Исследование сети массового обслуживания с ненадежными системами в переходном режиме Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Управление, вычислительная техника и информатика № 1(18)

УДК 519.872

С.Э. Статкевич, М.А. Маталыцкий ИССЛЕДОВАНИЕ СЕТИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕНАДЕЖНЫМИ СИСТЕМАМИ В ПЕРЕХОДНОМ РЕЖИМЕ

Рассматривается применение метода производящих функций для нахождения зависящих от времени вероятностей состояний открытой сети массового обслуживания (МО) с ненадежными системами обслуживания (СМО). Предполагается, что сеть функционирует в условиях высокой нагрузки. Параметры поступления и обслуживания заявок, исправной работы и восстановления неисправных линий зависят от времени. Такая сеть может служить моделью функционирования беспроводной локальной компьютерной сети (БЛС). Получены приближенные выражения для определения вероятностей состояний, среднего числа исправных линий и среднего числа заявок систем сети в произвольный момент времени. Рассмотрен пример нахождения вероятностей состояний для сети с центральной СМО.

Ключевые слова: производящая функция, ненадежные СМО, вероятности состояний сети.

Сети МО с ненадежными системами обслуживания описаны в [1], там же приведены формулы для их стационарных вероятностей состояний. В данной работе проводится исследование таких сетей в переходном режиме, находятся зависящие от времени характеристики.

Рассмотрим открытую экспоненциальную сеть МО с однотипными заявками, состоящую из п СМО 51,S2,...,5п. В сеть поступает простейший поток заявок из внешней среды (система 50) с интенсивностью X (ґ). Система 5 состоит из ті идентичных линий обслуживания, время обслуживания заявок в каждой из которых распределено по экспоненциальному закону с параметром цг- (ґ), і = 1, п .

Будем считать, что линии обслуживания системы 50 абсолютно надежны, а в других системах 51,52,...,5п линии обслуживания подвергаются случайным поломкам, причем время исправной работы каждой линии системы 5 имеет показательную функцию распределения (ф.р.) с параметром рі (ґ), і = 1,п . После поломки линия немедленно начинает восстанавливаться и время восстановления также имеет показательную ф. р. с параметром уі (ґ), і = 1, п . Допустим, что времена обслуживания заявок в линиях, длительности исправной работы линий и времена восстановления линий обслуживания являются независимыми случайными величинами. Под состоянием сети будем понимать вектор

1 (ґ) = (г,ґ) = ^,к,ґ) = (^,й?2,...,ёп,к1,к2,...,кп,ґ),

где йі - количество исправных линий обслуживания в системе 5, 0 < йі < ті, кі - число заявок в системе 5 в момент времени ґ, ґ є [0, +то), і = 1, п . Обозначим через р0 у - вероятность поступления заявки из системы 50 в систему 5у ,

£ p0 j = і; р^ - вероятность перехода заявки в СМО Sj после ее обслуживания в

j=1

СМО Sг, £ pj = і, i = і, n , u (x) = {0 X > *0 - функция Хэвисайда. Матрица

j=0 v0, X - 0

P = I|Py|l( +1) ( +1) является матрицей вероятностей переходов неприводимой марковской цепи. Будем также предполагать, что если во время обслуживания некоторой заявки линия обслуживания вышла из строя, то после окончания восстановления линии прерванная заявка дообслуживается. На обслуживание заявки выбираются в соответствии с дисциплиной FIFO.

Таким образом, рассматривается случай, когда параметры входящего потока заявок, обслуживания, длительности исправной работы и длительности восстановления линий обслуживания зависят от времени. То есть на интервале времени [t, t + Дt) в сеть поступает заявка с вероятностью X(t')Д1 + o (Дї); если в момент времени t на обслуживании в линии i-й СМО находится заявка, то на интервале [t, t + Дt) ее обслуживание закончится с вероятностью цг (t)Дt + o (Дt), i = і, n ; кроме того, на интервале времени [t, t + Дt) линия обслуживания i-й СМО с вероятностью Рг (t)Дt + o (Дt) может выйти из строя либо восстановиться с вероятностью Yi (t) Дt + o (Ді), i = і, n .

І. Система уравнений для вероятностей состояний сети

Лемма. Вероятности состояний рассматриваемой сети удовлетворяют системе разностно-дифференциальных уравнений (РДУ):

dP (d, k, t)

dt

^(t) + Zth (t)min(di, ki ) + Pi (t)di + Yi(t)(mi - di)]

i =1

P (d, k, t) +

+4*) £ Р0ги (кг ) Р (4, к - I ,*) + £ Ь (*) (4 , кг + ^РгО (4, к + 0 , *) +

г =1 г =1

п

+ £ Ь (*) (4 , кг + 1) Ргуи (к] )Р (,к +1- -1] , *) +

г', У=1

+£ У г (*) К - 4г + 1)М (4 ) Р (4 - I , к , *) + £ Рг (*) (4г + 1)Р (4 + 1г ,к , * ) • (1)

г=1 г=1

Доказательство. В силу экспоненциальности времен обслуживания заявок, исправной работы линий обслуживания и восстановления неисправных линий случайный процесс 2 (* ) = (4, к, *) является цепью Маркова с непрерывным временем и счетным числом состояний. Возможны следующие переходы в состояние (, к, * + Д*) за время Д*:

• из состояния (4, к, *) с вероятностью

і -

X(t) + £|>j(t)min(dj, kj) + Pj (t)dj + Yj(t)( - dj)]

j=1

Дt + o (t);

• из состояния (, к - 1г, *) с вероятностью

[(*) Роги (кг )Д* + 0 (Д*)]

1 -]Ч* )£ Ро у +

У=1

У Фг

+£[м У (*)тш(,ку ) + ру (*)ёу + уу (*)(■ -ёу )] I Д* + 0(Д*)

У=1

У фг

1 из состояния (, к + 1г, *) с вероятностью

[г [) Рго ™П (ёг, кг + 1) ■Д + 0 (Д*)]

1 - 1 М*) + £ [мУ (*) тш( ,кУ ) +

У=1

из

+ в У (* ) +У У (* )(. - )^|Д* + 0 (Д* )

состояния (, к +-1у , *) с вероятностью

г = 1, п ;

[м (*)Ргу ™п(ёг,кг +1)и(ку) Д+°(Д0]

1-] Ч0+£[Мг (Ошш(г ,кг )+Рг (К +

г=1

г^ У

+М у ()тт (у ,ку -1)+Р у ()<Лу +у у ()(■-ёу )Д/+о(Д/)

+Уг ()К-ёг)

1 из состояния ( - 1г, к, *) с вероятностью

[Уг (*) (тг - ёг + 1)« (^ ) Д* + 0 (Д*)] X

1-|ч*)+£[мУ (*)™п(у,к] )+вУ (*И +^у (*)(у - ё] )] +0(Д)

1 из состояния ( + 1г, к, *) с вероятностью

[Рг (* )(ёг + 1) Д* + 0 (Д )]Х

1-|м* )+£[м у (* )тЬ (у,к] )+Р у (* )ёу +у у (*)(у - ё] )]|Д+ 0(Д)

г, У=1,п;

г =1, п;

г = 1, п ;

• из остальных состояний - с вероятностью 0 (Д*), например из состояния ( +-1у, к, *) с вероятностью

[ [)(ёг +1) Д* + 0(Д*)]у (*)(у - ёу +1)()/ + 0(Д*)]

+£ Мг(*)т1п(ёг,кг) + £ [Рг(*К +

1-1Х() +

г=1

г=1 г ф-

+ Уг (* )(тг -ёг )НД + 0 (Д)

= 0 ( д* ), г, у = 1, п, г ф у.

Тогда, используя формулу полной вероятности, можно записать

Р (, к, t + Д/) =

П

И1 -

Х (t) + Е [г (t) ™П (С. , к ) + Р.' (t) С. + У г () (т. - Сг )] Д\Р (С, к, Р ) +

_ .=1 J ]

+^ (t) Е Р0ги (кг ) Р (С, к - 1 г, t)Дt + Е М. (t) (С., к + 1) Р.0Р (С, к + ^ , t) Дt +

.=1 г=1

+ Е м. ^) т!п(с. , кг +1) и (к;) рцр (, к +1 -1}, t)Дt +

^ У=1

+Е ^г (t)(тг - Сг + 1) М (Сг ) Р (С - I, к, t) ■Д +

г=1

П

+ЕРг ^)(С. + 1)Р (Л +1, к,t) Дt + о (Дt).

г =1

Разделив обе части полученного соотношения на Дt и переходя к пределу при Дt ^ 0 , получим систему уравнений (1). Лемма доказана.

2. Нахождение вероятностей состояний с помощью метода производящих функций

Обозначим через Т2п (г,t), где г = (,22,...,2п,2п+1,...,21п) ,2п-мерную производящую функцию

т-і Шп ад ад

^ 2п * )= Е •" Е Е •" Е Р (4>-> Сп > *1>-> кп > І к1---Пп+1 ••••• П =

^1=0 ^п =0 к- =0 кп =0

т- тп ад ад

= Е . Е Е . Е Р (С, k, t )П 2г‘2к+г , \А < !. (2)

С=0 Сп =0 к =0 кп=0 г=1

Предположим, что все системы сети функционируют в режиме высокой нагрузки [2], т.е. к1 ^) > Л. ^) Vt > 0, г = 1,п . Тогда система (1) принимает вид

ЛР (С, к, t)

С

Х(І)+Е [(І)+Р.-(І) - у ,■(І)) с, + у,- (І) т:

,=1

Р (С, к, і ) +

+ч* ) Е Р0,р (с >к -1. > *)+Е ь (*)с. р.0Р (с >к+1 . > і )+

,=1

,=1

+ Е Ь (*)с,р,]р(с>к + І -!] >О + Еъ (і)(т, - С + !)м (с.)Р(с -1>к>^) +

+ЕС р,- (і )(с,- +1)р (с+1,к, *),

=1

(3)

количество уравнений в которой счетно в случае открытой сети и конечно в случае замкнутой.

Теорема 1. Производящая функция Т2п (г,t) удовлетворяет дифференциальному уравнению (ДУ) в частных производных:

дТ2п (z, t).

дt

»=1

)1 1 -Е Р0г2п+г | + ЕЪ ^ )тг (1 - Ъ )

г=1

Т2п (V)-

-Е

((t)+Р. (t))-м. (t)^-Рг (t)

дТ2п (z, t)

дг.

Е М. (t) Ргу

гп+У дТ2п (z,t)

., 3=1

гп+. дг.

(4)

Доказательство. Умножим каждое из уравнений системы (3) на п

=1

просуммируем по всем возможным значениям С от 0 до шг и по к от 1 до +ад , 1 = 1, п . Здесь суммирование по всем кг берется от 1, так как все слагаемые в (2), для которых в состоянии сети 2 ^) встречаются компоненты к = 0, в силу предположения о функционировании в режиме высокой нагрузки равны нулю, поскольку, например, Р(,(,...,кг-1,0,к^,...,кп,t) = 0 , ! = 2,п . Тогда получим

шш Шп ад ад

Е ■■■ Е Е ••• Е

С1=0 Сп=0 к=1 кп =1

СР (с,к,) ь =

С

п

=1

212п+1 =

^ НЕКМг' (t ) + Рг (t )-Уг (t ))Сг + У г ( ) Шг

г =1

Е ••• Е Е• Е Р(d,k,t)ПггЧ+г +

г =1

Ш1 Шп ад ад

<Е • е Е • Е

С1=0 Сп =0 к =1 кп =1 I=1

Ш1 Шп ад ад

е • е е ••• I

С1=0 Сп=0 к=1 кп =1

+^ )Е Р0ги (кг )Е ■ Е Е ■ Е Р (d, к -1 г, t )П V гп+

П+1

!=1

п "«1 "П ад ад п

•"ЕМ. (t) СгРг0 Е • Е Е • Е Р (С, к + 1, t )П ^^

п+!

- Е М. (t) Сг Р.зи (к у ) Е ■ ЕЕ ■ Е Р (С, к + 1 - ^ , t) П ^ ^

., 3 =1

г =1

С1=0 Сп =0 к=1 кп=1

Ш1 Шп ад ад

Е. Е Е • Е

С1=0 Сп=0 к1=1 кп =1

шш Шп ад ад

е ••• е е • е

С1=0 Сп=0 к=1 кп =1

I=1

П+1

I=1

^Ет г ( )(шг - Лг + 1)и (Сг ) Е ■ ЕЕ ■ Е Р (С -1, к,Г )П , '

!=1

п "1 '«п ад ад п

+ЕРг (t )(Сг + 1)М (Ш. - Сг ) Е1 • Е Е • Е Р (С + + ^ )П ^^

П+1

П+1

С1=0 Сп=0 к =1 кп =1

I=1

(5)

г =1

п

Рассмотрим суммы, входящие в соотношение (5). Пусть

Е1(2, 2 ) = -

1(2) + Е[ (2) + Р,(2) - У,(2))С, + У,(2) т,'

і=1

т1 тп ад ад п

хЕ ••• Е Е- Е р(с,к,2)П^‘^‘+1.

С\=0 Сп =0 к! =1 кп=1

‘=1

Тогда

Е^, 2 )=-

Х(2) + Еу, (2)т,

т1 тп ад ад

Е • Е Е ••• Е р (С>к>2)П 2‘Ч+‘-

С1=0 Сп =0 к1 =1 кп =1

т1 тп ад ад

‘=1

-Е ((2)+р, (2 ) - у, (2 )), Е • ЕЕ • Е р (с, к, *) П V 2п+ =

,=1 С =0 Сп =0 к1 =1 кп =1 ‘ =1

^2п (2*)

1(2 )+Еъ (2 )т,

^2п (2 2) - Е ( (І) + Р, (І) - У, (2))

І = 1

ді,

Для суммы

Е 2(і 2 )=Ч2 )Е^Р0,м (к, )Е ••• Е Е ••• Е р (с>к-1, >2 )П

т1 тп ад ад

2у-,-, Е ••• Е Е••• Е р(с’к-1,>2)Пь'^+і

,=1 С=0 Сп=0 к =1 кп=1 ‘=1

имеем

П2^‘ ік‘

‘ п+1

Е2(^2)=М0ЕР0гіп+, Е - Е Е Е р(с>к-1,>2)—----------------------=

, =1 С1 =0 Сп=0 к у =1 к, =1 2п+,

;=1, п, у ^

п т1 тп ад п п

=Ч{)ЕР0,іп+, Е - Е Ер(С,k,2)ПіС‘ік+і=ч2)ЕРо,1п+,^2п (22).

‘=1 ,=1

У=1, п

Сумма

п т1 тп ад ад

Е з (і2)=Е м(2 )СiРio Е - Е Е - Е р (С к+1,, 2) П 2і12 п+1

і =1

С1 =0 Сп=0 к =1 кп =1

‘=1

имеет вид

п р т1 тп ад ад п

Е 3 (2,2 )=Ем,(2 )С,— Е - Е Е - Е р (>к+V )П ,+, =

,=1 п+і С, =0 Сп =0 к, =1 кп =1

=Ем,(2) 2^ Е - Е Е - Е С,р (Сk, 2 )П ^‘^+1 -

С<1—и С<п—^1 — 1 п~

т1 тп ад ад

=1

1 п+і С1=0 Сп =0 к =1 кп =1

=1

т1 тп ад

П ^‘^+1

-Ем,(2)— Е - Е Е С,р(kl,-,ki-l,0,kг+l,■■■,кп,2)і=і

1 п + , С1 =0 Сп =0 к; =1

к,

и+:

У=1, п, у

п

Р.0 дТ2п (z,)

2п+г дгг

Р 1

-ЕМ. (t)— Е ■ Е Е СР (d, k1,., kг-1,0, кг+1, * * *, кп, t^

ш, Шп ад

п+, С1 =0 Сп=0 кз = 1

3=1, п, у ф,

к.

7 1

п+,

= ЕМг (t)

Р.0 дТ2п (7, t)

,=1 п+г

дг

Сумма

Шт Шп ад ад

Е 4 (7, t )= Е Мг ( )СгРгзи (ку )Е •" Е Е • Е Р (С>к + ^ - ^ ,О П ^Ч+г :

., 3=1

С1 =0 Сп=0 к=1 кп=1

Ш1 Шп ад ад

!=1

С1 7П1 7п

П+1

г,у=1 ^п+г С1 = 0 Сп =0 к =1 кп =1

« 7п+ , дТ2п (г, t) ,Л , ,

= Е М, (t)Ру -3 ' - Е М. (tР

г, 3=1 п+, г г, 3=1 ^

Ш1 Шп ад п

:Е • Е Е СгР ( k1,*, кг+1, * * *, кп , ■)П

‘ = 1

^П+ +

П+ 3

С‘ -к‘ П+,

П+‘

С1 =0 Сп =0 к[= 1

3=1, п, 3 *.■

‘=1

-П+3

= Е М, (^) Р.3

2п+3 дТ2п (г,t)

7п+. дгг

Для суммы

Е 5 (7, t) = Е У г (t )(шг - сг + 0 и (Сг )Е] ■ 2 Е ■ Е Р (С - 1 г, к, t) П гС‘ 7П+‘

Ш-1 Ш„ ад ад

С1=0 Сп =0 к =1 кп=1

‘=1

справедливо соотношение

У, ( ) ш. -Еъ^ )м (Сг )(Сг - 1)

ш-1 Шп ад ад

Е • Е Е • Е Р (с -1,, к>0П 7‘‘7п+‘ =

С1=0 Сп =0 к =1 кп =1

‘=1

Еуг ^)(( - и (Сг )(Сг - 1))

Ш1 Шп ад ад

П+‘

С1=0 Сп =0 к =1 кп=1

Еу. ^)(ш.- с)

. г=1

ш3 ш,-1 ад ад п

гг Е Е Е • Е Р (d, k, ■)П ^‘^ =

=0 с,=0 к =1 кп=1

3=1, П] Ф,

г =1

п

Еу.(2)(т, - ^)

т1 тп ад ад

2, Е - Е Е - Е р ^, k, 2 )П ^‘^і-

С1 =0 Сп=0 к=1 кп =1

і=1

Еу, (2 )(т,- тг)

1_ .=1

пу ад ад

2, Е Е- Е р(dl,-,^-^т,di+i,•••,Сп,k,2)П2С2п+і =

Су=0 к1=1 кп =1 і=1

;=1,п;'*і

= Е У,(2) т2Т2п(2,2) - Е У,(2);

д^2п (2,2) ді.

И, наконец, для последней суммы

п

Е 6 (7,t )=Ер. ()(с. + 1)Е • Е Е • Е Р (с+1, k, t )П ^‘^

,=1

будем иметь

т1 тп ад ад

С1 =0 Сп=0 к1 =1 кп =1

п+‘

і =1

в, (2)

ті тп ад ад

Е 6(2, 2)=ЕЕ - Е Е - Е(С, +1)р (С+л^ОП =

і=1 С1=0 Сп =0 к =1 кп =1

і=1

п я /А ту т, ад ад п

=е— е е е-ес.р(с,к,2)і<сііп+іі. =

і=1 і Сі = 0 Сі =1 к =1 кп =1

і =1

У=1, п,; * і

=2 ш Е *2 Е • Е с,р (с, к, < )г^7Сс‘7ki, .еш.7 .

.=1 7г С1 =0 Сп =0 к1 =1 кП =1 ‘=1 .=1 7г д7г

Таким образом, учитывая вид производящей функции (2), получаем уравнение в частных производных первого порядка (4). Теорема доказана.

Далее рассмотрим случай, когда

шi = 1, ^ () > 0 Vt, , = 1, п . (6)

При этом число исправных линий обслуживания в системе Sj может быть равным

0 или 1. Если состоянием сети (С,к,t) является (,...,С,-1,0,С,+1,...,СП,к,t), то справедлива система уравнений

ЛР (С, к, t)

С2

Х(2) + Е[ (2) + вг (2) + Уг (2)]

р (С, к, 2) +

+Ч2) Е Р0гр (С, к - 1г, 2) + Е Мг (2)Рі0р (С, к + 1г, 2) +

І=1

І=1

+ Е Мг (2 ) Ргур (С, к + 1г - 1у , 2) + Е вг (2) р (d1,•••, СІ-1,1> Сі+І-•, Сп , k, 2 ^

і, У=1 і=1

а если (,...,С.-1,1,С,^,...,Сп,к,2), то Ср (С, к, 2)

С2

Х(2) + Е[(2) + вг (2) + Уг (2)]

р (С, к, 2) +

п

+Х(1:) 2 Р0гР (С, к - 1, 1:) + 2 М. ()Рг0Р (С, к + I, 1:) +

+ 2 М. ( ) Р.3Р (С, к + 1 г - , t) + 2 У г ^ )Р (d1, *, Сг-1, 0, Сг+., * , Сп , к, t) .

г, 3=1 г=1

Их можно объединить в одну систему

ЛР (С, к, t)

dt

) + Е[) + Р. (t)+у. (t)]

Р (С, к, t) +

+Х (t) 2 Р0гР (С, к - 1,1:) + 2 Мг ()Рг0Р (С, к + I, 1:) +

+ 2 Мг ^) Р.3Р (, к + I -13 ,1:) + Еу г ^) и ( Сг )Р (^ • • •, Сг-1,0, Сг+г, * , Сп , к, 1:) +

г, 3=1 г =1

Пусть

+ЕРг (t )(1 - и (сг ))Р (d1,•, Сг-1,1 Сг+г ,•, Сп , к, t).

г=1

Л ^) = | Х (t) dt, М, (t) = | м, (t) dt,

В. ^ ) = |р. (t ^ , О. (t ) = |у. ^) а .

(7)

(8)

Из последней теоремы вытекает следующее утверждение.

Теорема 2. Если в начальный момент времени сеть МО находится в состоянии

(,а2,...,а2п,0), а, > 0, аП+, > 0, г = 1,п , то производящая функция (2) имеет

вид

(л 3=1

где

Т 2п (7,1: ) = а0 (t )еХР ■^(Л(г1 )-Л(0))Е Р0г7п+г | еХР (ЕО^г (t )-М. (0 ))РpР- \

Х еХР \ 2 (™. ^ )-М г (0)) Рг)' 1 ехр (<° ^)-О. (0 ))(1 - и (С. ))

7п+, ] ( г=1

I -П 1 1 2п

Х ехР ^((г'^)-Вг (0))и (Сг )— ГП 7“‘ , ()

(г=1 7г) ‘ =1

а0 ^) = ехР|-(Л(t)-Л(0))--2 [ (t) - М. (0)) + (В,- ^) - В. (0)) + (О. ^) - О. (0))]}. (10)

Преобразуем (9) к виду, удобному для нахождения вероятностей состояний сети, разложив входящие в него экспоненты в ряд Маклорена. Тогда будет справедливо следующее утверждение:

г=1

Теорема 3. Выражение для производящей функции (9) можно представить в виде

ад адад адад адад адад ад

т „ (2,2 )=«0 (2 )Е - Е Е - ЕЕ - ЕЕ - ЕЕ - Е((2 )-л(о)у

81 =0 8п = 0 41 = 0 Чп =0 і1 = 0 іп =0 г1 =0 гп =0 \ =0 К = 0

хП

і. гі

Р0.Р.0

( п ^і

ПРу

V і=1 )

і -! г \Н. !ч.! 8 .!

«-г •<5г •

[[ (2 )-М. (0 )"+Щ [ (2)-О. (0 ))(1 - и (С. ))

<[(В,.(2)-В. (0))и (С. )"

'і “і+Чі- 8і “п+і+іі- гі-Щі+н

г п+г

(11)

где Н =Е Щ .

=1

Пример 1. Рассмотрим модель БЛС, изображенную на рис. 1. Системы 51,52, -, £п-1 соответствуют терминалам (периферийным компьютерам), система 8п - локальному серверу. Напомним, что БЛС часто функционируют в условиях высокой нагрузки [2]. Запросы (пакеты, заявки) могут поступать на сервер не только из терминалов, но и из внешней среды через базовую станцию.

Рис.1. Модель локальной сети Выражение (11) в этом случае принимает вид

ад адад адад адад адад ад

Т2п 2)=«0 (2)Е - Е Е - Е Е - ЕЕ - Е Е - Е(л(2)-л(0)>

21 =0 2п=0 Ч1=0 Чп =0 і1=0 іп =0 г1 =0 гп=0 \ =0 К=0

Е іі І=1

п-1 п

П р%рЩ П

і =1 і=1

,, Р’0Р,;! \ Iм' (' >-мі (0)]" * " [(«^, (2)-О. (0 ))(1 - и (С))

і г !г !Щг !Чг ! 8 г !

;[(Вг(2)-В.(0))и (Сг )]8 "Г ™ ~,2п+г

(12)

=1

Пусть, например,

Х^) = Х008(^ + ю) + Ь , м, (t) = М, ^п(а^ + ю,) + с,,

Р. ^) = Р. БШ (9,./ + v. ) + р. , У. (t) = У. ТОв (ц./ + 8. ) + е. , I = ^ 2 :

тогда

, , , X sin (а/ + ю) X sin ю

Л^^----------------- + bt, Л(0 ) =-----,

а а

„ , . cos(а + ю,) . . cosю,

М(') = -h-------^^ + c,t, М,(0) = -ц, ■

B,(t +р, t, в, (0) = -Р,

а

cos V,

„ , ч cos (nt + 8;) ^ , , cos8, —

G, (t) = -Yi-------- --------- + ¥ , G, (0) = -Yi----------, ■ = 1n =

а0 (t) = exp<! -I bt +

X sin ^t + ю) X sin ю

cos (а^ + ю,) cos ю,

С - h------------- + h----L I +

-I

+Kt-Y, C0S(t+8) +Y,d!8. 1 + fp,t-Р, C0S(' + v) +U,^

Из (12) получаем

Y2n(Zt) = а0(t)>

ад адад адад адад адад ад

*I ••• II ^ II ^ II ^ II ^ II bt +

gi =0 s„ =0 qi =0 q„=0 *i=0 in =0 <1 =0 г„ =0 й[ =0 h„ =0

I h

X sin (а + ю) X sin ю\=1

n-1 , n

*ПРргРщ П j=1 i=1

Р0, Р,0

et-y

l • !r !h. !q . !g .!

I l l Oj

cos (n,t +8,) cos 8.

cos (а-t + c) cos ю,

ct -h----------------------- + h-------------1

П

П

+ Y,-----------L|(1 - m(4 ))

_ cos(9,t + v,) n cosvA , , . g‘

p, t - e, —4—-+e, 1«(4)

_а,+q,-g, a„-r-h+H

i n+i

Вероятность состояния Р(С1...,СП,к1,...,кП,t) является коэффициентом при

71С1.-7ПСп7П+1к1.-72пкп в разложении функции Т2п (г, t) в многократный ряд (12), при условии, что в начальный момент времени сеть находится в состоянии

(а1, а 2 ,-, а2п ,0 ).

Положим, что п = 4, Х = 15, а = 1, ю = 0.5 , Ь = 2, м1 = Мз = 5, М2 = М4 = 3, а = 1, а2 = 5, а3 = а4 = 2 , ю1 = 5 , ю2 = ю3 = ю4 = 0.5 , с1 = с2 = с3 = с4 = 8 , Р1 = 3.5, р2 = 0.9, р3 =р4 = 0.4, 91 = 92 =93 = 94 = 1, v1 = v2 = v3 ^4 = 1,

Р1 = Р2 = Р3 = Р4 = 0 , У1 = 4 , У2 = У3 = У4 = ^ П = П2 = П3 = П4 = 2 ,

81 = 82 = 83 = 84 = 1, е1 = е2 = е3 = е4 = 0.5 , р0, = 1/4, , = 1,4 , р,0 = 2/5 , , = 1,3 , р40 = 1/2 , р4, = 1/6, , = 1,3, р,4 = 3/5, , = 1,3, р,, = 0, , = 0,4. На рис. 2 изображен график вероятности состояния Р (1,0,0,0,2,4,3,3, t) при условии, что в начальный момент времени сеть находилась в состоянии (1,1,1,1,4,5,5,4).

Рис. 2. График вероятности состояния Р (1,0,0,0,2,4,3,3,2)

3. Нахождение средних характеристик

Математическое ожидание с-й компоненты многомерной случайной величины можно найти, продифференцировав выражение для производящей функции по 2с

и положив іі = 1, і = 1,2п . Тогда среднее число исправных линий в системе 5с может быть найдено по формуле

дТ2п (^ 2)

Сс (2) = -

2=(1,1,-,1)

ад адад адад адад адад ад

=«0(2) Е - Е Е - Е Е - ЕЕ - Е Е - Е («с+Чс - )>

81 =0 8п=0 Ч1=0 Чп =0 і1 =0 іп =0 г1=0 гп=0 К1=0 К=0

<(А(2)-Л(0))І^Е1іі П

І =1

іі г

Р0і Рі0

( п

П Р.]

V ]=1 )

і. !г !К. !Ч!8!

[М,.(2 )-М.(0)]г

+К

([(( (2)- О. (0)) ( - и ( + Чг - 8. ))"' (2)- В. (0))и ( + Ч. - 8. )".

с = 1, п .

а среднее число заявок в системе 5с имеет вид

^2п (*>1)

(І) = ■

=(і.і.......і)

ад адад адад адад адад ад

=«с (0Е - Е Е - Е Е - ЕЕ - Е Е - ЕК+сН-г-+Н>

ё1 =с ёп =с Ч1 =с Чп =с 11 =с 1п =с Г1 =с гп = 0 Щ1 =с Щп = 0

( п \Ь‘

пп

Е Ь

і =1

Ріг РІ0

П Рг

ч г=і у

1г !Г Щ !Ч !ё !

-[[(')-Мг (0)]

+Щ

х [ [)- (0))(1 -м («» + 9, — я,- ))Г [(В,- (I)-вг (0))и (я,- + 9, -я, )]й _ ,

с = М . (13)

Сделав в выражении (13) замену переменных кс = ап+с +/с — гс — кс + Н, т.е.

1С = кс — ап+с + гс + кс - Н, с учетом того, что системы сети функционируют в условиях высокой нагрузки, получим

ад адад адад ад ад ад аи+1 — к +Н—1 а2 п ~кп +Н —1

^ (0=яо (0Е - ЕЕ - ЕЕ - Е кс Е - Е Е - Е х

Я =0 Яп =0 91 =0 9п =0 к1 =0 кп =0 к1 =0 кп =0 Г1 = 0 гп =0

( п \к‘

<П

і=і

(((*)-Л(0))р0г )

к г -а п+і+г+Щ-Н г Рг0

П Ргг

ч г=і у

( -ап+г+Г +Щг -Н)!Г )Щг !Ч!ё !

-[[(' )-мг(0)]

+Щ

; [(( () - Сг (0)) ( - и («г + Чг - ё ))Г [( ^) - Вг (0))« (г + Чг - ёг )] .

Заключение

В работе проведено исследование в переходном режиме и условиях высокой нагрузки сети произвольной структуры с ненадежными СМО. Такие сети могут служить моделями функционирования БЛС. Полученная система дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний системы (1) с нелинейными коэффициентами заменяется системой (3) с линейными коэффициентами, которая решается с помощью метода производящих функций. Данная замена является приближенным методом исследования системы (1) в условиях высокой нагрузки. Получены выражения, позволяющие определить вероятности состояний такой сети, а также среднее число исправных линий обслуживания и среднее число заявок в системах сети в произвольный момент времени.

ЛИТЕРАТУРА

1. Маталыцкий М.А. Сети массового обслуживания в стационарном и переходном режимах. Гродно: ГрГУ, 2001. 211 с.

2. Вишневский В.М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей. М.: Техносфера, 2003. 512 с.

Статкевич Святослав Эдуардович Маталыцкий Михаил Алексеевич Гродненский государственный университет имени Янки Купалы, Беларусь

E-mail: sstat@grsu.by; m.matalytski@gmail.com Поступила в редакцию 7 октября 2011 г.

Statkevich Svyatoslav, Matalytski Mikhail (Grodno State University of Yanka Kupala, Belarus). Investigation of queueing network with unreliable systems at transient regime.

Keywords: generating function, unreliable QS, state probabilities.

The open exponentional queuing network with unreliable systems which functioning under condition of heavy loading is investigated. The Poisson flow of rate X(t) enters the network. The service time of messages in each of network systems has exponential distribution with parameter ці (t), i = 1, n . Service channels are exposed to random failure and serviceable work time of each

channel of system St has exponential distribution with parameter Pi (t), і = 1,n . After failure the service channel immediately starts to be restored and restoration time also has exponential distribution with parameter yi (t) , і = 1,n . Let's consider, that service times of messages, durations of

serviceable work of channels and restoration time of service channels are independent random variables.

State of network could be described via vector

Z(t) =(z,t) = (d,k,t) = (d1,d2,...,dn,k1,k2,...,kn,t), where dt - number of serviceable channels in system St, 0 < dt < mt, kt - messages number in system St at the moment t, t є [0, +ад) , mt - total number of channels in system St, і = 1,n .

By the instrumentality of generating functions approximate expressions for the time-dependent state probabilities, average number of messages and serviceable channels are obtained.