Исследование структур базисных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

постоянного тока с последовательным возбуждением, которые дают возможность проанализировать работу двигателя в различных режимах с целью правильного выбора диагностических признаков для системы контроля стрелочных переводов.

Ways of series excitation direct-current motor switch mathematical model representations, which allows motor operation analysis at various modes, with purpose of diagnostic criterion proper selection for switch monitoring system, are offered.

УДК 629.7.018.7:681.3.06:621.396.96

МИЛЬШТЕЙН А.В., аспирант (ДонНТУ); МОТЫЛЕВ К.И., старший преподаватель (ДонНТУ); ПАСЛЕН В В., к.т.н., доцент (ДонНТУ).

Исследование структур базисных функций

Введение

Определенный успех в развитии методов нелинейного адаптивного оптимального сглаживания, позволяющих совместно реализовать пространственную и временную избыточность многопараметрических данных измерений был получен в начале 70-х годов прошлого века [1-5]. Однако реальные условия для разработки алгоритмов совместной реализации пространственной и временной избыточности данных внешнетраекторных измерений (ВТИ) появились в настоящее время благодаря значительному прогрессу в развитии вычислительной техники, способной решать сложные задачи в течение короткого промежутка времени. Как было указано в работах [6-8], для того чтобы описать стохастическую траекторию с помощью полинома, необходимо ввести

при совместной реализации пространственной и временной избыточности данных траекторных измерений систему базисных функций и вектор коэффициентов сглаживающего полинома, состав и величину которого необходимо определить в ходе обработки.

Постановка проблемы

Для осуществления сглаживания путем совместной обработки данных ВТИ, обладающих пространственной и временной избыточностью, в работах [7, 8] были определены две клеточно-матричные структуры базисных функций, позволяющие описывать вектор положения объекта в пространстве.

Первая структура: Рх (0 0

<р(Г) =

0 0

0

Ру ) 0 0 Рz ( О

р1 (0 =

(Г -Г0)!...( - t0)к...( -Г0)

чк

где да •

(1) I = х, у, г;

да - степень сглаживающего полинома;

t - текущий момент времени; to - момент времени, соответствующий середине интервала сглаживания. Вторая структура:

р(Х,т) =

Р00 (1, тх )Р01(1, тх )Р02 тх )•• Р да0 (t, тх )Рда1(t, тх )Рда2 тх )

да04 х'^дацу1-, х ** ~да2

р00(/, ^у )р01(/, ^у )р02(/, ^урда0(/, ^У )рда1(/, ^У )рда2(/, ^У) Р00 (t, т г )Р01 & Т )р02 т ).. р да0 т )рда1 (т )рда2 (т )

01

10

1п> 02

1 I

да0

да1

да2

(2)

где р(^г) = (t - t0)0r/0(t - t0)0r71(t - t0)0r72•••(t - - ^т^ - •0)тт};

10> 7

0

0

т/- вторая независимая переменная базисной функции

На основе вышеизложенного, в данной работе необходимо решить следующие задачи:

-исследовать структуры базисных функций (1) и (2);

-определить условия, при которых системы базисных функций будут линейно независимы^

Основная часть

Для исследования базисных функций необходимо представить структуры (1) и (2) в развернутом виде^ Структуру

(1) можно представить в следующем виде:

РО =

• • 1 • •т •• 11 0 •• 0 • •0 0 •• 0 • •0

^ ■ • г • •т •• г 0 •• 0 • •0 0 •• 0 • •0

10 'п к п •т п 0 •• 0 • •0 0 •• 0 • •0

0 •• 0 • •0 1 • • 1 • •т • 11 0 •• 0 • •0

0 •• 0 • •0 ^ ■ • г • да •• г 0 •• 0 • •0

0 •• 0 • •0 ' 0 " п п •т п 0 •• 0 • •0

0 к •т •• Ч

0 •• 0 • •0 0 •• 0 • •0 •

0 •• 0 • •0 0 •• 0 • •0 ^ ■ • •к • •т •• г

0 •• 0 • •0 0 •• 0 • •0 ' 0 '• п пк п •т п

(3)

где ,••/у - моменты времени да - степень полинома от 0 до датса

на интервале сглаживания; (максимально шмш^ п - число точек

(моментов времени) Структура (2) может быть представ-

на интервале сглаживания; лена таким образом:

Я/,' =

Л о

'о'1

Л 0

'о'п

Л 0

ТУ1

Л 0

Л 0

'у'п

Л 0 ^ '1

*z0t0 2 г

Л 0

' 2'п

А 0

'о' 1

А 0

'о'п '10 'уЧ

*110

*110

'у'п

А 0

'г11

2 г

Л 0

'2'п

Л 0

'о' 1

Л 0

'о'п

А 0 V!

л 0

А 0

'у'п

А 0 ^ '1

г£0

2 г

А 0

' 2 п

Лк

'о' 1

Лк

'о'п

Лк 'уЧ

Лк 'у г

'у'п

Л£ ^ '1

Лк

Лк

' 2 п

*1tk 'о 1

'о'п ТУ1

ту'г

' /к 'у'п

тЬк '2 1

тЬк

т2гг

тЬк

' 2 п

'о1

'2-к 'о'п

ТУ1

ту'г

'у'п

Ак ^ '1

т2гг

тЧ

' 2 п

'о1

х0т

'о'п

Лт

'уЧ

'уг

Лт

'у'п '2 '1

2г

0т ' 2 п

Т1^

'о' 1

ФГ

'о'п 'У1

'1 г

'у г

т1 Г

'у'п

'2 1

Фт

2г

Лт

'2'п

Ат

'о' 1

Ат

'о'п

'уч

'у г

Ат

'у'п '2 '1

Ат 2г

Ат

' 2 п

(4)

где /р...,^,../п - моменты времени на интервале сглаживания;

п - число точек на интервале сглаживания;

'о,'у2 - независимые переменные, х = 0, 1, 2 - индекс независимой переменной ' по строке;

к = 0, ..., т - степень сглаживающего полинома.

Известно [9, 10], что для оценки вектора положения объекта в пространстве необходимо, чтобы определитель основ-

Т

ной матрицы Я Я системы уравнений не был равен нулю. Для этого необходимо, чтобы системы базисных функций (3) и (4) являлись линейно независимыми.

Из теории матриц [11-13] известно, что система векторов является линейно зависимой, если один из векторов линейно выражается через остальные векторы системы.

Из матриц, представленных в (3) и (4) видно, что они состоят из 3(ттах + 1)

столбцов и 3 • п строк (где ттах - максимально возможная степень сглаживающего полинома, а п - количество точек на интервале сглаживания).

Из матрицы приведенной в (3) видно, что система базисных функций будет

линейно независимой при любых так как ни столбцы, ни строки этой матрицы линейно друг через друга не выражаются.

Из матрицы приведенной в (4) видно, что система базисных функций будет линейно независимой, когда

'о Ф 'у Ф'2 . Определим область задания аргумента т, интервал его дискретизации А 'о, А 'у, А '2. Для этого произведем замену

' о = '0 + А'о, 'у = '0 + А 'у,'2 = '0 + А'2 .

При такой замене видно, что система базисных функций (4) будет линейно зависима при выполнении хотя бы одного из условий (5) ... (8). Действительно:

- если А 'о = А 'у Ф А '2, то в

формуле (5) 'о = 'у = '2 = 'о, вследствие чего вектор-столбцы, в пределах троек векторов, отличаются только постоянными множителями ' 0 т-1 -г 2, так как

Т0,т0,'о'

все компоненты одного столбца тройки векторов становятся пропорциональными соответствующим элементам другого столбца той же тройки векторов, а строки соответствующих блоков, содержащих ('о,'у,'2) с номерами г + %п (где

г = 1,2,...,п, а х = 0,1,2) не только зависимы, но даже и равны между собой;

- если Атх = Ат у Ф Ат2, то в формуле (6) тх = Ту = т2, вследствие

чего вектор-столбцы будут линейно независимы, так как составляющие одного столбца не равны и не пропорциональны составляющим других столбцов, а строки с соответствующими номерами / + %п

(где / = 1,2,...,п, а х = 0,1), содержащие

сомножитель Т0 =ТХ = Ту, сохраняют

линейную зависимость;

- если Ату =Атх фАт2, то в

вследствие

формуле (7) тх = т2 = ^о

чего вектор-столбцы будут линейно независимы, а строки с соответствующими номерами / + хп (где / = 1,2,...,п, а X = 0,2 ), содержащие сомножитель

то = тх = т2, сохраняют линейную зависимость;

- если Ату = Ат2 Ф Атх, то в

формуле (8) ту = т2 = то, вследствие

чего вектор-столбцы будут линейно независимы, а строки с соответствующими номерами / + х (где / = 1,2,...п, а Х = 1,2), содержащие сомножитель то =ту = т 2 , сохраняют линейную зависимость.

При невыполнении этих условий, то есть если Ату Ф Атх фАт2 , то

т х Ф ту Фт 2 и система базисных функций (4) будет линейно независимой.

Р((,т) =

л 0 т0(1 Л0 т0г1 Л 0 т0 (1 . Л* .. т0(1 Л* т0(1 то (1 . т0т . т0 (1 т1(т т0(1 т2т т0 (1

Ло т0/ Л0 т2(0 ' т0 / . " Л* .. т0 / Л* то/ Л* т0 / . -0т . то т1(т т2(т т0 /

Л о £0 п Л 0 т0 п т2(0 ' т0 п " Л* т0 п л* т0 п Л* ' т0 п -0т т0 п т1(т т0 п т2т т0 п

Л о т0 (1 Л 0 т0(1 т2( 0 то (1 . .. т0(1 л* т0(1 т0 (1 . т0т . то (1 Лт т0(1 т2(т т0 (1

Ло то / Ло т2(0 ' т0 / . " Лк .. т0/ Л* то/ Л* ' то / . т0(т . то Лт т2(т т0 /

Ло то п ¿(0 т0 п т2(0 ' т0 п Л* т0 п л* т0 п л* . т0 п -0т т0 п т1(т т0 п т2(т т0 п

Л 0 т0 (1 Л 0 т0(1 т2( 0 то (1 . Л* .. т0(1 Л* т0(1 то (1 . -0т . то (1 т1(т т0(1 т2(т т0 (1

т0'^0 т0 / т1(0 т0Г1 т2(0 ' т0 / . " Л* .. т0/ Л* то/ то. т0(т . то Лт т2(т т0 /

Л'о £0 п ¿0 т0 п т2(0 ' т0 п л* т0 п л* т0 п Л* ' т0 п т0т т0 п т1(т т0 п т2т т0 п

(5)

P(t, r ) =

rOt 0

r0 'i

OtO r 0 'i

OtO

On

OtO r 0 f1

OtO r 0 'i

OtO

On

OtO

г z 'i

r0t 0

z ti

OtO

г zln

rit 0 r0f1

rit 0

r0i

r1t о

г о n

rh 0 r0f1

rit о r0'i

rit о

г о n rit 0 г zl 1

rit о

rit 0

г zn

r 2' 0 r0 'i

2tO т 0 'i

2tO

On

2tO r 0 f1

2tO т 0 'i

2tO

On

2tO

г z 'i

r2t 0

z ti

2tO

г zln

r O'k r0 'i

r O'k Oi

r0tk On r O'k r 0 f1

r O'k r0 'i

r0tk г O n r0tk г z 'i

r0tk z ti

r0tk г zln

rifk r0f1

ritk

т0 i

r1tk г o n rifk

rifk T0'i

r1tk

г O n r1fk г zl i

r1tk rzfi

r1fk г z'n

r 2fk r0 f1

r 2fk т 0 i

r 2fk г o n

r 2fk r0 f1

r 2fk т 0 'i

r2tk г O n r2tk г z 'i

r2tk z ti

r 2fk г zln

T0tm r0 f1

r0fm r0 'i

0tm

г o n r 0tm

r0 f1

r 0'm r0 'i

T0tm г o n T0tm г z 'i

T0tm r z'i

r0fm г zln

r1tm r0f1

r1tm T0'i

r1tm

г o n r1tm

r0f1

r1tm T0'i

r1tm

г o n

r1tm

г zl i

r1tm

rzfi

1tm г zn

r2tm r0 f1

2tm r0 'i

2tm

г o n r2tm

r0 f1

2tm r0 'i

2tm г o n 2tm

г z 'i

2fm z ti

2tm

г zln

(6)

pt, r) =

r Of 0 r0 f1

r Of O

r O i

r0t O г o n

r0t O ryf1

r0t O ryfi

r0t O

г yn

r Of O r0 f1

r Of O

r O 'i

r0t O

г o n

Л O r0f1

fif O

r0 i

r1t O

г o n

r11O ryf1

r11O

ryfi

r11 о

г yn

rif O r0f1

rif O r0'i

r1t о

г o n

r 2f O r0 f1

r 2f O

r O i

r 2f O г o n r 2f O ryfi

r 2f O

ryfi

r 2f O

г yn

r 2f O r0 f1

r 2f O

r O 'i

r2t O

г o n

r Ofk r0 f1

r Ofk

r O 'i

r 0fk г o n r0tk ryfi

r 0fk ry i

r0tk г yn

r Ofk r0 f1

r Ofk

r O i

r0tk г o n

rifk r0f1

rifk r0'i

r1fk г o n r1 tk ryfi

r1 tk ry i

r1 tk г yn

rifk r0f1

rifk r0 i

r1tk г o n

r 2fk r0 f1

r 2fk

r O 'i

r 2fk г o n r 2fk ryfi

r 2fk r y i

r 2fk г yn

r 2fk r0 f1

r 2fk

r O i

r 2fk г o n

r0tm r0 f1

r0tm r O i

r0tm

г o n T0tm

ryfi

r0fm

ry i

T0tm г yn

T0tm r0 f1

r0fm r O 'i

T0tm г o n

r1tm r0f1

r1tm r0 i

r1tm

г o n 1 fm

ryfi

1 fm

r y i

1 fm

г yn r1tm

r0f1

r1tm r0'i

r1tm

г o n

r2tm r0 f1

r2tm r O i

r2tm

г o n

2fm yt1

2fm

ry i

2fm

г yn r2tm

r0 f1

r2tm r O 'i

2fm г o n

(',т) =

Л 0

тх '1

т?<?

0 0

1х1п

т0(0 т01 1

т0(0

т0'г

то(о

т0 п т0 0 т0 1

т0 0

т0 г

т0 0 т0 п

т1 0

тх' 1

тхо

т1 0

1х1п

Л 0 т0(1

Л 0

т1( о т0 п Л о т0(1

Л 0

т0 /

т1' о т0 п

т2( 0 тх '1

тх2,0

2 0 тх п т2' 0 т0 '1

т2' 0

то Ч

т2' 0 т0 п т2' 0 т0 '1

т2' 0 т0 ,

т2' 0 т0 п

тх 1

тх0'*

тх п

Л* т0 '1

Л* т0 ,

т0 п

Л* т0 '1

Л* то Ч

А* т0 п

т11* тх' 1

тх'*

т1I* тх п

т0(1

т1'* т0 ,

т1'* т0 п

т0(1

т1'*

то'/

т1'* т0 п

т2'* тх 1

тх2',*

т2'* тх п

т0 '1

т2'* т0 ,

т2'* т0 п

т0 '1

т2'*

то ч

т2'* т0 п

т0'т тх 1

т0'т тх',

т0'Ш

тх п

Т0'Ш т0 '1

т0'т т0 'г

т0 п

Т0'Ш т0 '1

т0'т т0 ,

т0'т т0 п

т1 'т тх' 1

т1 т

тх п т1'т

то'1

т1'т то',

т1'т

т0 п

т1'т

то'1

т1'т т0 ,

т1'Ш т0 п

т2т тх '1

тЫ

т2'т

тх п т2'т

т0 '1

т2'т то Ч

т2т

т0 п

т2'т

т0 '1

т2'т т0 ,

т2'т т0 п

Из (4) и выше приведенного анализа видно, что область задания аргумента то

является широкой и определяется лишь минимальным и максимальным числом, которое можно без потери точности записать в разрядную сетку применяемого персонального компьютера (ПК). Однако на практике, если интервалы Атх,Ату,Ат2 отличаются друг от друга незначительно, то при вычислениях на компьютере основная матрица системы

Т

р р становится плохо обусловленной, что в свою очередь, приводит к возрастанию ошибок вычислений при определении вторичных параметров положения и летательного аппарата.

Экспериментальные исследования структуры (4) на компьютере при различных Атх, Ату, Ат 2 показали, что

то,Атх,Ату,Ат2 целесообразно выбирать одного порядка и в пределах разрядной сетки применяемого ПК [14]. Наилучшее приближение будет при равномерном интервале дискретизации аргу-

мента т, например, тх = т^; ту = 2^; т2 = 3т0 [14].

Выводы

На основе произведенного в работе анализа можно сделать следующие выводы:

-проведено исследование двух структур базисных функций (1) и (2), для чего они были представлены в развернутом виде;

-обоснован выбор структуры базисной функции (2) и ее параметров;

-определены условия, при которых системы базисных функций будут линейно независимыми;

- получено, что область задания аргумента т0 является широкой и определяется лишь минимальным и максимальным элементом основной матрицы, которые без потери точности можно записывать в разрядную сетку применяемого ПК.

Список литературы

1. Огоднийчук Н. Д. О прикладных методах анализа траекторной информации / Н. Д. Огороднийчук // Сборник материалов НТК, посвященной 25-летию училища. Ч.1. - К. : КВВАИУ, 1977. -С. 65-84.

2. Мотылев К. И. Обработка данных траекторных измерений, обладающих пространственной и временной избыточностью / К. И. Мотылев, М. В. Михайлов, В. В. Паслен // Университетские микроспутники - перспективы и реальность : междунар. науч.-практ. конф. / НЦАОМ им. А. М. Макарова. -Днепропетровск, 2006. - С. 66.

3. Паслен В. В. Алгоритм совместной реализации пространственной и временной избыточности данных траекто-рных измерений / В. В. Паслен, А. В. Мильштейн, И. В. Дрозда // Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке : XV междунар. молодеж. форум, 18-20 апр. 2011 г. : сб. материалов форума. Т. 4 / Харьк. нац. ун-т радиоэлектроники. - Х., 2011. - С. 238-239.

4. Мильштейн А. В. Алгоритм совместной реализации пространственной и временной избыточности данных траек-торных измерений / А. В. Мильштейн, И. В. Дрозда, В. В. Паслен // Человек и космос : XIII междунар. молодеж. науч.-практ. конф. / НЦАОМ им. А. М. Макарова. - Днепропетровск, 2011. - С. 73.

5. Паслен В. В. Нелинейное адаптивное сглаживание данных внешне-траекторных измерений / В. В. Паслен, И. Л. Щербов, М. В. Михайлов // Университетские микроспутники - перспективы и реальность : междунар. науч.-практ. конф. / НЦАОМ им. А. М. Макарова. -Днепропетровск, 2006. - С. 65.

6. Башков Е. А. Адаптивное нелинейное оптимальное сглаживание многопараметрических данных измерений / Е. А. Башков, В. В. Паслен // Университетские микроспутники - перспективы и

реальность : междунар. науч.-практ. конф. / НЦАОМ им. А. М. Макарова. - Днепропетровск, 2006. - С. 67.

7. Мильштейн А. В. Метод нелинейного сглаживания в обработке данных траекторных измерений / А. В. Мильштейн, В. В. Паслен // Зб. наук. праць Донецького шституту залiзничного транспорту. - Донецьк : ДонГЗТ. - Випуск 28. - 2011. - С. 94-101.

8. Мильштейн А. В. Выбор структуры ортогональных базисных функций / А. В. Мильштейн, В. В. Паслен // Нов^ш технологи в телекомушкащях : V Мiжнарод. наук.-техн. сiмпозiум, 17-21 ачня 2012 р. : зб. тез. - К., 2012. - С. 9395.

9. Огоднийчук Н.Д. Обработка траекторной информации. Ч. II / Н. Д. Огороднийчук. - Киев : КВВАИУ, 1986. - 224 с.

10. Жданюк Б. Ф. Основы статистической обработки траекторной информации / Б. Ф. Жданюк - М. : Сов. радио, 1978. - 384 с.

11. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа : справочное руководство / Корнелий Ланцош : пер. с англ. М. З. Кайнера. - М. : Наука, 1961. -524 с.

12. Грантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Грантмахер. - М. : Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1968. - 552 с.

13. Ланкастер П. Теория матриц / П. Ланкастер : пер. с англ. - М. : Наука : глав. ред. физ.-мат. лит., 1962. -280 с.

14. Огороднийчук Н. Д. Исследования на ЭВМ свойств систем ЛНБФ и Л-ОБФ как функции двух аргументов / Н. Д. Огороднийчук, В. В. Паслен, С. В. Велигдан // Радиоэлектронное оборудование летательных аппаратов. Вып. 3. - К. : КВВАИУ, 1989. - С. 90-93.

Анотации:

Ключевые слова: базисная функция, кле-точно-матричная структура, интервал сглаживания, матрица, вектор, линейно независимый, сглаживающие полином, аргумент.

В работе выполнено исследование структур базисных функций, применяемых для полиномиального описания стохастических траекторий летательных аппаратов. Также были определены условия, при которых системы базисных функций будут линейно независимыми. Сделан вывод, что область задания аргумента т0 является широкой и определяется лишь минимальным и максимальным элементом основной матрицы.

Ключовi слова: базисна функщя, клтгково-матрична структура, штервал згладжування, мат-риця, вектор, лшшно незалежний, згладжувальний полiном, аргумент.

У робот виконано досл1дження структур базисних функцш, що застосовуються для полшо-мiального описання стохастичних траекторш лгга-льних апаратiв. Також були визначеш умови, за яких системи базисних функцш будуть лiнiйно незалежними. Зроблено висновок, що область за-вдання аргументу г0 е широкою та визначаеться лише мшмальним i максимальним елементом основно! матрищ.

Keywords: basic function, cell-matrix structure, range of smoothing, matrix, vector, linearly independent, smoothing polynomial, argument. In the article the structures of the basic functions, that use for the polynomial description of stochastic trajectories of aircrafts, were researched. Also the conditions under which the systems of basic functions are linearly independent were defined. It was concluded that the range of values of argument r0 is broad and is determined only by the minimum and the maximum element of the main matrix

УДК 654.173:004.413

ВОРОПАЕВА В. Я., к.т.н., доцент ДонНТУ); КРАСИКОВА А. С., магистрант, (ДонНТУ); ТУРУПАЛОВ В. В., к.т.н., доцент (ДонНТУ); ШЕБАНОВА Л. А., к.т.н., доцент (ДонНТУ).

Исследование влияния свойств среды на логические каналы радиодоступа WCDMA для стандарта UMTS

Общая постановка проблемы

В последние годы пользователи мобильных сетей нуждаются в высоких скоростях передачи данных. Одной из причин такой тенденции является использование мобильных телефонов в качестве инструмента для доступа в Internet. Чтобы сделать это возможным, скорости не только необходимо было увеличить, но и обеспечить требуемое качество обслуживания (QoS) и в тоже время, сделать сото-

вую мобильную сеть конкурентоспособной по сравнению с другими мобильными технологиями. В результате этого был разработан стандарт мобильной связи 3-го поколения группой 3GPP, которая в Европе получила название универсальной мобильной телекоммуникационной системы (UMTS) [1].

В начале своего развития система UMTS заимствовала множество элементов и функциональных принципов у системы GSM, а новые и наиболее значимые реше-