ИССЛЕДОВАНИЕ СПОСОБОВ ПОСТРОЕНИЯ λ-ОРТОГОНАЛЬНЫХ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Анотацн:

Синтез оптимального управлiння розгляну-то на прикладi розгалужено! транспортно! систе-ми. Для розв'язку задачi синтезу управлшня сфор-мульовано критерiй якосп роботи системи, сформовано матрицю зворотного зв'язку. Проiлюстро-вана методика пошуку управляючих моментiв.

Ключов1 слова: граф синхрошзацп, матри-ця зворотного зв'язку, оптимальне управлiння.

Optimal control synthesis is considered at the example of branching transport system. Feedback matrix is designed and system work quality criterion is formulated for solving control synthesis problem. Control moments searching methodic is illustrated.

Key words: synchronization graph, feedback matrix, optimal control.

Синтез оптимального управления рассмотрен на примере разветвленной транспортной системы. Для решения задачи синтеза управления сформулирован критерий качества работы системы, сформирована матрица обратной связи. Проиллюстрирована методика поиска управляющих моментов.

Ключевые слова: граф синхронизации, матрица обратной связи, оптимальное управление.

УДК 629.7.018.7:681.3.06:621.396.96

МИЛЬШТЕЙН А.В., аспирант (ДонНТУ); МОТЫЛЕВ К.И., к.т.н. (ДонНТУ); ПАСЛЕН В В., к.т.н., доцент (ДонНТУ).

Исследование способов построения Х-ортогональных базисных функций двух переменных

Введение

Быстрый прогресс в развитии авиационной и ракетно-космической техники привел к созданию и развитию радиолокационных и оптических систем траек-торных измерений, которые широко применяются для контроля траекторий объектов. В состав таких входят радиолокационные и кинотеодолитные станции, измеряющие параметры положения объектов, а также средства обработки, регистрации и отображения получаемой информации. По полученным данным с помощью аппаратуры информационно-измерительных комплексов анализируются траектории

движения летательных аппаратов и производится послеполетная обработка полученных данных.

Устройства траекторных измерений могут быть автономными или образовывать комплексную систему, в которых каналы радиолокационных измерений совмещены с каналами передачи команд и телеметрических данных. В последнем случае структура общего совмещенного канала и конструкция станции в целом определяются, главным образом, характером процесса измерения параметров положения объектов.

Характерной особенностью данной области радиолокации является тесная

взаимосвязь процессов измерения параметров положения и движения объектов и компьютерной обработки, получаемой от радиолокационных и оптических систем. По существу эти два процесса сливаются в единый процесс, составные части которого сильно влияют друг на друга и должны рассматриваться совместно.

Постановка проблемы

По мере развития авиационной и ракетно-космической техники функции траекторных измерений расширились, усложнились и далеко вышли за пределы задач, связанных с летными испытаниями указанных объектов. В настоящее время траекторные измерения применяются для различных целей, наиболее важными из которых являются [1]:

-оценка тактико-технических характеристик авиационных, ракетных и космических систем в процессе их летных испытаний;

-определение и прогнозирование орбит искусственных спутников земли, дальних космических объектов и межпланетных станций;

-прогнозирование точек падения ступеней ракет-носителей;

-управление движением и контроль за полетом ракет различных видов на активных участках траектории;

-управление космическими объектами;

-навигационное обеспечение кораблей, самолетов и других объектов.

Решение указанных задач связано с реализацией ряда специфических требований, которые должны быть предъявлены к средствам траекторных измерительных комплексов, обеспечивающих определение параметров положения и движения объекта. К таким требованиям относятся [1]:

-высокая точность определения текущих значений координат и составляю-

щих вектора скорости объекта на всем интервале траекторных измерений;

-широкий диапазон изменения текущих параметров положения и движения объекта;

-разнос измерительных средств вдоль всей трассы полета из-за большой протяженности траекторий большинства объектов;

-обязательная регистрация данных и привязка измеренных значений каждого из параметров к шкале системы единого времени;

-высокая оперативность выдачи результатов обработки данных;

-высокая пропускная способность; -высокая надежность аппаратуры траекторных измерений;

-независимость условий работы комплекса от метеорологических факторов, условий освещенности и т.д.

Одним из методов траекторных измерений является метод нелинейного оптимального адаптивного сглаживания, позволяющий совместно реализовать пространственную и временную избыточность данных траекторных измерений. Для реализации сглаживания данным методом в работах [2-5] были описаны две клеточно-матричные структуры базисных функций, позволяющие описывать вектор положения объекта в пространстве. В данной работе решаются следующие задачи:

-рассматриваются структуры линейно-независимых базисных функций (ЛНБФ), описанных в работах [2-5];

-исследуются способы построения на основе рассмотренных ЛНБФ Л-ортогональных базисных функций (Л-ОБФ).

Основная часть

Исследуем структуры ЛНБФ, описанные в работах [2-5], позволяющие совместно реализовать пространственную и временную избыточность данных измере-

ний, и способы построения на их основе Л-ОБФ. Эти структуры имеют вид: Первая структура:

Р(') =

Рх Ц) 0 0 Ру Ц) 00

0 0

Рг (г)

(1)

где

Р,(г) = ( -г0)1...(/ -г0)* ...(г -г0)т|,

9

I = х, у, г;

т - степень сглаживающего полинома;

I - текущий момент времени;

- момент времени, соответствующий середине интервала сглаживания. Вторая структура:

Р( ,Т) =

Р00 О, Тх )Р01 О, Тх )Р02 & Тх )-Рт0 О, Тх )Рт1 0, Тх )Рт2 & Тх ) Р00 О, Ту )Р01 О, Ту р02 О, Ту )•• Рт0 О, Ту )Рт1 & Ту )Рт2 & Ту ) Р00 & Т р01 & Т )Р02 О, Т )- Рт0 О, Т )Рт1 & Т )Рт2 & Т )

(2)

где

Р(г,г) = (г - г0)^ - г0)^ - 00т/...(г - г0)тг0(г - Отг\(г - г0)Т

т/- вторая независимая переменная базисной функции.

Предложим следующие способы построения Л-ОБФ по исследуемым структурам ЛНБФ (1) и (2).

Первый способ, пригодный для любой из структур ЛНБФ (1) и (2), состоит в приведении основной матрицы системы к диагональной форме путем определения собственных значений и собственных векторов этой матрицы [8]. Данный способ требует более детальной математической проработки и является отдельной научной задачей.

Второй способ, пригодный для структуры ЛНБФ (2), состоит в приведении основной матрицы системы к диагональной форме путем построения такой системы Л-ОБФ, с учетом нелинейного

характера задачи, при которой недиагональные элементы основной матрицы системы сводятся к диагональному виду. Построение Л-ОБФ двух переменных можно осуществить следующим образом

[9, 10].

Пусть исходная система ЛНБФ в общем случае имеет вид (2) с общим элементом Рк1 (г,г) (где к=0, ..., т; /=0, ..., 1, 2; 1 ..., и, ..., - моменты времени на интервале сглаживания, п - число моментов времени на интервале сглаживания, т - независимая переменная, принимающая значения тх, ту, т2).

Необходимо построить систему Л-ОБФ вида:

Р» (г, т)Р (г, г) Р)2 (г, Т)..Рн (г, г)..Рт 0 (г, г)^ (г, т)р 2 С, г)

(3)

Р ,(Лг) где J - Якобиева матрица, элементы

с общим элементом */ , для ко- J и = ¥Рк1

торой недиагональные элементы основной которой */ */ ;

матрицы системы уравнений равны нулю, ¥ - элемент матрицы проекций гра-

т.е. диентов.

гТ А г п (4) Для начала процесса Л - ортогонали-

зации положим

Р00(г ,Т) = Р00(г ,Т); J 00 = Ф00-

JT1 ЛJkl = 0,

Далее представим зультат, благодаря условию (4), приравня-

ем к нулю:

Р01О, Т) _ «00,01 Р00 (*, Т) + Ф01(*, t),

(5)

Л01 ЛЛ00 «00,01 "Лю ^00 + 001 Л/00 0. (7)

где вспомогательный коэффициент подлежит уточнению из условия (4). Из выражения (7) найдем значение

Для этого на базе известных ^ и неизвестного вспомогательного коэффи-

выч формуле

ф ^ «00 01 : 01 вычислим вектор-столбец 01 по циента :

« Ф01 Л> 00

Т _ Т Ф «00,01 ТТ К Т .

тТ 01 _ «00,01 тТ 00 + Ф0Г (6) ^ 00ЛЛ 00 (8)

Л Аналогично представим

Транспонируем вектор 01 и умно-

жим его справа на 00 , полученный ре

ЛЛ 0

Р02 0, Т) _ «00,02Р00 0, Т) + «01,02Р01 0, Т) + <?02 0, Т)

и определим вспомогательные ко- Л02 _«00 02 Л00 +«0102 Л01 + Ф02.

««

эффициенты 00,02 и 01,02. Л

(9) (10)

Для этого на базе известных , ЛЛ

Транспонируем вектор 02 , умно

жим его справа на 00 и, приравняв по-

и 002 вычислим вектор-столбец: лученный результат к нулю на базе усло-

вия (4) получим:

ЛТ2ЛЛ00 _ «00,02Л 00А/00 +«01,02Л01ЛЛ00 + Ф02ЛЛ00 _ 0. (11)

Аналогично получим

J02 ЛЛ01 _ «00,02 Л 00 ЛЛ01 +«01,02 Л01 ЛЛ01 + Ф02 ЛЛ01 _ 0,

домножив Л02 на 01. « _ _ Л00

/ Ч 00,02 Тт \ Т

Благодаря условию (4), выражения /00Л00

(11) и (12) упрощаются: _ ф0т2 ЛЛ01

(12)

«00,02Л00 ЛЛ00 + Ф02 ЛЛ00 _ 0, "01,02 Л

т^т (14)

Тт Л т + фт л т _ 0 Процесс повторяется до получения

«01,02/01 ЛЛ01 + ф02ЛЛ01 _ (13) Р (*

Из выражений (13) вычисляем ко- Если найдена функция Р('_1)(*,т)

эффициенты системы (3), то следующая функция

Ры (*,т) будет найдена из предложенного нами рекуррентного соотношения:

к_1 2 к 1_1 Рк1 (*, _ (*, т) + (*, т) + (*, гХ

С_01_0 С_к 1_0 (15)

где

«

Х1,к1

1т А7

и Х1 ^ 00

(16)

и _

На базе работ [9, 10] можно показать, что между системами функций Р(* ,г) и р(* ,т)

1 и 00,01 и00,02 ... и 00,к1 ... и 00,т2

0 0 0 0

1 ... и %Л,к1 ... и %Х,т2

... 0 ... 1

существует линейная

связь:

где

верхняя треугольная матрица, диагональные элементы которой равны еди-Р(*,т) _ р(*, т)и, (17) нице, а элементы, расположенные выше

главной диагонали, вычисляются по формуле:

к 1_1 к _1 2

ис1,к1 _ !1,РЧ«РЧ,к1

р_к д_0 р_0 д_0

«

хЯ,рд рд,к1

(18)

через вспомогательные коэффици-

енты

«

рд,к1

Можно показать, что между (16) и (18) существует следующая связь:

и _

1 и00,01 и00,02 ... и00,к1 ... и00,т 2

00

00

1 ... и х1,к1 ... и Х1,т2

... 0 ... 1

00

00

1 «00,01 «00,02 ... «00, к1 ... «00,т2

1 ... «Х1,к1 ... «Х1,т 2

... 0 ... 1

(19)

Можно также показать, что между ближения к максимально правдоподобной

векторами Си А существует связь оценке (МПО). В результате этого на разА _ иличных этапах последовательного при-

~ , которая вытекает из тождест- ближения выражение (17) будет иметь

венности следующих преобразований вид:

г(*,С) _ рС _ р1С _рии 1С _ РА, (19а)

где I - единичная матрица;

г - оценка вектора положения объекта в пространстве.

Для решения задачи нелинейного сглаживания Л-ортогонализацию необходимо производить на каждом шаге при-

Р _ри1,

Р2 _ Рхи2,

(20)

0

0

0

где V - номер последовательного приближения к МПО положения объекта в пространстве.

Из выражений (20) следует общее выражение, позволяющее описывать линейную связь между Р и ф в виде:

р = ри и 2... и п = ри _

(21)

и П = и1и2...ип

где П 12 т - матрица, полученная в результате перемножения и матриц до v-го последовательного приближения включительно.

Для определения точности максимально правдоподобной оценки, к которой приводит предложенный ранее нами итеративный алгоритм:

Я+1 = А + му = А + (ЛТ Л!у )-1 JTт л{х-х[г (г, А)]},

где J - Якобиева матрица частных производных от измеряемых по вычисляемым параметрам;

V - номер у-го приближения;

JT ЛJV

у у - основная матрица системы уравнений на у-ом шаге приближения;

Л - весовая матрица ошибок измерений;

через ряд последовательных приближений, предположим, что очередное вычисленное значение оценки вектора коэффициентов сглаживающего полинома совпало с истинным значением вектора

(Ат = А), и ошибки измерений относительно невелики. В практике траекторных измерений последнее допущение всегда выполняется.

Данные допущения позволяют определить отклонение вектора коэффициентов сглаживающего полинома на последнем шаге приближения формулой

ААУ = Ау- А = (JTVЛJ)-1 JTVЛDXV.

(22)

Так как систематические ошибки исключены при обработке введением поправок, то математическое ожидание ошибок будет иметь вид:

М(ААт) = (JV Л1т)-1 JV ЛМ(АХт),

а корреляционная матрица ошибок оценок коэффициентов сглаживающего полинома

К = М{[ААт -М(ААт)][А4-М(ААт)]Т} = ЛЛГ)~

(23)

Отсюда следует, что корреляционная матрица ошибок оценок коэффициентов сглаживающего полинома может быть получена обращением основной матрицы системы нормальных уравнений, вычисленной для последнего приближения этих параметров [7].

Для сохранения ранее введенных обозначений J для Якобиевой матрицы и

А для вектора оценок коэффициентов сглаживающего полинома, полученных при независимом вычислении составляющих вектора оценок коэффициентов сглаживающего полинома с использованием Л-ОБФ, введем соответственно новые

обозначения Ф и С для Якобиевой матрицы и МПО вектора коэффициентов, получаемых при прямом решении системы уравнений с использованием системы ЛНБФ [7].

Тогда вектор-поправку в новых обозначениях можно рассматривать как результат решения матричной системы уравнений вида:

АСт= (ФТЛФт )-1ФТЛАХт (24)

ФТ ЛФтАСт= ФТ ЛАХт, (25) где Фт - Якобиева матрица;

Л - весовая матрица; АХ

- отклонение вектора измерений от у-го приближения измеряемого вектора;

АСп - вектор-поправка коэффициентов полинома на у-м шаге приближения;

Ф>тЛФп - основная матрица системы уравнений на у-м шаге приближения.

Учитывая сложную зависимость вектора измеряемых £ параметров от вектора вычисляемых параметров, целесообразно искать Ф как матрицу последовательного преобразования [6]

ф _ р (26)

где Е - матрица пространственного преобразования (матрица проектов градиентов);

Ф - матрица временного преобразования.

Последовательность расположения матриц в (26) небезразлична, так как число столбцов первого сомножителя должно быть равно числу строк второго сомножителя.

Прямое решение (25) связано со следующими трудностями [7, 8]:

_необходимостью пересоставления и повторного решения всей системы уравнений (25) в случае изменений гипотезы относительно состава параметров. Эта трудность принципиально связана еще и с нелинейностью решаемой задачи;

_необходимостью обращения основной матрицы системы уравнений достаточно высокого порядка.

Приведение основной матрицы системы уравнений к диагональному виду позволяет получить независимые оценки компонент вектора коэффициентов сглаживающего полинома, так как в этом случае система уравнений распадается на совокупность уравнений для независимого вычисления приращений оценок коэффициентов сглаживающего полинома.

Оценим точность построения Л-ОБФ (то есть, приведение основной матрицы системы уравнений к диагональному виду) рассмотренными выше способами. О точности построения Л-ОБФ можно судить по величине недиагональных элементов основной матрицы, построенной на базе соответствующих структур ЛНБФ. При абсолютно точном вычислении любым из методов недиагональные элементы равны нулю. В действительности они отличаются от нуля из-за накопления ошибок вычислений, зависящих от способа построения Л-ОБФ, что приводит к небольшой расстройке Л-ортогональности.

Оценку точности способов построения Л-ОБФ лучше производить по величине недиагональных элементов корреляционной матрицы ошибок оценок коэффициентов, так как:

_ в конечном счете нас интересуют некоррелированные и независимые оценки коэффициентов сглаживающего полинома, существенно облегчающие решение задачи адаптации;

_ оценка корреляционной матрицы ошибок оценок коэффициентов сглаживающего полинома осуществляется в конце процесса вычислений, в связи с чем контролем будет охвачен весь вычислительный процесс;

_ оценкой некоррелированности контролируется также расстройка ортогональности, поскольку корреляционная матрица ошибок оценок коэффициентов сглаживающего полинома является матрицей обратной основной матрицы системы Л-ОБФ [7].

Для первого способа построения Л-ОБФ с применением структуры ЛНБФ (1) корреляционная матрица ошибок оценок коэффициентов сглаживающего полинома имеет вид [3, 92, 93]:

КА _ Г-1ОтGГГ тGГ_ _ Г(27)

где Г - диагональная матрица собственных значений основной матрицы системы

ФТ ЛФ, построенной с использованием структуры ЛНБФ (1);

О - матрица собственных векторов основной матрицы системы уравнений ФТ ЛФ.

Формула (27) свидетельствует, что

корреляционная матрица Ка ошибок оценок коэффициентов сглаживающего полинома является матрицей, обратной матрице собственных значений, и поэтому является диагональной, как и матрица собственных значений.

Для второго способа построения Л-ОБФ с применением структуры ЛНБФ (2) корреляционная матрица ошибок оценок коэффициентов сглаживающего полинома имеет вид [7]:

К А = (JT Л/)-

(28)

Выражение (28) свидетельствует о

КА

том, что А является матрицей системы

уравнений J Л, а так как Л-ОБФ строится из предположения, что недиагональные элементы равны нулю, то основная

матрица

JT ЛJ

является диагональной, К

следовательно, и А также будет диагональной матрицей.

Из выражения (27) и (28) следует, что применение Л-ОБФ приводит к независимым оценкам коэффициентов полинома и некоррелированности их ошибок.

Из (22) следует, что АА представляет собой линейную комбинацию большого количества взвешенных ошибок измерений, среди которых, как правило, нет ошибок сильно преобладающих над другими. Вследствие этого, согласно центральной предельной теореме теории вероятностей, оценки коэффициентов полинома распределены по нормальному закону, даже если распределение данных измерений существенно от него отличается.

В качестве показателя точности QT построения Л-ОБФ воспользуемся средним значением модуля недиагональных

элементов нормированной корреляционной матрицы ошибок оценок коэффициентов сглаживающего полинома.

Выводы

Таким образом, в данной работе было осуществлено следующее:

-предложены структуры ЛНБФ, позволяющие совместно реализовать пространственную и временную избыточность данных измерений;

-исследованы два способа построения на основе данных ЛНБФ Л-ОБФ;

-из двух структур ЛНБФ и двух способов построения Л-ОБФ для реализации в алгоритме нелинейного оптимального адаптивного сглаживания целесообразно использовать структуру ЛНБФ (2) и второй способ построения Л-ОБФ с точки зрения экономичности в вычислительном отношении.

Список литературы

1. Космические траекторные измерения / П. А. Агаджанов, В. Е. Дулевич, А. А. Коростелев и др. - М. : Сов. радио, 1969. - 504 с.

2. Мильштейн А. В. Метод нелинейного сглаживания в обработке данных траекторных измерений /

A. В. Мильштейн, В. В. Паслен // Зб. наук. праць Донецького шституту зал1зничного транспорту. - Донецьк : Дон1ЗТ. - Випуск 28. - 2011. - С. 94-101.

3. Мильштейн А. В. Выбор структуры ортогональных базисных функций / А. В. Мильштейн,

B. В. Паслен // Новггш технологи в телекомушкащях: V М1жнарод. наук.-техн. с1мпоз1ум, 17-21 ачня 2012 р.: зб. тез. - К., 2012. - С. 93-95.

4. Исследование структур базисных функций / А. В. Мильштейн, К. И. Мотылев, В. В. Паслен // Зб. наук. праць Донецького шституту зал1зничного

транспорту. - Донецьк : Дон1ЗТ. - Випуск 29. - 2012. - С. 23-29.

5. Мильштейн А. В. О возможности применения базисных функций двух переменных в практике траекторных измерений / А. В. Мильштейн, И. В. Дрозда, Я. А. Савицкая, В. В. Паслен // Современные проблемы радиотехники и телекоммуникаций РТ-2012: 8-я Международная молодёжная научно-техническая конференция, 23 — 27 апреля 2012 г. - Севастополь, 2012. - С. 330.

6. Огоднийчук Н. Д. Обработка траекторной информации. Ч. I / Н. Д. Огороднийчук. - Киев : КВВАИУ, 1981. - 141 с.

7. Огоднийчук Н. Д. Обработка траекторной информации. Ч. II / Н. Д. Огороднийчук. - Киев : КВВАИУ, 1986. - 224 с.

8. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа : справочное руководство / Корнелий Ланцош : пер. с англ. М. З. Кайнера. - М. : Наука, 1961. -524 с.

9. Валеев К. Г. Расщепление спектра матриц / К. Г. Валеев. - К. : Вища шк., 1986. - 272 с.

10. Демирчан К. С. Устойчивый метод ортогонализации векторов для расчета электрических цепей / К. С. Демирчан, Ю. В. Ракитский // Изд-во АН СССР. Энергия и транспорт. - 1981. -№ 4. - С. 72-77.

Анотацн:

У робоп виконано дослщження структур лшшно-незалежних базисных функцш, що засто-совуються для полшо]шального опису стохастич-них траекторш лггальних апарапв та яю дозволя-ють сумюно реалiзувати просторову та часову надшртстъ даних траекторних вимшрювань. За-пропоновано два способи побудови Л-ортогональних базисних функцш.

Ключов1 слова: нелшшне згладжування, лшшно-незалежна базисна функщя двох змшних, Л-ортогональна базисна функщя, просторова над-мшршсть, часова надмiрнiсть.

В работе выполнено исследование структур линейно-независимых базисных функций, применяемых для полиномиального описания стохастических траекторий летательных аппаратов и позволяющих совместно реализовать пространственную и временную избыточность данных траектор-ных измерений. Предложено два способа построения Л-ортогональных базисных функций.

Ключевые слова: нелинейное сглаживание, линейно-независимая базисная функция двух переменных, Л-ортогональная базисная функция, пространственная избыточность, временная избыточность.

In the article the structures of linearly independent basic functions, that use for the polynomial description of stochastic trajectories of aircrafts and that allow to realize the joint processing the data of trajectory measurements with spatial and temporal redundancy, were researched. Also two ways of building L-orthogonal basic functions of two variables were suggested.

Keywords: nonlinear smoothing, linearly independent basic function of two variables, Aorthogonal basic function, spatial redundancy, temporal redundancy.