Исследование НМ-сетей со случайными доходами от переходов между их состояниями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 Управление, вычислительная техника и информатика № 4(9)

УДК 519.872

Е.В. Колузаева, М.А. Маталыцкий

ИССЛЕДОВАНИЕ НМ-СЕТЕЙ СО СЛУЧАЙНЫМИ ДОХОДАМИ ОТ ПЕРЕХОДОВ МЕЖДУ ИХ СОСТОЯНИЯМИ

Предлагается методика нахождения ожидаемых доходов в системах НМ-сети произвольной топологии, когда доходы от переходов между состояниями сети являются случайными величинами с заданными средними значениями. Для ожидаемых доходов получены линейные неоднородные обыкновенные дифференциальные уравнения, решения которых могут быть найдены с помощью системы компьютерной математики Мар1е 8.

Ключевые слова: марковская НМ-сеть, случайные доходы.

Марковские сети массового обслуживания (МО) с доходами впервые были введены в рассмотрение в работах [1 - 3]. Они описываются с помощью цепей Маркова с непрерывным временем и доходами, введенными Р. Ховардом [4] и поэтому в последнее время называются НМ-сетями [5, 6] подобно тому, как марковские сети с отрицательными и положительными заявками, впервые введенные Е. ве1епЪе, названы в-сетями. Ранее было проведено исследование замкнутых сетей с большим числом состояний и открытых сетей со счетным числом состояний; при этом были рассмотрены случаи, когда: а) доходы от переходов между состояниями сети зависят от состояний и от времени либо б) являются случайными величинами (СВ) с известными конечными моментами первых двух порядков.

Для ожидаемых доходов систем сети в случае а) можно получить системы разностно-дифференциальных уравнений, которые сводятся к системам линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), для решения которых были предложены различные методы - метод многомерных 7-преобразований, а также известные методы: метод преобразований Лапласа, матричный метод, численные методы.

В [5, 7] были получены приближенные соотношения для ожидаемых доходов и дисперсий доходов в системах экспоненциальных НМ-сетей в случае б). Методика получения этих соотношений основана на разбиении интервала функционирования сети на большое число т малых интервалов величиной Д/, оценке доходов на каждом интервале и суммировании этих доходов путем предельного перехода при т—да, Д/——0. При этом среднее число заявок в системах сети в нестационарном режиме находилось с помощью разработанного рекуррентного по моментам времени метода. В данной работе предлагается метод нахождения ожидаемых доходов систем сети в случае б), основанный на решении полученных для них и для среднего числа заявок линейных неоднородных ОДУ.

1. Нахождение ожидаемых доходов в системах

Рассмотрим открытую экспоненциальную сеть МО с однотипными заявками произвольной топологии, состоящую из п систем массового обслуживания (СМО) Бь Б2, ..., Бп с т1 линиями обслуживания в системе Б, I = 1,п . Обозначим через

k(Г) = (к^Г),k2(t),...,kn(t)) - вектор состояний сети, где к,(t) - число заявок в системе <%■ (в очереди и на обслуживании) в момент времени Г. В сеть поступает простейший поток заявок с интенсивностью X. Условная интенсивность обслуживания заявок в момент времени Г д,(к,(Г)) в системе Б, зависит от числа заявок в этой системе, і = 1, п . Заявка при переходе из одной СМО в другую приносит последней системе некоторый случайный доход и соответственно доход первой системы уменьшается на эту случайную величину.

Рассмотрим динамику изменения доходов некоторой системы Б, сети. Обозначим через Уі (Г) ее доход в момент времени Г. Пусть в начальный момент времени доход системы равен У і (0)= у,0. Доход этой СМО в момент времени Г+ ДГ можно представить в виде

у (г + дг) = у (г) + д у (г, дг), (1)

где ДУ,(Г,ДГ) - изменение дохода системы Б, на интервале времени [Г,Г+ДГ). Для нахождения этой величины выпишем условные вероятности событий, которые могут произойти за время ДГ, и изменения доходов системы Б,, связанные с этими событиями.

1. С вероятностью Хр0і ДГ + о(ДГ) в систему Б, из внешней среды поступит заявка, которая принесет ей доход в размере г0І, где г0І - СВ с математическим ожиданием (МО) М {г0і} = а0і, р0і - вероятность поступления заявки из внешней среды в систему Б, , і = 1, п .

2. С вероятностью ц, (к, (Г))и(к, (Г))рюДГ + о(ДГ) заявка из системы Б, перейдет во внешнюю среду, при этом доход системы Б, уменьшится на величину Я0, где Я0 - СВ с МО М {я0 } = Ьі0, рі0 - вероятность ухода заявки из системы Б, во

— Г1, х > 0,

внешнюю среду, і = 1, п , и (х) = <! 0 0 - функция Хевисайда.

3. С вероятностью ц;- (к;- (Г))и(к;- (Г)) р, ДГ + о(ДГ) заявка перейдет из системы Sj в систему Б,, при этом доход системы Б, возрастет на величину г, , а доход системы Б, уменьшится на эту величину, где г,, - СВ с МО М {г, } = а, , р, - вероятность перехода заявки из системы ^ в систему Б,, і, і = 1, п, і Ф і .

4. С вероятностью ц, (к, (Г ))и(к, (Г)) р,, ДГ + о(ДГ) заявка из системы Б, перейдет в систему ^, при этом доход СМО Б, уменьшится на величину Я,, а доход системы ^ возрастет на эту величину, где Я, - СВ с МО М {Я,} = Ьі}-, і, і = 1, п , і Ф і .

5. С вероятностью 1 -

( п \

^0, + ц, (к, (Г))и(к, (Г)) +^ ці (кі (Г))и(к, (Г))р

і=1

V ]У

ДГ + о(ДГ)

на отрезке времени [Г,Г+ДГ) изменение состояния системы Б, не произойдет,

і = 1, п .

Кроме того, за каждый малый промежуток времени ДГ система Б, увеличивает свой доход на величину г, ДГ, где г, - СВ с МО М(г-} = с, , і = 1, п . Будем также считать, что СВ г,,, Я,,, г0і, Я,0 являются независимыми по отношению к СВ г, ,

і, Ї = 1, п .

Очевидно, что г,, = Я}1 с вероятностью 1, т.е.

а1і =Ъ],, i,, 1 п. (2)

Тогда из вышеуказанного следует

г0і + гі ДГ с вероятностью Хр0і ДГ + о(ДГ),

—Я0 + г ДГ с вероятностью ц, (к, (Г))и (к, (Г))рі0ДГ + о(ДГ),

г, + г, ДГ с вероятностью ц, (к, (Г))и(к, (Г))р, ДГ + о(ДГ),

—Я,, + г, ДГ с вероятностью ц, (к, (Г))и(к, (Г))рі}-ДГ + о(ДГ),

ду (Г, ДГ) =

г, ДГ с вероятностью 1 — I Хр0, + ц, (к, (Г))и(к, (Г)) +

(3)

_Ёц, (к] (Г ))и (к, (Г)) р}

,=1

ДГ + о(ДГ).

При фиксированной реализации процесса к (/), учитывая (3), можно записать

М {ду (Г, ДГ)/ к (Г )} =

^0, % + С — ц,(к,(Г ))и (к,(Г))

р,0Ь,0 +£ рА

\

91

,=1

,У

_Хц,к(Г ))и(к(Г)) рцЬ

ДГ + о(ДГ) .

Усредняя по к(/) с учетом условия нормировки ^ Р (к(/) = к) = 1, для изме-

к

нения ожидаемого дохода системы ^ получаем

М {Д у (/, Д/)} = £ Р (к (/) = к )М {Д V О1, Д/) / к (/)} =

ад ад ад

= XX... X р (к (Г)=(к (Г), к2 (г ),..., кп (Г))) {ду (Г, ДГ)/к (Г)=(к! (Г), к2 (Г),..., кп (Г))} =

кх=0 к2=0 кп =0

^0, а0, + С —

I п \

р,0Ь,0 +Х руЬу Ї=1 ,У

X Р (к (Г) = к ) (к, (Г ))и(к, (Г)) -

+Х р^а, X Р (к (Г) = к) (к, (Г ))и(к, (Г))

]=1 к З Фі

ДГ + о(ДГ).

к

Пусть система содержит ш1 идентичных линий обслуживания, в каждой из которых время обслуживания заявок распределено по показательному закону с параметром цг-, /' = 1, п . В этом случае

Гцгкг- (/), к (/) < шг-, —

Ь (кг (/)) = \ , ,А И,- (кг (/))м (к (/)) = цг Ш1п(кг (/), шг), I = 1, п .

I , К(/) > Ш,

В качестве аппроксимации среднего значения выражения цг- (кг- (/))м(кг- (/)) возьмем цг- ш1п(N (/), ш}), т.е. воспользуемся приближенным равенством

М ш1п(кг- (/), шi) и ш1п((/), ш}), (4)

где N (/) - среднее число заявок (ожидающих и обслуживающихся) в системе £г-в момент времени /, } = 1, п . С учетом этого равенства получаем следующее приближенное соотношение:

М {Ду (Г, ДГ )} =

Voгaoг + сі — ц, тіп(N(ГXт,)

I п Л

р,0Ь,0 +X рїЬї Ї=1

V ,Фі У

+ X цз тіп(N](Г^ т3)рЗі аР

Ї=1

ДГ + о(ДГ). (5)

Поскольку в сеть поступает простейший поток заявок с интенсивностью X, т.е. вероятность поступления I заявок в систему Б, за время ДГ имеет вид

/л » ,\1

Р (ДГ) = -——— е^Хр°іДг, I = 0,1,2,..., то среднее число заявок, поступивших извне в систему Б, за время ДГ, равно Хр0і ДГ. Обозначим через р, (Г) - среднее число занятых линий обслуживания в системе Б, в момент времени Г, і = 1, п . Тогда ц,р, (Г)ДГ - среднее число заявок, покинувших систему Б, за время ДГ, а

п

Xц, р , (Г)р, ДГ - среднее число заявок, поступивших в Б, из других СМО за

]=l

время ДГ. Поэтому

п ___

N(Г+ДГ)—N(Г) = хр0, дг+X ц р, (Г) рі ДГ—ціРі (Г )ДГ, і = 1 п,

,=1 З Фі

откуда при ДГ ^ 0 вытекает система ОДУ для N (Г):

(Г) п

= X ц,р,(Г)рА — ці-р,(Г) + хр0, , і =1, п. (6)

“Г і=1

і Фі

Величину р, (Г) найти точно невозможно и поэтому, как мы делали раньше, аппроксимируем ее выражением

Г N (Г), N (Г) < т,, р, (Г) = Г N (Л > = тіп(N (Г), т,).

I т,, (Г) > т,,

Тогда система уравнений (6) примет вид

ёЫг (і)

йі

= X Iа 1 Р}1 ““(Н V),т] ) - Оі т!П(N V), тг ) + ХР0г , - = 1 П • (7)

1=1 1 *г

Это система линейных ОДУ с разрывными правыми частями. Решать ее нужно путем разбиения фазового пространства на ряд областей и нахождения решения в каждой из них. Систему (7) можно решить, например, используя средства системы компьютерной математики Маріє 8.

Введем обозначение уі (і) = М{УІ (і)}, і = 1,п . Из (1), (5) получаем

V (і + Ді) = V (і) + И{А¥г (і, ДО} =

= V (Ґ) +

^Рогаог + С - О- тіп(N(Ґ), ті)

Рг0ьг0 + Х РуЬу і =1

і У

+ Х^1 тт(Ж; (О, )р]1а]1 Д/ + о(Д0.

1=1 _

Далее, переходя к пределу при Д/ ^ 0, получим неоднородные линейные ОДУ первого порядка:

( п \

Лух (Ґ) йі

= -Оі тіп(Ні (і), ті)

V

Рі0Ьі0 + Х Рчьч 1=1 У

+Х^1 т1п( N ^ т] ) Ррар +ХР0га0г +С , г = 1, П .

] =1

Задав начальные условия уг- (0) = уг0, г = 1, п , можно найти ожидаемые доходы систем сети.

Если сеть функционирует так, что тш(N (/), т1) = N (/), г = 1, п , (например, это равенство выполняется для СМО с бесконечным числом линий обслуживания или когда тг больше или равно числу заявок в замкнутой сети), то системы (7), (8) будут иметь вид

ёЫг (/)

йі

■ = X а іРііНі(і) - оД-(і)+¥оі, г =1, п;

(9)

1=1

1 ^

Лу, (і) йі

■ = -Оі

Рі0Ьі0 +Х РііЬіі і=1

і ^ У

N (і)+Х а іРі-аііНі(і)+^Р0і«0і +с,

1=1 (10)

і«

V(0) = V0 , г = 1 п.

Систему (9) можно переписать в матричной форме:

ЛН (і)

йі

- = єн (і)+/,

()

где ЫТ(і) = (Н1(і),Н2(і),...,Нп(і)), 0 - квадратная матрица, состоящая из элемен-

тов qi]■ =ц;р;г-, если положить ри =-1, i, ] = 1,п , / - вектор-столбец, элементами которого являются значения Хр^- , i = 1, п . Решение системы (11) имеет вид

N(і) = N(0)еЄі + /\ ее(і-т)йт,

где Ж(0) - некоторые заданные начальные условия, однако нахождение элементов матрицы е^ является сложной задачей даже для относительно небольших значений п.

Рассмотрим замкнутую сеть с центральной СМО, состоящую из п систем (рис. 1). Пусть в периферийных СМО сети число линий обслуживания бесконечно, в этом случае шт((г), (г), i = 1, п -1, а центральная СМО функцио-

нирует в условиях высокой нагрузки, т.е. шш(Жп (г),тп) = тп . Система (7) в этом случае перепишется в виде 'ёЫг (г)

йі

■ = -Ц^ (і) + ЦптпРт , І = 1 П - 1

™п « = (і)-Ц„т„.

(12)

йі

Рис. 1. Структура сети с центральной СМО Общее решение системы (12) при начальных условиях (0), i = 1, п, равно

Ыг (г) = аге^ + тпЦпРп

І = 1, п -1,

Ці

п-1

Nn(і) = К-£N. (і),

І=1

где К = V N (і) - число заявок в сети, а.- = NІ (0) - т ЦпРп1 і=1 Ц

ких N.. (і), і = 1, п, система (10) для ожидаемых доходов систем сети принимает

вид

і = 1, п -1. Для та-

йу- (і) йі

= ЦАп

и тпЦпРп

+ЦпРп-«п

п-1

К-V

І=1

Ц І

+ СІ , І = 1, п - 1 ,

І =1

(і) п- ,

--------= -п X РпА

&

і=1

п-1 (

+ > -,а

і=1

1 1п

-- і тп-пРщ а, 1 +-----------

\

-

+ сп .

1 /

Интегрируя данные ОДУ при начальных условиях (0) = 0, / = 1, и, получим

п-1

а

і (І) = — пРпіапі X-1 е — +аАпе — +

1=1 -1

п-1 р . ^

+ -пРпі Капі - -птпапі X— - тпЬ,п +с і +

1 -

\ а і

-ЦпРпїапї Х~-аАп + ^ і = 1,п - 1,

1=1 -1

п-1 п-1 .

лъ=--п X РщЬщ X-Le —і +Ха 11 ‘1 +

1=1

1=1

г

п-1

п-1 п-1 р п-1

тп-п X Рп1Ьп1 X - КX Рп1Ьп1 + тп X Рп1а1п

\

пп______ ц

V 1=1 і=1 1=1

1=1

+ с„

і +

п-1 п-1 а п-1 +-п X Рп,Ьт X—- + Xаiajn + уп0 .

і=1 1 =1 -1 1 =1

(14)

2. Пример

Рассмотрим сеть, описанную в предыдущем пункте при п = 20, К = 110, где К - число заявок в сети. Число линий обслуживания в центральной СМО -т20 = 10. Интенсивности обслуживания заявок в линиях систем сети равны

—1 =—13 =—19 = ^ —6 = ^ —3 =—9 =—10 =—16 =5, -2 =-5 =-7 =-11 =-15 =

= -17 =-18 = 3 , -4 =-8 = -12 = -14 = 2, -20 = 3 , а вероятности переходов заявок между СМО сети - р20і = 119, рі 20 = 1, і = 1,19, определим также Ріі =-1,

I = 1, 20 , остальные ру = 0, /', у = 1, 20. Пусть также N (0) = 5, /' = 1,19 .

Н2о(0) = 15.

Зададим значения МО доходов от переходов между состояниями сети:

п

сі = 100зш-

4( і +1)

і = 1,20.

а20 і = 0,5, і = 1, 8, а20і = 1, і = 9,18, а2019 = 1,5 ,

а г 20 = (14,3,27,15,18,20,7,6,29,14,8,15,11,9,22,17,14,13,14), і = 1,19.

Тогда, используя соотношения (13), (14) при начальных условиях уі (0) = 50, і = 1,19, v20(0) = 1000, были получены выражения для ожидаемых доходов систем сети. Например, выражение для ожидаемого дохода центральной системы имеет вид

у20 (і) = -95,1е~4і -124,8е~3і - 315,8е~5і +16,6е~2і - 75,4е~6і - 2018,8і + 2908,7 .

Графики ожидаемых доходов систем сети приведены на рис. 2 - 4.

Рис. 4. Ожидаемый доход центральной СMО

Заключение

В работе предложена методика нахождения ожидаемых доходов в системах НМ-сетей в случае, когда доходы от переходов между состояниями сети являются СВ с известными математическими ожиданиями.

В настоящее время дальнейшие исследования по НМ-сетям проводятся по следующим направлениям:

- исследование марковских НМ-сетей с различными особенностями;

- исследование условий, при которых справедлива формула (4);

- исследование произвольных (немарковских) НМ-сетей;

- решение задач оптимизации и управления для НМ-сетей с использованием рекуррентного по моментам времени метода анализа средних значений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Matalytski M.A., Pankov A.V. Application of operation calculus for the investigation of banking models // Proc. of 17 Int. Conf. “Modern Mathematical Methods of Analysis and Optimization of Telecommunication Networks”/ BSU. Minsk, 2003. P. 172 - 177.

2. Matalytski M., Pankov A. Incomes probabilistic model of the banking network // Scientific Research of the Institute of Mathematics and Computer Science of Czestochowa University of Technology. 2003. V. 1. No. 2. P. 99 - 104.

3. Маталыцкий М.А., Паньков А.В. Вероятностный анализ доходов в банковских сетях // Вестник БГУ. Сер. 1. Физика, математика, информатика. 2004. № 2. С. 86 - 91.

4. Ховард Р. Динамическое программирование и марковские процессы. М.: Сов. радио, 1964. 189 с.

5. Matalytski M., Koluzaeva E. Analysis and optimization of Markov HM-networks with stochastic incomes from transition between their states // Scientific Research of the Institute of Mathematics and Computer Science of Czestochowa University of Technology. 2008. V. 1. No. 7. P. 51 - 62.

6. Маталыцкий М.А., Колузаева Е.В. О методах анализа и применении НМ-сетей массового обслуживания // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. Т. 15. Вып. 3. С. 564 - 566.

7. Колузаева Е.В., Маталыцкий М.А. Анализ доходов в открытых НМ-сетях произвольной архитектуры // Вестник Гродненского университета. Сер. 2. 2008. № 1. С. 22 - 29.

Колузаева Екатерина Владимировна Маталыцкий Михаил Алексеевич

Гродненский государственный университет имени Янки Купалы (Беларусь).

E-mail: [email protected]; [email protected]

Поступила в редакцию 2 июля 2009 г.