Анализ сетей с положительными и отрицательными заявками в переходном режиме Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Управление, вычислительная техника и информатика № 4(25)

УДК 519.872

В.В. Науменко, М.А. Маталыцкий

АНАЛИЗ СЕТЕЙ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЗАЯВКАМИ В ПЕРЕХОДНОМ РЕЖИМЕ

Рассматривается сеть массового обслуживания в переходном режиме с положительными и отрицательными заявками, которая может использоваться при моделировании поведения вирусов в информационно-телекоммуникационных системах и сетях. Выведена система разностно-дифференциальных уравнений для вероятностей состояний сети. Для их нахождения предложена методика, основанная на использовании аппарата многомерных производящих функций. Получены приближенные выражения для определения вероятностей состояний в любой момент времени. Проводится также исследование такой сети с доходами, описана методика нахождения ожидаемых доходов систем сети.

Ключевые слова: О-сеть с отрицательными заявками, НМ-сеть с положительными и отрицательными заявками, переходный режим.

Современные информационно-телекоммуникационные системы и сети становятся все более сложными, что обусловлено необходимостью повышения надежности передачи и обработки информации. Построение и исследование математических моделей для оценки качества их функционирования является важной задачей. Применение для этой цели классических моделей теории массового обслуживания (МО) не всегда дает адекватные результаты, поскольку необходимо, чтобы модели учитывали как характерные особенности систем, так и возможное влияние различных дестабилизирующих факторов, как например, внезапные сбои, попадание вирусов, потеря передаваемых или обрабатываемых данных.

Для учета подобных факторов была предложена концепция отрицательных заявок и связанных с ними сетей и систем МО, принципиально новый класс сетей МО был введен Е. Геленбе в [1]. Это в-сети, в которых помимо потоков обычных (положительных) заявок рассматриваются также дополнительные пуассоновские потоки отрицательных заявок. При поступлении в систему сети отрицательная заявка уничтожает одну положительную заявку, если таковая имеется в данной системе, тем самым уменьшая число положительных заявок в системе на единицу. Затем отрицательная заявка исчезает из сети, не получив никакого обслуживания. Например, в компьютерных сетях «положительными» заявками являются задания (программы), а «отрицательными» - компьютерные вирусы. При поступлении в компьютерную сеть вирус уничтожает или наносит вред, заражает одну из исполняемых программ, уменьшая количество действующих программ или запросов в системе на единицу. Следует отметить, что исследование в-сетей в стационарном режиме проведено в работах [2, 3].

При попадании вируса в информационную систему из-за потери информации или ее искажения система и вся информационно-телекоммуникационная сеть несет некоторые расходы или убытки. При переходе положительной заявки из одной СМО в другую последняя СМО получает некоторый доход, а доход первой

СМО уменьшается соответственно на эту величину. Кроме того, учет этого можно осуществить, применив в качестве модели сеть МО с доходами (НМ-сеть) с положительными и отрицательными заявками. Во второй части данной статьи описана методика нахождения ожидаемых доходов в системах такой сети. Методика анализа НМ-сетей без учета отрицательных заявок и их применения при прогнозировании ожидаемых доходов различных объектов описаны в работе [4].

1. Постановка задачи

Рассмотрим открытую в-сеть МО с п однолинейными СМО. В СМО Б извне (из системы 50) поступает поток положительных (обычных) заявок интенсивности Х+- и пуассоновский поток отрицательных заявок интенсивности ^Оі , і = 1 п . Все поступающие в сеть потоки заявок являются независимыми. Длительности обслуживания положительных заявок в СМО Б распределены экспоненциально с параметром цг-, і = 1, п . Отрицательная заявка, поступающая в некоторую систему сети, в которой имеется, по крайней мере, одна положительная заявка, мгновенно уничтожает одну из них и наносит убыток этой СМО. При предположении экспоненциального распределения времени обслуживания положительных заявок можно не заботиться о том, какая именно заявка уничтожается. После этого она сама сразу же покидает сеть или уничтожается в замкнутой сети, не получая в данной СМО никакого обслуживания. Таким образом, в каждой СМО-сети могут обслуживаться только положительные заявки, поэтому в дальнейшем, говоря об обслуживании положительных заявок, обычно для краткости называют их просто заявками [1]. Положительная заявка при переходе из одной СМО в другую приносит последней системе некоторый доход и соответственно доход первой системы уменьшается на эту величину.

Каждая положительная заявка направляется в СМО 5, с вероятностью р+,

п п

а отрицательная - с вероятностью р- , X р+ = Х Рог = 1, і = 1, п . Положительная

і=1 і=1

заявка, обслуженная в СМО Б, с вероятностью р+ направляется в СМО 5/ как положительная заявка, а с вероятностью р- - как отрицательная заявка и с веро-

п

ятностью рі0 = 1 -Х(( + р°) уходит из сети во внешнюю среду (СМО 50),

/=1

і, / = 1,п. Под состоянием сети будем понимать вектор к (ґ ) = (к, ґ) = = (к1,к2,...,кп,ґ), где кі - число заявок в момент времени ґ в системе Бі, і = 1,п . Пусть Р (к, ґ) - вероятность состояния к в момент времени ґ.

Обозначим через уі (к, ґ) - полный ожидаемый доход, который получает система Бі за время ґ, если в начальный момент времени сеть находится в состоянии к, и предположим, что эта функция дифференцируема по ґ; гі (к) - доход системы Бі в единицу времени, когда сеть находится в состоянии к ; г0і (к + Іі, ґ) - доход системы Бі, когда сеть совершает переход из состояния (к, ґ) в состояние

(к + І г , ґ + Дґ) за время Дґ, где Iг - вектор размерности п , состоящий из нулей, за исключением компоненты с номером і , которая равна 1, і = 1, п ; -^0 (к -1г, ґ) -доход этой системы, если сеть совершает переход из состояния (к, ґ) в состояние (к -1, ґ + Дґ); г- (к + іі -1-, ґ) - доход системы £г- (расход или убыток системы ■ когда сеть изменяет свое состояние из (к, ґ) на (к + іі -1 -, ґ + Дґ) за время Дґ; г- (к +1 і +I -, ґ) - доход системы (убыток системы Б-), когда сеть изменяет

свое состояние из (к,ґ) на (к +1 +1-,ґ + Дґ) за время Дґ, і, - = 1,п .

Требуется найти вероятности состояний сети и ожидаемые (средние) доходы систем сети за время ґ при условии, что нам известно ее состояние в начальный момент ґ0 .

Теорема. Вероятности состояний рассматриваемой сети удовлетворяют системе разностно-дифференциальных уравнений (РДУ):

йР{к, ґ)

^ґ і=і

^ Ё Р+и (кг )Р(к -I, ґ) + Ё

і=1 і=1

Ё[Х+г Ро+ + Х0г Рог + ь] и (кг )Р(к, ґ)

*--і Роі +Ь

+

Л'

Рг0 +£ Рг- (1 - « (к - ))

і=1 Л

Р (к + /г-, J К

+£*[ (кз )р (к+•')+р-р (к+1 +•')] • <')

*• 3 =1

где и (х) = {0 Х >*0 - функция Хевисайда.

Доказательство. В силу экспоненциальности времен обслуживания заявок случайный процесс к (/) = (к, t) является цепью Маркова со счетным числом состояний. Возможны следующие переходы в состояние (к, t + Дt) за время Дt: из состояния (к -1, Г) с вероятностью Х+ р+и(к )Дt + о (Дt), из состояния (к +1, ^ с вероятностью (цгрг- 0 + Х-гр0г- + м-грг- (1 - и (к3 )))Дt + о(Дt), из состояния (к +1 -1}, /) с вероятностью цгр+и(к3-)Дt + о(Дt)• из состояния (к +1 +13, {) с вероятностью Н-гРг- Дt + о(Д), из состояния (к • t) с вероятностью

1 -£ [^+гРо+г +^0гР0г + Ь ] и (кг ) I Дґ + 0 (Дґ) , г = 1 П ; из

і=1 )

остальных состояний с

вероятностью о(Д).

Тогда, используя формулу полной вероятности, можно записать

Р(к, ґ + Дґ) = £Х+гР+ги(кг )Р(к-Іг, ґ )Дґ +

і=1

£ [ьРго + *■- Ро-г +ЬРг- ( - и (к- ))) (к + 1 г, ґ) Дґ +

+£ ьр+и (кз )р (к+1- 1з • 0^ + £ Р-Р (к+1 + 11 +

*'•3=1

+ (^ -£ [Х+гРо+- +ХшРо-г + М]и(кг )^ + о(Дt).

Разделив обе части этого соотношения на Дt и переходя к пределу при Дt ^ 0, получим систему уравнений для вероятностей состояний сети (1).

2. Нахождение вероятностей состояний сети

Предположим, что все системы сети функционируют в режиме высокой нагрузки, т.е. ^ ) > 0 • Vt > 0 • , = 1, п • тогда система РДУ (1) примет вид

йР{к • О

*

+,Р0+, +^ о,Ро, + Мг )Р(к • 0‘

•“£ Х+,Р0+,Р(к - 1г • 0 + £ ( 0 +Х -,Р0-, )Р (к + 1г • t) +

+ £ Мг [Р,+ Р (к + 1г - 13 • 1:) + ) Р (к + 1г +13 • 1:)] .

^ 3 =1

(2)

Обозначим через Тп(-,t) • где г = (-1,-2,...,-п)• п-мерную производящую функцию

ад ад ад

Т п (2 • t) = £ £ ... £ Р(к„ к2,.., кп , 0 2к1 ^ •.... 2кпп =

к1 =0 к2=0 кп =0

ад ад ад

= £ £... £ Р(ко П-‘.

к1 =0к2 =0 кп =0 г=1

п

Умножив (2) на П —1 и просуммировав по всем возможным значениям к{ от

I=1

1 до +ад , I = 1, п, получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение

(ДУ)

* Тп (2, t)

Л

ЬР,0 + ^-гР-г

п — , 1

-£ Мг'Р+ — - £ МгРг- —

-г- 3

Т п (- • t) -

_п .. у, | л — у,- ^ад п

-£ ^----------------------------0^ £ Р(к^,..., кг-1,0, кг+1.., кп, t)П -? ~

I =1 I ^г'

-£МгРг++-3 £ Р(к1^...^ кг-1А kг+1•...• кп • t)П -к ~

г, 3=1 — ^=1

т=1, п, 3

I=1 I ^г'

п

ад

П 1 ад П

-£hP--------------------- Е P(k1,•••, кг-1,(0, kг+1,•••, кп , ^П zkl •

i, j=1 z,zj к=1

(3)

l=1 l фг

Поскольку все СМО-сети функционируют в условиях высокой нагрузки, то последние три выражения в виде сумм в уравнении (3) будут равны нулю и оно становится однородным:

d Y п (z, t)

dt

hP, 0 + Х0г Poi

п z . _П_ 1

-EhP,+—- Е ^,-p-—

,] "гг,]

.... J z- л zz •

г,j =1 г г,j =1 г j

Решение его имеет вид

Yп (Z, t) = Сп exp j-

п п п 1

Е ( Ро+г + ^-г Po- + h ) - Е Х0г P+ z, - Е "" (^ Рг0 + ^-г Po-

г =1 г=1 ' z

п п 1 ^

-Mi Е P+zj -h Е P- —

t ^ .

3 =1 3 =1 - 3 7_

Будем считать, что в начальный момент времени сеть находится в состоянии (а1,а2,...,ап,0), аг > 0, г = 1,п , Р(а1,а2,...,ап,0) = 1, Р(к1,к2,...,кп,0) = 0,

Уаг- ф к , г = 1, п . Тогда начальным условием для последнего уравнения будет

п п

Т п (-,0) = Р(а1, а2,..., а п, 0)П -а =п -а . Используя его, получаем Сп = 1.

г=1 г=1

Таким образом, выражение для производящей функции Тп (-, t) с учетом разложения входящей в него экспоненты в ряд Маклорена имеет вид

п

ад ад ад ад ад ад ад ад £ (( +п + г +и )

Тп (-• 0 = 00(0£... £ £... £ £... £ £... £ \

^1 =0 1п =0 41 =0 4п =0 Г=0 гп =0 и1 =0 ип =0

/ \Г / \и

I п \ 1 I п \

*П

г=1

а, +1/ - Чг - Г/ + ^ -и, - У

(4)

со-

1г 4 !Г !и, !

.. п Г ^7 1

где К = £ Г- и = £ иг • °0(0 = еХР 1-£( Р0++^-гР0-г + Ь )t [ . Вероятности

г=1 г=1 I г=1 ]

стояний Р (к, t) являются коэффициентами разложения функции Тп (-, t) в многократный ряд по степеням — , г = 1, п .

Пример. Пусть количество СМО в сети п = 5 . Интенсивности входного потока положительных и отрицательных заявок Х+г- и Х-г- равны соответственно:

^01 = 2 • ^02 = 3 • ^03 = 2 • ^04 = 4 • ^05 = 5 • ^01 = 1 • ^02 = ^03 = ^04 = 0 • ^05 = 1 .

Интенсивности обслуживания заявок цг- равны ц1 = ц2 = ц3 = 2, ц4 = 1, ц5 = 3 . Пусть также вероятности р+ , с которыми положительная заявка направляется в СМО , равны р+ = 2/15, р+2 = 1/5, р+3 = 1/15, р+4 = 4/15, р+5 = 1/3, а аналогичные вероятности для отрицательных заявок равны рш = 1/3, Ро2 = р-3 = р-4 = 0 , р-5 = 2/3. Вероятности р+ того, что положительные заявки, обслуженные в СМО Зі, направятся в СМО Sj как положительные заявки,

равны: р+2 = р+3 = р+4 = р+1 = р+3 = р+4 = р3+! = р+ = р+4 =1/3 , р+1 = Р+2 = р+3 = р+5 =1/4 ,

р+4 = 1/2 . С вероятностью р50 = 1/2 заявка уходит из сети во внешнюю среду.

Тогда выражение a0 (t) примет вид a0(t) = exp{-t} =

71

71 --------1

Пусть нам надо найти, например, вероятность состояния Р(1,1,...,1,t). Она является коэффициентом при ■...• гп в разложении функции Тп(г,t) в много-

кратный ряд (4), поэтому степени при zi должны удовлетворять соотношению

а* +11 - дг - г + Я - и* - и = 1, г = 1, п , отсюда следует, что

п п ____

Чг = аг + 1г +£ Г3 Ы] - ^ 1 п ,

3 =1 3 =1

3 3

п п

Чг + Г + щ = а + 1г +Х Г3 -Ё из - ^ 1 п ,

3=1 3=1

li + Чг + ri + Ui = ai + 2li + Z rj -Z U1 - ^ - = І, n ■■

1=1 1=1

Z ( + Чі + ri + Ui)=Z (ai + 2li)+n( R - U -1) •

i=1 І=1

Тогда из соотношения (4) получаем, что

71

- —t

ад ад ад ад ад

ZK+2lt)+ n(R-U-1)

<п

р(і,і,і,і,і,t)=е 3 z ••• ZZ ••• ZZ ••• Z t‘=

іі =0 ln =0 Гі =0 Гп=0 U1 =0 Un =0

+ilnP0+ili (Mi-Pi+J +^-iP0-i )ai +li+)^] If1 1 +Ui np+ П Pi-

V1=1 У V1=1 У

a- +l- +Z ri-Z Ui-1

1=1 1=1

V 1 ^г 1 ^г У

И !u-!

n = 3 •

На рис. 1 изображен график данной вероятности при различных значениях /. Отметим, что, зная вероятности состояний сети, можно, в принципе, найти выражения для любых средних характеристик рассматриваемой сети.

i =1

Рис. 1. График вероятности состояния Р(1,1,1ДД, г)

3. Анализ сети с доходами, когда доходы от переходов между состояниями сети - детерминированные функции

Будем рассматривать теперь нашу сеть с учетом доходов и расходов СМО сети при обслуживании положительных и отрицательных заявок. Рассмотрим случай, когда доходы от переходов между состояниями сети являются детерминированными функциями, зависящими от состояний сети и времени. Возможные переходы между состояниями сети, вероятности переходов и доходы системы от этих

переходов указаны в таблице. Они находятся аналогично как в [4] для сети без отрицательных заявок.

Возможные переходы между состояниями сети, их вероятности и доходы системы Sj

Возможные переходы между состояниями сети Вероятности переходов Доходы системы от переходов между состояниями

(к,г) ^ (к ,г+Аг) п 1-Х[Х+Х-гР-г + Ц ]х г=1 хы(к; )Аг+о(Аг) Г (к )Аг+V і (к ,г)

(к,г) ^ (к+1 у ,г+Аг), у ф г (ц уРу0 +КуР0у + +Ц уР- (1-и (кг ))Аг+о(Аг ) Г (к) Аг + V і (к+1у ,г)

(к,г) (к - 1у ,г+Аг), у ф г X +у Р+и(ку )Аг + 0(Аг) Г (к )А + V1(к -1 ,г)

(к,г)^ (к+1с-15,Г+АГ),с^фг ЦсР+Хк* )Аг + о(Аг ) Г(к )А + V(к+7С - Ь,г)

(к ,г) ^ (к+I 1 ,г+Аг) (ц,Р,0 +Х-гР-г + +ЦР- (1-и(ку )))А +о(Аг) г0і(к + V)+V(к+V)

(к ,г) ^ (к - I 1 ,г+Ат) Х+,Р+,и (кг)Аг+о(Аг) - ^о (к - 7і,Г)+ V(к - V)

Окончание таблицы

Возможные переходы между состояниями сети Вероятности переходов Доходы системы от переходов между состояниями

(к,г)^ (к+1. - 1у,г+Аг), уф. Ц Рг+и(ку )Аг+о(Аг) Г+(к +1 і - 1у ,г ) + +У і (к + ^ -1у ,г)

(к,г)^ (к+1. +1 у,г+Аг), уф. Ц Р- Аг+о(Аг ) Гу(к + I і + 1у ,г ) + +^. (к + ^ +1 у ,г )

Тогда, используя формулу полной вероятности для математического ожидания, получаем систему РДУ для дохода V. (к, г):

^к ’1) =-((<).■ + Я'-,'РЙ + Ц )и (кг )г (k, О +

п

+Е[(( 0 + Х0( +ЦуР- ( - и (кг))(к + ), г) + Х+;Ро+;и(к; М (к -1}, г)] +

у=1

+Е [ЬР+и (к У ) V (к+7г-1] , г) + ЦУ Ру+и (кг ) V (к~1 г +1 у , г) + ЦР-V (к+7г +7; , г)] +

У=1 у Фг

+Е[ЦгРг+и(ку )П+ (к + 1г - 1у ,г)-ЦуР+и(к, Ьу (к - 1г + 1у ,г) + ЦР-Гг- (к + 1г + 1у ,г)] +

у=1

уфг

п

+ Е ЦсР+^и (к ) V (к + 1с - ^ , г) + ( (о + ( Ро-г + Ц Р- (1 - и (к; ))) (к + ) , г) -

С,£=1 С,£ Ф,

-Ч-РоХк )^о(к -1<, г) + г (к). (5)

Число уравнений в этой системе равно числу состояний сети, т.е. для открытой сети равно ж . Формально система уравнений (5) может быть сведена к системе счетного числа линейных неоднородных ОДУ с постоянными коэффициентами, которая в матричной форме может быть записана в виде

= дг (г)+лу, (г), (6)

Ш

где V,1 (г) = ( (1,г),V,(2,г),...,V,(I,г),. ) - искомый вектор доходов системы Б.. Решение системы (6) можно найти, используя прямой метод (с помощью матричной экспоненты). Умножив обе части системы (6) на е~лг, получим

е-л— (г) = е~Лгл у (г)+е_лгдг (г),

откуда следует, что

г

V (г) = еЛг у (0) + | еЛ(г-т)й (т^ т,

о

м т , Л2/2 ЛтГ

где е = I + Л/ +--------------------------------------------------------+... +-+ ... - матричная экспонента, I - единичная

2! т!

матрица. Для нахождения матрицы еЛ/ необходимо найти собственные значения д1,д2,---,,... матрицы Л и полную систему соответствующих им правых собственных векторов и(1),и(2),...,и(1 \..., если это возможно [5]. Затем мы должны воспользоваться представлением

ем = ив(г)и-,

где и - матрица, столбцами которой являются собственные векторы и(1), и(2),...,и((\...; В(/) - диагональная матрица

' е* 0 • • 0 ...''

0 е42 • • 0 •••

0 0 • . ед‘‘ -

V )

Но из-за неограниченности размерности матриц Л , (/) на практике такой

способ можно применить только в частных случаях, когда они имеют специальный вид.

Для решения системы (5) можно применить метод многомерных г-преобразований, введя в рассмотрение многомерные г-преобразования для ожидаемых доходов систем сети:

ад ад ад ад п

Фг (г, о = XX ••• X(к^ к2, ■■ ■, к, /) гк1 42 •••• • гкп = X (^ ?)П гк11,

к =0 ^2=0 кп =0 к=0, I=1

■=1, п

г е{( г2,..., Гп )/| Г |< М = 1 П} ,

получив для них соотношения подобным образом, как в [4]. На основе этих соотношений можно предложить алгоритм вычисления ожидаемых доходов, но, как показывает опыт [6, 7], такие алгоритмы являются довольно сложными для реализации. Для решения систем РДУ, подобных (5), в [4] также предложено использовать метод последовательных приближений, совмещенный с методом рядов.

Заключение

В работе предложена методика нахождения нестационарных вероятностей состояний сети МО с однолинейными СМО, положительными и отрицательными заявками, основанная на использовании аппарата многомерных производящих функций. Получены приближенные выражения для вероятностей состояний в условиях высокой нагрузки. Предложена также методика нахождения ожидаемых доходов в СМО такой сети, зависящих от времени. Дальнейшие исследования в этом направлении связаны с получением аналогичных результатов для сетей с многолинейными СМО.

ЛИТЕРАТУРА

1. Gelenbe E. Product form queueing networks with negative and positive customers // J. Appl. Prob. 1991. V. 28. P. 656-663.

2. Бочаров П.П., Вишневский В.М. G-сети: развитие теории мультипликативных сетей // Автоматика и телемеханика. 2003. № 5. С. 46-74.

3. Gelenbe E., SchassbergerR. Stability of product-form G-networks // Probab. Eng. and Inf. Sci. 1992. V. 6. P. 271-276.

4. Маталыцкий М.А. О некоторых результатах анализа и оптимизации марковских сетей с доходами и их применении // Автоматика и телемеханика. 2009. № 10. С. 97-113.

5. Маталыцкий М.А., Тихоненко О.М., Колузаева Е.В. Системы и сети МО: анализ и применения. Гродно: ГрГУ, 2011. 817 с.

6. Маталыцкий М.А., Колузаева Е.В. Анализ ожидаемых доходов в открытой сети с помощью z-преобразований // Вестник ГрГУ. Сер. 2. 2008. № 1. С. 20-30.

7. Колузаева Е.В., Нахождение ожидаемых доходов в открытой двух узловой HM-сети с помощью z-преобразований // Вестник ГрГУ. Сер. 2. 2010. № 3. С. 9-14.

Науменко Виктор Викторович Маталыцкий Михаил Алексеевич

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

E-mail: victornn86@gmail.com; m.matalytski@gmail.com Поступила в редакцию 7 июня 2013 г.

Naumenko Victor V., Matalytski Mikhail A. (Grodno State University). Analysis of networks with positive and negative messages at transient behavior.

Keywords: G-network with negative messages, HM-network with positive and negative messages, transient behavior.

The object of research is queueing network with one-line systems, positive and negative messages which can be used to model the behavior of viruses in the information and telecommunication systems and networks. It is obtained a system of difference-differential equations for the non-stationary states probabilities of the network. To find the state probabilities of the network applied a methodology based on the use of the apparatus of multidimensional generating functions. It is obtained an expression for generating function.

Also is conducted an investigation of such a network with incomes (HM-networks). It is considered the case: when the incomes from the state transition networks are deterministic functions depending on network states and time. It is obtained a system of difference-differential equations for the expected incomes of systems in the network. It is proposed the ways of solving it.