CC BY
31
УДК 681.5:681.3
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И МОДИФИКАЦИЯ СТАБИЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ АКТИВНЫХ РАВНОВЕСИЙ В МНОГООБЪЕКТНЫХ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ (ММС) УПРАВЛЕНИЯ
Е.М. Воронов, А.Л. Репкин
Кафедра ИУ-1, МГТУ им Н.Э. Баумана,
Россия, Москва 2-я Бауманская ул., 5
Исследуются различные методы определения оптимального решения в конфликтной ситуации на основе активных равновесий. Учитываются ситуации полной информации о возможных действиях партнера и элементы неопределенности активного партнера.
Рассматриваются вопросы расширения области существования стабильных решений на базе активных равновесий. На основе расширенного набора активных равновесий по Смольякову анализируется взаимосвязь активных равновесий и равновесий по Нэшу и УКУ (угроз-контругроз). Получено обобщение известных множеств стабильных решений. Введены понятия стабильных решений в виде условно гарантированных активных равновесий, а также условно гарантированных несимметричных равновесий в условиях неопределенности активного партнера.
Введение
Как известно [1], теория игр является теорией математических моделей принятия оптимальных решений и управлений в ММС в условиях исходной структурной несогласованности, в условиях конфликтной ситуации и в условиях неопределенности. В рамках теории могут быть получены решения задач экономики, биологии, механики и т.д., в которых рассматриваются взаимодействующие друг с другом объекты.
Классическое равновесие по Нэшу и седловые точки существуют лишь в весьма узком классе задач. В частности, такого рода равновесия могут однозначно существовать в задачах, удовлетворяющих условиям выпуклости (вогнутости) функционалов и компактности множеств их определения. В более общих случаях равновесие по Нэшу может не существовать. Сама по себе игровая постановка задачи естественно предполагает возможность нахождения некоторого множества равновесных решений, и отсутствие того или иного вида равновесных решений приводит либо к необходимости разработки новых методов расчета стабильных решений, либо к модификации существующих с применением расширенных условий существования равновесий.
1. Модель конфликтной ситуации.
В соответствии с [1] модель конфликта должна содержать четыре компоненты: математическое описание ММС; векторный целевой показатель; коалиционная структура ММС; принципы конфликтного взаимодействия.
Рассматривается математическое описание ММС в рамках задачи математического
программирования: имеет место набор множеств Х1 — метрических компактов, на каждом
из которых определены непрерывные функционалы (целевые показатели)
Jj (х;,х2,.. .,Ху) , х€ Х1. Данная модель не ограничивает общность результатов для
полного описания ММС с учетом динамических и статических связей. В качестве вариантов структур ММС рассматриваются бескоалиционные и коалиционные структуры на
замкнутом множестве Q с X = Х2 х... х Х?,, Без ограничения общности можно
ограничиться двухкоалиционной структурой с числом участников конфликта N = 2 .
Предполагается, что ;-й игрок, выбирая стратегию X на доступных ему множествах
б(х, ), стремится обеспечить максимум своей функции эффективности Ji{x^. Область показателей (функционалов качества) — ^(0), полученная на метрических пространствах {Q = Q1*Q2l на которых определены непрерывные функционалы качества J1 (х) и J2 (*), где л: = (х;,х2) — вектор параметров. Сечение множества <2 при фиксированной
стратегии X] обозначим Q^Xj ). Функционалы J j (х) и J2 (лг) могут быть определены
не только на рассматриваемой области но и на всем пространстве R2, являясь непрерывными на всей области определения.
Эффективным подходом к созданию алгоритмов нахождения стабильных решений задачи на стадии вычисления начального приближения является применение сетевых методов оптимизации. При этом задается ортогональная равномерная сеть на области
параметров. Параметры оптимизации заданы на некотором конечном отрезке Х1 6 bt ].
2. Активные равновесия.
Кратко рассмотрим основные определения из предложенного в [2] полного набора активных равновесий. Активным равновесием, введенным в работе [2], является такой тип равновесия, который получен при условии рассмотрения только одного из показателей какой-либо из сторон конфликта. Далее вводятся понятия так называемых «слабых» и «сильных» активных равновесных решений.
Точка (х^х^) является слабым активным равновесием для г-го игрока, если либо
каждой точке х. из сечения Q(xk) г-го игрока можно поставить в соответствие по
крайней мере одно состояние х^х^е^1/) второго игрока так, чтобы имело место отношение
max Jl(xi,xk(xi)) = Jl(xi,xk), k*i, i,k = l,2. (1)
Имеет место следующая игровая трактовка данной ситуации: точка (х;, Хк) £ (2 является слабым активным равновесием для г-го игрока, если, какую бы стратегию X. Ф X, из допустимого ему при отклонении от исходной точки множества точек Q{xk^ он ни выбрал, у партнера на каждую из этих точек х, найдется ответный выбор хотя бы одной такой точки хк(х^ из множества Q(x,) , которая приведет к ситуации (х,,х^), когда г'-й
игрок получит не больше, чем в исходной ситуации (х:,хк).
Данный вид активного равновесия однозначно существует в любой игровой задаче и в общем случае представляет собой конечное замкнутое множество. Исходя из (1), можно находить данные области слабых активных равновесий независимо для каждого из игроков.
С учетом интересов обеих сторон конфликта целесообразно рассмотреть понятие симметричного равовесия, которое бы отвечало требованиям стабильности для всех участников конфликта. Например, множество симметричных слабых активных равновесий состоит из точек, удовлетворяющих системе равенств (1).
Полученная область слабых симметричных активных равновесий обязательно содержит в себе более «сильные» равновесные решения (например, равновесие по Нэшу и др.). Следовательно, из этой области необходимо выделить такого рода стабильные решения. Это можно сделать следующим образом.
Точка (xitxk ], принадлежащая области слабых активных равновесий г-го игрока Д,
является точкой сильного активного равновесия для г'-го игрока, если образующая ее стратегия партнера удовлетворяет условию
Набор параметров (хпХк) е является точкой симметричного сильного активного равновесия, если он удовлетворяет системе равенств (2).
Более сильное равновесие выявляется при замене в определении (2) множеств Д на общую область (), либо, если при переходе на всю область определения выявить стабильные решения не удается, на область симметричных слабых активных равновесий А. Для области (2 в этом случае система равенств (2) принимает вид классических условий существования равновесия по Нэшу, следовательно, если точка Нэша существует, то она всегда должна принадлежать области симметричных сильных активных равновесий.
Если множество симметричных сильных активных равновесий содержит более одного решения, необходимо среди полученных решений выделить доминируемое. Для этого среди всех точек множества производится поиск такого решения для каждой коалиции, которое давало бы ей максимальный выигрыш независимо от поведения партнера.
В работе получено, что случае, когда классическое равновесие по Нэшу не существует, в качестве стабильных решений в бескоалиционной конфликтной ситуации можно использовать некоторый компромисс на пересечении областей сильных равновесий каждого из игроков с задаваемой точностью. Для поиска оптимальных решений в [1] разработано 14 вариантов стабильно-эффективных компромиссов на основе Нэш-УКУ-Парето-Шепли комбинаций, позволяющих находить оптимальное решение в условиях компромисса.
Для расчета Нэш-равновесия в [11 разработан трехэтапный метод Пао-Нэш-оптими-зации. На первом этапе реализуется алгоритм сетевой оценки равновесия по Нэшу для получения начального приближения в последующей точной оптимизации. В качестве одного из рассмотренных методов можно воспользоваться весьма эффективным методом нахождения области сильных симметричных активных равновесий в качестве расширения Пао-Нэш-метода оптимизации и начальной проверки существования самого равновесия по Нэшу.
Таким образом, рассмотрена взаимосвязь области сильных активных равновесий и равновесия по Нэшу. Далее рассмотрим подобное соотношение между областями слабых активных равновесий и угроз-контругроз.
Определение УКУ-решения (угроз-контругроз): набор параметров ( х(, х4 ) является УКУ-
оптимальным решением игры, если для любой угрозы (3) любого игрока у противодействующей стороны существует контругроза (4), что можно сформулировать следующей системой неравенств:
Ji(xi,xk)<Ji(xi,xk); (3)
Jl(x!,xk)<Jl(xl,xk),
1 (^)
Jk(xi,Xk)>Jk(Xi,Xk).
В данном случае если /-й игрок заменил свою стратегию X, на Х( с целью увеличить свой
выигрыш, то к-й игрок может выбрать такую стратегию хк, которая сведет на нет выигрыш /-го
игрока по сравнению с точкой УКУ и одновременно увеличит выигрыш А-го игрока по сравнению с альтернативной заменой стратегии г-м игроком. Набор (X,, хк ) будет являться
УКУ-решением, если неравенства (3), (4) выполняются для обоих коалиций, 1 = 1,2, кФг.
Анализ взаимосвязи в определениях УКУ-решения задачи и области симметричных слабых активных равновесий показывает, что в УКУ-равновесии накладываются
дополнительные условия на поведение каждого из игроков по сравнению с симметричным слабым активным равновесием. Если точка является симметричным слабым равновесием игры, то она может и не являться точкой УКУ-равновесия из-за невыполнения одного из неравенств (4), следовательно, область УКУ-равновесных решений является подобластью множества слабых симметричных активных равновесий. Области более сильных равновесных решений также будут принадлежать и области решений, полученных на базе условий угроз-контругроз. В частности, при получении на области УКУ сильных активных равновесий накладываются дополнительные ограничения на действия противоположной стороны.
Таким образом, расширением метода УКУ-оптимизации могут выступать методы получения стабильных решений на области симметричных слабых активных равновесий. Здесь, по аналогии с Нэш-равновесием, целесообразно для расчета оптимального УКУ-решения необходимо использовать модифицированные методы, которые, во-первых, позволят убедиться в существовании области УКУ, а во-вторых, определить начальное приближение для точного метода оптимизации для получения оптимально-эффективного УКУ-решения игры.
На рис. 1 и 2 на области значений показателей (пример описания модели см. в [1]) рассмотрена взаимосвязь областей, полученных с помощью теории активных равновесий, и областей, полученных на основе стабильно-эффективных компромиссов.
Рис. 1. Точки симметричного сильного активного равновесия и Нэша на области значений показателей
Рис. 2. Сравнение областей УКУ и симметричного слабого активного равновесия на области значений показателей
3. Условно гарантированные решения.
Выше была рассмотрена ситуация, когда решение на основе сильных активных равновесий находилось из условия, что партнер со своей стороны выбирает неантагонистическое решение по отнощению х. партнеру из доступной области. Другим вариантом поведения игроков к&ЩлЫкта является ситуация, когда имеет место
активное противодействие партМНЛЙйи'вбЙооё р,«Цений одним из игроков. Партнер может
ДРУЖБ»; ^
НАУЧНАЯ БИ&ЛИи»
выбрать такие решения по функционалу партнера, которые давали бы последнему гарантированный результат. В работе показано, что набор таких стратегий обоим игрокам предпочтительнее находить на полученном ранее множестве симметричных слабых активных равновесий при условии, что каждый игрок придерживается решений из области слабых активных равновесий. В результате можно сформулировать следующее определение.
Стратегия (х,х,); принадлежащая области симметричных слабых активных
равновесий А , является условно гарантированным слабым активным равновесием для /-го игрока, если выполняется равенство
тт^1(х1,хк(х)) = ,11(х1,хк), к Ф к = 1,2. (5)
Таким образом, можно построить области, характеризующие множества гарантированных решений для игрока /-го при активном противодействии партнера по функционалу /-го игрока для каждого выбранного им решения. Обычно существует также и множество условно гарантированных симметричных слабых активных равновесий, являющееся пересечением полученных выше двух областей. Среди этих точек в качестве возможных стабильных решений можно предложить две противоположных стратегии, расположенные на границе этой области, причем может быть сформулировано следующее утверждение.
Точка множества условно гарантированных симметричных слабых равновесий, являющаяся наихудшей стратегией для первого игрока, будет являться наилучшей для второго игрока, и наоборот. Следовательно, среди этого множества, если оно состоит более чем из одной точки, можно получить единственное решение, оптимальное для обоих игроков, только в случае наличия на этом множестве некоторого компромиссного решения, которое будет устойчиво для обоих игроков, так как можно предположить, что пересечение областей стабильных решений для каждого из игроков на сформированных условно гарантированных слабых активных равновесиях даст пустое множество.
4. Активные равновесия в условиях неопределенности активного партнера.
В условиях конфликта не всегда имеется возможность предугадать действия партнера из-за неполноты информации. Предполагается, что имеет место существенная неопределенность действий партнера на конечном доступном ему множестве. При наличии такой неопределенности нельзя однозначно определить собственную оптимальную стратегию.
В рамках подходов на основе активных равновесий необходимо разработать методы, позволяющие обеспечить нахождение наиболее оптимальной стратегии в условиях неопределенности. Тогда стабильное решение может быть определено как условно гарантированное решение игры при наличии неопределенности.
Рассматривается неопределенность действий активного партнера, когда имеется в наличии лишь частичная информация о партнере. В этом случае рассматривается ситуация, когда известны только интервалы возможных значений параметров для противоположной стороны, на которых вводится некое конечное множество стратегий, которых партнер может придерживаться. Следовательно, невозможно однозначно определить классическими методами на основе симметричных активных равновесий оптимальную стратегию на множестве значений показателей. Поэтому необходимо рассматривать несимметричные области активных равновесий и исследовать возможность выбора такого решения, которое дает максимально стабильный гарантированный результат для одной из сторон, реализующей управление в условиях неопределенности активного партнера.
Необходимо также отметить, что если поиск оптимального решения не дает положительных результатов, существует возможность перестройки алгоритмов расчета равновесных решений на основе £ -равновесия, которое позволяет выделить из множества возможных ситуаций развития игры более широкое подмножество решений. Расширяя
таким образом области симметричных равновесий, искусственно создается большее число вариантов субоптимальных решений в конфликтной ситуации, из которых существующими методами поиска классических видов сильных равновесий можно определить пусть и не стабильно-оптимальное решение, но приемлемое в качестве так называемого 8 -равновесия, которое, в принципе, должно однозначно существовать в любой игровой задаче, если в ней не удается выявить ни-один из видов симметричных равновесий.
Если же нельзя предположить выбор партнером какого-либо решения из некоторой выгодной ему области равновесных ситуаций, можно воспользоваться классической процедурой поиска на основе принципа оптимальности среднего значения функционала по реализации каждого возможного варианта управляющего вектора параметров. Например,
для случая первого игрока для каждого 1-го набора параметров х\ из заданного диапазона
рассчитывается среднее значение функционала качества
■V'IMeH))/1- <б>
где s — количество значений управляющего параметра противоположной стороны. В результате МОЖНО получить вектор Jlcp ={jlcpl}l ] (т — количество значений управляющего параметра первого игрока), составленный из средних значений функционала при всех значениях параметра х[. Оптимальной же можно считать такую стратегию, номер которой в векторе J 1ср обеспечивает ему максимум: Jopt = max Jlcpl.
Данное решение будет обеспечивать пусть не оптимальный, но среднегарантированный выигрыш, который может быть как увеличен, так и уменьшен в зависимости от того, какое решение выберет партнер. Выбор подобной стратегии также может быть произведен и на множестве симметричных слабых равновесий, если партнер будет применять решения из области слабых активных равновесий.
ЛИТЕРАТУРА
1. Воронов Е.М. Методы оптимизации управления многообъектными многокритериальными системами на основе стабильно-эффективных компромиссов. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. — 576 с.
2. Смолъяков Э Р. Сильное равновесие в бескоалиционных играх // Нелинейная динамика и управление, вып. 1. — М.: Физматлит, 2001. — С.355-362.
THE COMPARATIVE ANALYSIS AND MODIFICATION OF STABLE DECISIONS ON THE BASIS OF ACTIVE EQUILIBRIUM IN MULTI-OBJECT MULTI-CRITERIA
CONTROL SYSTEMS (MMS)
E.M. Voronov, A.L. Repkin
Sub-faculty IU-l, BMSTU, 2-nd Bauman st„ 5
Various methods of definition of the optimum decision in a conflict situation are analyzed in terms of active equilibrium. Situations of the full information of possible partner actions and elements of uncertainty of the active partner are considered.
Questions of expansion for domain of existence of stable decisions are considered on the basis of active equilibrium. In terms of the expanded set active equilibrium on Smolyakov the interrelation active equilibrium and equilibrium on Nash and TCT (threats-counterhreats) is analyzed. Generalization of known sets of stable decisions is received. Concepts of stable decisions as conditionally guaranteed active equilibrium, and also conditionally guaranteed asymmetrical equilibrium in conditions of uncertainty of the active partner are entered.
