Асимптотический анализ доходов в замкнутой НМ-сети с переменным числом приоритетных и бесприоритетных заявок Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2014 Управление, вычислительная техника и информатика № 3 (28)

УДК 519.872

О.М. Китурко, М.А. Маталыцкий

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДОХОДОВ В ЗАМКНУТОЙ НМ-СЕТИ С ПЕРЕМЕННЫМ ЧИСЛОМ ПРИОРИТЕТНЫХ И БЕСПРИОРИТЕТНЫХ ЗАЯВОК

Проведено исследование замкнутой экспоненциальной сети массового обслуживания с доходами, переменным числом приоритетных и бесприоритетных заявок и зависимыми от времени параметрами. Целью работы является нахождение среднего дохода каждой системы сети. Проведен асимптотический анализ в случае большого числа заявок в сети. Выведены дифференциальные уравнения для ожидаемых доходов каждой системы.

Ключевые слова: НМ-сеть; ожидаемый доход; метод диффузионной аппроксимации; приоритетные заявки.

Рассмотрим замкнутую сеть, в которой циркулирует определенное число заявок первого и второго типов, причем заявки не могут менять свой тип. Однотипные заявки, стоящие в очереди некоторой системы массового обслуживания (СМО), выбираются на обслуживание в произвольном порядке, например FIFO. Заявки первого типа имеют абсолютный приоритет по отношению к заявкам второго типа. В данном случае это будет означать выполнение двух условий: а) если в момент освобождения линии некоторой СМО после обслуживания заявки в ее очереди имеются приоритетные заявки, то любая из них занимает освободившуюся линию; б) если в систему обслуживания, все линии которой заняты обслуживанием, но не только приоритетных заявок, поступает приоритетная заявка, то она вытесняет неприоритетную заявку с одной из линий и начинает обслуживаться этой линией; вытесненная заявка становится в очередь рассматриваемой СМО. Когда вытесненная заявка поступает на обслуживание повторно, она дообслуживается в течение оставшегося времени обслуживания. Поскольку время обслуживания имеет показательное распределение, то можно считать, что вытесненная заявка будет обслуживаться заново, т.е. имеем так называемое неидентичное обслуживание.

Рассмотрим замкнутую экспоненциальную сеть массового обслуживания (МО) с приоритетными заявками, состоящую из n +1 систем МО (СМО) S0, S1, ..., Sn, где S0 - внешняя среда, под состоянием которой будем понимать вектор к(t) = (к,t) = (k11(t),k12(t);k21(t),k22(t);...;kn1(t),kn2(t)). Пусть K1 (t) и K 2 (t) - общее число соответственно приоритетных и бесприоритетных заявок, обслуживаемых в сети; K1 (t) + K2 (t) = K(t) - общее число обслуживаемых заявок в момент времени t. При этом Ks (t) является кусочно-постоянными функциями времени с q интервалами постоянства:

Ks (t) =

Ks1, t e [TO,T1) ,

Ks2, t e T1,T2) ,

Ksq , t e [т[—1, T L

где К51 - число заявок типа 5 в сети на I -м интервале времени [77), I = 1, q , Кг = К1г + К21. Например, в логистических транспортных системах (ЛТС) в связи с достаточно высокой стоимостью транспортных средств и относительно долгим периодом их эксплуатации число таких средств меняется через значительные промежутки времени, т.е. интервалы постоянства достаточно велики (на

практике обычно 1-2 года). Число линий обслуживания в СМО т, (0 , 1 = 1, п, т0(^) = К) + К2(^), вероятности переходов заявок между ними ру (^), 1, у = 0, п , зависят от времени. Дисциплины об-

служивания заявок обоих типов в каждой СМО - FIFO. Обозначим через цJs (t) интенсивности обслуживания заявок типа s в j -й СМО в момент времени t, j = 0, n, s = 1, 2 . Введем также следующие обозначения:

s ji(kji(t), mj (t)) = min{fcji(t), mj (t)} , j = 0, n ,

'kj 2 (t), kj1(t) + kj2 (t) < mj (t),

mj (t) - kj1(t), kj1(t) < mj (t), kj1(t) + kj 2 (t) > mj (t), j = 0^, (1)

0, kfl(t) > mj (t).

8 j 2 (kj1 (t), kj 2 (t), mj (t)) =<

1. Вывод уравнения для плотности распределения ожидаемого дохода

отдельной системы

Обозначим через V*, (к, ^ полный ожидаемый доход, который получит на I -м интервале времени СМО замкнутой сети с приоритетными заявками за время t, если в начальный момент интервала она находится в состоянии к . В течение малого промежутка времени At сеть может остаться в состоянии (к, t) либо совершить переход в состояние (к + 171 -1 ]1, t + At), (к +12 -12, t + At), при

этом для простоты будем считать, что ри (0 = 0 , 7 = 0, п . Здесь - 2п -вектор, состоящий из нулей; 1 ы - 2п -вектор с нулевыми компонентами, за исключением компоненты с номером 2(7 -1) + 5, которая равна 1, 7 = 1, п, 5 = 1, 2 [1].

Теорема. Плотность распределения дохода на I -м интервале времени р*с/ (х1, t) системы «с сети удовлетворяет с точностью до членов порядка малости в2 = К- дифференциальному уравнению в частных производных

др*дХЛ = -£ 2А"(х-• t)^^+Т 2 2В,,(х,,0+ (х,t) (2)

д 7=15 =1 дхЫ 2 7,]=1 5 =1 дхы дх]51

в точках существования производных, где

A,1l (Xl, t) = X Ц ji(t)Pji(t)8 ji(xjii, ljt (t)) + ц01 (t)Poi(t)

j=1

^ Кц " ^ K"" xJu

V Kl J=1 /

A21 (Xl, t) = X Ц J2 (t)Pji (t)8 j2 (Xj1l, Xj21, ljl (t)) + Ц02 (t)P0, (t) j=1

( K2l _n Л

K X XJ 2l Kl J =1

(3)

Вуи (х,, о = -ц ]1 (t) Р]7 в л(хА1,1], (0), Вд, (х,, t) = 2 Ц (0в л(хл,, I], (Г», (4)

]=0

2, (х,, t) = -Ц ]2(0Р],В ] 2 (х]1,, х]21,1]1 (t)), Вп21(х1, t) = 2 Ц ;12(0^г (t)в ] 2 (х]1,, х ] 2,, 1, (t)), (5)

]=0

»✓ч [Рр - 1, ] = ^ */ч [1 + Рр (t), ] = ^ , /ч (t) ■ г-

Гс, (х,t) = К, 2 [Ц ]1(0в ]1(х]1,,())г% (t) +Ц ] 2 (t )в ] 2(х]1,, х]2,,

(t))Г^)]Рр (t) + Гс, (t),

7, ]=0

г.^тС)(t) = К,пЯ$(0, (t) = К,п^с(0, 7,],с = 1П, 5 = 1, 2, , = . Доходы от переходов между состояниями сети Я]С ^), Яс ^) определены внутри доказательства.

Доказательство. Положим, что если на интервале времени ,t + At] сеть совершает переход из состояния (к, t) в состояние (к + 1,1 -1д1, t + At) (это может произойти с вероятностью

цд1(0ед\(к^),тд^)) и(кд1^))и(K1(t)-ка^))Рд1 ^)At + о^)), то доход системы «с составит Я®^), поэтому доход данной СМО в момент времени t + At будет равен этой величине плюс ожидаемый доход V* (к + 1Л -1 д1, t), который она получает за оставшееся время t, если бы начальным было состояние (к + 1,1 -1 д1, t). Аналогично, если на интервале [^ t + At] сеть совершает переход из состояния (к,^ в состояние (к + 1,2 - 1д2,t + At) с вероятностью цд-2(0ед2(кд1 (t),кД-2(0,тд(t))х хи(кд2(t))и(К2(^ -кг-2^))Рд1 (t)At + о(А0, то доход системы «с составит К(д^) плюс ожидаемый доход V*; (к + ^2 -1.2, t), который она получает за оставшееся время t, если бы начальным было состояние (к + ^2 -1.2, t). Кроме того, будем считать, что система «с получает доход Кс ^) за единицу времени в течение пребывания сети в состоянии (к, t). Сеть остаётся в состоянии (к, t) в течение

п

времени At с вероятностью 1 -2 [цд1(0ед1(кд1(0,т.+ цД■2(t)Eд2(kд1(t),кД-2(0,т.(t))]х

Д=«

х At + о^), при этом доход системы «с составит Яс ^)At + V*; (к, t).

Из вышесказанного следует, что полный ожидаемый доход V*; (к, t + At) системы Бс в момент времени t + At удовлетворяет системе разностных уравнений

V*; (к, t + At) = ц - ¿[цд 1 (t)е д 1 (кд1 (t), тд (t)) + цд 2 (t)е д 2 (кд 1 (t), кд 2 ^), тд (t))]At| х

х(Кс ^ + V*; (к,о)+ £ [цдl(t)Eдl(kдl(t),тд (t))u(kдl(t))u(Klг - кг1 (t))рд, (^ х

,, д=0

х(к ^Д1)(t) + V*; (к + 1,1 - 1д1,t) ] + цд 2 ^)е д 2 (кд1 (t), кд 2 ^), тд ())и(кд 2 (t)) х

х(К2, -к,2(0)р^(t)At(Яд2(0 + V*;(к + 1,2 - 1д2,t))] + o(At) . (6)

В силу определения выражения е д1, е д2, согласно (1) и определению функции Хевисайда в соотношении (6) можно опустить функции и(кд2^)). Кроме того, в дальнейшем мы будем проводить асимптотический анализ при К5 < N ^ да, 5 = 1, 2, поэтому можно считать, что и(К11 -ка^)) = и(К21 -ki2(t)) = 1. Учитывая это, при At ^ 0 из (6) получаем систему разностно-дифференциальных уравнений (РДУ) для ожидаемых доходов системы «с

цд1 (t)Eд1 (кд1 ^), тд ^)) (V*; (к +1,1 - 1д1, t) - V*; (к, 0 ) +

(к, t) = £

А ,, д=0

Рд, ^)

+ 2

,, д=0

+цд2 ^)ед2 (кд1 (t), кд 2 ^), тд (t)) (V* (к + 1,2 - 1д 2, t) - V*; (к, t) )

[ ^)е л (кд1 ^),т (0)Я$ (t) + цд2(t)ед2(кд1 (t),кд2 (t),тд (t))Я™(t)] р, (t) + К (t). (7)

Перейдем к плотности распределения дохода СМО Бс р*с1 (х1, t). Рассматривая случай большого числа заявок 1 << К1 < N и переходя к вектору относительных переменных

^ (t) =

Г ) kl2(t) ; к 21^) к 22^) ; ; knl(t) кп2^) ^

V Кг Кг Кг Кг К1 Кг )

[2, 3], возможные значения которого принадле-

жат ограниченному замкнутому множеству

=|х, = (х11,, х12,; х21,, х22,;...; хп1,, хп2, ): х1й - 0, 5 = 1, 2; 21(хЛ, + х72, ) - 1

в котором они располагаются в узлах 2п -мерной решетки на расстоянии в, друг от друга, можем воспользоваться аппроксимацией функции V*, (к, :): К,пу*с1 (к,t) = K2nv*cl (х,К,, t) = Р*с, (х,,t), где Р*с, (х,, t) - плотность распределения дохода вектора Е*(:). В качестве начального условия для уравнения (2) можно взять Р*с, (х,, 10) = Р*с0, (х,), где Р*с0, (х1) - некоторая известная плотность распределения.

Пусть е,1, = в Л, е,21 = в I1,2, 7 = 1, п, и пРи К1 ^

К!пЯРс (t) = г% (t), К2п] (t) = р) (t), К2пЯс (t) = гс1 (t).

Умножив обе части (7) на К2 , получаем

(8)

—^— = К, 2

д: 7, р=0

+

Ц ]1(: )в ]1(х]1,(:), ,]1(:)) ((х + ея/ " ],:) - Р*с,(х,,:) )"

Ц ]2 (:)в ]2 (х]1, (:), х]2, (:), ,], (:)) (pvcl (х, + 2, 2,,0 Р*с, (х,,:)) Рр (:)} + х,,:).

(9)

Разложим функции Р*с, (х, + еш - ], :) , Р*с, (х, + е05, - е ,5,, 0 = Р*с, (х1 - е ,5,, 0

' Р,'

Р*с, (х, + еы - е05,,:) = Р*с, (х, + е75,,:) в ряд Тейлора в окрестности точки (х,,:):

Р*с,(х, + ей, - е ,5,,:) = Р*с,(х,,:) + в,

Г дР*с,(х ,,:) Ф*с,(х,,:) ^

дх

¡я,

дх

,5,

+

+ -

д2Р*с, (х,,:) - 2 ^Рус, (х,,:) +дípVc'íXzt)

^2 *

^2 *

дх

15,

^Ы дх]5,

дх

2 ^2

Р*с, (х, - е,5, , :) = Р*с, (х, , :) -в,

дР*с, (х,, :К в 2 д Р*с, (х,, :) , . 2

дх

+

2

дх 2

+ о(вг2);

+ о(в/ ):

, "" ил]51

22

Р*с, (х, + е75 , , :) = Р*с, (х, , :) + В,

дР*с, (х, , :) , В 2 д Р*с, (х, , :)

дх

+

75,

2

дх

+ о(в2 ) , 7, ], с = 0, п .

75,

Подставим это разложение в уравнение (9):

дР*с,(х ,,:) = 22

д: 7=1

(:))

]=1

ГдР*с, (х I,:) дР*с, (х, ,:) ^

дх

71

дх

]1,

+

+ — 2

д 2Р*с, (х,, :) - 2 д2Р*с, (х,,:) +

^2 „*

^2 „*

дх

¿1,

дx,1l дх]1,

дх

]1,

+

+ Ц 01(:) Р07(:)

Г К, п ^ГдР*с, (х,,:) в, д2Р*с, (х,,:)

.К, ]=1 /

дх

+

71

дх

+

71,

+ Ц, 2(:) Рр (: )в, 2 (х]1,(:), х, 2,(г),, р (:))

]=1

ГдР*с, (х ,, :) дР*с, (х ,, :) ^

дх

72

дх

] 2,

Б

2

8

2

ЕI + —

2

(

д2Р**с1(X, t) - 2 &Рс(X,t) + &Рс(х1, t)

^2 *

^2 *

V

дх

+ ц 02 (t) Р02(£ )

, 2/

К 2/ п

дх, 2 дхд 21 дх 22 2; ,

+

К

-2 х;

д 2;

V-; д=1 J

\( ^ * / ^2*/ \ ^ дРус;(X, t) + Е; д Рус1(X, t)

дх

2 ^ ,

дР^(х1, «О + Е; д2Р*с1(х, О

+

+ 2 |цд1 (t)Рд0 (£)е Д1 (xдl/ (£А (t))

д=1

+ д 2(0 Рд 0(£)Е д 2 ('хди (£), хд 2; (), (t)) д =1

дх

ди

2 ^

дРс(х1, £) + Е; д 2 Р*с(х1, t)

+

дх

д 2;

2 дх2 2;

+ Г*1( х I, t).

Используя (3)-(5), последнее уравнение с точностью до членов порядка е/ можно записать в виде (2). Терема доказана.

2. Нахождение ожидаемых доходов отдельных систем

Е п д2 Р (х £)

Заметим, как следует из (4), (5), что — 2 Вд®1 (х 1, t) ус1 2

2 ,,д=1 ' дх,® ; дх

= 0(е г), поэтому из (2) следу-

,5 ; д® ;

ет, что с точностью до е ;

^ЬфА=-2 2 л,® (х, t) + ,•( х, t).

о« ,=15=1 дх®

(10)

Проинтегрируем обе части уравнения (10) по х1 в области О* и разделим обе части на объем области О*, равной т(о*):

1 я 4 ¿¿дхА =_ 1 £,=.„... , ли (х, £) Ах; +

т(О;) о* о£ т(О 1),=15=1 О* °хы

+ II...IГ*(х1,£)Ах .

т(О1) о*

(11)

Рассмотрим интегралы в правой части (11). Используем интегрирование по частям, а также предположим, что выполняются граничные условия

лы(х I, £) Р**с1(х I, £) Г . = 0, , = 1п,

хеГ(О;)

где Г(Ог) - граница области О г, т.е. Лп®; (х1, £) Р*с1 (х1, £)

■^п®; =1-хы ~х2Я ~...~xn-l,s/

= 0,

Л^пе; =0

Лп-1,5;(х1, £) Р*с1(х, £)

'п—1,5 ; =1-х1-х2^ ~...~Xn-2,s/ ~Xns/

'п-1 5 ; =0

= 0,

лы(х, £) Р*с1(х, £)

■1s/ =1-х211- Л-З^ —...—Xns/

хи =0

= 0, которые

означают, что не допускается поток дохода через границу области О* или что в граничных точках

а г-* Т дА,^ (х,£) области О; поставлены отражающие экраны. Тогда, учитывая, что -;- не зависят от х

дх

дм ■

is/

д = 1, п, получаем

1

т(О/) о*

II-1 (хг, *)

дРус/(х *)

дх

ёх = -

А(х, *)

75/

дх.

75/

^^(*). 7 = 1п,

где уО*/(*) - среднее по X/ значение дохода системы сети с приоритетными заявками при усло-

вии изменения начального состояния х1 в области О * . Применив для обеих частей (11) рассуждения как в [4], получим следующее уравнение для среднего дохода системы Зс:

1

ё*О: / с) = 2 2 ^^УОРГ / (*)+

-II...IГ*1 (Х/,*)ёх1 .

(12)

Ж Ос/ .=15=1 дхк1 О'С/" т(О/) О Из (3) следует, что коэффициент Ат (х1, *) является кусочно-линейной по х]11, ] = 1, п , функцией, а коэффициент А.2/ (х1, *) - кусочно-линейной по х}-ц, х^ 21, ] = 1, п , функцией, поэтому (12) -это ДУ с разрывной правой частью. Решать его можно путем разбиения фазового пространства О * на ряд областей в зависимости от того, какие значения принимают х}-ц, х^ 2/, ] = 1, п , и решения уравнения в каждой области.

Отметим, что общий ожидаемый доход сети на каждом интервале времени может быть найден как сумма доходов всех СМО на этом интервале.

Пример. Транспортное предприятие (ТП, система S 2), имеющее большое число автомобилей (заявок), посылает их для перевозки и приемки грузов в различные города (внешняя среда, система £0), после чего они возвращаются на базу ТП, разгружаются на складе (система ), получают новое задание, и процесс продолжается аналогичным образом. В силу того что прибываемые грузы могут быть первоочередного значения, скоропортящимися или, например, прибывать из-за границы железнодорожным транспортом (при этом составы должны быть скорее возвращены отправителю), определенные заявки могут иметь приоритет при обслуживании (разгрузке - погрузке, оформлении документов), при прогнозировании доходов могут быть применены результаты данного раздела.

Состояние сети в данном случае описывается вектором к(*) = (к, *) = (кп(*), к12(*); к21(*), к22(*)),

к01(*) = К1 - к11(*) - к21 (*), к02 (*) = К2 - к12(*) - к22(*) - числа приоритетных и неприоритетных заявок в системе 5"0 . Вероятности переходов заявок между системами равны р12 = р23 = р31 = 1, остальные р^ = 0 , 7, ] = 1,3 . За единицу времени примем один месяц.

К^) =

) =

т1 (*) =

30, * е [0, 3) , 35, * е[3, 6) , 30, * е [б, 9) , 27, * е[9 ,12], '8, * е [0, 3) , 7, * е [3, 6) , 7, * е [б, 9) , 6, * е [9,12],

5, * е [0,3) ,

6, * е[3, 6) , 6, * е [6, 9) , 2, * е[9 ,12]

К 2 (*) =

Ц01(*) =

Ц12 ( *) =

т2 (*) = <

27, * е [0, 3) , 30, * е [3, 6) , 25, е 6, 9) , 30, * е [9,12], 8, [0, 3) ,

7, * е [3, 6) ,

8, е 6, 9) , 7, *е [9 ,12],

6, * е [0,3) ,

5, *е [3, 6) , т

7, * е [6, 9) , *°7С (0 =

Ц 21 ( 0 =

4, * е [9,12],

8, е 0, 3) ,

6, е 3, 6) ,

7, е 6, 9) , 5, *е [9 ,12],

7, е 0, 3) , 6, е 3, 6) , 4, е 6, 9) , 4, *е [9 ,12], 5, * е [0, 3) , 4, *е[3, 6) , 5,5; * е [6, 9) , 7, * е [ 9, 12] ,

Ц02 (0 =

Ц 22 ( 0 =

^02с)( о =

5, е 0, 3) , 7, е 3, 6) , 4, е 6, 9) ,

6, *е[9 ,12], 7, е 0, 3) ,

4, е 3, 6) ,

5, е 6, 9) ,

6, *е[9,12],

5, * е [0, 3) ,

6, * е [3, 6) , 5,5; *е [6, 9) ,

7, * е [ 9, 12] ,

)=

6, г е[0, 3) ,

5, г е[3, 6) , 6,5; г е[б, 9) :

6, г е[9, 12] ,

^) Ч

Щг) =

7, ге[0, 3) , 6, г е [3, 6) , 6,5; ге[6, 9) 5, г е [9, 12] ,

4, ге[0, 3) , 2,5; ге[3, 6)

2, г е [6, 9) ,

3, ге[9, 12] ,

я22(0=

0 =

7, г е [0, 3) , 5, г е[3, 6) , 7,5; ге[6, 9) 5, г е [9, 12] ,

5, ге[0, 3) , 2,5; ге[3, 6) , 4, г е [6, 9) , 2, г е [9, 12] .

*22)( г) Ч

3, г е[0, 3) ,

2, г е[3, 6) , 7,5; г е[6, 9)

3, г е[9, 12] ,

Найдем решение уравнения (12) на четырех интервалах [0, 3), [3, 6), [6, 9), (9,12] в области

= {х/ : 1и(г) < хы- ^ 1, 121(г) < • ^ 1, С {хы + хга) ^ 1 [, 1 = 1, 2. И пусть (0) = 0 . Зависимость среднего дохода системы ^ от времени представлена на рис. 1.

6,010'

4,5-10'

3,0106 1,5106

12 t

3

6

9

Рис. 1. Средний доход системы ^

Заключение

Проведен асимптотический анализ замкнутой сети с приоритетными заявками, когда вероятности переходов заявок между СМО и параметры обслуживания зависят от времени, а величины приоритетных и неприоритетных заявок являются кусочно-постоянными функциями времени. Получены уравнения в частных производных для плотностей распределения ожидаемых доходов СМО сети и ОДУ для самих ожидаемых доходов при большом числе заявок в сети.

Это дает возможность применить результаты при прогнозировании ожидаемых доходов ЛТС с учетом приоритетности обслуживания, например, погрузки - разгрузки определенных транспортных средств, для которых рассчитаны конкретные примеры.

ЛИТЕРАТУРА

1. Маталыцкий М.А., Русилко Т.В. Математический анализ стохастических моделей обработки исков в страхо-

вых компаниях. Гродно : ГрГУ, 2007. 334 с.

2. Медведев Г.А. Об оптимизации замкнутой системы массового обслуживания // Известия АН СССР. Техниче-

ская кибернетика. 1975. № 6. С. 65-73.

3. Медведев Г.А. Замкнутые системы массового обслуживания и их оптимизация // Известия АН СССР. Техни-

ческая кибернетика. 1978. № 6. С. 199-203.

4. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М. : Сов. радио, 1977. 488 с.

Китурко Ольга Михайловна. E-mail: sytaya_om@mail.ru Маталыцкий Михаил Алексеевич, д-р физ.-мат. наук, профессор. E-mail: m.matalytski@gmail.com

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы, Беларусь Поступила в редакцию 02 апреля 2014 г.

Kiturko Olga M., Matalytski Mikhail A. (Grodno State University, Minsk, Belarus).

Asymptotic analysis of incomes in closed HM-network with variable number of priority and non-priority messages. Keywords: HM-network; expected incomes; method of diffusion approximation; priority messages.

An asymptotic analysis of incomes in the closed exponential HM-network, in which messages are served with an absolute priority and non-priority messages. The number of priority K1 (t) and non-priority K 2 (t) messages are piecewise constant functions of

time with q intervals of constancy, Ksl (t) = Ksl, t e \Tl_1, ), Kxl + K2l = K, l = 1, q . The number of lines in service queue-

ing systems (QS) mi (t), i = 1, n , m0 (t) = K1 (t) + K2 (t) , transition probabilities between messages pj (t) , i, j = 0,n , depend

on time. We denote v* (k, t) the expected income, which will receive at l time interval the QS of closed network during time t, if at the initial time the closed network is in a condition k , I0s is the 2n -vector consisting of zeros, Iis is the 2n -vector with zero components and components with the exception of the room 2(i -1) + s, which is equal to 1, i = 1, n , s = 1, 2 .

It is shown that the distribution density p*cl (Xl, t) of the income of the system Sc at time interval l satisfies, up to terms of order of smallness ег2 = K-2 , partial differential equations

'¿с(Xl,t) = -Z Z Aisl (Xl, t)Z Z Bllsl (Xl ,t)d2p>^ + rt* (Xl ,t).

dt i=is=i dxlsl 2 i,;=is=i J dxlsldx]sj

Denote by vpr, (t) the average value of income over Xi for the system Sc with priority messages, provided the initial state x

Gicl

* * t n ] changes in the region G{ , where G{ =(xi = (xiii, xi2l; x21l, x22l xn1l, Xn2l ): xisl ^ 0, s = ^ 2; Z(xiil + xi2l) ^ U ■ For

this quantity we received the inhomogeneous ordinary differential equation

d _„r . . n 2 3Aisl (x,, t)_ pr i .. . *, N ,

—vpr (t) = ZZ— vpr (t) +-—if••• Ir*,(x,,t)dx, ■

dt ' i=is=i °xisl ' m(G, ) G*

The results are applied in forecasting incomes of the carrier enterprise^

REFERENCES

i Matalytskiy MA^, Rusilko TV Matematicheskiy analiz stokhasticheskikh modeley obrabotki iskov v strakhovykh kompaniyakh [Mathematical analysis of stochastic models of claims processing in insurance companies] Grodno: Grodno State University PubL, 2007^ 334 p^

2^ Medvedev GA^ Ob optimizatsii zamknutoy sistemy massovogo obsluzhivaniya [On the optimization of closed queuing systems]

Izvestiya ANSSSR. Tekhnicheskaya kibernetika, i975, no^ 6, pp^ 65-73■ 3^ Medvedev GA^ Zamknutye sistemy massovogo obsluzhivaniya i ikh optimizatsiya [Closed queueing systems and their optimization] Izvestiya AN SSSR. Tekhnicheskaya kibernetika, i978, no 6, pp^ i99-203^ 4^ Tikhonov VX, Mironov MA^ Markovskieprotsessy [Markov processes] Мoscow: Sov^ Radio PubL, !977^ 488 p^