CC BY
20
УДК 681.513
ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕОРЕТИКО-ИГРОВОЙ МОДЕЛИ ЭКСПЛУАТАЦИИ ЭКОСИСТЕМЫ С ВЕКТОРНЫМИ ЦЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИОНАЛАМИ УЧАСТНИКОВ
В.А. Серов, Г.И. Иванова, Н.И. Суханова
Кафедра технической кибернетики Российского университета дружбы народов 117198 Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6
Рассматривается задача управления эксплуатацией экосистемы, которая формализуется как бескоалиционная дифференциальная игра в форме конечномерной задачи многокритериальной конфликтной оптимизации. В качестве принципа оптимальности предлагается использовать теоретико-игровую концепцию стабильного равновесия. Для определения множества стабильно-равновесных решений разработан генетический алгоритм поиска векторного равновесия, который позволил построить оценку области стабильно-равновесных режимов эксплуатации экосистемы.
1. Теоретико-игровая модель эксплуатации экосистемы «хищник-жертва».
Математическая модель эксплуатации экосистемы включает в себя следующие компоненты.
Динамическая модель [1]:
х, = г,х
Х2 =г2х2
1-х,----------X
V Г1
с \
7- — х
2
-г,ип (1а)
-г2и2, (16)
V )
(1в)
ui=qtxi, 1 = 1,2. (1г)
В системе уравнений (1) X = [х^х, ]? -вектор состояния системы; и — \и], Ы2]Г -вектор управления; Х1, Х2 - нормированные величины, связанные с плотностями жертв и
хищников Л^), N2{{) соответственно соотношениями: хД^) = —х2(/) = —
к к-а
г. - константа собственной скорости роста численности / -й популяции, / = 1,2, определяемая ее генетическими возможностями и характеризующая ее способность к воспроизводству; к - емкость экологической ниши популяции жертв (максимальная численность популяции жертв, которую может поддерживать экосистема в условиях ограниченных пищевых ресурсов в отсутствие хищников и антропогенного воздействия);
1/а - число жертв, необходимых для поддержания жизни одного хищника; а - мера
подавляющего влияния популяции хищников на популяцию жертв; = \с[1, ц2 ]7 - вектор параметров закона управления; I - время.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений (1а), (16) описывает динамику развития популяций жертв и хищников, соответственно; (1в)-начальные условия; (1г)-закон управления, характеризующий стратегии эксплуатации экосистемы. При этом используются общепринятые для данного класса экологических моделей допущения:
- результаты взаимодействия в пределах популяции и между популяциями считаются мгновенными.
- изменения плотности могут быть адекватно описаны детерминистскими моделями;
- плотность каждой популяции может быть полностью описана с помощью одной переменной, т.е. мы пренебрегаем возрастными, половыми и генетическими различиями.
На вектор управляющих параметров наложены ограничения:
й = {цеЕ2\Ч1йц^Чи). (2)
Векторный показатель эффективности эксплуатации экосистемы. Горизонт системно-экологического прогнозирования [/й, Тк ] должен охватывать две
последовательные фазы антропогенного воздействия: [/0, Т, ] - фаза эксплуатации;
[Т,,Тк] - фаза восстановления экосистемы. Поэтому эффективность эксплуатации экосистемы в целом целесообразно оценивать векторным показателем вида:
Ач)=[^,(ч\^Т2(ч)\, (3)
где /. ь)-мим -векторный показатель эффективности /-го участника с компонентами вида:
Т,
'1п(ч)= (4а)
10
Тк
}(*;(?> Ж, / = 1,2 . (46)
т,
Функционал вида (4а) характеризует объем осуществляемого / -м участником запланированного сокращения биомассы жертв и хищников в заданном ареале их обитания на конечном интервале времени [^>^]- Каждый из участников стремится
максимизировать свой показатель вида (4а). В момент времени 1 = оба участника прекращают эксплуатацию экосистемы с целью восстановления численности популяций жертв и хищников. Функционал вида (46) характеризует эффективность восстановления
численности популяций на конечном интервале \ГП 7^], где X’(</,/) - заданная программа
восстановления численности / -й популяции, I = 1,2. Каждый из участников стремится минимизировать свой показатель вида (46).
Система предпочтений. Для каждого участника задано частичное отношение предпочтения , на множестве достижимых векторных оценок I 1 [О), в виде полиэдрального конуса доминирования:
И,. =£2, =£^,/ = 7,2, (5а)
а для всего множества участников - частичное отношение предпочтения на «/(б):
Ж = &/хС22. (56)
Исследуемая модель эксплуатации экосистемы является конфликтной, т.к. имеет место несогласованность целей управления участников, а также их взаимное влияние на показатели эффективности вследствие взаимосвязи популяций жертв и хищников.
Постановку задачи оптимального управления эксплуатацией экосистемы будем формулировать в виде бескоалиционной игры:
Г = (6)
где N = {1,2} - множество участников конфликта; («/) - векторный показатель эффективности г -го участника с компонентами вида (4а), (46), определенный на множестве
вида (2); СіІ - полиэдральный конус доминирования вида (5а).
leN
Требуется определить допустимое решение q* &Q, обеспечивающее оптимальное
значение векторному показателю эффективности -/(^*) при условиях бескоалиционного взаимодействия между участниками конфликта.
Для решения задачи (6) будем использовать принцип стабильного равновесия [2].
2. Вычислительный эксперимент.
2.1. Стабильное равновесие для случая скалярных показателей эффективности.
Если в пределах горизонта системно-экологического прогнозирования [^,7*]
учитывается только фаза эксплуатации экосистемы, то эффективность каждого участника
оценивается скалярным показателем вида (4а): Уг (</) = г = 1,2. В этом случае
стабильное равновесие имеет смысл активного равновесия. На вектор управляющих параметров наложены ограничения:
0^,й1-,0^2й1- (7)
На этапе 1 производится построение множества Парето-оптимальных решений.
На этапе 2 осуществляется поиск равновесия по Нэшу q с помощью генетического алгоритма поиска векторного равновесия [2].
На этапе 3 реализуется процедура построения стабильного равновесия q (рис. 1). С этой целью осуществляется оптимизация точек множества Парето по узкому конусу доминирования О, построенному в точке равновесия по Нэшу 1\аЫЕ^ и обеспечивающему относительно указанной точки равномерное улучшение всех компонентов векторного показателя эффективности Ая)
На рис. 2 изображена динамика развития популяций жертв и хищников при стабильноравновесном режиме эксплуатации экосистемы на интервале [^0, Тк ].
•>2
0.9
0.6
0.58
м<ґЕ)
0.53
о.з
02
0.1
о
Г " «ч *4;
. — “ ■ ”
. — ;
■ :— 0.874
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 О.Р
0.92
Рис.1. Построение стабильного равновесия
*і(0°9
*2(0°8
~ 0.43
і^Е)=аа2А|* Ы<?*) = М985
^е2^Ы7 \
Ы^Е) = 0.5865 М№шАЩ7
*о ТI /
Рис.2. Динамика развития экосистемы при стабильноравновесном режиме эксплуатации.
2.2. Стабильное равновесие для случая векторных показателей эффективности.
Достоверный системно-экологический прогноз должен дать ответ на следующий вопрос: какой уровень антропогенного воздействия на экосистему можно допустить, чтобы впоследствии обеспечить заданные программы восстановления численностей обеих популяций без ущерба для окружающей среды. Построение подобного системноэкологического прогноза возможно на основе использования принципа стабильного векторного равновесия [2].
Будем оценивать эффективность эксплуатации экосистемы векторным показателем вида (3) с векторными компонентами участников (4а), (46) при ограничениях на вектор управляющих параметров (7). Для построения аппроксимации множества стабильных равновесий применяется многоэтапная вычислительная процедура аналогичная описанной в разделе 2.1 (Рис. 3-5).
; і і ;і\'"
! S \ \
!>V A I
РмЪ-мРтАг;ррф]п І-if.
: ■'/ :/ і’і ; {■ ;Х'“/ '• У
Hri M*v »
: Л-'\jlij
,.,...ШцЦ
і»" Л м і :/■' Г I Li і:./ iil-h
£ігйЧ'УІ/Ум?№ і!
1' ! ЇМ
-V - і і \ .;
rWjV
ШИ-W-- -
ft 1 t і і » і V *' ■' ■
•Л,
12
'ЖЩ і і
і ''А ^!
-f /. , ,..t ; і і Ц
■' Ij 1-і : ■]
Рис. З . Аппроксимация множества Парето-оптимальных решений.
+ Vt\rK4-rr1' .^Wt'T ’ ‘ l t> \ C-Wr- 7'! IP11 і
"0 0.1 0.2 0.3 0.4 ,J).5 06 07 ,7 0.8 09
‘Г J22
Рис. 4 . Аппроксимация множества векторных равновесиі
і ь wX і і °.SM Ь-V М. >•
лггкіщ. Ц’Л;;-ї
"Ш"Х "
л /
лці. ;дц . / ..і , :-і- 1:\
: іУ і/--/ ір і
'Л ЛУ" ‘
*,0 І
0.9І- -
Х4І> \
* nsL
Щ'Т'К ■ АІ/;\ ■■
R-T't'^-rK "\t ■' !\ Д •/'\ / :V W‘
Г-hi Si,
V : Vf ?:V - '■
.. -1 ' Л 4-
f P
ft
'Т’’Г-V T:’ 'i t* ^^1
і .ц--
HE i. -И г-''1*"' NL«4--:n l—t/П; / і /• і И'! •’ ТУ--РгЖ^-ь.^'г'-' Ч і / І-Гіг.
■І ГЁ '
it-'vpri -y&---v\-hi’1xl : t’MiV
0i^* r^i ~i~ V ~ 1 'K
\ / /t v : I (1 _! I : '. I :.i
:
•*/<»
xp
0 0.1 0.2 rc.0,3 0.4 0.5 0.6 0.7 / 0.8 09 1
л I U
J22 1
Рис. 4 . Аппроксимация множества стабильноравновесных решений.
oL.._
0 12 3 4
5
т.
6 7 8 9 10
0 ‘I 'к
Рис. 5 .Стабильно-равновесный режим эксплуатации экосистемы
Далее на основе одной из схем построения компромисса, например с помощью узкого конуса доминирования, выбираем следующее стабильно-равновесное решение
ц5Е =[0.28,0.37]т , при котором показатели эффективности участников принимают
значения /, ) = [о.5696,0.0139] И /2 [ц$Е) = [о.5315,0.0005]т.
Результаты моделирования динамики экосистемы «хищник-жертва» при стабильноравновесном режиме эксплуатации представлены на рис. 5. Выбранное стабильно равновесное решение позволяет обеспечить выполнение следующих условий:
JI (и) > 0.5, J3 {и) < 0.05, Дх, (/) < 20% - для первого участника,
J2 (и) > 0.5, J4 (и) < 0.005, Ах2 (?) < 20% - для второго участника.
ЛИТЕРАТУРА
1. Thomas L. Vincent Renewable Resource Management // Mathematical Concept and Methods in Science and Engineering, Volume 37 / Multicriteria Optimization in Engineering and in the Science / Edited by W. Stadler; San Francisco State University, San Francisco, California, QA402.5. M855,1988. - P. 161-186.
2. Серов В.А. Алгоритмическое обеспечение стабилизации обобщенного равновесия в задаче многокритериальной оптимизации в условиях конфликта // Вестник РУДН. Серия "Кибернетика". - 1998, №1. - С.43-48.
INVESTIGATION OF ECOSYSTEM EXPLOITATION OF THEORETICAL GAME MODEL WITH VECTOR VALUED GOAL FUNCTIONAL
V.A.Serov, G.LIvanova, N.LSukhanova
Department of Technical Cybernetics,
Peoples' Friendship University of Russia,
Miklukho-Maklay st., 6, Moscow, 117198, Russia
A theoretical game model of system ecological prediction with vector valued goal functionals of participants is suggested and researched.
Владимир Александрович Серов родился в 1953 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана. Канд. техн. наук, доцент, зав. кафедрой технической кибернетики РУДН. Автор более 100 публикаций в области теории многокритериальной оптимизации и принятия решений в условиях конфликта и неопределенности.
V.A. Serov (b. 1953) graduated from Bauman Moscow Higher Technical School. PhD(Eng), ass. professor, head of Technical Cybernetics Department of Peoples' Friendship University of Russia. Author of more than 100 publications in the field of the theory of multicreteria optimization and decision making under conflict and uncertainty.
Иванова Галина Ивановна родилась в 1976 г. В 2000г. окончила РУДН. В настоящее время является аспирантом кафедры технической кибернетики РУДН. Занимается вопросами из области теории многокритериальной оптимизации и принятия решений в условиях конфликта и неопределенности.
G.I. Ivanova (b. 1976). Graduated from PFU in 2000. At present time -postgraduate student of Technical Cybernetics Department, PFU. Professional interests: the theory of multicreteria optimization and decision making under conflict and uncertainty.
Суханова Надежда Ивановна родилась в 1981 году. Студент кафедры технической кибернетики РУДН.
N.I. Sukhanova (b. 1981) Student of Technical Cybernetics Department of Peoples’ Friendship University of Russia.
