CC BY
43
УДК 681.513
О СИТУАЦИЯХ РАВНОВЕСИЯ В КОАЛИЦИОННЫХ КОНФЛИКТНЫХ МОДЕЛЯХ СТРУКТУРНО-СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
В.А.Серов
Кафедра технической кибернетики Российского университета дружбы народов,
117198 Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6
В статье вводится понятие обобщенного активного К -равновесия для коалиционных моделей структурносложных систем. Исследуются гарантирующие свойства обобщенного активного К -равновесия, а также его взаимосвязь с различными теоретико-игровыми концепциями равновесия.
Рассмотрим конфликтную модель структурно-сложной системы (ССС) в форме коалиционной игры в нормальной форме
г - ('. К }*,«,. К,к },,.*)
В задаче (1) Р = {/,£>}- множество участников конфликта; К = {ж,-, I е 5 = {/,$]] -некоторое семейство коалиций (подсистем ССС, объединяющих группы участников
П
конфликта, имеющих возможность совместного выбора своих стратегий); К <^2 , где р
2 - множество всех подмножеств Р; 5 - множество индексов коалиций;
ик — Ци] - множество стратегий коалиции К Xй) е Е к> - векторная
целевая функция (показатель эффективности) коалиции К1Ь определенная на декартовом
произведении 17 = 1^,-; набор и = II объединяет допустимые
геР
стратегии (управляющие параметры) и,- е £/, участников / е Р; замкнутый выпуклый конус &к, с Етк' порождает бинарное отношение частичного предпочтения на множестве ДОСТИЖИМЫХ векторных оценок 3,И= 1)^,( и) с Етк', / € 5 .
и&и
Постановка (1) является достаточно общей и в зависимости от вида множества К, определяющего структурно-целевую взаимосвязь подсистем ССС, а также от условий их информационного взаимодействия, решение задачи (1) возможно в рамках бескоалиционного, коалиционного и кооперативного подходов. В основе каждого из перечисленных подходов лежит теоретико-игровая концепция равновесия, использующая идею устойчивого поведения и имеющая множество интерпретаций в виде конкретных принципов оптимальности в зависимости от уровня структурно-целевой и информационной сложности задачи (1). Сравнение бескоалиционной, коалиционной и кооперативной концепций равновесия является основным принципом теоретико-игрового анализа ССС, а также источником строгих и, вместе с тем, содержательных рассуждений о побудительных мотивах поведения участников конфликта, вытекающих из структуры конфликтных моделей [1-3,6, 7, 9, 10].
Бескоалиционный подход. Бескоалиционные игры являются базовым классом теоретико-игровых моделей [4] и служат основой для построения методологических и
практических обобщений. Предполагается, чтоЛТ = Р = Б; I^ (м)= ./;(и)е Е^, / е 5 .
То есть семейство К состоит из р коалиций, а каждая коалиция К{ состоит из одного, / -го участника со скалярным показателем эффективности У,-(и). Содержательно бескоалиционная игра сводится к независимому выбору каждым из участников / е Р некоторой своей стратегии И,- е £/,• с последующим вычислением значения целевого
функционала «//(и). При бескоалиционном варианте взаимодействия наибольшее
распространение получили принцип равновесия по Нэшу [14] и принцип гарантированного результата (минимакса) [6]. Равновесие по Нэшу реализует идею устойчивости ситуации в форме ее приемлемости. При этом в равновесии по Нэшу участник / рассматривает стратегии ир\/ как экзогенно заданные и минимизирует функционал на множестве своих
стратегий и 1, обеспечивая один из наилучших ответов на стратегии М/>\/, /е Р.
Гарантирующая стратегия является правилом осторожного поведения при минимальной информированности участника конфликта, когда его информация ограничена только знанием множеств стратегий партнеров и своего целевого функционала.
Равновесие по Нэшу обладает следующими позитивными войствами.
1. Равновесное по Нэшу решение является индивидуально рациональным, т.е. обеспечивает участникам значения показателей эффективности не хуже гарантированных, получаемых при выборе ими минимаксных стратегий.
2. Устойчивость по отношению к отклонению от ситуации равновесия отдельных участников.
3. В случае бескоалиционной игры двух лиц с нулевой суммой получаем антагонистическую игру, в которой седловая точка совпадает с равновесием по Нэшу. Таким образом, понятие равновесия по Нэшу обладает свойством “полноты” в том смысле, что включает в себя, как частный случай, общепринятое понятие решения антагонистической игры.
Вместе с тем ситуации равновесия по Нэшу обладают рядом негативных свойств.
1. Как правило, имеет место неединственность равновесных по Нэшу решений. Отсюда вытекает отсутствие эквивалентности и взаимозаменяемости. Поэтому при выборе равновесных стратегий необходим предварительный обмен информацией между участниками о том, какую конкретную ситуацию равновесия по Нэшу они собираются реализовывать. Это обстоятельство “ослабляет” бескоалиционный характер исходной постановки.
2. Множество равновесий по Нэшу не является, вообще говоря, внутренне устойчивым.
3. Ситуации равновесия по Нэшу, вообще говоря, улучшаемы. То есть могут существовать ситуации, не обязательно равновесные, обеспечивающие улучшение всех
компонент векторного показателя ССС ,/(н)е.Е'/н относительно равновесной по Нэшу ситуации.
Необходимо отметить, что указанные негативные особенности равновесия по Нэшу не умаляют его значимости, как базового принципа оптимальности, являющегося отправной точкой для построения более общих концепций равновесия.
Если в задаче (1) эффективность каждого участника / оценивается векторным
показателем ./Дн)е Ет' , / е Р, то описание свойств оптимальных решений возможно
на основе принципа обобщенного равновесия [5, 18]. Обобщенное равновесие в данной интерпретации фактически представляет собой векторное равновесие по Нэшу и включает в себя, как частный случай, понятие классического равновесия по Нэшу. Кроме того, обобщенное равновесие позволяет исследовать конфликтные ситуации, когда векторные целевые функции различных участников пересекаются по части своих компонент, создавая тем самым некоторую общность интересов (гак называемые конфликтные модели со структурированными показателями эффективности) [7, 11].
Коалиционный подход. В условиях возрастающей структурно-целевой и информационной сложности современных систем управления и поддержки принятия решений становится все более очевидной структурная неэффективность бескоалиционной концепции равновесия, что является побудительным мотивом для создания более общих поведенческих моделей коалиционного сообщества, в котором имеется явный обмен информацией. В рамках коалиционного подхода наиболее общей формой концепции равновесия по Нэшу является К -равновесие [4]. Если семейство коалиций К имеет форму коалиционной структуры, то получаем факторизацию задачи (1) в форме бескоалиционной игры на множестве участников S с векторными показателями эффективности
Jft (и) е е'Пк’ , / G S , а К -равновесие является векторным равновесием по Нэшу. К -
равновесие включает в себя, как частные случаи, понятие сильного (абсолютного) и коалиционного равновесия [3, 12].
Дальнейшая эволюция концепции равновесия связана с разработкой концепции угроз и контругроз [1-3, 8, 10], основная посылка которой состоит в том, что участники конфликта, принимая во внимание стратегическую взаимозависимость, присущую игре в нормальной форме, теперь при выборе собственных стратегий учитывают возможную реакцию остальных. Угрожая друг другу, они имеют возможность расширить множество равновесных исходов. Таким образом, угроза рассматривается, как один из механизмов стабилизации принимаемых соглашений.
Одна из первых формулировок равновесия угроз и контругроз приводится в [1, 2, 10]. При этом используются следующие предположения. Во-первых, если некоторое множество Kj а Р может быть коалицией в задаче (1), то и дополнительное множество Р \ Kt также может быть коалицией (так называемой контркоалицией). Во-вторых, семейство коалиций К имеет форму коалиционной структуры, т.е. множества К( С Р не пересекаются между
собой. В-третьих, целевые функции коалиций и контркоалиций представляются в скалярном виде (например, в виде взвешенной суммы).
В [10] вводится понятие и исследуются свойства активного равновесия (сценария предостережений [12]), непосредственно обобщающего рассмотренное выше равновесие угроз и контругроз, а-ядро [12] обобщает понятие сильного равновесия. Обобщенное активное равновесие [ 16] содержит в себе, как частные случаи, К -равновесие, ОС -ядро, сценарий предостережений, равновесие угроз и контругроз. Особенность обобщенного активного равновесия состоит в том, что эффективность каждой коалиции Кj е К
т ( \ т?тК
оценивается векторным показателем J к \U)£ Ь ' , а предпочтения внутри каждой коалиции формализуются в виде замкнутого выпуклого конуса доминирования fit- а ЕтК: . Описание гарантирующих свойств обобщенного активного равновесия
“ I
использует понятие векторного минимакса [9, 10].
В [3] предлагается использовать многоэтапную конструкцию дальновидно устойчивого компромисса, где контругроза представляется в виде последовательности угроз.
Кооперативный подход. Относительно структурно-целевой взаимосвязи подсистем ССС возможны следующие предположения.
1. К - \Р\; Jp(ll)e Ет. То есть семейство коалиций К состоит из единственной коалиции Р, содержащей р участников, и имеющей векторный показатель эффективности размерности т . В классической теории кооперативных игр изучаются в основном игры в форме характеристической функции [13]. При этом основная проблема состоит в выборе дележа (С-ядро, Н-М-решение, п -ядро, вектор Шепли, арбитражные схемы и т.д.).
2. К = {/}; У Дм) Є Ет‘ . То есть семейство коалиций состоит из единственной
коалиции , содержащей одного участника /, имеющего векторный показатель
эффективности размерности тг В этом случае задача (1) представляет собой классическую
задачу многокритериальной оптимизации, а концепция равновесности имеет форму хорошо известного принципа оптимальности по Парето [15]. Довольно часто бинарное отношение предпочтения внутри коалиции Р может быть задано в виде замкнутого выпуклого
полиэдрального конуса доминирования €1аЕт. Тогда задача многокритериальной оптимизации может быть сформулирована в более общей постановке, как задача оптимизации по конусу, для решения которой используется принцип оптимальности по конусу [19], включающий в себя принцип оптимальности по Парето, как частный случай.
В течение последнего десятилетия активно проводятся исследования конфликтных моделей оптимизации и принятия решений в условиях неопределенности. Наиболее значительные результаты получены в [3, 8-10]. В [3] учитывается стратегическая неопределенность партнера (К-решение), в [8-10] рассматривается неопределенность среды с использованием понятий векторного минимакса.
В настоящей статье вводится понятие обобщенного активного К -равновесия, исследуются его гарантирующие свойства и связь с другими концепциями равновесности коалиционных теоретико-игровых моделей ССС.
Определение 1. Допустимое решение иа е и называется обобщенным активным (ОА) К -равновесием задачи (1), если для любой коалиции и для любого допустимого
“К, &ик, существуют коалиция К; и ее допустимая стратегия йк, еик, такие, что
11 J /г
Для описания гарантирующих свойств ОА К -равновесия необходимо использовать понятие векторного минимакса [9,10].
максимумом коалиции К1 относительно конуса Од на множестве достижимых
конусу О д для коалиции к, в коалиционной игре (I), если ДЛЯ любого Ид' &ик справедливо
(2)
Определение 2. Векторная оценка V^ Шд Е>Пк‘
называется виртуальным
векторных оценок
если она обладает
иР\К, Р\К,
следую
1)
2) для любого V Ф V Д (и к ) такого, что /д-Дйд Мр\К, )с ^ + &К,,
такого, что
имеет место
А. и
При этом вектор Vк \и^ J будем называть векторным минимаксом по конусу Од .
Теорема 1. Пусть иа &U - ОА К -равновесие в коалиционной игре (1). Тогда значения векторной целевой функции каждой коалиции Ку в точке иа не хуже ее векторного минимакса по конусу &К, . То есть для любого i е S имеет место
(6)
Теорема 2. Пусть в задаче (1):
1) иа е U -ОА К -равновесие;
2) допустимое решение U eU удовлетворяет условию
/(«)-/(«“)€ Q; (7)
3) для любого / е S векторная целевая функция Уд |й Ид j является &К,'
выпуклой на Uк , т.е. для любых £ Uк и для любого А е [б?,/]
ик ) + ^ ~ ик )] ~ ик ) + ^ ~ ик 6 ^к, ■ (8)
Тогда и также является О А К -равновесием.
Теорема 3. Пусть в задаче (1):
4) ua&U-ОА-К равновесие;
5) допустимое решение ueU удовлетворяет условию (11).
Тогда и является ОА -равновесием.
Теорема 4. Пусть в задаче (1) выполняются условия теоремы 3. Тогда и является V-решением задачи (1).
ЛИТЕРАТУРА
1. Вайсборд Э.М. О коалиционных дифференциальных играх // Дифференциальные уравнения. - 1974, Т. 10, №4. - С.613-623.
2. Вайсборд Э.М., Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры нескольких лиц и их приложения. - М.: Советское радио, 1980. - 304с.
3. Вшкас Э.Й. Оптимальность в играх и решениях. - М.: Наука, 1990. - 256с.
4. Воробьев Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. - М.: Наука, 1984. - 496с.
5. Гусев М.И.. Куржанский А.Б. О ситуациях равновесия в многокритериальных игровых задачах // Докл. АН СССР. - 1976, Т.229, №6. - С.1295-1298.
6. Гермейер Ю.Б. Введение в исследование операций. - М.: Наука, 1971. - 383с.
7. Гермейер Ю.Б., Ватель И.А. Игры с иерархическим вектором интересов /У Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. - 1974, №3. -- С.54-69.
8. Жуковкий В. И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности. -М..МНИИПУ, 1997.-248с.
9. Жуковский В.Н., Мояоствов B.C. Многокритериальное принятие решений в условиях неопределенности. - М.: МНИИПУ, 1988. - 131с.
10. Жуковский В.П., Чикрий А.А. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. -Киев: Наукова Думка, 1994. - 320с.
1 [.Меньшиков И.С., Меньшикова О.Р. Сильные ситуации равновесия и N-ядро в играх с иерархическим вектором интересов // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1985, Т.25, №9.-С. 1304-1312.
12.Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. - М.: Мир, 1985. -200с.
13. Оуэн Г. Теория игр. - М.: Мир, 1971. - 230с.
14.Нэш Дж. Бескоалиционные игры // Матричные игры. - М.: Физматгиз, 1961. - С.205-221.
\Ъ.Подиновский В.В., Ногин БД. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. - М.: Наука, 1982. - 256с.
16. Серов В.А. Многокритериальная оптимизация распределенных информационновычислительных систем в условиях конфликта на основе концепции стабильного обобщенного равновесия // Информационные технологии. - 1997, №7. - С. 16-22.
17.Серов В.А. Обобщенное е-равновесие и его стабилизация в модели конфликта с векторными целевыми функционалами участников // Вестник РУДН. Сер. Инженерные исследования. - 2000, №1. - С. 127-129.
18. Современное состояние теории исследования операций / Под ред. Н.Н.Моисеева. -М.: Наука, 1979. -464с.
19. Yu P.L. Cone convexity, cone extreme points and nondominated solutions in decision problems with multiobjectives // JOTA. - 1974, V.14, №3. - P.319-377.
ABOUT EQUILIBRIUM POINTS IN COALITION CONFLICT MODELS OF COMPLICATED STRUCTURE SYSTEMS
V. A. Serov
Department of Technical Cybernetics,
Peoples' Friendship University of Russia,
Miklukho-Maklaya St., 6, Moscow, 117198, Russia
A concept of a generalized active /(-equilibrium for conflict models of complicated structure systems is considered
Владимир Александрович Серов родился в 1953 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана. Канд. техн. наук, доцент, зав. кафедрой Технической кибернетики РУДН. Автор более 70 публикаций в области теории многокритериальной оптимизации и принятия решений в условиях конфликта и неопределенности.
V.A. Serov (b. 1953) graduated from Bauman Moscow Higher Technical School. PhD(Eng), ass. professor, head of Technical Cybernetics Department of Peoples' Friendship University of Russia. Author of more than 70 publications in the field of the theory of multicreteria optimization and decision making under conflict and uncertainty.
