CC BY
17
УДК 621.371
П.М. Зацепин, А.Ю. Рыкшин, Д.П. Зацепин, П.В. Малинин Вейвлет-метод в задаче излучения импульсного нитевидного источника в свободном пространстве
Введение. Проблема излучения и рассеяния электромагнитных волн, создаваемых импульсными источниками, изучается достаточно давно. Большинство исследований связано с изучением излучения и рассеяния монохроматических плоских волн либо с задачами излучения волн монохроматическими локализованными источниками [1—3]. В настоящее время, в связи с появившейся возможностью генерации коротких импульсов длительностью порядка нано- и пикосекунд, являются актуальными исследования, связанные с изучением распространения и рассеяния полей импульсных источников. В данной работе рассмотрено решение задачи излучения электромагнитного импульса нитевидным источником, расположенным в свободном пространстве с использованием техники вейвлет-преобразования.
Постановка задачи. Рассмотрим задачу об излучении электромагнитных волн импульсным нитевидным источником. Г еометрия задачи изображена на рисунке 1.
Первичное поле создается сторонним источником в виде бесконечной вдоль оси у нити магнитного или электрического тока с координатами х , г , расположенным в свободном пространстве
с диэлектрической проницаемостью е0£ ; е0 , то диэлектрическая и магнитная проницаемости
вакуума. Задача является двухмерной, и
А = о Ov •
Рис. 1. Геометрия задачи
r OE
rotH = s0s — + J Ot
E oH r
rotE = -m0m—-j
ot
(1)
Ввиду приведенной геометрии поля и источ-
ники не зависят от
—=0 У, т.е. Оу
]е,т = ]е,т(г,ф,t) • еу . Исходя из приведенных условий, уравнения Максвелла могут быть записаны в следующем виде:
1 ОН у
r Oj
OEr
Ot
oH
oE
or
1 oH
= e0e-
ot
1 d ( H ) dEy
------yHj = e0e------
r dj r dr j dt
для вертикальной поляризации;
1 dEy dH r
r dj dt
(2)
+ Jy
oE
oH
"зГ = -mm- ы
1 oEr 1 o
j
OHy
(3)
1 oEr 1 o
- --------or (rEj f=-m>m-ot:
r oj r or ot
" Jy
для горизонтальной поляризации.
Рассмотрим решение для вертикальной поляризации падающего поля (Ну, Ег, Еф . Волновое уравнение в цилиндрических координатах (г,ф,у) можно записать в следующем виде:
1 о2 Ну 1 О
у +-----------
r Or
(
22 r Oj
дН.
____
Or
o2 Hy
- m0e0e"
Oj
і»
Ot2
Ot
Поле излучения источника. Уравнения Максвелла имеют следующий вид:
где
J(m) = 10m)(t)-8(r - r )<5(j - j0).
109
и
= ЬлЬ
0
r
= ЬлЬ
0
r
ФИЗИКА
Из решения уравнения (4) может быть найдено выражение для неизвестной напряженности магнитного поля Ну (г,ф,I). Радиальная и угловая компоненты определяются из уравнений Максвелла (2).
Для удобства поиска решения поместим источник излучения в начало координат. Ввиду уг-
д А
ловой симметрии — = 0. Волновое уравнение (4)
дф
в этом случае будет иметь вид
r Or
Or
' m0e0e "
O2 H
O 2t
Ot
Для решения полученного уравнения введем вейвлет-преобразование по времени для напряженности магнитного поля, которое может быть записано как
тт ч 1 7 ,тт, 7ч (t -b і dadb Hy(r,t) = —- J W(r,a,b)y\
Cy -7 V a 0 a
1 7
= j h(r)w(a,b)y
t - b і dadb
(6)
a 0 a
Подставим полученное выражение (6) в уравнение (5) и поменяем порядок дифференцирования и интегрирования:
10 r Or
O 1
r3r~ j by\ ~a~
t - b і dadb
\
a 0 a
,2
O2
" m0e0e 2 Ot2
— J h(r)w(a, b)y\ —
t - b і dadb
\
a 0 a
.Ol
Ot
в результате получим
10(r7 w(a,b Jd-ab-r Or V Or ) Cy -7 V a ) a
-'y -7
- m0e0Eh(r)~^ J Ma b)
O J — і
a 0 dadb '■ ~2 "
(7)
•m
.Ojy_
Ot
Умножим правую и левую части полученно-
1 *( t-ь'Л
го уравнения (7) на ^=7 у ^ а' ] и проинтегрируем по dt. После смены порядка интегрирования и некоторых очевидных преобразований получим
7 1 J *( t - b'V
0e J Тт^Тy \ —“ П -W a Ot V a 0
1 (r dh{r) )w(a',b') + m0e0sh(r)w(a' ,b') =
r Or V Or 0
7 1 j *( t-b' d y 1 _ 1 .
(8)
- Щ.
/а и1 \ а'
Меняя штрихи на масштабных и временных координатах и используя обозначение Ж (г, а, Ь) = = И(г) ч>(а, Ь), получим
1 д ( дЖк (г, а,Ь) ^
_^1г--------я------1 + №0^ (г> а>Ь) =
г дг К дг 0 (9)
= е0е1 (г, а, Ь).
Если правая часть уравнения (9) равна 0, то полученное уравнение является уравнением Бесселя и его решением может быть функция Ханкеля первого или второго рода. Следовательно, решение уравнения (9) будем искать в следующем виде:
Wh(r, a,b) = C(a,b)Hl’2(je0m0er).
Подставляя решение в исходное уравнение и интегрируя все члены его левой части по малому объему dV = rdrdj и учитывая, что асимптотика функции Ханкеля H§\z) » — lnz при
p
|z| << 1, получим C(a, b) = —— I(r, a,b). Тогда решение уравнения (9) выглядит следующим образом:
Why (r>a,b) = H0>(4—m—r) —~\dt' • (10)
4 _¥^J a dt У a 0
С учетом формул (6) и (10) решение уравнения (4) примет следующий вид:
Hy(r,t) = ~—CT ¥ —у H0i)(JEom>sr)4ттyft—h\t,dadb . (11) 4Cy -¥ a/2 dt У a 0
Проанализируем полученные выражения и введем некоторые обозначения.
Why (r,a,b) = ho)(t1 sosmor)Wj(r, a b);
4Cy
Hy(r’t) = ~4—C—°¥ H°)(^ somo—rWj(r, a b)y{^-ab'] dadb
a 0 a
1 O( Oh(r) і 1 ” ” 1 (t - b і *( t - b' V , „
_^\ r~^~\^T J w(a,b) j -j=TTy\---------\y \ —— wdadh
r Or V Or 0 Cy -7 -7^1 a' a1 V a 0 V a 0
O2y. . ,
7 1 V a ) *( t - b'
- m0e0sh(r)^~ J w(a,b) J ri 2 ~ ^
Cy -7 -7<a a Ot
)dtdadb =
a 0
Здесь Ж,-(г, а,Ь) = Г д-У-у*(I—Ь\dt’ - это
1 дГ * К а 0
выражение может быть найдено в явном виде для конкретной функции вейвлета при известной плотности тока.
2
jj
7
0
2
0
-7
7
110
Найдем выражение для поля источника, расположенного в произвольной точке пространства с радиус-вектором г0 (рис. 2).
H 0\р) =
7
ЕHП\г)Jn(r0)em(j-j°\r > r0
1 = -7
Е H^^Vn^y^0 0 . (12)
С учетом данного выражения уравнения для магнитной компоненты решения уравнения (4) примут вид
Ну (г,{) =
н? (т1ё0нёгУп и )
(н® Ц Е0м,ег0 (^ё0т0ёг)
= 1єоє е е1п(9~(1,,'> J
Wj(r,a,bM — I ^. (13)
a 0 a
1
Ej(r,t) = J WEj(r,aЬ)у
y -7
Введем обозначения
t - b ) dadb (14)
a J a
Why (r, a, b) = em(j-j0)
НУ\ч1 e0^0er) Jn (>/ e0^0er0) H<n> (л/е0^0еr0) Jn (л/ е0^0еr)
'0Н'0ЬГ0^ п\у&0Л
Тогда, воспользовавшись выражениями (2), получим соотношения для спектральных плотностей электрических компонент поля
1 is()s OWf
hy
r 4 Oj
= SfjS nein(j-j0)
—e 4r
H(n) (лі e0m0er) Jn (лі e0m0er0);r > r H(n> (V e0m0er0) Jn (V e0m0er);r < r
Рис. 2. Изменение геометрии
Воспользовавшись теоремой сложения для цилиндрических функций, получим
= e0sWErW'
WEr (r, a, b) =
n
' t - b 1
, ry l
v a 0
iS0S OWhhy =
4 Or
= ieps e'inj-j
,elil(j~jo) Г H(n} (4ems r)Jn (4 e0m0er0);r > r0
—) "y 4ry(—)_H<n>Qe0m0er0)Jn(4e0m0er);r<r0_
Wn
; (15)
нУ)(4 s0m0er)Jn(4 e0m0er0y;r > r0
4 \h(^Q s0mer0)Jn (4 Bumpr)? < r
Wenj(r, a, b) =
0);r > '0 IIrn ,(t - b
= S0SWejy\ --------
0 V a
(16)
' hy = _e_
JO 'Jit
H® (4 S0M>S r)Jn (V s0m0>sr0);r > r нУ)(4 s0m0e’'0)Jn(4 e0m0er)7 < r
Воспользуемся записанными ранее уравнениями Максвелла для вертикальной поляризации для того, чтобы найти Ег(г^) и Еф(г,() . С использованием вейвлет-преобразования выражения для электрических компонент будут иметь следующий вид:
^ , ч 1 Ч т (t - Ь Л dadЬ .
Ег(г,0 =— | ЖЕг(г,a,Ь)У\-----------I——;
Су -х К а 0 а2
Итоговые соотношения для всех компонент электромагнитного поля в этом случае примут следующий вид:
Hy(r,t^ = т0~ Е J Why(ra,bWj(ra,b)v(—');
1S0S_ -'y n=
Er(r,t) = C- ЕЕ ]We"r(r, a,b)Wj(r,a,b)y(—1 ^ ; (17)
Cy n= 7 — 7 V a 0 a
Ej(r, t) = О- ЕЕ 7 Wenj(r, a, b)Wj(r, a,b)y(—1 ^.
Су п=-¥_¥ \ ы 0 а
Итак, в результате решения задачи излучения с использованием вейвлет-преобразования получены выражения для компонент электрического и магнитного поля излучения от импульсного нитевидного источника для вертикальной поляризации поля.
a
a
n=—7
7
Литература
1. Марков Г.Т. Возбуждение электромагнитных волн / Г.Т. Марков, А.Ф. Чаплин. - М. ; Л., 1967.
2. Зацепин П.М. Дифракция плоской электромаг-
нитной волны на импедансной ленте / П.М. Зацепин,
С.А. Комаров // РЭ. - 1996. - Т. 41. - №8.
3. Габриэльян Д.Д. Возбуждение импедансной поверхности цилиндра продольным электрическим диполем /Д.Д. Габриэльян, М.Ю. Звездина, П.И. Костенко // Журнал радиоэлектроники. - 2000. - №6.
