CC BY
29
УДК 519.254
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДВУХКАНАЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ
ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ СИНУСОИДАЛЬНЫХ СИГНАЛОВ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ
О.Н. Долинина, Е.В. Львова, А. А. Серанова
Приведен сравнительный анализ четырех различных алгоритмов для оценки параметров синусоидальных сигналов тока и напряжения питания электросети в двух каналах, имеющих общую частоту. Рассматриваются четыре алгоритма, относящиеся к разным категориям, потому что в их основе лежат различные подходы. Также описаны несколько модельных исследований для демонстрации сравнительных характеристик, сильных и слабых сторон каждого алгоритма.
Ключевые слова: оценка параметров синусоиды, измерения амплитуд и фаз, синусоидальная подгонка по семи параметрам, подгонка эллипса, подгонка функции типа sine в частотной области.
1. Введение
Научно-техническое развитие во многом определяется способностью измерять физические величины с постоянно увеличивающейся точностью. Исследователи в области измерительной техники в последнее время предложили и разработали большое количество новой аппаратуры и новых программных средств, которые позволяют проводить очень точные измерения. Особое внимание было уделено алгоритмам обработки сигналов, примером которых могут служить алгоритмы, использующиеся для оценки параметров измеряемых синусоидальных сигналов.
Необходимость создания алгоритмов, которые позволяют анализировать характеристики аналого-цифровых преобразователей, привела к тому, что Институт инженеров-электриков и электронщиков (IEEE) включил в стандарт 1057 [1] два алгоритма, которые оценивают параметры гармонических сигналов, находя наилучшее приближение сигнала к измеренным отсчетам подбором трех и четырех параметров. Эти алгоритмы в иностранной литературе были названы «алгоритмами подгонки» по трем и четырем параметрам соответственно. Первый используется для оценки параметров синусоидального сигнала, когда его частота точно известна, а второй - в тех случаях, когда частота сигнала или частота его дискретизации точно неизвестны.
Во многих приложениях, таких, как измерения импеданса, исследование вихревых токов, измерения активной и реактивной мощности в условиях синусоидальных сигналов, возникает необходимость оценки параметров двух синусоид одинаковой частоты, которые обычно измеряются одновременно. С этой целью была разработана модификация стандартизированных в [1] алгоритмов, известная как алгоритм «подгонки синусоиды по семи параметрам» [2], которая основана на исследовании эксперимен-
46
тальных данных, взятых из обоих каналов, и того факта, что частота обеих синусоид одинакова. В последующие годы этот алгоритм был адаптирован для эффективной реализации на специализированных процессорах цифровой обработки сигналов (ЦОС) [3]. Также представлен модифицированный метод «подгонки синусоиды по семи параметрам», предложенный в России и базирующийся на том, что частота сигналов тока и напряжения приблизительно известна f = 50 Гц). Это дало возможность существенно упростить и ускорить необходимые расчеты для ЦОС. Другой метод оценивания основан на представлении двух синусоид общей частоты во взаимно ортогональных осях декартовой системы координат XY, когда они задают параметрическое уравнение эллипса, и названный алгоритмом «подгонки эллипса» [4]. Он также был модифицирован для реализации в приложениях процессоров ЦОС [5]. Наконец, недавно был разработан новый алгоритм, названный алгоритмом «подгонки функции типа sine в частотной области» [6], для оценки параметров двух гармонических сигналов одинаковой частоты. Он основан на установлении наилучшего соответствия между точно рассчитанным теоретическим спектром усеченной некоторым окном синусоиды и реальным спектром измеренных отсчетов синусоид в каналах.
В работе анализируются и сравниваются характеристики четырех упомянутых выше алгоритмов. С помощью численного моделирования изучается точность оценивания амплитуд и разности фаз двух синусоид в каналах. Результаты оценивания сравниваются с нижней границей Крамера - Рао оценок параметров двух синусоидальных сигналов одинаковой частоты, полученной в [7].
2. Алгоритмы
Ниже описываются четыре сравниваемых алгоритма: «подгонки эллипса» (ПЭ), «подгонки синусоиды по семи параметрам» (ПС), модифицированной «подгонки синусоиды по семи параметрам» (МПС) и «подгонки функции типа sine в частотной области», который для краткости будем называть алгоритмом «спектральной подгонки» (СП). Целью этих алгоритмов является оценка амплитуд Di и фаз ф двух полученных синусоид, задаваемых следующей моделью:
ui (t) = Dieos(2pft + ji) + Ci = Aieos(2pft) + Bisin(2pft) + Ci, (1) где i - номер канала (i = 1, 2); Ai является синфазной, а Bi - квадратурной составляющими каждой синусоиды. Некоторые алгоритмы также оценивают величины постоянных смещений Ci и общую частоту f если она неизвестна.
В большом количестве приложений двухканальных алгоритмов (например, при исследовании активной и реактивной мощности электроэнергии в сети питания) надо знать абсолютные значения амплитуд D1, D2 и разности фаз A j = j сигналов в каждом канале. Однако в некоторых приложениях требуется также оценить частоту f, так как она не из-
вестна точно. Это связано с неопределенностью генерируемой частоты синусоидального сигнала / и неопределенностью знания частоты дискретизации аналого-цифрового преобразователя /¡¡.
Нижние границы Крамера - Рао (НГКР) для оценки параметров синусоид общей частоты в двух каналах были найдены в [7] для несмещенной оценки в предположении гауссовского шума с использованием отношения «сигнала/шум», определяемого как
Б/^ = о2, (2)
где о2 - дисперсия гауссовского «белого шума» в канале / с нулевым математическим ожиданием.
2.1. Алгоритм «подгонки эллипса»
Алгоритм «подгонки эллипса» был впервые описан в [8]. Впоследствии этот алгоритм стал рассматриваться как прямая процедура оценки амплитуд и разности фаз двух синусоид одинаковой частоты [9].
Зависимость синусоидальных сигналов от времени можно исключить, если отображать значения этих сигналов в одни и те же моменты времени на двух взаимно перпендикулярных осях декартовой системы координат. В результате полученная на координатной плоскости фигура Лиссажу будет в общем случае эллипсом, поскольку синусоиды имеют одинаковую частоту. Если разность фаз сигналов будет равна нулю или п, то эллипс будет вырожденным и примет вид прямой линии.
Алгебраически зависимость от времени в (1) можно устранить, переписав их в виде соотношения
f \ щ
,DJ
2 / л2
+
f \ щ2
V D2 J
- 2
с \ щщ
cos(Aj) - sin2 (Аф) = 0,
v AD j
которое является уравнением эллипса. Это соответствует общему представлению плоской кривой второго порядка [3]:
F (ui, U2 ) = ou2 + èuiu2 + eu 2 + dui + eu2 + g = 0 (3)
2
с ограничением A = b - 4ac < 0, которая будет эллипсом, если ффт для любого целого п.
Модель эллипса (3) «подгоняется» под экспериментально снятые значения обеих синусоид с помощью неитеративного процесса минимизации функции с ограничениями, основанного на методе множителей Ла-гранжа [4]. В результате получаются оценки параметров модели [a, b, c, d, e, g]. После этого амплитуды синусоид определяются из соотношений
D1 = l/4ka , D2 = l/4kc , где k - коэффициент масштабирования, выбираемый таким, чтобы b - 4ac = -1. Оценка разности фаз Аф находится из выражения
cos(Aj)=- SS^,
2v ac
где знак числителя выбирается, исходя из анализа направления вращения эллипса. Для устранения ошибок, возникающих из-за действия шумов, в [5] была описана специальная методика определения направления вращения эллипса. В этой же работе предложена модификация алгоритма, которая требует только вычисления матриц размером 3*3, на основе 18 отсчетов синусоид в каждом канале. Это основное преимущество алгоритма «подгонки эллипса» с точки зрения экономии памяти для его реализации.
2.2. Алгоритм «подгонки синусоиды по семи параметрам»
Алгоритмы подгонки синусоиды были стандартизованы в [1]. В алгоритме с тремя параметрами амплитуда, фаза и постоянная составляющие синусоиды известной частоты оцениваются с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Поскольку в большинстве случаев частота известна не точно, то в четырехпараметрическром алгоритме оценивается еще и частота синусоиды. В этом случае алгоритм становится нелинейным и требуется нелинейная процедура МНК. Трех- и четырехпараметрические синусоидальные алгоритмы подходят для одноканальных данных и могут быть независимо применены к многоканальным данным.
Алгоритм ПС был разработан как расширение четырехпараметри-ческого алгоритма для двухканальных приложений, где два сигнала имеют одинаковую частоту [2]. На каждой итерации т алгоритм оценивает следующие параметры синусоиды:
х
(т) -
Л(т)
п , в(т), с|т), А/(т), Л2'4, Б2'4, С2
где А/ является поправкой частоты, определяемой для текущей итерации. Эти оценки получаются из выражения
п-1
л(т)
в (т) с (т)
Т
х
(т) =
(В(т-1)Т В(т-0 (В(т-1))Т у
(4)
где у - вектор, состоящий из N отсчетов синусоид ы^ в обоих каналах,
0(т-1)
01(т-1) р{т-1)
0
N,3
0Nз3 - нулевая матрица размера N^3,
р(т-1) р2
0 N ,3
о2т-1)
01
(т-1) =
соб^д) Б1П (РгД) 1
С0Ф/,2) в1п (Р/,2) 1
сов^/, N) в1п Р N) 1
Р/
(т-1) =
а/,1 а /,2 а/,3
Р
/,П
ю(тЛ-
/,П
и щ п - -2пА(тЛ,п 81п(рг,п)+2пВ(т-1) С08(р,я )
(т-1)
\ ' I
п
моменты времени взятия отсчетов сигнала в канале /.
Исходные оценки неизвестной частоты находятся с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ) [10], который дает удовлетворительную оценку частоты. Затем используется трехпараметрический алго-
49
ритм в каждом сигнале для оценки оставшихся шести начальных параметров. Итеративная процедура заканчивается после выполнения максимально разрешенного числа итераций (при отсутствии сходимости) или по достижению относительной поправкой частоты Aff значения, меньшего установленного порога (существование сходимости).
Этот алгоритм включает в себя создание матрицы чисел с плавающей запятой размером 2N*7. По мере увеличения количества отсчетов N требования к памяти будут ограничивать применимость алгоритма.
2.3. Модифицированный алгоритм «подгонки синусоиды по семи параметрам»
Этот вариант алгоритма основан на том, что частота синусоид f =50 Гц известна с некоторой погрешностью V, что дает возможность существенно упростить и ускорить работу алгоритма, описанного в предыдущем разделе. С учетом этого перепишем (1) в виде
uij = u (tij ) = Di sin [2p(fo + v)tij + Ci + Xij; i = 1,2; j = 1,.., N. (5)
Будем полагать, что неизвестное смещение С может считаться постоянным в течение одного цикла измерений (времени взятия N отсчетов сигнала в каждом канале). Кроме этого, флуктуации частоты V генератора полагаются малыми по сравнению с известной центральной частотой f0 (V(t) < f0). Относительно погрешностей измерений Х предполагается, что они нормально распределены с нулевым математическим ожиданием и неизвестной дисперсией а2.
Теперь неизвестными в ней будут параметры D1, j, C1, D2, j, C2 и V. Поэтому система (5) тоже должна быть решена относительно 7 неизвестных. В рассматриваемом случае можно воспользоваться известными из тригонометрии соотношениями для малых углов, близких к нулю (singly, cos y»1), и представить систему (5) в виде [11]
u ji = Di cosji sin (2pfot ji)+ vDi cos j¿ 2pt ji cos (2pfot ji)+
+ Di sinji cos (2pfot ji)- vDzsin ji 2pt ji sin (2pfot ji)+ (6)
+ Bi+ Iji; j = Í7N; i = 1,2.
После замены переменных 41i = Di cosji,
Х1 р = мп^т/ор, х2 р = 2р р соз2р/оГ р,
х3 р = со82л/оГ р, (р = 1, N; 1=1,2) (7) х4 р = -2р р 81п2р/о^ р, [х5р =1
преобразованная система (6) становится линейной относительно новых переменных дп,... ,д51,д12,... ,452-
q2i = Di Vcosji, 43i = Di sinji, и 44i = Di vsinji, q5i = Bi,
5
I
i=1
uji = Iqjixji + xji, j =1,N; i=1,2. (8)
5o
Как следует из (7), общее число неизвестных Я/ равно 10. Следовательно, должны существовать 3 билинейных уравнения связи на эти переменные, которые легко находятся из (7):
ЯиЯ* = 42143»' V =42/41; 1=1,2. (9)
Конечно, из (7) можно найти много уравнений связи для переменных я^, но только 3 из них будут независимыми. Поэтому в работе выбраны именно соотношения (9).
Решение (8) с учетом ограничений (9) по МНК ищется с помощью итерационной процедуры, задаваемой следующими выражениями [12]:
-1
ч 0 -(хТ х)1 (хТи),
Ч т+1 - Ч
Т
Ч тСч т
т
2чт,0 (хТ X )-1Оч
(хТ X
Т
£ Ч т
т
где блочные матрицы Xи С вычисляются следующим образом:
Х11/ Х21/ Х31/ Х41/ Х51г
X -
0
0
W'
W,
2
С -
V Х1М
' н
с
21
Х2 N
С12Л н
Х3Ш Х4 N Х5М
н
'0 0 0 1 0
0 0 1 0
0 -1 0 0
-1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
С12 -
(0 1 ..Л Г -1 0
1 0 ... ; с 21 - 0 -1
V • • V • •
/=1,2.
Все матрицы С имеют одинаковый размер (5x5) и содержат только по два ненулевых элемента, все непоказанные в них элементы равны нулю.
После нахождения оценок промежуточных переменных я^ из (7) несложно получить искомые оценки частоты/=/0 + V, амплитуд Д и фаз щ:
Я41
1
V = — 4
с
Я21 Я11
Я22 + ЯЯ42
А
Я1 + Яз/; /=1,2
щ /
Я31 Я12 Я32
V, Яц > 0, Яз/ > 0;
V + р, Ян < 0; , V - аг^^ / Я1); 0 < сщ < 2р
V + 2р, Яи > 0, Яз/ < 0,
2.4. Алгоритм «спектральной подгонки»
Недавно был предложен алгоритм «спектральной подгонки» в качестве нового метода оценки параметров синусоиды [6]. Метод основан на сравнении теоретического частотного спектра синусоид и спектров измеренных отсчетов сигналов. Он был модифицирован для использования при оценке параметров двух синусоид.
Снятие конечного числа отсчетов синусоиды эквивалентно ее ограничению с помощью прямоугольного окна. Теоретический спектр такой «усеченной» синусоиды [6]
X [k ] — DP [k ] — D
где k e [- N/2 +1; N/2], женная функция sine,
W
о k 2p—
N
■2p—
fs
eJji + W
s У
Г k fЛ
2p—+ 2p—
N fs у
-Jj
, (10)
W (s) - спектр прямоугольного окна, то есть сгла-
sin
W (w) =
w 2
N
Ю/ (
2
^ (N-1)
sin
v 2 у
Полученный спектр Xi [k ] состоит из двух перекрывающихся сглаженных функций sine, центрированных на круговых частотах ± wx — ±2p f / fs. Максимум Xi [k] не центрируется на частотах ± wx из-за явления растекания спектров. Алгоритм ищет оценки параметров синусоидальных сигналов, которые минимизируют функции невязки:
kmax +1
(DP ,Re [k]- Xi,Re [k])2 + (DiP,Im [k]- Xi,lm [k])2 ], (11)
= I
кшах —1
где Х1 [к ] - спектр каждого из измеренных сигналов.
Из (11) видно, что функции невязки оцениваются только в трех точках спектра: точке максимума амплитудного спектра Х^ [к ] ктах и двух соседних точках. Алгоритм учитывает факт, что соотношение (11) устанавливает линейную связь между теоретическим спектром Х^ [к ] и амплитудой Di, и это позволяет уменьшить количество оцениваемых параметров до трех: двух неизвестных фаз и общей частоты. Затем амплитуду Di рассчитывают с использованием этих оцененных параметров:
k +i *V mQV ' 1
Di
Skmax k — ki
max
, (P,Re [k X ,Re[k ] + P,Im [k ]Xi ,Im [k ])
S
kmax +1 (P. n
k=k -1 \ i,Re
max
[k ] + P
LIm [k ]
Поиск минимумов функций невязки - это итеративная процедура, использующая метод Гаусса - Ньютона. Начальная оценка частоты находится с помощью ДПФ, далее оценки остальных неизвестных получаются с помощью применения трехпараметрической подгонки синусоиды к каждому измеренному сигналу в отдельности.
Чтобы компенсировать возможное различие отношений «сигнал/шум» в каждом измерительном канале (например, из-за шума, паразитных компонентов в сигналах, гармонических искажений), на каждой итерации каждому сигналу присваиваются соответствующие веса, после чего они используются в методе Гаусса - Ньютона:
e
" j(m+1)" „ч m ф1
Ф2да+1) _ Ф 2m — j m-1)]+
у (m+1) г
+
w1l 6 06,6
06,6' W2I6
m
Г,
r
m
m
Го
m
T
Г
1,Re 1,Im 2,Re *2TmJ
где w, - веса 1 +
max(wi, W2)
I6 - единичная матрица (6x6); 06,6 - нулевая матрица (6x6)
[J] является псевдообратной матрицей якобиана J; верхний индекс m обозначает номер итерации; ri - остаточные члены в процедуре подгонки:
Di Pi [kmax -1]" Xi [kmax -
Di Pi [kmax] - Xi [kmax] Dfpm [k max +1]" X, [¿max + 1
Г m _
i
Веса wi - это погрешности МНК, рассчитанные во временной области как разница между измеренным сигналом и сигналом, восстановленным с использованием текущих оценок параметров.
Итеративная процедура заканчивается, когда относительное изменение оценки частоты падает ниже порогового значения или когда превышено заданное максимальное количество итераций. Веса wi используются для оценки нижней границы Крамера - Рао [7], которая затем применяется для регулировки уровня порогов. Эта адаптивная настройка порогового уровня имеет преимущество перед фиксированной настройкой, поскольку она препятствует тому, чтобы уровень был установлен слишком низким или слишком высоким.
Главным преимуществом этого алгоритма является то, что итеративная часть может быть точно рассчитана с использованием всего лишь трех выборочных точек у каждого сигнала (три значения к в (11)), что делает его очень эффективным, поскольку только начальные вычисления выполняются с помощью полного количества полученных отсчетов.
3. Численное моделирование
Оценка производительности четырех описанных алгоритмов проводилась с помощью имитационного моделирования в среде МЛТЬЛВ, где они были реализованы, после чего были проведены несколько тестов. Конечной целью является определение среднеквадратичных погрешностей оценок амплитуд и фаз, поэтому для каждого набора тестируемых параметров проводились по 100000 модельных экспериментов, заключающихся в оценивании параметров сигналов всеми четырьмя способами при различных реализациях аддитивного шума, задаваемого датчиком случайных чисел с нормальным распределением, нулевым средним и заданными дисперсиями. Дисперсии шумовых последовательностей задавались, исходя из требуемого отношения «сигнал/шум», рассчитываемого в соответствии с
1
соотношением (2), после чего вычислялись соответствующие стандартные отклонения погрешностей оценивания. В каждом прогоне начальные фазы сигналов (ф1, ф2) задавались случайными равномерно распределенными величинами на интервале -п и п. Частота сигнала составляла /0 = 50 Гц, погрешность задания частоты выбиралась случайной, распределенной по равномерному закону в диапазоне от -0,5 Гц до 0,5 Гц. Число отсчетов сигналов в каналах в каждом отдельном эксперименте N = 2000.
3.1. Точность оценки амплитуд тока и напряжения
Далее представлен анализ точности оценивания амплитуд тока и напряжения четырьмя исследуемыми алгоритмами. Амплитуды сигналов были равны 220 В и 5 А, а отношение «сигнал/шум» установлено равным 40 дБ. На рис. 1 даны зависимости среднеквадратических погрешностей оценивания амплитуд для всех четырех алгоритмов от величин самих амплитуд. Сравнивая четыре алгоритма, можно видеть, что результаты «спектральной подгонки» совпадают с результатами «подгонки синусоиды по семи параметрам», результаты, полученные с помощью «подгонки эллипса» уступают по точности первым двум алгоритмам. Тем не менее, точность оценивания с помощью метода МПС выше, чем у его аналогов.
Рис. 1. Среднеквадратичная ошибка амплитуд для «подгонки эллипса» (а), «подгонки синусоиды по семи параметрам» (б), модифицированной «подгонки синусоиды по семи параметрам» (в) и «спектральной подгонки» (г) в зависимости от амплитуд двух сигналов
3.2. Точность оценки начальных фаз
Ниже представлен анализ точности оценивания начальных фаз синусоидальных сигналов тока и напряжения четырьмя исследуемыми алгоритмами. Как и ожидалось, результаты оценивания алгоритмами ПС и СП не зависят от реальных начальных фаз сигналов. Алгоритм ПЭ действует
54
по другому принципу. Но, несмотря на вырождение эллипса, алгоритм способен оценивать, хотя и с большей погрешностью, фазы сигналов для любых задаваемых значений из диапазона от -п до п.
На рис.2 представлены соответствующие результаты для среднеквадратичной ошибки оценивания начальной фазы синусоидальных сигналов. Заметим, что результаты ПС совпадают с результатами, полученными с помощью СП и МПС, более того, они почти достигают нижней границы Крамера - Рао. Результаты оценивания ПЭ уступают в точности конкурентам.
Рис. 2. Среднеквадратичная ошибка начальной фазы «подгонки эллипса» (а), «подгонки синусоиды по семи параметрам» (б), модифицированной «подгонки синусоиды по семи параметрам» (в) и «спектральной подгонки» (г) в зависимости от двух амплитуд
сигнала
3.3. Влияние отношения «сигнал/шум» на точность оценивания
Проведено моделирование влияния отношения «сигнал/шум» (2) на среднеквадратичные погрешности оценки параметров синусоидального сигнала. Отношения «сигнал/шум» были выбраны в диапазоне от 6 до 60 Дб. Амплитуды синусоид были равны 220 В и 5 А. На рис. 3 представлены в логарифмическом масштабе зависимости среднеквадратичных погрешностей оценки амплитуд, фаз и частоты синусоидальных сигналов от отношения «сигнал/шум» (S/N), по-прежнему, задаваемого с помощью соотношения (2).
Анализ полученных результатов показывает, что разработанный отечественными исследователями модифицированный алгоритм «подгонки синусоид по семи параметрам» превосходит по точности остальные тестируемые алгоритмы, а алгоритм «подгонки эллипса», наоборот, является наименее точным.
зз б
в
Рис. 3. Зависимости среднеквадратичных погрешностей оценки: а - амплитуд; б - фаз (ф); в - частоты (f) синусоидальных сигналов от отношения «сигнал/шум» (S/N); кривая 1 - алгоритм «подгонки эллипса»; кривая 2 - алгоритм «подгонки синусоиды по семи параметрам»; кривая 3 - алгоритм модифицированной «подгонки синусоиды по семи параметрам»; кривая D - алгоритм «спектральной подгонки»
56
Однако по результатам моделирования также можно заключить, что алгоритм «подгонки эллипса» является наиболее быстродействующим, хотя имеет наименьшую точность. Алгоритм «спектральной подгонки» уступает алгоритму «подгонки эллипса» в быстродействии в 1,5 - 2 раза. Алгоритм «подгонки синусоиды по семи параметрам» существенно уступает алгоритмам «подгонки эллипса» и «спектральной подгонки» по скорости, но по точности сильно превышает их. Предлагаемый алгоритм модифицированной «подгонки синусоиды по семи параметрам» по быстродействию не уступает алгоритму «спектральной подгонки», а по точности значительно превышает его, что делает наиболее привлекательным данный алгоритм для применения в системах оценки параметров синусоидальных сигналов, в том числе для систем управления качеством электроэнергии.
4. Выводы
Таким образом, проанализированы четыре алгоритма для оценки двухканальных параметров синусоидальной волны в широком диапазоне ситуаций. Два синусоидальных сигнала имеют общую частоту, как и в реальных электросетях.
После общего описания четырех алгоритмов, представленных с некоторыми подробностями относительно их реализации, даны результаты численного моделирования, которое использовалось для оценки и сравнения эффективности алгоритмов. Параметрами, используемыми для оценки этой производительности, были среднеквадратичные ошибки амплитуд и фаз сигналов, а также быстродействие алгоритмов и требования к необходимому для их реализации объему памяти процессора.
Алгоритмы «синусоидальной подгонки с семью параметрами» и «спектральной подгонки» дают примерно одинаковую точность оценивания параметров двух гармонических сигналов одинаковой частоты, которая превосходит точность алгоритма «подгонки эллипса». Но они уступают последнему в скорости работы. Модифицированная «подгонка синусоиды по семи параметрам» показала наиболее точные результаты оценивания, которые находятся вблизи нижней границы Крамера - Рао [V]. Помимо этого, по скорости работы этот алгоритм уступает только алгоритму «подгонки эллипса», но превосходит остальных исследуемых конкурентов. Из этого можно сделать вывод о целесообразности использования именно модифицированного алгоритма оценивания «подгонки синусоид по семи параметрам», предложенного отечественными исследователями.
Список литературы
1. IEEE Standard for Digitizing Waveform Records, 200V. IEEE Std. 105V-200V.
2. Ramos P.M., Serra A.C. A new sine-fitting algorithm for accurate amplitude and phase measurements in two channel acquisition systems // Measurement. 2008. Vol. 41. No. 2. P. 135 - 143.
5V
3. Ramos P.M., Janeiro F.M., Radil T. Comparison of impedance measurements in a DSP using ellipse-fit and seven-parameter sine-fit algorithms // Measurement. 2009. Vol. 42. No. 9. P. 1370 - 1379.
4. Halir R., Flusser J. Numerically stable direct least squares fitting of ellipses // Proe. WSCG'98. University of West Bohemia, Czech Republic, 1998. P. 125 - 132.
5. Recent Developments on Impedance Measurements With DSP-Based Ellipse-Fitting Algorithms / P.M. Ramos, F.M. Janeiro, M. Tlemfani, A.C. Serra // IEEE Trans. Instr. Meas. 2009. Vol. 58. No. 5. P. 1680 - 1689.
6. Radil T., Ramos P.M., Serra A.C. New spectrum leakage correction algorithm for frequency estimation of power system signals // IEEE Trans. Instr. Meas. 2009. Vol. 58. No. 5. P. 1670 - 1679.
7. Handel P. Parameter estimation employing a dual-channel sine-wave model under a Gaussian assumption // IEEE Trans. Instr. Meas. 2008. Vol. 57. No. 8. P. 1661 - 1669.
8. Pilu M., Fischer R. Direct least squares fitting of ellipses // 13th Intern. Conf. on Pattern Recognition. Vienna, Austria, 1996. P. 253 - 257.
9. Analysis of a non-iterative algorithm for the amplitude and phase difference estimation of two acquired sinewaves / F.M. Janeiro, P.M. Ramos, M. Tlem?ani, A.C. Serra // XVIII IMEKO World Congr. Rio de Janeiro, Brazil, 2006.
10. Львов А. А., Коновалов P.C., Соломин М.И. Повышение точности измерения выходной частоты пьезорезонансных датчиков давления // Материалы Международной научно-практической конференции «Наукоемкие технологии и инновации». Белгород: БГТУ, 2014. С. 193 - 198.
11. Оценивание параметров квазигармонических сигналов методом максимального правдоподобия / А. А. Львов, В.П. Глазков, В.П. Красно-бельмов, Р.С. Коновалов, М.А. Соломин // Вестник СГТУ, 2014. № 4 (77). С.147 - 154.
12. The use of current loop circuit as a signal conditioner for high accuracy digital piezoresistive pressure sensors / A.A. L'vov, P.A. L'vov, R.S. Ko-novalov, S.A. Kuzin // X International Scientific and Technical Conference. Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines. Proceedings. Omsk: Omsk State Technical University, 2016.
Долинина Ольга Николаевна, канд. техн. наук, доц., директор, odolini-na09@gmail. com, Россия, Саратов, Саратовский государственный технический университет (СГТУ) имени Ю.А. Гагарина,
Львова Елена Викторовна, асп., glavniy-hanayandex. ru, Россия, Саратов, Саратовский государственный технический университет (СГТУ) имени Ю.А. Гагарина,
Серанова Анна Александровна, инж.-системотехник, serano-va.annaagmail.com, Россия, Саратов, АО «Конструкторское бюро промышленной автоматики»
COMPARATIVE ANALYSIS OF TWO-CHANNEL ALGORITHMS FOR PARAMETER ESTIMATION OF HARMONIC SIGNALS IN POWER QUALITY CONTROL SYSTEMS
O.N. Dolinina, E. V. L 'vova, A.A. Seranova
Comparative analysis of four different algorithms for parameter estimation of harmonic current and voltage supplying signals in two channels having common frequency is presented. The four algorithms belong to different categories because they are based on different approaches. Multiple simulation situations are included in the comparison to demonstrate the weaknesses and strong points of each algorithm.
Key words: sinewave parameter estimation, amplitude and phase measurements, seven parameter sine fit, ellipse fit, spectral sinc fit.
Dolinina Olga Nikolaevna, candidate of technical sciences, docent, header of Institute, odolinina09@,gmail. com, Russia, Saratov, Saratov State Technical University (SSTU) named after Yu.A. Gagarin,
L 'vova Elena Viktorovna, postgraduate, glavniy-han@yandex. ru, Russia, Saratov, Saratov State Technical University (SSTU) named after Yu.A. Gagarin,
Seranova Anna Aleksandrovna, systems engineer, seranova. anna@gmail. com, Russia, Saratov, SC «Design Bureau of Industrial Automatics»
