Исследование результатов решения задачи возбуждения диэлетрического цилиндра с тонким покрытием Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.371

А.В. Алпатова

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ВОЗБУЖДЕНИЯ ДИЭЛЕТРИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА С ТОНКИМ ПОКРЫТИЕМ

Теоретическое решение задачи возбуждения радиально-неоднородного диэлектрического кругового цилиндра известно давно. Однако результатов для цилиндров больших электрических радиусов получено мало, т. к. традиционно применяемый метод собственных функций в данном случае приводит к значительным вычислительным трудностям из-за плохой сходимости бесконечных рядов и погрешности вычисления цилиндрических функций. Не смотря на это, интерес к подобным задачам вновь появился, когда начались исследования возможностей моделирования биологических структур (электрофизические параметры которых велики) диэлектрическими телами [1].

Постановка задачи. В свободном пространстве расположен бесконечный круговой изотропный диэлектрический цилиндр (рис.1) радиуса а,

покрытый

диэлектрической оболочкой толщиной т=Ь-а. Введем цилиндрическую систему координат таким образом, чтобы ось цилиндра совпадала с осью О2. Комплексная диэлектрическая и магнитная проницаемости цилиндра описываются следующими функциями

8(» =

81, 0 < г < а

, Ц(г)

^1,0 < г < а ц2,а < г < Ь

в2, а < г < Ь

Рис.1 Возбуждение осуществляется сторонним источником с

^ст

объемным распределением тока 7 , расположенным в области У1. Необходимо

определить напряженность электрического поля в любой точке пространства.

Решение задачи. При решении задачи будем считать, что толщина покрытия т мала по сравнению с глубиной проникновения поля в материал т<5, где 5

=1/а, к2 = в — /а = Юд/в а2 ц а2 - постоянная распространения в диэлектрическом

покрытии. Рассмотрим случай Е-поляризации падающего поля. Для описания тонкой оболочки воспользуемся граничными условиями (ГУ) высшего порядка [2,

3].

Напряженность электрического поля в диэлектрической оболочке при а<г<

Ь разложим в ряд Тейлора в окрестности точки а +, ограничившись тремя членами разложения

Е-(г, ф) Е-(г, Ф)| г=

п=0 дг

п

+ \ п

г=а

+

{г - а ) п!

(1)

где а + = а + 0.

В выражении {1) и далее подразумевается, что зависимость от времени определяется множителем ехр(іш1;). Используя равенство касательной составляющей электрического поля при г=а и выражение Гельмгольца в цилиндрической системе координат, соотношение (1) можно преобразовать к виду

Е- (Ь ,Ф) =

1

/ 2 2 к2 т

Е-(г, Ф^

г=а

- +

т -

2а

дгЕ-(г, Ф)| дг

г=а

(2)

где Ь~ = Ь — 0

При получении (2) учитывалось, что все производные по продольной координате ъ равны нулю (рассматривается двумерная задача).

Используя равенство касательной составляющей электрического поля на границе раздела диэлектрика и свободного пространства, ГУ будут иметь вид

д

Г /22 2 к 2 т т д2 ] т21

1 - — г 2 2а \5ф 2 / Е- (а ,ф) + т 2а

дг

Е- ( г’ Ф)| г=а- = Е- ( Ь Ф),(3)

где Е^ (г, ф) = Е^ (г, ф) + Е\ (г, ф) - полное поле в свободном пространстве, равное сумме рассеянного и падающего поля.

Используя уравнение Максвелла в цилиндрической системе координат 1 д

н ф(г, Ф)

/шц а дг

Е2 (г, ф), можно записать

к 22 т —Тт

2 2

+

1 -

а

а

1 1 д

д'

11

дф Е2 (Г, ф)|

0

Е1(г, ф)|

г=а

— +

(4)

1 1 д

еП (г, ф)|

г=Ь

ц а 2 к 0 дг г=а ц 0 к 0 дг

Итак, получены приближенные ГУ высшего порядка (3), (4) для касательной составляющей напряженности электрического поля, которые связывают между собой поля в свободном пространстве (г>Ь) и во внутреннем цилиндре (г<а).

Проиллюстрируем использование этих соотношений на примере, когда сторонним источником является бесконечная синфазная нить электрического тока, параллельная оси цилиндра, расположенная в свободном пространстве в точке с координатами г0, ф0:

1 = Г10— 5(г — г0)5(ф —ф 0 )

Решение задачи проводится методом собственных функций [3, 4].

Используя ГУ (3), (4) определяем неизвестные коэффициенты разложения

НП2(М>)Jn (к<>Ь) — • (к-0'Ь)(к0Ь)

С =■

^ п

(М) - НП2) (к0Ь)

Ап

ап1 Сп

Н(п‘>(к«Ь) , нП>(к«г0)• Jn(к«Ь)

■ +

(5)

(6)

где

т

г

0

п

п

п

Ап = Р^п (к1а) + &'п (к1а) Вп = р^1п (к\а) + Р'п (к\аV

! к|т2 т2 2

Р = 1---2----1----п

Ч = к1 ■

2а

.2 Л

2а

Р =

7 2 Т 2

к 2 т +-■ п

22

л

кл

а

\-1Л

у

к 0^ 2

V

а

У

Дп(х) и Нп(2)(х) - цилиндрические функции Бесселя и Ханкеля второго рода порядка п.

Численные результаты. Была исследована возможность использования приближенных ГУ высшего порядка для различных диэлектрических проницаемостей покрытия и основного цилиндра (использовались параметры биологических сред). Результаты сравнивались с решением аналогичной задачи с применением стандартных ГУ. Рассматривались зависимости напряженности электрического поля от

• толщины покрытия кт ,

• точки наблюдения поля кг,

• точки источника поля кг0,

• потерь цилиндра е1”

• диэлектрической проницаемости оболочки 82’.

На рис.2 и 3 приведены зависимости АБ(81,,)=(Е2-Е1)/Е0 (где Е0=ш|д010/4 Е2,Е1-нарпяженности электрического поля , рассчитанные приближенно и точно) при фиксированных кг и кт. Рассматривалась структура с параметрами кг1=2.0, е1=(51.,- е1”), 82=(5.6,-1.34), ф0=0°, кг0=6, к = ц0 . На рис.2 результаты

соответствуют толщине оболочки кт=0.1 , графики приведены для трех точек кг=1.0, 1.5, 2.0. На рис.3 графики приведены для трех толщин оболочки кт=0.05, 0.1, 0.15 (кг=1.0).

1

кг=1.0

0.0026

0.0022

0.0018

0.0014

0.0010

1,5

4 6

Рис.2

8 Ю

(Ег-Е^/Ео

0.08 0.06 0.04 0.02 0.00

О

0.15

4 6 8 Ю е"

Рис.3

В зависимости от изменения диэлектрической проницаемости оболочки е2’ от 5.6 до 13.6 (рис. 4) (структура с параметрами кг1=2.0, кг2=2.1 е1=(51.,-15.56), 82=(е2’,-1.34), ф0=00, кг0=6) наблюдалось повышение АЕ(кг, кт ).

Исследования показали, что величина погрешности при приближенном

Рис. 4

учете тонкого покрытия уменьшается с ростом радиуса кг1 . Использование описанного алгоритма с достаточной степенью точности можно использовать при 8/т<10, где 8-глубина проникновения поля в оболочку.

1. Рудаков Л.М. Модели биологических объектов при исследовании взаимодействий с электромагнитными полями в диапазоне радиочастот // Успехи современной радиоэлектроники, 1998, №2.

2. Волакис Дж. Л., Сеньор Т. Б. А. Применение одного класса обобщенных граничных условий к рассеянию на диэлектрической полуплоскости с металлической подложкой // ТИИЭР, 1989, №5.

3. Rojas R.G., Al-hekail Z. Generalized impedance/resistive boundary conditions for electromagnetic scattering problems.-Radio Science, 1989, vol. 24, №1.

4. Чечетка В.В., Федоренко А.И. Возбуждение многослойной цилиндрической структуры // Рассеяние электромагнитных волн. Таганрог, 1978. Вып.2.

5. Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М-Л.:Энергия, 1967.