CC BY
122
Наука молодых - мост в будущее
УДК 629.7
Д.С. Радченко
ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК АЛГОРИТМОВ ИЗМЕРЕНИЯ ЧАСТОТЫ
Воронежский государственный технический университет
Аннотация: Представлены результаты исследования точностных характеристик алгоритмов измерения частоты. Получены зависимости точности измерения частоты от отношения сигнал-шум. Найден алгоритм, обеспечивающий наиболее высокую точность.
Ключевые слова: отношение сигнал-шум, спектр, дискретное преобразование Фурье, интерполяция, нижняя граница Крамера-Рао.
UDC 629.7
D.S. Radchenko
RESEARCH ACCURACY CHARACTERISTICS ALGORITHMS FREQUENCY MEASUREMENT
Voronezh State Technical University
Abstract: The results of the study accuracy characterized tics-frequency measurement algorithms. The dependence of the accuracy of measuring the frequency of the signal to noise ratio. Found algorithm ensures the highest accuracy.
Key words: signal-to-noise spectrum, the discrete Fourier transform-tion, interpolation, the lower limit of the Cramer-Rao.
Одной из важнейших задач аппаратуры автоматизированного радиомониторинга является задача точного измерения частоты радиосигналов [1]. Методы измерения частоты используют сравнение с эталоном. К таким методам относятся:
- метод биений;
- измерение, с помощью аналогового анализатора спектра;
- измерение с помощью частотомера;
- измерение с помощью частотного детектора;
- метод измерения мгновенной частоты (на основе дискретного преобразования Фурье).
В цифровой технике для измерения частоты используют последний алгоритм. Если производить оценку частоты, не прибегая к дополнительным преобразованиям, то вели-
чина ошибки будет напрямую зависеть от шага сетки дискретного преобразования Фурье. Это приводит к необходимости уточнения измеренной частоты. Для этого используются различные алгоритмы.
Спектр гармонического сигнала, полученный путем ДПФ, в окресности его частоты приведен на рисунке 1. По оси абсцисс отложены номера отсчетов, а по оси ординат -их амплитуды.
Рисунок 1 - Спектр гармонического сигнала, полученный путем ДПФ
На данном рисунке кт - номер отсчета, имеющего максимальную амплитуду. Отсчеты с номерами кт + 1 И кт — 1 - следующий и предыдущий отсчеты, соответственно.
Простейшим методом оценки частоты сигнала является метод принятия частоты отсчета с максимальной амплитудой за истинную частоту сигнала. Но при преобразовании сигнала из временной области в частотную, не всегда отсчет с максимальной амплитудой будет соответствовать значению частоты сигнала. При взятии частоты, соответствующей отсчету с максимальной амплитудой, в качестве итоговой оценки возникает достаточно большая ошибка. Максимум частоты может находиться точно посередине между отсчетом с максимальной амплитудой и одним из соседних отсчетов. Если, в таком случае, принять отсчет с максимальной амплитудой за оценку частоты, то получим ошибку Д, равную:
где Бб - частота дискретизации, N - длина выборки.
Графически зависимость ошибки измерения от истинной частоты сигнала показана на рисунке 2.
Рисунок 2 - Зависимость ошибки измерения от истинной частоты сигнала для метода
измерения мгновенной частоты
Точность, обеспечиваемая этим методом, недостаточна для современной аппаратуры АРМ. Существуют методы, которые позволяют увеличить точность оценки частоты. В основе этих методов лежит уточнение значения с использованием различных интерполяций.
Интерполяция - это способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Цель одного из вариантов интерполяции состоит в нахождении абсциссы точки максимума спектра, основываясь на трех значениях спектральных составляющих: максимальной и двух соседних (справа и слева). Такой подход, иллюстрируемый рисунком 3, используется в методе параболической интерполяции и методе Гауссовой интерполяции.
Рисунок 3 - Пример интерполяции
Также существует второй тип алгоритмов. Он основан на вычислении взвешенного центра в окрестности максимального отсчета спектра. К таким алгоритмам относится, в частности, алгоритм Ризенфильда.
Параболическая интерполяция. В [2] описывается принцип метода параболической интерполяции. Как было показано выше, целью процесса является нахождение максимума спектра, основываясь на трех спектральных составляющих: отсчет с максимальным уровнем, следующий и предыдущий отсчеты. То есть существуют три точки, для которых известна абсцисса и ордината.
При параболической интерполяции для каждой точки строится уравнение параболы:
где й0/С11 И ¿^коэффициенты, определяемые из системы уравнений для условия прохождения параболы через три точки:
Решив систему уравнения, можно найти абсциссу максимума параболы. Эту величину примем за частоту сигнала. После математических преобразований, формула для расчета частоты для алгоритма параболической интерполяции имеет вид:
Интерполяция Гаусса. Интерполяция Гаусса [2] похожа на параболическую интерполяцию. Только для увеличения точности интерполяции вводится экспоненциальная зависимость. Для каждой точки составляется уравнение:
Далее составляется система уравнений:
Решением системы уравнений являются коэффициенты, с помощью которых составляется уравнение интерполяционной функции, затем находится максимум, абсцисса которого принимается за оценку частоты сигнала. После проведения математических преобразований получается формула для нахождения частоты сигнала по трем отсчетам:
*
1!
Оценивая формулу, можно сделать вывод о том, что интерполяция Гаусса схожа с параболической интерполяцией, но для расчета оценки частоты требуются не амплитуды отсчетов, а их натуральные логарифмы.
Алгоритм Ризенфильда. В основе данного алгоритма лежит рекурсивная функция, которая позволяет после проведения очередной итерации давать более точную оценку частоты [4]. Рекурсивная функция подразумевает использования оценки частоты из предыдущей итерации в текущей. Для первой итерации в качестве оценки частоты выступает частота отсчета с максимальной амплитудой.
Для расчета частотной поправки потребуются коэффициенты:
где - спектральные отсчеты, }ш - оценка частоты, рассчитанная на предыдущей
итерации.
Далее рассчитывается частотная поправка:
Результат оценки частоты на текущей итерации:
}т + 1 = /т Л/т ■
а
I
* <
*
1!
Двухэтапный алгоритм. Алгоритм разделен на два этапа. На первом этапе проводится оценка относительной частоты, на втором - уточнение полученной оценки.
В данном алгоритме, для уменьшения погрешностей измерения при расчете преобразования Фурье используется временное окно:
Формула для оценки частоты на первом этапе выглядит следующим образом:
где - модуль ДПФ, рассчитанного из выборки временного сигнала с применением окна, *(ЛГ) - параметр, введенный для минимизации ошибки измерения частоты.
Расчет данного параметра производится по формуле:
где и Ж[0] - первая и нулевая компоненты временного окна, используемого для расчета спектра сигнала.
На втором этапе для получения спектра сигнала используется прямоугольное окно. Далее вычисляется значение частоты, смещенной к частоте, равной 0,5. В этом случае погрешность минимальна:
где 5[Аг] - выборка временных отсчетов сигнала. Далее рассчитываются коэффициенты Фурье:
N-1
да]
='1
к=0
После чего определяется относительная оценка частоты сигнала:
Искомая частота сигнала определяется выражением:
Для определения точности оценки частоты провели сравнение ошибки измерения частоты данным алгоритмом с потенциально достижимой границей (нижняя граница Крамера-Рао), также была проведена сравнительная характеристика данного алгоритма и других алгоритмов измерения частоты.
Алгоритм расчета. Провели исследование влияния шума на ошибку измерения. Использовали следующую модель: гармонический сигнал + шум, отношение сигнал-шум задается, частота, подаваемая на вход, определяется случайным образом из интервала
- — ; —— . Далее производится п итераций и рассчитывается среднее значение ошиб-
ки измерения:
После чего будет рассчитывается среднеквадратическое отклонение (СКО) ошибки измерения частоты по формуле:
Процедура расчета вызывает процедуру создания сигнала, далее к сигналу добавляется шум. После чего производится вызов процедуры расчета частоты по одному из методов. Производится некоторое количество итераций (в данном случае 1000), затем полученные значения частоты усредняются, производится расчет среднеквадратического отклонения ошибки измерения частоты. Такая процедура проводится для всех заданных значений отношения сигнал/шум. После чего строится график зависимости (рисунок 46).
N = 1024
10°
Н 10
10
о
и 10
10"
Двухэтапный алгоритм Нижняя граница Крамера-Рао
20
-10
10 20
30 40 50 ОСШ, лБ
60
70
80 90 100
Рисунок 4 -Приближение зависимостей СКО ошибки измерения частоты от ОСШ к потенциально достижимой границе для двухэтапного алгоритма
N = 1024
10"
л н о н о й
!Г «
Я и а.
и
10"
10"
я
к а ю я
а
о
О И
о
10"
10
Параболическая
интерполяция
Интерполяция
Гаусса Нижняя граница
Крамера-Рао
1
-20
-10
10 20 ОС1Д дБ
30
40
50
Рисунок 5 - Приближение зависимостей СКО ошибки измерения частоты от ОСШ к потенциально достижимой границе для алгоритмов параболической интерполяции и
интерполяции Гаусса
Рисунок 6 - Приближение зависимостей СКО ошибки измерения частоты от ОСШ к потенциально достижимой границе для алгоритма Ризменфильда
По графикам, изображенным на рисунках 4 - 6, можно судить о том, что наиболее высокой точностью измерения обладает двухэтапный алгоритм.
Таким образом, в результате исследования точностных характеристик алгоритмов измерения частоты, нашли алгоритм, обладающий более высокой точностью измерения.
Библиографический список
1. Рембовский А.М., Ашихмин А.В., Козьмин В.А. Радиомониторинг. Задачи, методы, средства. - М.: ИП Горячая линия - Телеком. 2012, 217 с.
2. Gasior M., Gonzalez J.L. Improving FFT frequency measurement resolution by parabolic and Gaussian spectrum interpolation // Geneva 23. Switzerland 2004. CERN. CH-1211. P. 40 - 43.
3. Beschl B., Ligges U., Weiss C. Frequency estimation by DFT interpolation: a comparison of methods // Signal Processing Magazine, May 2009. 475 p.
4. Reisenfeld S., Aboutanios E. A new algorithm for the estimation of the frequency of a complex exponential in additive Gaussian noise // IEEE Communications letters. 2003. vol. 7. P. 549-551.
Информация об авторах:
Information about authors:
Радченко Денис Сергеевич
магистрант, Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия
Radchenko Denis Sergeevich
graduate student, Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia
Научный руководитель:
Scientific adviser:
Токарев Антон Борисович,
Доктор технических наук, доцент, Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия
Tokarev Anton Borisovich, Doctor of Technical Sciences, Associate Professor, Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia
