CC BY
24
МЕХАНИКА
Челябинский физико-математический журнал. 2019. Т. 4, вып. 1. С. 59-64.
УДК 532.5 Б01: 10.24411/2500-0101-2019-14105
ИССЛЕДОВАНИЕ СИЛОВОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ
НА ПЛОСКУЮ БЕЗГРАНИЧНУЮ ПРЕГРАДУ
ПРИ ЗАПУСКЕ ПОД ВОДОЙ ГАЗОВОГО ГЕНЕРАТОРА
И. И. Валов1", Ю. П. Кабанов2 6
1 Южно-Уральский научный центр УрО РАН, Миасс, Россия
2 Государственный ракетный центр им. академика В. П. Макеева, Миасс, Россия "[email protected], ь[email protected]
Статья посвящена решению задачи определения поля давлений в жидкости и силовых нагрузок на элементы объекта и испытательного оборудования при экспериментальной отработке движения объектов под водой. Приводится методика расчётов по определению поля давлений на плоскую преграду от момента запуска под водой газового генератора до касания пузырём преграды. Преграда заменяется симметрично расположенным пузырём жидкости, и задача сводится к исследованию движения двух сфер переменного радиуса с переменной массой газа в них, при этом потенциал течения представляется в виде комбинации полиномов Лежандра. Выводится закон развития газового пузыря, аналогичный уравнению Рэлея, масса газа в пузыре определяется в соответствии с уравнением Сен-Венана. Распределение давления на преграде находится с использованием интеграла Коши — Лагранжа. Построенная методика даёт возможность оценить нагрузки на движущийся объект и экспериментальный стенд при запуске газового генератора.
Ключевые слова: газогенератор, поле давлений в жидкости, экспериментальная отработка.
Постановка задачи
При экспериментальной отработке подводного выхода объектов с подводных лодок очень часто возникает необходимость определить поле давлений в жидкости и силовые нагрузки на элементы объекта и испытательного оборудования. В статье приводится методика расчёта силового воздействия струи на преграду при запуске газогенератора под водой от момента прорыва заглушки до подхода границы пузыря к её поверхности.
Рассмотрим процесс взаимодействия струи с жидкостью от момента
прорыва заглушки (рис. 1). После прорыва заглушки у среза сопла в жидкости
Рис. 1
формируется газовый пузырь, который, развиваясь, воздействует на преграду, находящуюся на расстоянии Н от среза сопла. Задача решается при следующих допущениях:
- форма газового пузыря остаётся близкой к сферической, текущее расстояние от центра пузыря до преграды к связано с радиусом пузыря а как к = Н — а. В силу кратковременности исследуемого процесса всплытием пузыря пренебрегаем.
- жидкость невязкая и несжимаемая, движение жидкости потенциальное. До начала запуска вода находится в состоянии покоя.
В этих предположениях определение воздействия струи на преграду можно свести к задаче о движении двух сфер переменного радиуса вдоль линии их центров (рис. 2), т. е. преграда заменяется симметрично расположенным пузырём в жидкости. Задача о движении двух сфер постоянного радиуса вдоль линии их центров рассматривалась в работах [1; 2], а движение пузырьков переменного радиуса с постоянной массой заключённых в них газов — в работах [3; 4]. В настоящей работе на основе модификации этих методов рассматривается движение двух сфер переменного радиуса с переменной массой газа и представлением потенциала течения в виде комбинации полиномов Лежандра.
Пусть сферы движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями уа = Ув. Расстояние между центрами шаров с = 2к. Потенциал скорости течения жидкости запишем в виде Ф = Фа + Фв, где каждая из функций удовлетворяет уравнению Лапласа и следующим граничным условиям:
- производные по коэффициентам функций Фа и Фв на бесконечности обращаются в ноль;
- на поверхности сфер
Таким образом, Фа представляет значение потенциала скорости для случая, когда сфера с центром в точке А движется со скоростью у а по направлению к сфере
к
с
Рис. 2
с центром в точке В, в то время как сфера с центром в точке В находится в покое. Аналогичный смысл имеет и функция Фд.
Ограничимся рассмотрением расстояния вдоль преграды г < с, используя соотношения [2]
1 _ 1
га С
те
1 + — Pi (cos Ве) + -ЕP2(cos Ве) + ... с с2
га cos Ва = с — ге cos ВЕ.
Представим потенциал течения в виде
Ф = a2 a ( — + — ) + —
11
га те
2
a2 ( a va + ( a +— va c2 V c
+
+
Pi (cos В a) + P2 (cos Ве )
о + о
r a
е
2a7 / 3a
+ 3C2 a + 2CVA
P2 (cos В a) + P2 (cos Ве )
о + Q
'a
е
+
где Pn (cos В) — полиномы Лежандра:
3 cos2 В
Pi (cos В) = cos В, P2 (cos В) = 3
Pn(x) =
1 dn
Вблизи сферы А потенциал потока можно представить в виде
(*2 — 1)'
2- . 1 1 Ф = a2a (--+ -
га с
3
2
1 + — Pi (cos Ва) + ТАаP2 (cos Ва) + ... с с2
a +-2
aa va + a + - va
Pi (cos Ва)
1
2т ^ 3г2
1 + —api (cos Ва) + -ap2 (cos Ва) + ...
+
+ ...
В условиях нашей задачи уа = Уд = V, V = — Н = а, Н = Н — а, а = — Н. С учётом
этого потенциал течения около газового пузыря
Ф = ; + ^
a3
+Т
1 + 2hPi(cos Ва) + P2(cos Ва) + ...
+
a
2
+
4h2
a+4h2 la+2ha 2
Pi (cos Ва)
1 + ^pi(cos Ва) + p2(cos Ва) + ...
+ ..
Используя интеграл Коши — Лагранжа, можно определить давление около газового пузыря:
Р — Р0 д Ф 1
Р
dt 2
2 дфУ
\ дг J \г дВ J
(1)
В уравнении (1) члены, не зависящие от угла В, определяют общее расширение газового пузыря
Ppuz — Po .. Д a2 1 a3 -= aa 1 —
Р
3 a 19 a3
1 a2
4h2 + 12 h3 / + a V 2 + h 24 h3 + 8 h2
(2)
2
3
f
c
c
r
c
f
2
r
1
с точностью до членов порядка малости а4/к4.
Используя уравнение состояния идеального газа, получим дифференциальное уравнение второго порядка относительно а
1 a3
h2 12 h3
aa 1 - — + —— + a2 I - + - + - — - ——
3
1 a2
19 a3
2 h 8 h2 24 h3
GRT P
4 3
з npa3
- - (3) p
с начальными условиями
a|t=o
a|t=o — ao, a |t=o — 0,
(Pi - Po)
Pao 1 - 7T? +
4h2 12h3
Pi - Po pao
Здесь О — суммарный вес газов в пузыре.
Температура газа в пузыре Т изменяется [5] в соответствии с законом
dT
urn
1
G
. p
G(k • TKc - T) - —— 2naa Cy
(4)
Разрешая уравнение (3) с учётом (2) и (4), получим зависимость а, а, а от времени ¿, при этом расход газов из газогенератора определяется по формулам Сен-Венана с учётом противодавления в газовом пузыре:
Здесь
D
G.
/iCD, если
^C, если
Po
P
>
KC
2
Po
PK
<
C — SPk
KC
KC
fe+1 2(fc-l)
k +1 2
k + 1
k k-1
k k-i
k + 1
RTK
KC
\
k1
k+i
k + Л k-1
2
Po
PK
KC
4k
1
Po
PK
KC
k-i k
S — площадь минимального (критического) сечения сопла, ^ — коэффициент расхода, Pkc,Tkc — давление и температура в камере сгорания газового генератора соответственно, k — показатель адиабаты продуктов сгорания.
Учитывая связь между точками в системе координат, связанных с пузырём rA cos 9а — c - rB cos вв, а также соотношения v — -h — a, в — v si"в, c — 2h, и используя уравнение Коши — Лагранжа, получим выражение для распределения давления на преграде Pn
Pn - Po
дФ 1
dt 2
дФ\2 /1дФV дг ) \r дв )
где
д Ф ~0t
2
a2 a
(H - a)
cos в
2 +
a cos2 в
(H - a)
1
4(H - a)2
4aa2 cos в + (H - a) +
2
3
a
k
2
2
2
a
5а2а cos3 в (
дФ _ дг
4(Я - а)2
а2 а cos в (Я - а)2
+
а3а2 cos3 в
(Я - а)3
(2 cos2 в - sin2 в) ^ 1 +
4(Я - а)2,
(1 - cos
1
+
1 дФ а2а sin в
r дв (Я - а)2
(Я - а) 4(Я - а)3_ а cos в а3 cos в а4 cos в
1 - —-Г + ^-^ +
(Я - а) (Я - а)3 (Я - а)3_ ' Окончательное выражение для избыточного давления на преграде запишется как АР™
2
а2 а
р (Я - а)
аа2 cos в
+ (Я - а)
а2 cos2 в
+ (Я - а)2
аа2 cos в
cos в
а cos2 в а3 cos2 в 2 + ^-г +
(Я - а) 4(Я - а)3_
+
5а cos2 в 5а3 cos2 в
4 + ТТГ-Г +
(Я - а) 4(Я - а)3
+
2 cos2 в -
sin
1+
4(Я - а)2
,тт ,,(1 - cos в)2 + sin2 в 1 -— (1 - cos в) (Я - а) Я
(5)
Подставляя в выражение (5) значение радиуса, скорости и ускорения изменения радиуса пузыря, можно найти значение давления на преграде в любой точке, находящейся на расстоянии г = (Я — а) tg в от центра преграды. При этом следует учесть, что полученные формулы справедливы при г < 2Л,, что на момент касания пузырём преграды составляет г < | Я.
Приведённая методика расчёта даёт возможность определить поле давлений при запуске под водой газового генератора и оценить влияние ряда конструктивных параметров на возникающие при этом нагрузки на модель изделия и экспериментальный стенд.
2
2
а
а
а
2
2
Список литературы
1. Милн-Томсон, Л. М. Теоретическая гидродинамика / Л.М.Милн-Томпсон. — М. : Мир, 1964. — 660 с.
2. Костюков, А. А. Взаимодействие тел, движущихся в жидкости / А. А. Костюков. — Л. : Судостроение, 1972. — 310 с.
3. Левковский, Ю. Л. Структура кавитационных течений / Ю. Л. Левковский. — Л. : Судостроение, 1978. — 224 с.
4. Волков, О. В. Движение сферы переменного объёма в идеальной жидкости около плоской поверхности / О.В.Волков, А.Г.Петров // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1971. — № 5. — С. 94-103.
5. Воронин, В. В. Распространение высоконапорной газовой струи в воде при истечении из затопленного сопла / В.В.Воронин, В.Н.Куликов. — Тр. ЦАГИ. — 1987. — Вып. 2384. — 16 с.
Поступила в 'редакцию 08.10.2018 После переработки 08.11.2018
Сведения об авторах Валов Илья Игоревич, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, Южно-Уральский научный центр УрО РАН, Миасс, Россия; e-mail: [email protected]. Кабанов Юрий Павлович, кандидат технических наук, начальник лаборатории, Государственный ракетный центр имени академика В. П. Макеева, Миасс, Россия; e-mail: [email protected].
64
H. H. Ba.noB, ro. n. KaSaHOB
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2019. Vol. 4, iss. 1. P. 59-64.
DOI: 10.24411/2500-0101-2019-14105
STUDY OF FORCE IMPACT ON A FLAT BOUNDLESS BARRIER WHEN ACTIVATING A GAS GENERATOR UNDER WATER
I.I. Valov1", Yu.P. Kabanov2b
1 South Ural Scientific Centre of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences,
Miass, Russia
2 Academician V.P. Makeyev State Rocket Centre, Miass, Russia
"[email protected], [email protected]
The article aims to solve the problem of determination of a pressure field in liquid and a power load on elements of an object and test equipment at experimental tryout of underwater objects movement. The design procedure of a pressure field determination on a flat barrier from the moment of underwater activation of a gas generator to touching of the barrier by a bubble is given. The barrier is replaced by a symmetrically arranged bubble of liquid and the problem is reduced to analyzing movement of two spheres with varying radius and gas mass inside, flow potential in this case has the form of the Legendre polinomials combination. A law of a gas bubble evolution is derived, similar to the Rayleigh equation; gas mass in the bubble is defined according to the Saint-Venant equation. Pressure distribution on a barrier is found using the Cauchy — Lagrange integral. The developed methodology offers the possibility to evaluate loads on a moving object and a test bench at the gas generator activation.
Keywords: gas generator, pressure distribution in liquid, experimental qualification.
References
1. Milne-Thomson L.M. Theoretical Hydrodynamics. New York, Dover Publications, Inc., 1968. 768 p.
2. Kostukov A.A. Vzaimodeystviye tel, dvizhuscshikhsya v zhidkosti [Interaction of bodies moving in a liquid]. Leningrad, Sudostroenie Publ., 1972. 310 p. (In Russ.).
3. Levkovskiy Yu.L. Struktura kavitatsionnykh techeniy [Structure of cavitation flows]. Leningrad, Sudostroenie Publ., 1978. 224 p. (In Russ.).
4. VolkovO.V., PetrovA.G. Dvizheniye sfery peremennogo ob'yoma v ideal'noy zhidkosti okolo ploskoy poverkhnosti [Motion of a sphere with variable volume in an ideal liquid near a flat surface]. Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Mekhanika zhidkosti i gaza [News of the USSR Academy of Sciences. Fluid and gas mechanics], 1971, no. 5, pp. 94-103. (In Russ.).
5. VoroninV.V., Kulikov V.N. Rasprostraneniye vysokonapornoy gazovoy strui v vode pri istechenii iz zatoplennogo sopla [Distribution of high-pressure gas jet in water at the outflow from the submerged nozzle]. Trudy TsAGI [Proceedings of Central Aerohydrodynamical Institute], 1987, no. 2384, 16 p. (In Russ.).
Accepted article received 08.10.2018
Corrections received 08.11.2018
