Дифракция короткого электромагнитного импульса на импедансном цилиндре Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.371

П.М. Зацепин, А.Ю. Рыкшин

Дифракция короткого электромагнитного импульса на импедансном цилиндре

Рассмотрена задача о дифракции короткого электромагнитного импульса на бесконечном проводящем цилиндре радиуса R с импедансом

ZZ где

у _ | г-0

¿-п — . —

импеданс свободного про-

странства.

Геометрия задачи изображена на рисунке. Цилиндр, ось которого совпадает с осью Oy, расположен в бесконечном пространстве с диэлектрической проницаемостью е0е, где е , т0 - диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума.

Здесь Ну - y-компонента напряженности магнитного поля; Eg и Е - соответственно радиальная и угловая компоненты электрического поля;

- y-составляющая плотности магнитного

тока; е, т - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.

В дальнейшем примем магнитную проницаемость среды равной единице: т = 1.

Воспользовавшись системой уравнений (1), нетрудно получить волновое уравнение:

1 d2 Иу 1 d

-----2—+---------

dj r dr

(

2

дИ ______}_

dr

d 2

dt2

і

dt

(2)

Решая данное уравнение, найдем выражение для неизвестной напряженности магнитного поля Hy(r, ф, t), а радиальная и угловая компоненты электрического поля Eg и Е определяются из системы уравнений (1).

Найдем функцию Грина данной задачи. Для этого введем преобразование Фурье по пространственной координате и времени в следующем виде:

1 +¥ +¥

F(х) =— i f (X)elXxdX , f (X) = iF(x)e-Xxdx,

2P _¥ _¥

(3)

Геометрия задачи

Первичное поле создается сторонним источником в виде бесконечной вдоль оси у нити магнитного тока с координатами (х0, z0). Направление от источника на ось цилиндра характеризуется углом в0, отсчитываемым от оси z по часовой стрелке.

Задача является двумерной, и ^ _ и . Поле задачи имеет вертикальную поляризацию с компонентами H , E , E .

у7 х7 г

Уравнения Максвелла данной задачи в цилиндрической системе координат можно записать в следующем виде:

1 dHv

r dj

dHv

= e0e-

dEL dt

dE,

----- — G0C

dr dt

1 dEr 1 d

j

dHv

1 dEr 1 d / \

- -----------— (rEj >=_mmo^_

r dj r dr dt

(i)

Ф(ґ)-— $ф(оэ)е шс1ю ф(ю) — ^Ф(ґ)е1 тйі (4)

’ -¥

Тогда, в соответствии с введенными выше преобразованиями, решение волнового уравнения (2) можно записать в виде интеграла Фурье по трем координатам - х, г и времени Ґ.

( 1 л3 +¥

Ну(х,2,ґ) — I — | | \\Л(Х,^,ю)егХх+1 -1 оЛ V) -¥

или

Ну (г,у, Ґ) —

Ґ 1 Л3 +¥

— I — М ЦЛ(г\в,а)еггг'со<в-)-шг'Сг'йвйю , (5)

V) -¥

где Л(Г,6,ю) определяет спектральную плотность магнитной компоненты поля.

Получим соотношение для неизвестной функции Л(Г,6,ю), для этого подставим приведенную выше запись решения для магнитной компоненты поля (5) в волновое уравнение (2), в результа-

r

= ЬлЬ

0

149

ФИЗИКА

те, переходя к декартовым координатам, получаем следующее выражение:

1 í íí(-X2 -h2 + m0e0mew2)A(X,h,w)e'x“+,4r iwld%dridm =

dt

(6)

Видно, что заданная функция распределения стороннего тока представляется также в виде разложения в тройной интеграл Фурье. Таким образом, оказывается, что производная по времени спектральной плотности разложения стороннего тока отличается от спектральной плотности искомой функции лишь множителем

-I2-ц2 + moeomeW

e0e

. Распределение известной

плотности стороннего тока при этом должно подчиняться условиям разложимости в интеграл Фурье, что всегда имеет место в физических задачах [1].

Для определения спектральной плотности искомой функции домножим обе части выражения (6)

на е-1 (х хг) и проинтегрируем в бесконечных пределах по х, г и ^ и, воспользовавшись интеграль-

ным представлением

1 ¥

— í elk (x - xx)')dk = 5(x - x0)

2л

где 5 (x - x0) - дельта-функция Дирака, получим:

djr‘

+ ¥ ¿>0'

So&— e

-iXx '-ihz’+iwV

Щ,ц,ю) = í í í~

dt '

2^2 2 moeoew - x -h

-dx'dz'dt'. (7)

Выражение (7) определяет спектральную плотность Л(%,ц,а) в искомом разложении (5). Эта спектральная плотность зависит от распределения стороннего тока в пространстве, причем в (7) интеграл берется только по тем точкам в пространстве, где имеются токи.

С учетом полученного выше выражения решение для магнитной составляющей поля будет иметь следующий вид:

Hy (x, z, t)--

3 + ¥i +ед djm ¿X (x- x') + ‘h(z - z')-iw(t-t)

2Plí-í

dt

где G(x, z, t, x ', z ', t ') - функция Грина полученного решения:

G( x, z, t, x ', z ', t ') =

/ 1 \3 + ¥ eiX(x-x )+ih(z - z’) - iw(t-t)

= І2" I í í í----------------2ГТ2-2 dXdhdm

\2л0 -¥ mosoew -X -ц

(10)

В этом выражении x', z', t' - координаты источника и время начала импульса; x, z, t - координаты точки наблюдения и момент времени наблюдения. Функция Грина является функцией двух точек - точки источников поля и точки наблюдения, относительно этих двух точек она симметрична.

Таким образом, получено интегральное представление функции Грина для поля источника в свободном пространстве.

Перейдем к цилиндрическим координатам в

соответствии с формулами X = pcosd , 77 = psin6 ,

x = r cosj, z = rsinj и, учитывая, что якобиан перехода равен р, получим:

G(r,j, t, r' ,j, t) =

1 \3 +¥ 2p +¥ gi(p r cos(d-j)-p r'cosí в-j)-w(j-t'))

= 2p И í

• 2 > o 0 -<x>

2 2 moeoew - p

-p dp dQ dm . (11)

_ _ _ йх' йг ' йт ' йХйт1ю . (8)

дг т>еоет -х -т

Формулу (8) можно переписать, используя представление для функции Грина, в виде:

+¥ дут

Ну (х,г,() = | | |е0е—-0(х,г,х',г',?)йх'йг'й? , (9) _ 1

Я/ 8л2

Данное выражение можно упростить, воспользовавшись следующими известными формулами:

¥

е1ргт<в-ф) = £ineln(в-ф)Jn(рг) ,

п=-¥

где Jn(рг) - цилиндрическая функция Бесселя 1-го рода порядка п;

¥

е-1рг'с°<в-ф) = х (-i)me-lm(в-ф)Jm (рг'),

1 2л

2Л | е1(т-^йв = 8тП ,

2л 0

где 8mn - символ Кронекера;

Jn(рг) = 1 [Н2)(рг) -(-1)пнП2)(-РГ)],

где Н((2\рг) - функция Ханкеля 2-го рода п-го порядка.

В итоге, подставляя соответствующие разложения для экспонент, учитывая поведение функции Бесселя и проинтегрировав по координате д, можно получить:

0(г,<ф,1, Г ,ф ,1') =

'!!-

pe

Hn ’(pr')J„(pr)dpdm,r < r’ (12)

^2) ( pr) J ( p r’ )dp dm r > r’

Запишем выражение для компонент электромагнитного поля следующим образом:

¥

m=-¥

150

E(r,j)(r,j, t) =

+ ¥ + ¥ + ¥

— s i I e-,wtg:(rj)(j,w,p)

П— ¥_¥_¥

Hy (r,j, t) —

Jn (pr)dpdw, r < r'

(r,9)(j’w> PAjj (2), s,,

у 1ИП \pr)dpdw,r > r

+¥ ¥ -М т ( Л '7п (РГ)йРйГ < Г

= Е 1 1 е 8п (Ф,М> р^Н(2)( )й й >

П = -¥-г¥-¥ 1НП (р Г)йрй^, Г > Г

где

Шт (фМ, р) =

= 1 е-т(ф-ф) Т 2Л +¥ ее д]т р е1тг\н(п1)(р г’Уйг’йф’Л’, Г < Г' .

е 111 еое—[-------2 2 \

8л оо -¥ д? тоеоем -р [ Jn (р Г )Г йГ йф й£, г > Г

Воспользуемся первыми двумя уравнениями Максвелла системы (1) и получим следующие соотношения:

зависимость от координат, что и падающее поле, и отличается лишь подынтегральным множителем в виде неизвестной функции Лп (<р,ю, р ) [2].

Запишем импедансные граничные условия на поверхности цилиндра: Еф - II0Ну — 0 г—а

£ / Ге~ш^Щ(ф,ш,р) '-І1 (іп'(ра) + Лп(<р,т, р)нП2)'(ра)]СрСт -кое

П—_¥ —¥ —¥

zz0 S¥ ¡¡e'^g',..(j,w,p)Jn(pa) + An(j,w, p)И{2}(pa))dpdm — 0 ’

,—_¥ _¥ _¥

kp^ Jn '(p a) _ ZJn (p a)

A , 4 k0e

где a, (р,ю, p) — _- 0

+¥ +¥ +¥

s i i e-iwt-g:(j,w, p)

n — _¥_¥_¥

+ ¥ +¥+¥

Jn (p r)dpdw, r < r'

^Н(2)'(р а) - 2Н™(р а)

кое

Для дальней зоны могут быть сделаны следующие оценки полей:

r \И(п2)(pr)dpdm,r > r'

Иу (r,j,t) —

S I I e imt(_'mss0)ge„r(jW,p}

П—_¥_¥_¥

Jn(p r)dpdw,r < r' ’

+ ¥ +¥+¥

Ип (pr)dpdw,r > r' — s i i e~mtg.(j,w, p)

nZ,

откуда gnr (j,w, p) — _ k---------------gn (j,w, p)

Kj-jGr

П——¥_¥_¥

Ej(r,j, t) —

Ke

Jn’(p a) _ ZJn (p a)

s i i e-iwtgm(j,w, p)—

d \ Jn (p r)dpdw, r < r'

, — _¥ _¥ _¥

+ ¥ +¥ +¥

s i i eg,m (j,w, p)

ipz 0

dr \ИП\p r)dpdw, r > r'

• . \ Іп( рг)СрСю,г < г' ,

Г Г -'Юґ / \ е / \ п^г / Г ’ У

п?-1.1' (-,“е’0,г'Г(УЮ,р)1н:/)(рг,срсю.г> Г

в результате получим

е ( , іріо \ 1П( р Г)! 1п (рГ) Г < Г' т ( ,

р) — -кое (нП-’Ч р ГУ! Ні‘\р г У, г >/*• (*Ю-р).

Поскольку электродинамические и геометрические параметры цилиндра не зависят от координаты у, решение задачи будем искать в предположении, что рассеянное поле имеет такую же

Er (r,j,t) —

■^иП^Хp a) _ ZH,2\p a) k0e

-J,'(p a) _ ZJ, (p a)

И,2)(p r)dpdw

p a) _ ZH,2)(p a)

Ke

- s i i e-wtg-n (j,w, p) k^0-

kp- Jn'(pp a) _ ZJn(p a) kpe________________________________

-IT И V

И,2, (pr)dpd(w .

( p a) _ ZH(2( p a)

Таким образом, получено выражение для функции Грина данной задачи, определены в интегральном представлении компоненты поля, приведены оценки полей в дальней зоне. Данные выражения далее могут быть рассчитаны численными методами.

Литература

1. Марков Г.Т. Возбуждение электромагнитных верхности цилиндра продольным электрическим ди-

волн / Г.Т. Марков, А.Ф. Чаплин. М.; Л., 2000.

полем / Д.Д. Габриэльян, М.Ю. Звездина, П.И. Кос-

2. Габриэльян Д.Д. Возбуждение импедансной по- тенко // Журнал радиоэлектроники. 2000. №6.

к Є

ke