CC BY
17
ТЕХНИЧЕСКИЕ, ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
УДК.669.18(083)
В. Н. Антонов, Ф. Г. Ибрагимов
ОБ ОДНОМ МЕХАНИЗМЕ РАСЩЕПЛЕНИЯ
КРУПНОГО ГАЗОВОГО ПУЗЫРЯ
ПРИ ПРОДУВКЕ МЕТАЛЛА ГАЗОВОЙ СТРУЕЙ
Статья посвящена актуальной проблеме поведения газов при инжекции порошков газовыми струями в жидкий металл. Рассмотрен один из возможных механизмов расщепления газового пузыря при обтекании его жидкостью. Для решения использовалась задача о безотрывном обтекании шара. Процесс распада газового пузыря представлен в виде образования некоторого количества газовых пузырей, которые образуются из данного с определенным начальным радиусом. В основу рассмотрения положено условие равенства объемов начального большого газового пузыря и образовавшихся мелких пузырей. Кроме того, приведены формулы скорости подъема газовых пузырей в жидкости.
Ключевые слова: газовый пузырь, газовая струя, безотрывное обтекание.
Vyacheslav N. Antonov, Fanil' G. Ibragimov CONCERNING A MECHANISM OF A GAS BUBBLE SPLITTING ON GOING OUT OF A TUYERE NOZZLE
(Nosov Magnitogorsk State Technical University, Magnitogorsk)
The article deals with a relevant problem of a gas behavior during powder injection into a liquid metal with the help of gas flows. One of the possible mechanisms of gas bubble splitting while being flown around by fluid has been examined. A problem of steady flow around the sphere was used to solve this task. A process of gas bubble splitting is represented as a process of forming several smaller bubbles from the given one with a determined initial radius. Equality of volumes of a large gas bubble and small ones formed has been very important for the investigation Formulas of sрeed at which gas bubbles rise uр in fluid are also given in the article.
Keywords: gas bubble, the gas jet, steady flow around.
Для получения высококачественных сталей в настоящее время широко применяется метод вдувания активными и инертными газами различных порошков в расплав металла. Поэтому рассмотрение гидромеханики
Антонов Вячеслав Николаевич — кандидат технических наук, доцент, (Магнитогорский государственный технический университет им. Г. И. Носова, г. Магнитогорск), e-mail: [email protected]
Ибрагимов Фаниль Габдулович — кандидат технических наук, доцент, (Магнитогорский государственный технический университет им. Г. И. Носова, г. Магнитогорск), e-mail: [email protected]
© Антонов В. Н., Ибрагимов Ф. Г., 2013
22
поведения газовых пузырей остается актуальной задачей [1].
Рассмотрим процесс образования и подъёма газового пузыря при продувке металла. При выходе газа из инжекционной трубы образуется газовый пузырь шаровидной формы. При достижении определённого размера газовый шар отрывается и начинается его подъём. Предположим, что в данное время газовый шар обтекается безотрывно, тогда к данному времени применим теорию безотрывного обтекания шара.
Выпишем основные формулы для безотрывного обтекания шара (2).
Л
Радиальная составляющая скорости шара: Vr = U cos ()\ 1 -
Касательная составляющая скорости: I '„ = -U sin На поверхности шара при г = : — радиальная составляющая
1 + 1. $
Vr = U cos <
1-4
Г ,
касательная составляющая: I= -U sin 6? 1 +
= 0;
3
= —Usmd. 2
График распределения скорости представлен на рис. 1. Данному распределению скоростей по уравнению Эйлера-Бернулли будет соответствовать распределение давлений, изображённое на рис. 2. Под действием растягивающих давлений газовый пузырь будет растягиваться в экваториальной плоскости, и шар будет принимать форму диска. Для дальнейших расчётов примем следующие геометрические размеры диска: И — основной размер диска; г — радиус закругления. Определим объём диска, его площадь и площадь миделевого сечения.
3
г
2
г
Рис. 1.
23
и
РН1
2
Рис. 2.
6
----Й--------
Рис. 3.
Площадь миделевого сечения:
2 Г>2
, 2 / п /
Smíd=n R + r *= nR \+ r/R = jiR 1 + 2^ +
Боковая площадь диска определяется интегралом:
Лх< %
S= 2^2ft(R + r cos(p)2df = An jRrdf + jr1 сощ dip
4x1 +Г sind'2 = 2л:2Rr + 4m~
Т. е. боковая площадь диска S = 2nn~Rr + 4яг2. Аналогично опреде ляем объём диска (х = г cos v = г sin с/? ):
л/ к/
/2 /2
F = 2 J^-(i? + rcos^2)Wv= 2 Jtt(í?2 + 2Rr cos(p + r2 cos2 tp)r cos<pd<p -о 0
7*2 ^ , , , ,
= 2л J(i?2r cos tp + 2Rr~ cos2 <p + r3 cos3 (p)dq> = 0
-T,' -T, Л
я-.'"' '"2
_R2rsin 2 + 2_Rr2 Jcos2 cpd<p + 23 Jcos3 <pd<p
= 2n
"2 Jcos2
0 0
\
Выычислим отдельно 2 и 3 интегралы:
7Т/ ТТ./
f , , fl + cos2e> , (\ siii2(рЛ J cos ~ cpdxp — j-2~ У2Ч> + ~а)
/'2 /"2 /2 / Jcos3<prf<^ = Jcos2 i^rf sin= J(1 — sin2 <pdsin p) = sin^-
X
T
sin cp 3
= 1-1Л
3 3
0
2
2
0
2
0
0
0
0
24
Следовательно, объём диска:
V = 2я{к2г + 2Кг2 - + - г3) = 1лИ2г{\ + ^ +
^ 4 3) { 2 К ЗК
Зная объём диска и площадь миделевого сечения, запишем установившуюся скорость диска из уравнения движения диска:
<1и и2
МгЩ~ = "1Рж~2+ Рж 11 + а'
_ ^ Рж~ Рг ^ _ _ 2gV _ (пренебрегаем плотностью газа)
„1
L , к г 2 г \ Г ж г 2 г 2лК г 1 + — — + -—.г 1 +--+
= Ч "" ~ 2 К ЗК2) = 4ёг{*' 2 К' ЗК2)
{ К К2) { К К2
Рассмотрим давление внутри диска и вне его. Давление внутри диска в районе закруглений р = р0 + К')'1 ~ а/г ■ Давление вне диска в районе
закругления: р = Рц+ Здесь ро — атмосферное давление;
^¡г — давление на глубине; а/ - давление Лапласа; ~ разряжение
давления вследствие набора скорости 11. Приравнивая их, получаем:
" 4{ 2 ) *{СВ ) 5р8
Т. е. для радиуса закругления диска получаем формулу, не завися-
щую от скорости
г =
2 С D ■а
5
Произведём вычисления по данной формуле: — для жидкого металла: р -\0Ъ кг / *\0м / с2;а = \,2Н / м;Св =1,1; 2*1,1*1,2
г = J-— = 2,74*10 jw = 2,74мм;
15*7*10 *10
2*1,1*0,075 10
— для воды: г = ---= 1,8мм;
5*10 * 10
установившаяся скорость диска имет = л|-^-= 0,31м/с;
4*10*2,7 *10~3
4*10*18
для воды иводы = I-= 0,25м/с .
Площадь диска очевидно больше площади шара, из которого он образовался, следовательно, диску энергетически выгоднее будет распадаться на сферы.
25
Оценим радиус полученных газовых сфер, приравнивая объём диска к объёму газовых сфер.
Объём диска равен у _
V = 2 лЯг
Боковая площадь диска е _
, л г 2 г 1 +--+--52 R 3 R2
5 = 2л1 + 4ж2 = 2лКг{л + 2 у) • Полная площадь диска 5 = 2^0 + 2 )+2лК2 •
Объём n-газовых сфер у _
\я з
п-гй
Площадь п-газовых сфер 5 = /;4,т/-2. Приравнивая данные выражения, имеем
л г 2 г 2лЯ г\ 1 + -- + --Ц-
4л з
= п~з~г°'
2 R 3 R у 2лЕг {ж+ 2 r/R ) + 2tR 2 = п4лгс
и л- г 2 г 4л- з 2яЯг\ 1 +--+--г\ = п—г„
2 яК'
2 R 3 R2; 3
2
Г Г 2
1 + я-—н2—- =я4ягп
Д Д
Разделив первое уравнение на второе, получим: 71 г 2 г2
1+-
2 R 3 R2 = при r/КяО, r=rJL ,г,=Ъг .
г г
1 + Л- + 2-
3
3
R Rí
Получили важный результат: радиус образовавшихся пузырьков в три раза больше минимального радиуса закругления. Вычислим радиус образовавшихся пузырьков: г0 = Зг = 3 * 2,74лш = 8,22мм .
Для металла соответственно диаметр ¿10 = 2 * 8,22 = 16,44мм ~ 1, беж;
для воды: с/0 = 6г = 6*1,8 = 10,8мм «1,1см .
Подставим данное значение г0 — Зг в систему уравнении:
„3
2 яД2г| 1 + -- + --М = «—2rr0J
3 или
2nR'
т г
\ + п— + 2—- \ = п4л9г R
Д2| 1 + -- + ~ = 2«9г2 = 18«г2 2 R 3 R
2 Л
R21 \ + л— + 2^— R R
= 18nr2
2 R 3 R
2
„ Г
+ 2-
R
Приг/Я^О, Я2 =18да-2.
Рассмотрим равенство объемов начального радиуса Я0 и диска. По-
~ „2 I, яг 2 г2 | 4я з 4я- п3
лучим следующее уравнение: 2лк и 1н---+ —- =и—2?-?- =—Л„. 1огда
I 2 К 3 К I 3 3
для количества газовых сфер получаем формулу: п -
21гъ
Построим график количества пузырей от начального радиуса Я0: Яо=10, 20, 30, 40, 50 мм, г = 2,74мм.
2
r
26
103
27-2,74
з =1,8' «20 =
203
27-2,74"
= 14,4;
303
403
27 • 2,74
= 115;
50 27 • 2,743
27 -2,743 - = 251,1-
= 48,6;
Большой радиус диска: ^ = ¡#-г
п 3 2 „2 R0
2R3
27г3 V Зг
Графики больших размеров диска: Я, ^-11,6мм; Rlh = 15.6мм; Л20 = 44лш; Я30 = 81лш; Я40 = 124,8лш; R50 = 174,4мм; Л60 = 229лш -
200 180
1 160
5 140
О
§ 120
0
1 100
6
>н 80
0
Й о
и
г
г
г
i г
220 200
| 180 tf 160
'S 140 &
S 120 Е?
о 100 м
Sä 80 к
g 60 ^
40
20 0
0 10 20 30 40 50 60 Начальный радиус шара Ш, мм
0 10 20 30 40 50 60 Начальный радиус шара Я0, мм
Оценим время распада газового пузыря. Для безотрывного обтекания шара уравнения движения будут выглядеть следующим образом:
т,^Г = тх8 = Рх8Г-> рУс^- = рж&У или Рга = Рж8,теУ - скорость, а-
сЬ сп
ускорение, р , р — плотность газа и жидкости соответственно; g — ускорение свободного падения. а = Рж_ . Скорость V = Ш. Следовательно, время
Рг
достижения скорости V — 0,31 м / с равно: ; = — = ^ Р' =
0,31*1,8
ржё 7*103 *10
= 8*КГ6с,
т. е. практически мгновенно.
Рассмотрим данный процесс с энергетической точки. Предположим, что за это время работа архимедовых сил расходуется на образование новой поверхности. Работа поверхностных сил составит:
Работа архимедовых сил:
4л
Аащ = FJS = \gp —До3 — = gpx —R,
4л
2 а
УгР,
3 2 ржё
4л1<- г Г 3
м,„ =
0
40
50
2
27
Приравнивая данные работы, получим:
а[2лИ2\ l + ^L + ll— 1 2R 3R2
2 nRl\ 1 +
л г 2 г - +
2 R 3 R
2 Г4^ 0 =
2 _ 4л-Rl Г РУ2
3^2«
Оценим последнее слагаемое в данной формуле или, иначе, оце-
ним работу архимедовых сил: 4я^о
3
рУ2
4*3.14 Rl 1,8*0,0961
2 3
\ /
Последовательно производим выкладки: Ъг 3 2 а
2*1,2
- = 0,ЗЛ„
4л-Дд3 Ъг
3 2а
3r
1__1 Г Л,
_ РУ ; 3 2а
1 рУ _Ъ • 2а - ру2г _ 3 ; г Rq 2 а г 2 а R^ 2 ar R0
баг
баг
3 г
3*2,74
bz-рГг 1а\х_РГг
г
2 а
1-
pTL
2 а
1,8 * 0,0961 * 2,74 * 10"
1-
3*2,74 '1-2*10"'
2*1,2
= 3*2,74 = 8,22лш.
Полученный результат совпадет с минимальным радиусом пузырька, образовавшегося из большого. Таким образом, пузырёк с радиусом Я0 = 8,22мм более не распадается при данном механизме распада. Выводы.
1. Предложенный механизм объясняет расщепление крупных газовых пузырей в металлическом расплаве.
2. Получены формулы для установившейся скорости подъёма газовых пузырей.
Список литературы
1. Кузнецов Ю. М., Шляпников Л. К., Шур Е. С. Аэродинамика системы вдувания порошкообразных материалов в ковш. / / Сталь. 1987. № 7. С. 31—34.
2. Павленко В. Г. Основы механики жидкости. Л.: Судостроение, 1988. 240 с.
* * *
28
