CC BY
32
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И Том XVIII 1987
№ 1
УДК 533.6.071.082
ИССЛЕДОВАНИЕ СВЕРХЗВУКОВОГО ТЕЧЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ ПЕРФОРИРОВАННОЙ ГРАНИЦЫ
В. П. Федосов
Приведены результаты исследований краевых условий на перфорированной границе, отвечающих продольно-щелевой и идеальной перфорации при сверхзвуковом стационарном основном течении. В рамках линейной математической модели (волновое уравнение для потенциала скорости) получены точные решения поставленных смешанных начально-краевых задач в трехмерном и плоском случае, с подробным анализом последнего для обоих видов перфорации. Выписаны условия корректной постановки задачи Коши для указанных типов краевых условий.
При обтекании моделей летательных аппаратов в аэродинамических трубах существует проблема влияния стенок трубы на измеряемые аэродинамические характеристики моделей. Известно, что наиболее существенное влияние (индукция) стенок достигается в трансзвуковом диапазоне скоростей набегающего потока. С целью уменьшения индуктивности стенок применяются различные способы управления. Основными из них являются: управление с помощью изменения коэффициента перфорации стенок и реализацией распределения давления во внешних камерах трубы. Основным недостатком обоих способов является зависимость управления от геометрии модели и от параметров набегающего потока. Это заставляет конструктивно выполнять управление адаптирующимся к изменяемым параметрам набегающего потока и форме обтекаемых моделей.
Для этого в свою очередь необходимо проведение предварительных расчетов с целью получения параметров управления индукцией в рамках той или иной математической модели, характеризующей процесс обтекания. В большом цикле работ различных авторов (см. [1]) расчеты проводились на трансзвуковом режиме М,х,<1 в рамках нелинейного потенциального обтекания (математическая модель Кармана). Сверхзвуковой режим к настоящему времени менее богат расчетными материалами, можно лишь указать основополагающую работу [2], в которой излагаются основные способы управления индукцией стенок трубы за счет изменения перфорации. Анализ перечисленных выше работ показал, что наиболее существенным моментом расчетных исследований * является постановка краевых условий на перфорированной границе, конкретный вид которых зависит от способа и вида перфорации.
В данной статье исследуется два вида краевых условий, отвечающих идеальной и продольно-щелевой перфорации, на сверхзвуковых режимах течения основного потока, в предположении потенциальности и малости возмущенных компонент скорости по отношению к скорости набегающего потока. В этих предположениях уравнения движения невязкого, нетеплопроводного газа линеаризуются и представляют собой волновое уравнение для потенциала скорости. Будем считать координатную ось х параллельной вектору скорости набегающего потока и лежащей в плоскости перфорированной границы (в силу чего граничная плоскость является временно ориентированной), вторая координатная ось у нормальна к перфорированной плоскости, третья координатная ось г нормальна к первым двум и лежит в плоскости перфорированной границы. Предполагается, что набегающий поток является неоднородным, т. е. в плоскости пространственной ориентации заданы компоненты возмущенной скорости, или задан потенциал и выводящая производная (данные Коши).
Поставим следующую краевую задачу: определить решение волнового уравнения
дг® д2<р ^ Л ....
—* — —| = —* = 0; х,у^ 0;-оо<2<оо (I)
дх2 ду2 дг2
с начальными данными Коши при х = 0:
? (О, У, г) = <р0 (у, г); .|2 (О, у, г) = ?1 (у, г) (2)
и краевыми условиями при у=0 вида:
!?-* <*•*>• (3а>
или
* (л, г). Об)
Условие За отвечает продольно-щелевой перфорации, условие 36 — идеальной. Коэффициенты проницаемости к, 6 связаны определенной функциональной связью со степенью перфорации /, определяемой как
отношение площади отверстий во к общей площади 5, при стягивании
последней к точке. Так в случае продольно-щелевой перфорации коэффициент проницаемости к равен:
к
=>— 1п 81л ; /= Иш-^ ; «„О- (4)
" \ 2 ] $
Правая часть Т краевых условий (За), (3 6) равна:
2)=Ь^к==_тср • (5)
• О©
где рК — давление во внешней камере (с внешней стороны у<0 перфорированной плоскости) отнесенное к рос,; у — показатель адиабаты;
Moo — число Маха набегающего потока; Ср —коэффициент давления во внешней камере.
Остановимся более подробно на краевой задаче (1)—(За). Краевое условие (За) допускает следующую форму представления:
?-к^—Ы^г)<К = Р(х,г). (6)
Очевидно, что для гладкости решения необходимо накладывать условия согласования:
?1(0, £и^5) = Ф-(0, 2); <р0 (0, г) — & = о. (7)
ду ду
В работе [3] получена связь между граничными функциями с1(х, г) —
= ? (дг, 0, г) и л (*, г) == — (х, 0, г) на плоскости у = 0:
ду
<* = £(0)п+ </?„, Г>, (8)
где операторы В (у) и <Яу> имеют вид:
В{у)п=-~^ { (а:— £)2 — (г —^>2 _ уа}-1/2« (|, д ^ ; '
<ЯУ, Г > = Л (X) срё + А (X) ср? ; ^
А (х) и = ± и {л’ - (2 - Г!)' -(у- ?)* }+1/2 и К 6) ^ ^ .
Функции <ро, ?1 суть данные Коши, аналитически продолженные симметричным образом в нижнюю полуплоскость у<0. Оператор В(0) удовлетворяет следующему операторному соотношению:
Используя (10, (9), (8) и (6), получим основное уравнение для определения граничного значения
I _ й = (1 — £ др/2др/2) й = Ф , (11)
где х, г — характеристические переменные: х = х~+~ ; г = *~г ,
2 2
Операторы д1/2/дх112 суть операторы Римана-Лиувилля дробного дифференцирования, определяемые в данном случае как:
X
д1/2 и 1 д Г 1 , —.. , ,1Г>.
----------------I —== и (т, г) йх . (12)
д~х1*2 дх J Ух-Х
—00
Заметим, что для краевого условия (3 6), получается уравнение в виде [4]:
<13>
где
Ф = /— ^ В~1 (0) < /?о> 9* > •
Действуя на (11) оператором = ^1 -{- /гг/2<^-1/2^ > получим:
(14)
Граничными условиями для уравнений (12) и (14) служат данные Коши на ребре у=0, удовлетворяющие условиям согласования.
Применяя метод Римана для уравнения (14), будем иметь решение в исходных координатах х, г в виде
г+х
а(х, 2)=-^- {Л0(г — х) + й0(г + х))+~ J
г—х
х г+х—х ________________
-х^(г))^. + -1 | ]* »1+ФЛЛ; ъ = (15)
О г— х+*
где /0 — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка;
4> (г) = <р0 (0, г)^ (г) = (0, г) .
В случае однородного набегающего потока (нулевые данные Коши) получим:
X _х
сцх,г) = ±§ | /„ ^-2) ф ах &.
О г—л:-{-х
Зная граничное условие й (х, г), можно определить решение всюду при х>0, у>0 согласно формуле [3]:
с? {х, у, = ~ В(у)й + <НУ, ?а>; (16)
здесь ф“= (фо, 9? ) —данные Коши, аналитически продолженные антисимметричным образом в нижнюю полуплоскость у<0.
Для дальнейшего анализа с целью выяснения особенностей краевых условий (За), (3 6) получим методом спуска решение в плоском
случае (полагая, что решение и краевые условия не зависят от переменной г). В результате проведения несложных, но достаточно громоздких выкладок имеем для продольно-щелевой перфорации, отвечающей краевому условию (За), решение в виде:
X— у Т. + У—Х х—у *+У—•*
9(х, у)=$ ¥(т)(1~/ * ) йх + ]• йг(х)1 * йх-
о о
х—у х+у
1 с - у~ * 1 Г 1
----Т ) к Лх+~Т ] а° (Т) йт + '2_ {^0 (х — У) +
о х-у
+ й0(л: + ^)}; л:>^> 0. (17)
При х<у решение дается формулой Даламбера. Очевидно, что на характеристике х = у, ограничивающей область влияния перфорированной границы (в данном случае прямой х>0, у=0), решение (17) непрерывно. Используя обычную связь между потенциалом и коэффициен-
том давления (линеаризованный интеграл Бернулли), получим:
х—у х+у—х
ср(х,у)=±- [ + ( (й,(х)-
0 “6
к / к
— <1'0(х + у) — с11(х — у) — с11(х+у). (18)
В силу линейности исходной краевой задачи решение (18) можно записать в виде
, V * т+*-*
ср = сср + с'р ; ср == — ^ ср (х) I * йх ,
о
у—х *^""У т*4-у —-X
<£ = 2®(0)(1 +^/—+ Л + +
о
о
-Г-J/
I* w (х) dx — ^1 -f и» (л: — у) — w (х + у) —
■и(х — у) — и (х + у), (19)
где «(y)=£?i(j/)=4^- (0, у) — продольная компонента возмущенной ско-
.V
рости набегающего потока в плоскости * = 0; w(y)= j d0(x) dx+d0 (0)—
N 0
нормальная компонента возмущенной скорости в плоскости х = 0. Слабі
гаемое Ср в (19) ответственно за передачу давления из внешней камеры через перфорацию во внутренний поток при х>0, у>0. Второе слагаемое Ср есть суперпозиция падающего поля с компонентами (и, а>) и отраженного от перфорированной границы. Очевидно, при выполнении условия согласования величина сР(х,у) также непрерывна на характеристике х = у. Если Ср постоянно, то из (19) имеем:
4 (х, у) сСр (х, 0)
в потоке ;
— С0
1 -I *)■
(20)
на стенке .
или, что то же:
Из (20) следует, что при постоянном распределении давления с внешней стороны, давление со стороны потока на стенке асимптотически приближается к скр, и в потоке профиль давления со стенки передается по характеристике х—у = с без искажений. Отсюда следует, что про-дольно-щелевая перфорация не держит перепада давления.
Определим связь между параметрами краевого условия (За), т. е. между функцией Чг, параметром проницаемости к и набегающем на перфорированную границу полем, характеризуемым данными Коши е?о, (или компонентами скорости и, ш), при которой индукция стенки равна нулю. Очевидно, в этом случае решение (17) должно совпадать с решением Даламбера задачи Коши. Приравнивая указанные решения, имеем связь:
( ^ Л (у) Ч- ^1 Су)
4(х = _У) = (л 1) (У) + И (.У) ] • (21)
Следовательно, реализуя распределение давления во внешней камере в зависимости от набегающего поля согласно формуле (21), можно свести индукцию к нулю.
Рассмотрим теперь случай идеальной перфорации, характеризующей краевое условие (36). Подробно остановимся на анализе плоского течения, для которого решение получается также методом спуска:
X—у X+у х— у
® = 7+Т / ^ (“*) + т [ ^ ^ “ Т Нм |^1(т)ах +
0 0 0
+ -1-{40(* + у)_1=±</0(*_д,)) +т^ ао(0). (22)
Как и выше, можно получить ср как сумму двух слагаемых ср = сер + ср где сСр —слагаемое, ответственное за передачу давления из внешней камеры через перфорацию во внутренний поток; спр — сумма падающей и отраженной от перфорированной границы волн, содержащие данные Коши в начальной плоскости л: = 0:
с, Ч Ср(Х~ У)
С,(х-У)=- \+ъ ■
спр =■ {и (л: — у) + да (х -у))- и (х + у) — да (х + у).
1 + о
Из соотношений следует, что в отличие от продольно-щелевой перфорации, идеальная перфорация держит перепад давления. Приравнивая решение (22) к решению Даламбера задачи Коши, получим условие нулевой индукции перфорированной границы в случае идеальной перфорации:
¥(*) = (1-8) *<£1±*1Х£>. или <£(*-.?) = (8-1) [да(у) + и (у)]. (24)
Из формулы (24) следует вывод (справедливый для плоского случая): при о=1 и сьр =0 индукция перфорированной стенки нулевая для любого набегающего поля. Однако в этом случае важное значение имеет конкретный вид функциональной связи между коэффициентом проницаемости а и степенью перфорации ^
Так если задать на стенке нормальную компоненту до = дер/ду в виде [2] (при Ср = 0):
® = 5—0 “=т=7 “ ■ С26»
то из 0=1 следует /=0,5, что находится в полном согласии с [2]. Из предположения, что нормальная компонента до пропорциональна перепаду давления на перфорированной стенке, т. е.
® = ^зг7о (4 ~ ср) = т=7 (С' ~~ Ср} ’ (26)
следует, что а= 1 при /=1/3.
Разберем частные случаи а и &:
1.1. к—1 — свободная поверхность, 5о=5;
1.2. к = —оо — жесткая поверхность, «о=0 (отсутствие щелей).
1.3. а=0 —свободная поверхность, 50=«;
1.4. а=оо — жесткая поверхность, «0=0 (отсутствие отверстий).
В формулах (19) (для продольно-щелевой перфорации) и (23)
(для идеальной перфорации) в решении выделены члены сср , ответственные за передачу давления из внешней камеры (*/<0) через перфо-
рацию во внутренний поток (у>0) :
а) 4 (х, 0) = скр (1 - е-*/*), б) сср (х, 0) = -4-
1 -+- а
(|Ср —для простоты постоянно). Таким образом, можем определить перепад давления на перфорированной границе, как скачок 4 ПРИ у = 0, т. е.
{ср]у=й = Ср (у = — 0) — ср (у = + 0), тогда:
С
а) [с|] = скр е~*/* , б) [с|] =с
Анализируя приведенные формулы для скачка [ср] в случаях а) и
б), видим, что:
— при & = 0, о = 0 (свободная поверхность) [с£]_у=о = 0 , т. е. в данном случае перепада давления нет;
— при а=оо, к = —оо (жесткая поверхность, без отверстий и щелей— отсутствие перфорации)
[ср]у=0 = ср, т. е. Ср(з; = + 0) = 0,
что соответствует тривиальному выводу об отсутствии передачи давления;
— при промежуточных значениях о, т. е. при 0<|&, о|<оо имеем:
а) для продольно-щелевой перфорации [ср]->-0 при х-*-оо, т. е.
Игл Ср (х, 0) = Ср ;
Х~*оо
б) для идеальной перфорации 0< [ср]у=0=Ср —-—.
1 + а
Таким образом, из данных выражений следуют выводы:
— продольно-щелевая перфорация не держит перепада давления (асимптотически — по координате х);
— идеальная перфорация держит перепад давления.
Естественно, что первый вывод справедлив только для | ^ | <ОО.
Случай |^|=оо (особая точка) разобран выше.
В заключение коснемся вопроса о корректности поставленных краевых задач. Элементарный Фурье-анализ, заключающийся в исследовании эволюции начального гармонического сигнала (в нашем случае задание ф(0, 0, 2)=5ш(р, г)), удовлетворяющего волновому уравнению (1) и краевым условиям (За), (3 6) приводит к следующим выводам:
— задача Коши корректна для (1), (36) при о>0, в этом случае гармоники затухают экспоненциально по оси х и у. Данный результат находится в согласии с результатами работ [3—5];
— задача Коши корректна для (1), (За) при £<0 и |р[> т. е.
| К\
в этом случае гармоники затухают по экспоненте, при &<0, |р|< —
существует экспоненциально растущее решение. Таким образом, условие о>0 в случае краевой задачи (1), (3 6) гарантирует устойчивый численный счет, условие же &<0 для (1), (За) не гарантирует устойчивого счета. Последнее можно было предполагать из решения вида (17), содержащего экспоненциальный множитель под знаком интеграла.
ЛИТЕРАТУРА
1. Влияние стенок в трансзвуковых трубах и пути его уменьшения.—
Труды ЦАГИ, 1980, вып. 2028.
2. Гродзовский Г. Л., Никольский А. А., Свище в Г. П., Таганов Г. И. Сверхзвуковые течения газа в перфорированных границах.— М.: Машиностроение, 1967.
3. Федосов В. П., Я н е н к о Н. Н. Решение смешанной задачи для волнового уравнения. — ДАН СССР, 1982, т. 262, № 3.
4. Ф е д о с о в В. П., Я н е н к о Н. Н. Уравнение в частных производных полуцелой степени. — ДАН СССР, 1984, т. 276, № 4.
5. Годунов С. К., Гордиенко В. М. Смешанная задача для волнового уравнения. — В кн.: Труды семинара С. Л. Соболева: Дифференциальные уравнения с частными производными, 1977, № 2.
Рукопись поступила 15/1У 1985 г-
