УДК 621.371
П.М. Зацепин, А.Ю. Рыкшин
Дифракция короткого электромагнитного импульса на импедансном цилиндре
Рассмотрена задача о дифракции короткого электромагнитного импульса на бесконечном проводящем цилиндре радиуса R с импедансом
ZZ где
у _ | г-0
¿-п — . —
импеданс свободного про-
странства.
Геометрия задачи изображена на рисунке. Цилиндр, ось которого совпадает с осью Oy, расположен в бесконечном пространстве с диэлектрической проницаемостью е0е, где е , т0 - диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума.
Здесь Ну - y-компонента напряженности магнитного поля; Eg и Е - соответственно радиальная и угловая компоненты электрического поля;
- y-составляющая плотности магнитного
тока; е, т - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.
В дальнейшем примем магнитную проницаемость среды равной единице: т = 1.
Воспользовавшись системой уравнений (1), нетрудно получить волновое уравнение:
1 d2 Иу 1 d
-----2—+---------
dj r dr
(
2
дИ ______}_
dr
d 2
dt2
і
dt
(2)
Решая данное уравнение, найдем выражение для неизвестной напряженности магнитного поля Hy(r, ф, t), а радиальная и угловая компоненты электрического поля Eg и Е определяются из системы уравнений (1).
Найдем функцию Грина данной задачи. Для этого введем преобразование Фурье по пространственной координате и времени в следующем виде:
1 +¥ +¥
F(х) =— i f (X)elXxdX , f (X) = iF(x)e-Xxdx,
2P _¥ _¥
(3)
Геометрия задачи
Первичное поле создается сторонним источником в виде бесконечной вдоль оси у нити магнитного тока с координатами (х0, z0). Направление от источника на ось цилиндра характеризуется углом в0, отсчитываемым от оси z по часовой стрелке.
Задача является двумерной, и ^ _ и . Поле задачи имеет вертикальную поляризацию с компонентами H , E , E .
у7 х7 г
Уравнения Максвелла данной задачи в цилиндрической системе координат можно записать в следующем виде:
1 dHv
r dj
dHv
= e0e-
dEL dt
dE,
----- — G0C
dr dt
1 dEr 1 d
j
dHv
1 dEr 1 d / \
- -----------— (rEj >=_mmo^_
r dj r dr dt
(i)
Ф(ґ)-— $ф(оэ)е шс1ю ф(ю) — ^Ф(ґ)е1 тйі (4)
’ -¥
Тогда, в соответствии с введенными выше преобразованиями, решение волнового уравнения (2) можно записать в виде интеграла Фурье по трем координатам - х, г и времени Ґ.
( 1 л3 +¥
Ну(х,2,ґ) — I — | | \\Л(Х,^,ю)егХх+1 -1 оЛ V) -¥
или
Ну (г,у, Ґ) —
Ґ 1 Л3 +¥
— I — М ЦЛ(г\в,а)еггг'со<в-)-шг'Сг'йвйю , (5)
V) -¥
где Л(Г,6,ю) определяет спектральную плотность магнитной компоненты поля.
Получим соотношение для неизвестной функции Л(Г,6,ю), для этого подставим приведенную выше запись решения для магнитной компоненты поля (5) в волновое уравнение (2), в результа-
r
= ЬлЬ
0
149
ФИЗИКА
те, переходя к декартовым координатам, получаем следующее выражение:
1 í íí(-X2 -h2 + m0e0mew2)A(X,h,w)e'x“+,4r iwld%dridm =
dt
(6)
Видно, что заданная функция распределения стороннего тока представляется также в виде разложения в тройной интеграл Фурье. Таким образом, оказывается, что производная по времени спектральной плотности разложения стороннего тока отличается от спектральной плотности искомой функции лишь множителем
-I2-ц2 + moeomeW
e0e
. Распределение известной
плотности стороннего тока при этом должно подчиняться условиям разложимости в интеграл Фурье, что всегда имеет место в физических задачах [1].
Для определения спектральной плотности искомой функции домножим обе части выражения (6)
на е-1 (х хг) и проинтегрируем в бесконечных пределах по х, г и ^ и, воспользовавшись интеграль-
ным представлением
1 ¥
— í elk (x - xx)')dk = 5(x - x0)
2л
где 5 (x - x0) - дельта-функция Дирака, получим:
djr‘
+ ¥ ¿>0'
So&— e
-iXx '-ihz’+iwV
Щ,ц,ю) = í í í~
dt '
2^2 2 moeoew - x -h
-dx'dz'dt'. (7)
Выражение (7) определяет спектральную плотность Л(%,ц,а) в искомом разложении (5). Эта спектральная плотность зависит от распределения стороннего тока в пространстве, причем в (7) интеграл берется только по тем точкам в пространстве, где имеются токи.
С учетом полученного выше выражения решение для магнитной составляющей поля будет иметь следующий вид:
Hy (x, z, t)--
3 + ¥i +ед djm ¿X (x- x') + ‘h(z - z')-iw(t-t)
2Plí-í
dt
где G(x, z, t, x ', z ', t ') - функция Грина полученного решения:
G( x, z, t, x ', z ', t ') =
/ 1 \3 + ¥ eiX(x-x )+ih(z - z’) - iw(t-t)
= І2" I í í í----------------2ГТ2-2 dXdhdm
\2л0 -¥ mosoew -X -ц
(10)
В этом выражении x', z', t' - координаты источника и время начала импульса; x, z, t - координаты точки наблюдения и момент времени наблюдения. Функция Грина является функцией двух точек - точки источников поля и точки наблюдения, относительно этих двух точек она симметрична.
Таким образом, получено интегральное представление функции Грина для поля источника в свободном пространстве.
Перейдем к цилиндрическим координатам в
соответствии с формулами X = pcosd , 77 = psin6 ,
x = r cosj, z = rsinj и, учитывая, что якобиан перехода равен р, получим:
G(r,j, t, r' ,j, t) =
1 \3 +¥ 2p +¥ gi(p r cos(d-j)-p r'cosí в-j)-w(j-t'))
= 2p И í
• 2 > o 0 -<x>
2 2 moeoew - p
-p dp dQ dm . (11)
_ _ _ йх' йг ' йт ' йХйт1ю . (8)
дг т>еоет -х -т
Формулу (8) можно переписать, используя представление для функции Грина, в виде:
+¥ дут
Ну (х,г,() = | | |е0е—-0(х,г,х',г',?)йх'йг'й? , (9) _ 1
Я/ 8л2
Данное выражение можно упростить, воспользовавшись следующими известными формулами:
¥
е1ргт<в-ф) = £ineln(в-ф)Jn(рг) ,
п=-¥
где Jn(рг) - цилиндрическая функция Бесселя 1-го рода порядка п;
¥
е-1рг'с°<в-ф) = х (-i)me-lm(в-ф)Jm (рг'),
1 2л
2Л | е1(т-^йв = 8тП ,
2л 0
где 8mn - символ Кронекера;
Jn(рг) = 1 [Н2)(рг) -(-1)пнП2)(-РГ)],
где Н((2\рг) - функция Ханкеля 2-го рода п-го порядка.
В итоге, подставляя соответствующие разложения для экспонент, учитывая поведение функции Бесселя и проинтегрировав по координате д, можно получить:
0(г,<ф,1, Г ,ф ,1') =
'!!-
pe
Hn ’(pr')J„(pr)dpdm,r < r’ (12)
^2) ( pr) J ( p r’ )dp dm r > r’
Запишем выражение для компонент электромагнитного поля следующим образом:
¥
m=-¥
150
E(r,j)(r,j, t) =
+ ¥ + ¥ + ¥
— s i I e-,wtg:(rj)(j,w,p)
П— ¥_¥_¥
Hy (r,j, t) —
Jn (pr)dpdw, r < r'
(r,9)(j’w> PAjj (2), s,,
у 1ИП \pr)dpdw,r > r
+¥ ¥ -М т ( Л '7п (РГ)йРйГ < Г
= Е 1 1 е 8п (Ф,М> р^Н(2)( )й й >
П = -¥-г¥-¥ 1НП (р Г)йрй^, Г > Г
где
Шт (фМ, р) =
= 1 е-т(ф-ф) Т 2Л +¥ ее д]т р е1тг\н(п1)(р г’Уйг’йф’Л’, Г < Г' .
е 111 еое—[-------2 2 \
8л оо -¥ д? тоеоем -р [ Jn (р Г )Г йГ йф й£, г > Г
Воспользуемся первыми двумя уравнениями Максвелла системы (1) и получим следующие соотношения:
зависимость от координат, что и падающее поле, и отличается лишь подынтегральным множителем в виде неизвестной функции Лп (<р,ю, р ) [2].
Запишем импедансные граничные условия на поверхности цилиндра: Еф - II0Ну — 0 г—а
£ / Ге~ш^Щ(ф,ш,р) '-І1 (іп'(ра) + Лп(<р,т, р)нП2)'(ра)]СрСт -кое
П—_¥ —¥ —¥
zz0 S¥ ¡¡e'^g',..(j,w,p)Jn(pa) + An(j,w, p)И{2}(pa))dpdm — 0 ’
,—_¥ _¥ _¥
kp^ Jn '(p a) _ ZJn (p a)
A , 4 k0e
где a, (р,ю, p) — _- 0
+¥ +¥ +¥
s i i e-iwt-g:(j,w, p)
n — _¥_¥_¥
+ ¥ +¥+¥
Jn (p r)dpdw, r < r'
^Н(2)'(р а) - 2Н™(р а)
кое
Для дальней зоны могут быть сделаны следующие оценки полей:
r \И(п2)(pr)dpdm,r > r'
Иу (r,j,t) —
S I I e imt(_'mss0)ge„r(jW,p}
П—_¥_¥_¥
Jn(p r)dpdw,r < r' ’
+ ¥ +¥+¥
Ип (pr)dpdw,r > r' — s i i e~mtg.(j,w, p)
nZ,
откуда gnr (j,w, p) — _ k---------------gn (j,w, p)
Kj-jGr
П——¥_¥_¥
Ej(r,j, t) —
Ke
Jn’(p a) _ ZJn (p a)
s i i e-iwtgm(j,w, p)—
d \ Jn (p r)dpdw, r < r'
, — _¥ _¥ _¥
+ ¥ +¥ +¥
s i i eg,m (j,w, p)
ipz 0
dr \ИП\p r)dpdw, r > r'
• . \ Іп( рг)СрСю,г < г' ,
Г Г -'Юґ / \ е / \ п^г / Г ’ У
п?-1.1' (-,“е’0,г'Г(УЮ,р)1н:/)(рг,срсю.г> Г
в результате получим
е ( , іріо \ 1П( р Г)! 1п (рГ) Г < Г' т ( ,
р) — -кое (нП-’Ч р ГУ! Ні‘\р г У, г >/*• (*Ю-р).
Поскольку электродинамические и геометрические параметры цилиндра не зависят от координаты у, решение задачи будем искать в предположении, что рассеянное поле имеет такую же
Er (r,j,t) —
■^иП^Хp a) _ ZH,2\p a) k0e
-J,'(p a) _ ZJ, (p a)
И,2)(p r)dpdw
p a) _ ZH,2)(p a)
Ke
- s i i e-wtg-n (j,w, p) k^0-
kp- Jn'(pp a) _ ZJn(p a) kpe________________________________
-IT И V
И,2, (pr)dpd(w .
( p a) _ ZH(2( p a)
Таким образом, получено выражение для функции Грина данной задачи, определены в интегральном представлении компоненты поля, приведены оценки полей в дальней зоне. Данные выражения далее могут быть рассчитаны численными методами.
Литература
1. Марков Г.Т. Возбуждение электромагнитных верхности цилиндра продольным электрическим ди-
волн / Г.Т. Марков, А.Ф. Чаплин. М.; Л., 2000.
полем / Д.Д. Габриэльян, М.Ю. Звездина, П.И. Кос-
2. Габриэльян Д.Д. Возбуждение импедансной по- тенко // Журнал радиоэлектроники. 2000. №6.
к Є
ke