Граничное условие на стенке трубы с щелевой перфорацией Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XV

1984

№ 6

УДК 532.5.031 533.6.071

ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ НА СТЕНКЕ ТРУБЫ С ЩЕЛЕВОЙ ПЕРФОРАЦИЕЙ

О. Ю. Стариков

В рамках теории идеальной жидкости методом Кирхгофа найдено граничное условие на перфорированной стенке для задачи об обтекании профиля в канале в случае, когда перфорация выполнена в виде поперечных щелей. Проведено сравнение с граничным условием, известным из линейной теории. Рассмотрен предельный случай, соответствующий истечению жидкости из симметричного отверстия в прямоугольном сосуде.

Исследование течений газа в канале с проницаемыми стенками, в частности изучение индукции стенок и определение поправок к аэродинамическим характеристикам модели, требуют точной постановки краевого условия на гранце основного потока. В случае, когда перфорация выполнена в виде поперечных к направлению набегающего потока щелей с малым периодом, в окрестности стенки образуется периодическое двумерное течение. В предположении, что влияние вязкости в таком пристеночном слое существенно лишь около кромок перфорации, граничное условие для внешней задачи обтекания профиля будем искать в рамках теории идеальной жидкости.

1. Пусть к — полувысота канала (рис. 1), е — ширина щели, т—-период пер-формации, ц=е/т — относительная проницаемость стенки. Все линейные размеры

У

о(х) *

к

ибласть /

0

1

х

Рис. 1

отнесем к хорде профиля, скорость набегающего потока примем за единицу, толщину стенок будем считать равной нулю.

Граничное условие в области 1 необходимо поставить в виде

Р(ц, V, р.) |у=Л = о, (1)

где и, V — компоненты скорости £/4 на стыке областей.

Во внутренней области 2 введем новые переменные \=х/х и г| —(у—к)/т (рис. 2). Скорость и о на свободной поверхности струи, образующейся при протекании через щель, и в бесконечности за стенкой связана со скоростью набегающего потока в канале уравнением Бернулли

и1

3].

Для нахождения соотношения (1) применим метод Кирхгофа [1, 2,

Введем фукцию

1 Лт и гв 2 =--------------=------- е~‘в; 2 = £ + Щ.

и0 йг и0 ’ 1

Область изменения £2 представляет собой нижнюю половину единичного круга (рис. 3). Линиям тока А101 и Л204 соответствует некоторая кривая Ь, соединяющая точки А и Д. В отстоящих друг от друга на период точках и Р2 в плоскости течения Z скорости будут одинаковыми, а комплексные потенциалы различны, поэтому вдоль Ь необходимо сделать разрез.

Разность потенциалов между точками Р1 и Р%

Д(р = £/] т сое а,

следовательно, в точку А на плоскости О надо поместить вихрь с интенсивностью Г=(/1Тсоза. Расход через отрезок Р1Р2 есть ^¿Лтвта, следовательно, в точке А необходимо расположить источник с интенсивностью

Продолжая по принципу симметрии функцию ш(£2) на всю плоскость О и выполняя условия непротекания через поверхность пластинки ВС и сохранения расхода через щель, необходимо в точку А'" поместить источник с расходом 9 и вихрь с циркуляцией Г, в точки А' и А" — источники с расходом <7 и вихри с циркуляцией — Г, в О и £>'— стоки с расходом 2^. Тогда функция ш(й) примет вид

т = — 1п [(2 + ае~ы) (2 + ае‘'*) (2 + е-г» (2 + е'а/а)] +

2л

+

2712

1п

(2)

где а — угол между направлением скорости VI и стенкой, |3 — угол отклонения скорости I!о за стенкой от направления скорости U^ перед стенкой, а=и1/и0.

Ъ = £ + 1 >|

Рис. 3

Рис. 4

В точке О раздвоения линии тока должно выполняться равенство

dw I ------- =0.

d 2 |а=о

Из этого условия следует соотношение

COS (аЭ) = ® cos “• (3)

Подставив (2) и (3) в равенство

1 1

т —■ е 1 С dz dw 1 Г dw dQ

Р= 1 — т = 1 — tU0 ) 0 dw dQ d- = — Z[J0 j Й Q

-l -l

получим

(1 + о COS a) (I — 2a cos a -f a2)

о Г (l+<

= sin2 a — -- a sin a COS a In----

* L о-«

- a COS a) (1 2d COS a -f- a2)

( IN 2a sin a / sin a--------------------\]

— la cos 2a +-------I arctg —j-------— + я sin о I--------+ у 1 — a3 cos2a I .

Выражение (4) принимает вид (1) после замены a и а на их значения

(4)

. V 4- V2

а — arctg—, а — * ~

И и0

2. Связь компонентов скорости Ui при различных значениях коэффициента проницаемости fi показана на рис. 4. Пунктиром отмечена зависимость между и н и, полученная по линейной теории [4] в предположении

н' = 1--тг-«1- v' ~ ~ТГ~ « 1’ i*-1-t-'o Uq

В этом случае для компонентов возмущенной скорости получаем

V' = u’

%

Если а = ~2~ , то р = 0, и = 0, а = v/Uq, а решение (4) принимает вид

^гЖ^~г1агс‘8о+1]

и совпадает с решением задачи об исте^нии .струи жидкости из симметричного отверстия в прямоугольном сосуде [2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.— М.: Наука, 1980.

2. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости.—М.: Наука,

1979.

3. Betz A., Petersohn E. Anwendung der Theorie der freien Strahlen. — Ing. Archiv., Bd. 2, 1931.

4. Гродзовский Г. Л., Никольский A. A., Свище в Г. П., Таганов Г. И. Сверхзвуковые течения газа в перфорированных границах.— М.: Машиностроение, 1967.

Рукопись поступила 15/IV 1983