УДК 621.371
А.В. Алпатова
ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ВОЗБУЖДЕНИЯ ДИЭЛЕТРИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА С ТОНКИМ ПОКРЫТИЕМ
Теоретическое решение задачи возбуждения радиально-неоднородного диэлектрического кругового цилиндра известно давно. Однако результатов для цилиндров больших электрических радиусов получено мало, т. к. традиционно применяемый метод собственных функций в данном случае приводит к значительным вычислительным трудностям из-за плохой сходимости бесконечных рядов и погрешности вычисления цилиндрических функций. Не смотря на это, интерес к подобным задачам вновь появился, когда начались исследования возможностей моделирования биологических структур (электрофизические параметры которых велики) диэлектрическими телами [1].
Постановка задачи. В свободном пространстве расположен бесконечный круговой изотропный диэлектрический цилиндр (рис.1) радиуса а,
покрытый
диэлектрической оболочкой толщиной т=Ь-а. Введем цилиндрическую систему координат таким образом, чтобы ось цилиндра совпадала с осью О2. Комплексная диэлектрическая и магнитная проницаемости цилиндра описываются следующими функциями
8(» =
81, 0 < г < а
, Ц(г)
^1,0 < г < а ц2,а < г < Ь
в2, а < г < Ь
Рис.1 Возбуждение осуществляется сторонним источником с
^ст
объемным распределением тока 7 , расположенным в области У1. Необходимо
определить напряженность электрического поля в любой точке пространства.
Решение задачи. При решении задачи будем считать, что толщина покрытия т мала по сравнению с глубиной проникновения поля в материал т<5, где 5
=1/а, к2 = в — /а = Юд/в а2 ц а2 - постоянная распространения в диэлектрическом
покрытии. Рассмотрим случай Е-поляризации падающего поля. Для описания тонкой оболочки воспользуемся граничными условиями (ГУ) высшего порядка [2,
3].
Напряженность электрического поля в диэлектрической оболочке при а<г<
Ь разложим в ряд Тейлора в окрестности точки а +, ограничившись тремя членами разложения
Е-(г, ф) Е-(г, Ф)| г=
п=0 дг
п
+ \ п
г=а
+
{г - а ) п!
(1)
где а + = а + 0.
В выражении {1) и далее подразумевается, что зависимость от времени определяется множителем ехр(іш1;). Используя равенство касательной составляющей электрического поля при г=а и выражение Гельмгольца в цилиндрической системе координат, соотношение (1) можно преобразовать к виду
Е- (Ь ,Ф) =
1
/ 2 2 к2 т
Е-(г, Ф^
г=а
- +
т -
2а
дгЕ-(г, Ф)| дг
г=а
(2)
где Ь~ = Ь — 0
При получении (2) учитывалось, что все производные по продольной координате ъ равны нулю (рассматривается двумерная задача).
Используя равенство касательной составляющей электрического поля на границе раздела диэлектрика и свободного пространства, ГУ будут иметь вид
д
Г /22 2 к 2 т т д2 ] т21
1 - — г 2 2а \5ф 2 / Е- (а ,ф) + т 2а
дг
Е- ( г’ Ф)| г=а- = Е- ( Ь Ф),(3)
где Е^ (г, ф) = Е^ (г, ф) + Е\ (г, ф) - полное поле в свободном пространстве, равное сумме рассеянного и падающего поля.
Используя уравнение Максвелла в цилиндрической системе координат 1 д
н ф(г, Ф)
/шц а дг
Е2 (г, ф), можно записать
к 22 т —Тт
2 2
+
1 -
а
а
1 1 д
д'
11
дф Е2 (Г, ф)|
0
Е1(г, ф)|
г=а
— +
(4)
1 1 д
еП (г, ф)|
г=Ь
ц а 2 к 0 дг г=а ц 0 к 0 дг
Итак, получены приближенные ГУ высшего порядка (3), (4) для касательной составляющей напряженности электрического поля, которые связывают между собой поля в свободном пространстве (г>Ь) и во внутреннем цилиндре (г<а).
Проиллюстрируем использование этих соотношений на примере, когда сторонним источником является бесконечная синфазная нить электрического тока, параллельная оси цилиндра, расположенная в свободном пространстве в точке с координатами г0, ф0:
1 = Г10— 5(г — г0)5(ф —ф 0 )
Решение задачи проводится методом собственных функций [3, 4].
Используя ГУ (3), (4) определяем неизвестные коэффициенты разложения
НП2(М>)Jn (к<>Ь) — • (к-0'Ь)(к0Ь)
С =■
^ п
(М) - НП2) (к0Ь)
Ап
ап1 Сп
Н(п‘>(к«Ь) , нП>(к«г0)• Jn(к«Ь)
■ +
(5)
(6)
где
т
г
0
п
п
п
Ап = Р^п (к1а) + &'п (к1а) Вп = р^1п (к\а) + Р'п (к\аV
! к|т2 т2 2
Р = 1---2----1----п
Ч = к1 ■
2а
.2 Л
2а
Р =
7 2 Т 2
к 2 т +-■ п
22
л
кл
а
\-1Л
у
к 0^ 2
V
а
У
Дп(х) и Нп(2)(х) - цилиндрические функции Бесселя и Ханкеля второго рода порядка п.
Численные результаты. Была исследована возможность использования приближенных ГУ высшего порядка для различных диэлектрических проницаемостей покрытия и основного цилиндра (использовались параметры биологических сред). Результаты сравнивались с решением аналогичной задачи с применением стандартных ГУ. Рассматривались зависимости напряженности электрического поля от
• толщины покрытия кт ,
• точки наблюдения поля кг,
• точки источника поля кг0,
• потерь цилиндра е1”
• диэлектрической проницаемости оболочки 82’.
На рис.2 и 3 приведены зависимости АБ(81,,)=(Е2-Е1)/Е0 (где Е0=ш|д010/4 Е2,Е1-нарпяженности электрического поля , рассчитанные приближенно и точно) при фиксированных кг и кт. Рассматривалась структура с параметрами кг1=2.0, е1=(51.,- е1”), 82=(5.6,-1.34), ф0=0°, кг0=6, к = ц0 . На рис.2 результаты
соответствуют толщине оболочки кт=0.1 , графики приведены для трех точек кг=1.0, 1.5, 2.0. На рис.3 графики приведены для трех толщин оболочки кт=0.05, 0.1, 0.15 (кг=1.0).
1
кг=1.0
0.0026
0.0022
0.0018
0.0014
0.0010
1,5
4 6
Рис.2
8 Ю
(Ег-Е^/Ео
0.08 0.06 0.04 0.02 0.00
О
0.15
4 6 8 Ю е"
Рис.3
В зависимости от изменения диэлектрической проницаемости оболочки е2’ от 5.6 до 13.6 (рис. 4) (структура с параметрами кг1=2.0, кг2=2.1 е1=(51.,-15.56), 82=(е2’,-1.34), ф0=00, кг0=6) наблюдалось повышение АЕ(кг, кт ).
Исследования показали, что величина погрешности при приближенном
Рис. 4
учете тонкого покрытия уменьшается с ростом радиуса кг1 . Использование описанного алгоритма с достаточной степенью точности можно использовать при 8/т<10, где 8-глубина проникновения поля в оболочку.
1. Рудаков Л.М. Модели биологических объектов при исследовании взаимодействий с электромагнитными полями в диапазоне радиочастот // Успехи современной радиоэлектроники, 1998, №2.
2. Волакис Дж. Л., Сеньор Т. Б. А. Применение одного класса обобщенных граничных условий к рассеянию на диэлектрической полуплоскости с металлической подложкой // ТИИЭР, 1989, №5.
3. Rojas R.G., Al-hekail Z. Generalized impedance/resistive boundary conditions for electromagnetic scattering problems.-Radio Science, 1989, vol. 24, №1.
4. Чечетка В.В., Федоренко А.И. Возбуждение многослойной цилиндрической структуры // Рассеяние электромагнитных волн. Таганрог, 1978. Вып.2.
5. Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М-Л.:Энергия, 1967.