами его
вложенной цепи Маркова, то для процесса ¡(¡) определим вложенную цепь и исследуем ее эргоди-ческие свойства.
ИПВ
Рисунок. Схема функционирования немарковской НО-системы Рассмотрим моменты времени
^ < t2 < t з < ... < +1 <
где 1П - момент окончания режима обслуживания с прерыванием или завершением, и освобождением прибора, тогда процесс у„=/(/„) с дискретным временем п является вложенной цепью Маркова для полумарковского процесса /(/).
Найдем переходные вероятности Р=Р{ уп+1=/ у=г} вложенной цепи Маркова уп. За один шаг возможны следующие переходы цепи Маркова из состояния уп=г в состояния у„=/, где /'={/-1,/,/+1,/+2}. Определим события, соответствующие этим переходам.
• г—>г+2: На прибор для обслуживания встала заявка из внешнего потока, ее обслуживание прервано заявкой из внешнего потока.
• г——г+1: На прибор для обслуживания встала заявка из внешнего потока, ее обслуживание прервано заявкой из ИПВ; или на прибор встала для обслуживания заявка из ИПВ, ее обслуживание прервано заявкой из внешнего потока.
• г—г: На прибор встала заявка из внешнего потока, обслуживание которой завершилось успешно; или на прибор для обслуживания встала
заявка из ИПВ, ее обслуживание прервано заявкой из ИПВ.
• г—г-1: На прибор для обслуживания встала заявка из ИПВ, обслуживание которой завершилось успешно.
Тогда, учитывая описание модели, запишем вероятности переходов цепи Маркова уп в виде
Р+2 =7-^-7-^- {1 - В *( 7 + г а)},
7 +1 — 7 +1 —
Р,= —---------1—-{1 -В*(Я+г—)} +
X + i аX + i а га X
X + i а X + (г - 1)а
{1 -B (X + (i-1)а)},
F'i‘=Xa X 0 (. \ {1 - B ‘(X + О' -1) а)} +
X +i а X + (i - 1)а
+ —X— B *(X + i а),
X + iа
Pii-1 =XI- B *(X + (i - 1)а),
X + lа
P + p + p + p = 1
1 ii+2 ^ 1 ii+1 ^ 1ii^ *ii-1
где (2) - условие нормировки, а
(1)
(2)
B*(a) = Je-axdB(x)
jeX
(3)
(4)
b = J xdB( x).
Отметим свойство преобразования Лапла-са-Стилтьеса B*(a), заключающееся в выполнении предельного равенства
lim aB*(a) = B'(0), (5)
a
где величина B'(0)=B'(x)|x=0 - значение производной в нуле от функции распределения B(x).
Докажем следующее утверждение.
Теорема 1. Цепь Маркова, переходные вероятности которой определяются равенствами (1), при В(0)=да, является эргодической при любых значениях загрузки р=ХЬ.
Доказательство. В теореме Мустафы положим
(6)
1 В* (гг)
где значение величины ¿>0, будет определено ниже. Неравенство (3), сформулированное в теореме Мустафы, перепишем в виде
j PjXj Xi pi+2 B* ((i + 2)а) ' "ii+1 B((i + 1)а)
i+1 i i+1
z z z
ii B^ct) ii 1 B*((i -1)а) B*(iа)
ii+2 B*((i + 2)а) + Pi+1 B*((i + 1)а)
z P
-[P + p + p ]—f— + — ii-1
l1 ii+2 ~ 1ii+1~ 1ii-1\ r»*/. \ ~ r»*,
B (а) B ((i -1)а)
z < -E.
Это неравенство перепишем следующим образом:
- преобразование Лапласа-Стилтьеса функции распределения В(х).
Таким образом, построена вложенная цепь Маркова уп.
Применяя условия теоремы Мустафы [3], найдем условия существования стационарного режима для построенной цепи Маркова.
Теорема Мустафы. Для того, чтобы неприводимая, непериодическая цепь Маркова была эргодической, достаточно существование е>0, натурального числа г0 и набора неотрицательных чисел х, х1, х2,.., таких, что
Е РХ1 - X -е для 1 > 1о>
ii+2 B*((i + 2)а) "+1 B*((i + 1)а)
_rp + p + p ]-+
L-1 ii+2 ^ 1 ii+1 ^ 'ii-Un*,. 4 ^
B (а)
p
ii-1
- + e z i < 0.
(7)
В ((1 -1)—)
Найдем предельные при г—да значения коэф фициентов при положительных степенях г
lim-
= 0, lim-
= 0,
Е РХ1-да для 1 -1о.
]еХ
При этом существует единственное эргодическое распределение, которое совпадает со стационарным.
Основная проблема применения этой теоремы заключается в построении последовательности х.
Обозначим Ь - время обслуживания в Я^-си-стеме, т. е.
1—да В ((1 + 2)—) 1—да В (( 1 +1)—)
Р + р + Р р
Нш 1 1+2 *11+1—— = 1, Нш . 11 -1-----= 1. (8)
В (—) 1—да В ((/ -1)—)
В неравенстве (7), полагая ¿>1, выполним предельный переход при г—да, учитывая (8), получим неравенство
- г+1<0, (9)
которое выполняется для любых значений г>1 независимо от значения е и значений параметров системы, в том числе и для любых значений параметра р.
Из выполнения предельного неравенства (9) следует существование такого натурального числа г0, что для всех г>г0 выполняется допредельное неравенство (7). То есть для неотрицательных чисел XI вида (6) для рассматриваемой цепи Маркова выполняется условие (3) теоремы Мустафы.
Условие (4) теоремы Мустафы очевидно выполняется для всех г-г0 в силу конечности чисел х/и конечности числа слагаемых в сумме из левой части неравенства (4).
Таким образом, выполнение условий теоремы Мустафы доказывает сформулированную теорему.
z
Теорема доказана.
Для случая конечных значений B'(0) докажем следующее утверждение.
Теорема 2. Цепь Маркова, переходные вероятности которой удовлетворяют равенствам (1), при 0<B'(0)<«>, является эргодической при выполнении неравенства
Р< s = 2 b '(0), (10)
где величину S будем называть пропускной способностью системы.
Доказательство.
В теореме Мустафы положим
xt = i а zi+1, (11)
где значение величины z>0, будет определено ни-
же. Неравенство (3), сформулированное в теореме Мустафы, перепишем в виде
j PjXj - X = Pii+2 (i + 2) а zi+3 + PU +1(i + 1) а zi+ 2 +
jeX
+ Pii(i + 1) а ^ + Pii-1 (i - 1) а z' --а z‘+ = {pu+2(i + Т>а2:3 + pi+1 (i +1) а z2 -
-[Pii+2 + Pii+1 + Pii-1 ]а z + P-1 (i - 1)аК < -E
Это неравенство перепишем следующим образом: Pii+2 (i + 2)а^;3 + Pii + 1 (i + 1)аZ 2 -~[Pii+ 2 + Pi+1 + Pii_1]lаZ + ^ii-1С1 - 1)а + E z-i < 0. (12)
Найдем предельные при /—да значения коэффициентов при положительных степенях z, используя свойство преобразования Лапласа-Стил-тьеса (5)
lim(i + 2) а Pii+2 = 0, lim(i + 1) а Pii+1 = 2X,
i——да i——да
lim а[ Pi+2 + pu+1 + Pu ] = 2X + B '(0),
i—да
lim(i -1) а pii-1 = B'(0). (13)
i—да
Здесь значение в нуле B'(0) производной от функции распределения B(x) обозначим (2/b)S, то есть
S = (b /2) B'(0), (14)
что совпадает с правой частью неравенства (10).
В неравенстве (12), полагая z>1, выполним предельный переход при /—да, учитывая (13), получим неравенство
27 г2 - (27 + В'(0))г + В'(0) < 0,
которое в силу обозначения (14) перепишем в виде рг2 - (р + 5)г + Б < 0. (15)
Квадратный трехчлен в левой части этого неравенства имеет корни г1=1 и г2=8/р, поэтому значения г>1, удовлетворяющие неравенству (15) существуют при выполнении условия г2>г1=1. Неравенство г2=8/р>1 перепишем в виде
р< Б,
который в силу (14) совпадает с неравенством (10).
Таким образом, выбирая значения величины г из интервала
г1 = 1 < г < г2 = Б/ р,
получим выполнение предельного неравенства (15), следовательно, при любом заданном конечном значении е>0 существует такое натуральное число г0, что для всех г>г0 выполняется допредельное неравенство (12), а следовательно для неотрицательных чисел XI вида (11) для рассматриваемой цепи Маркова выполняется условие (3) теоремы Мустафы.
Условие (4) теоремы Мустафы очевидно выполняется для всех г—г0 в силу конечности чисел х/ и конечности числа слагаемых в сумме из левой части неравенства (4).
Следовательно, выполнение условий теоремы Мустафы доказывает сформулированную теорему.
Теорема доказана.
Таким образом, в немарковской Я^-системе с конфликтами заявок стационарный режим существует при выполнении условия (10).
Интересно отметить, что величина £ может принимать значения больше единицы и даже неограниченно возрастать. Следовательно, в таких однолинейных системах стационарный режим существует при загрузках р>1 и даже при сколь угодно больших значениях р.
Выводы
Рассмотрена немарковская Я^-система с конфликтами заявок, при возникновении которых обе заявки переходят в источник повторных вызовов. Построена вложенная цепь Маркова с дискретным временем. Сформулированы теоремы, определяющие условия существования стационарного режима в таких системах. Установлено, что величина пропускной способности может быть больше единицы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Artalejo J. R., Dudin A.N., Klimenok V.I. Stationary analysis ofa retrial queue with preemptive repeated attempts // Operations Research Letters. - 2001. - V. 28. - № 4. - P. 173-180.
2. Kernane T Conditions for stability and instability of retrial queueing systems with general retrial times // Statistics and Probability Letters. - 2008. - № 78. - P. 3244-3248.
3. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания. - Томск: Изд-во нТл, 2004. - 228 с.
4. Назаров А.А., Судыко Е.А. Метод асимптотических семиинвариантов для исследования математической модели сети слу-
чайного доступа // Проблемы передачи информации. - 2010. -Т. 46. - №1. - С. 94-111.
5. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. - М.: Мир, 1979. - 598 с.
6. Коцюруба П.И., Назаров А.А. Локальная диффузионная аппроксимация процесса изменения состояний неустойчивой сети случайного доступа в окрестности асимптотического среднего // Проблемы передачи информации. - 2004. -Т. 40. - № 1. - С. 85-97.
Поступила 15.03.2011 г.
