CC BY
54
УДК 621.331.3
М П. БАДЕР (МГУПС, МОСКВА, РФ)
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ СОВМЕСТИМОСТЬ ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ СВЕРХПРОВОДНИКОВОГО И ТРАДИЦИОННОГО ИСПОЛНЕНИЯ В СИСТЕМЕ ТЯГОВОГО ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ
Анализ мировой тенденции развития электротехники и электроэнергетики, в том числе в интересах электрифицированного транспорта, показывает, что одним из радикальных направлений этого развития в ближайшие годы будет использование сильноточной прикладной сверхпроводимости. Как известно, существенные возможности открывает подготавливаемое к массовому производству второе поколение высокотемпературных сверхпроводников, способных работать при температурах вплоть до температуры жидкого азота, достижение которых в сотни раз более экономично, чем достижение гелиевого уровня температур. Оценки показывают, что после освоения высокотемпературных сверхпроводников второго поколения стоимость высокотемпературных сверхпроводниковых проводов будет сравнима со стоимостью резистивных проводов. А это означает, что в ближайшие годы начнется освоение нового сверхпроводникового электротехнического оборудования, которое не только по физико-техническим показателям, но и по коммерческим будет превосходить традиционное электрооборудование. Поэтому в настоящее время становятся наиболее актуальными научные исследования по разработке, испытаниям моделей и промышленных образцов разнообразного электротехнического оборудования на базе высокотемпературных сверхпроводниковых материалов, включающего кабельные линии электропередачи, трансформаторы, электродвигатели, реакторы, накопители энергии.
Использование и освоение сверхпроводниковых технологий и нового высокотемпературного сверхпроводникового электротехнического оборудования в локомотивной и стационарной энергетике позволит на принципиально новом уровне решить вопросы повышения надежности и эффективности тягового электроснабжения, снижения капитальных и эксплуатационных затрат, экономии электроэнергии.
Проблема использования сверхпроводникового электрооборудования на транспортных объектах связана с необходимостью решения множества параллельных научно-технических и кон-
структорских проблем. Одной из них является проблема анализа электромагнитного взаимодействия внешних полей сверхпроводникового электрооборудования с прочими видами оборудования и в первую очередь с традиционным электрооборудованием. Особенно остро данная проблема встает применительно к перспективным транспортным средствам, габариты которых в той или иной степени ограничены, и где затруднительно использование самого простого способа защиты от внешних магнитных полей (ВМП) -защиты расстоянием.
Поскольку преимущества сверхпроводникового электрооборудования проявляются наиболее ярко при значительных мощностях, то целесообразно исполнять сверхпроводниковым силовое (тяговое) электрооборудование, а вспомогательное, обеспечивающее собственные нужды транспортного средства (электродвигатели компрессоров, вентиляторов, насосов, аппараты управления электроприводом и т.п.), исполнять не сверхпроводниковым (традиционным).
Проблема электромагнитной совместимости, в том числе для транспортных систем, исследовалась применительно к традиционным источникам (статическим полупроводниковым преобразователям, электрическим машинам, коммутационной аппаратуре и др.) и рецепторам (средствам связи и информации) помех. Перспектива повышения энергетических и технико-экономических показателей транспортных средств за счет использования сверхпроводникового электрооборудования открывает новый аспект проблемы электромагнитной совместимости - проблему электромагнитной совместимости сверхпроводникового и традиционного электрооборудования. Одним из основных вопросов, подлежащих исследованию в русле проблемы электромагнитной совместимости сверхпроводникового и традиционного электрооборудования, является изучение закономерностей электромагнитного взаимодействия электрооборудования, определение характера взаимного влияния на его параметры и работоспособность, а также поиск варианта располо-
жения электрооборудования, при котором взаимное влияние не будет вызывать нарушений в работе взаимодействующих элементов.
На тяговых подстанциях постоянного тока в ближайшие годы будет использован широкий круг сверхпроводникового электротехнического оборудования, в том числе безрезистивные сглаживающие реакторы, выполненные на основе высокотемпературной сверхпроводимости, которые резко повысят технические и энергетические характеристики подстанцион-ных сглаживающих устройств.
Для исследования и улучшения электромагнитной и экологической обстановки разработана методика электромагнитного взаимодействия сверхпроводникового и традиционного электрооборудования в линейном приближении, позволяющая в общем виде анализировать влияние электромагнитных полей традиционного электрооборудования на дифференциальные и интегральные параметры сверхпроводникового электрооборудования.
Большую часть вспомогательного традиционного электрооборудования составляют электрические машины и электромагнитные аппараты, имеющие ферромагнитопровод с малым воздушным зазором, значительно усложняющий проведение теоретических исследований влияния внешних магнитных полей сверхпроводникового электрооборудования на технические характеристики вспомогательных генераторов и приводных электродвигателей с системой управления электроприводами. Источником внешних магнитных полей в работе считается сверхпроводящая катушка, являющаяся основным элементом сверхпроводникового электрооборудования.
Исследование электромагнитного взаимодействия сверхпроводникового и традиционного электрооборудования требует, прежде всего, создать математический аппарат исследования. На начальном этапе целесообразно воспользоваться аналитическим представлением взаимодействия, основанном на ряде допущений, позволяющих в общем виде анализировать влияние каждого параметра взаимодействующих элементов. Для такого анализа необходимо привлекать аппарат численных методов расчета магнитного поля.
Теоретические исследования закономерностей электромагнитного взаимодействия сверхпроводникового и традиционного электрооборудования для определения условий их совместного использования, включают методы математической физики решения краевых за-
дач, численные методы расчета магнитных полей на основе концепции вторичных источников, реализуемой с помощью итерационных методов, численные методы решения экстремальных задач.
Выполненный анализ переходных режимов работы сверхпроводникового электрооборудования в составе тягового электроснабжения и перспективного транспортного средства показал, что длительность процессов в системе достаточно велика независимо от типа транспортного средства, его назначения, мощности, условий движения и т.д. Это дает основание воспользоваться при анализе влияния внешних магнитных полей сверхпроводникового электрооборудования на традиционное электрооборудование приближением, основанным на рассмотрении внешних магнитных полей сверхпроводникового электрооборудования как поля стационарных токов.
Разработана трехмерная нелинейная численная модель электромагнитного взаимодействия сверхпроводникового и традиционного электрооборудования, основанная на представлении поля намагниченности ферромагнитопровода полем эквивалентных вторичных источников поверхностных и объемных фиктивных магнитных зарядов. Модель позволяет рассчитывать индукцию результирующего магнитного поля (поля первичных источников - токов в катушках - и поля намагниченности ферромагнитопрово-дов) в произвольной точке неограниченной расчетной области, что является весьма удобным при анализе взаимодействия нескольких источников внешних магнитных полей и нескольких объектов, подверженных их влиянию. Модель дает возможность рассчитывать индукцию в воздушном зазоре традиционного электрооборудования и ее интегральные параметры при учете нелинейности свойств феромагнитопрово-да, ограниченности продольных размеров и произвольной ориентации в пространстве традиционного электрооборудования.
Для ускорения процесса итерационного поиска плотности распределения вторичных источников поля предложен принцип локальной переменной степени дискретизации области поиска неизвестных, позволяющий сократить время расчета и необходимый объем памяти ЭВМ при сохранении точности вычислений. Принцип применяется при построении вычислительных процедур для систем, характеризующихся большим объемом ферромагнитного материала и наличием воздушного зазора малой ширины.
Радикальной мерой защиты традиционного электрооборудования от электромагнитного взаимодействия сверхпроводникового электрооборудования являются электромагнитные экраны [1].
Природа экранирующего действия электромагнитного экрана заключается в том, что электромагнитное поле проникает в стенку экрана и возбуждает в ней заряды или индуктирует токи, собственные поля которых накладываются на первичное поле, частично или полностью компенсируя его.
Мерой экранирующего действия является коэффициент экранирования, который определяется отношением напряженности поля внутри экрана к напряженности внешнего поля, которое имеет место при отсутствии экрана. Для магнитного поля
б - нвт/нвш •
(1)
Коэффициент экранирования, как правило, является комплексным числом.
На практике часто в расчетах используют термин коэффициент затухания, который определяется как логарифм отношения напряжен-ностей внешнего и внутреннего полей или
или
аэ - 1п (У|б|), Нп аэ = 201в(У|), дБ
(2)
нии от источника излучения приемник находится в так называемой дальней зоне. Независимо от конструкции источника излучения в дальней зоне господствует нестационарное электромагнитное волновое поле.
Ближняя зона определяется не только расстоянием между источником и приемником, но и скоростью изменения поля. Во временной области ближней или квазистатической зоной считается пространство, протяженность I которого такова, что время нарастания поля ТН больше по сравнению со временем прохождения электромагнитной волной расстояния I. В частотной области ближней зоной считается пространство, протяженность которого меньше длины волны (I <1).
Различие между ближней и дальней зонами можно формализовать математически, используя в сферической системе координат поле диполя Герца (рис. 1).
Различают постоянные и переменные поля, при этом последние подразделяются на квазистатические (медленно меняющиеся) и электромагнитные (быстро меняющиеся)
Любое изменение квазистатического поля одновременно обнаруживается повсеместно, и поэтому мгновенно воспринимаемая картина поля, соответствующая определенному мгновенному значению напряжения или тока, всегда совпадает с картиной статического поля, создаваемого таким же по значению постоянным напряжением или током. Квазистатическое поле можно представить как временную суперпозицию статических полей одинакового пространственного распределения Еу(х, у, г) или Иу(х, у, г), которые для каждого случая отличаются по напряженности только определенным постоянным множителем. Если приемник находится в непосредственной близости от источника излучения в так называемой ближней зоне, то он воспринимает стационарное (пространственно фиксированное) квазистатическое поле. В ближней зоне поле изменяется, увеличивается или уменьшается во времени одновременно во всех точках. На большом расстоя-
Рис. 1. Диполь Герца в сферической системе координат (а) и соответствующие силовые линии электрического и магнитного полей в ближней зоне (6)
Решение уравнений Максвелла в частотной области дает следующие выражения для векторов напряженностей поля, показанных на рис. 1 [1]:
-
1т1201 БШ ф
]■8л2г3
2л ( 2л
1 + 1-Г + I 1—г
1 Г 1
2л
— 1—г
е 1 ,(3)
Ег -
1т12о1 СОБ Ф
]■4л2г3
2л 1 + 1—г 1
2л
еф - „ 2
4лг 2
2л
1 + 1 — г J 1
,2л
(4)
(5)
где 1т, - амплитудное значение переменного тока; I - максимальное расстояние между зарядами диполя; Х0 - волновое сопротивление вакуума (в дальнейшем принято w/c = 2л/1, где с-скорость света в вакууме).
Множитель е сдвига.
2л
-]—г
1 описывает угол фазового
2
е
е
Приведенные выше уравнения не наглядны, однако они легко интерпретируются, если ограничиться двумя предельными случаями -дальней и ближней зонами.
При рассмотрении г >> 2л/1 можно в (3 - 5) учесть только члены с большими показателями степеней, и уравнения упрощаются:
1т1201 8т ф ( 2л
Еф- . „23 I ^Г
Ег =
7•8л2г3 ^ 1т^1 008 ф
2
7•4л2г3
2л
7-Г
1
2л
,2л
Н 1т1ЯПф
Н Ф-^,—2"
4лгг
2л
7-г
^ 1
,2л
(6)
(7)
(8)
Из-за разного показателя степени у г составляющей Ег можно пренебречь по сравнению с
Еф , так что окончательно останутся только векторы Еф и Нф . Эти векторы перпендикулярны
друг другу и направлению распространения волны. Они колеблются синфазно, их отношение во времени и пространстве постоянно:
—/Нф = е0 .
(9)
Е ф -
1т120к 8т ф - 7 7•8л2г3
,2л
—г 1
2л
Е = 1т1201008 Ф -г Ег~ . 2 3 е , 7 • 4л2г3
2л
1т18Ш ф -
Н ф -
4лгг
2
(10) (11) (12)
20Е >> 20
(14)
При этом говорят о высокоомном поле, понимая под этим электрическое поле вблизи штыревой антенны. Удельная энергия в ближней зоне имеет преобладающую электрическую природу, т. е.
1
2
^(г) - ^эл (г) - -еЕ .
(15)
В то время как вектор магнитного поля и в ближней зоне остается перпендикулярным направлению распространения, то электрическое поле содержит дополнительную составляющую Ег; Еф и Нф в ближней области сдвинуты по фазе друг относительно друга на 90
Для поля в окрестности небольшого контура с током (диполь Фитцжеральда), получим в системе координат фиф структурно дуальные уравнения, из решения которых получается для дальней зоны активное волновое сопротивление 20 = 377 Ом, а для ближней зоны
2 0Н - 720 •2лг/1.
(16)
Волновое сопротивление 20Н ближней области рамочной антенны имеет индуктивный характер (г >> 1/2л или 1/2л>>1), и
20Н >> 20 ■
(17)
Активное сопротивление 20 называют волновым сопротивлением вакуума.
Ближняя зона. В непосредственной близости от антенны (г >> 2л/1) и второй, и третий члены в (3-5) существенно меньше единицы, и выражения (3), (4) и (5) упрощаются:
Это свойство низкоомного поля, то есть магнитного поля вблизи рамочной антенны. Удельная энергия в ближней зоне имеет в основном магнитную природу
12
^(г) - ^м (г) - ^тН .
(18)
Согласно [1] можно формально получить отношение Е ф/Н ф
Еф Нф - 101К 7'2лг20Е. (13)
Сопротивление 20Е является емкостным \2С -1/ ()] при г >> 2л/1 или 1/2л>>1
В дальней зоне векторы напряженностей электрического и магнитного полей направлены под прямым углом друг к другу и к направлению распространения. В то время как электрическое поле и в ближней зоне остается поперечным, то магнитное поле содержит дополнительную составляющую Нг.
Если условие 1<<1 не выполняется, то необходимо использовать уравнения не диполей, а электрически длинных линий.
На рис. 2 показаны примеры квазистатических полей в ближней зоне.
С увеличением расстояния от штыревой антенны значение волнового сопротивления уменьшается со скоростью 20 дБ/декада от больших до малых значений и на большом расстоянии асимптотически приближается к значению волнового сопротивления вакуума. Волновое сопротивление рамочной антенны наоборот сначала
е
е
е
е
увеличивается со скоростью 20 дБ за декаду и затем также асимптотически приближается к волновому сопротивлению вакуума (рис. 3).
Рис. 2. Соотношения между диполями Герца и Фитцжеральда (а) и схематическое представление электрического и магнитного полей в ближней зоне (б): 1 - электрическое поле; 2 - магнитное поле
зарядов и внешнее поле в любой точке внутри экрана полностью компенсируют друг друга. Можно показать, что этот эффект имеет место не только в пустотелом шаре, но и при любой форме проводящего пустотелого экрана.
Экранирование электрического поля замкнутым (без щелей) проводящим экраном бесконечно велико. Такой экран называют клеткой Фарадея. При изменяющихся во времени с большой скоростью электрических полях коэффициент затухания имеет конечное значение. Для нормальных составляющих поля при помощи закона Гаусса можно получить следующие выражения
ен.вн - 0 и енвш — ps/ sq.
(19)
* № Ж
г*=йоД
Рис. 3. Волновое сопротивление устройства в зависимости от нормированного расстояния от источника (г = 2г/)): 1 - ближняя зона; 2 - переходная область; 3 - дальняя зона; 4 - высокоомное электрическое поле 5 - низкоомное магнитное поле; 6 - электромагнитное волновое поле
Эти зависящие от расстояния волновые сопротивления использованы при расчетах коэффициентов затухания по методу Щелкунова .
Если в электростатическое поле внести пустотелый проводящий шар, то на подвижные заряды в материале шара будут воздействовать силы ^ = Q Е, которые влияют на пространственное распределение зарядов. Перераспределение зарядов будет закончено, когда тангенциальная составляющая напряженности электрического поля на поверхности экрана станет равна нулю. Силовые линии электрического поля искривляются и выходят перпендикулярно поверхности экрана. Поле смещенных
где ps - поверхностная плотность смещенных зарядов.
Для касательных составляющих из приведенных выше рассуждений следует ek вН — ЕН вш — 0 . Наконец, нужно упомянуть, что диэлектрические оболочки также оказывают определенное экранирующее влияние на электростатические поля. Аналогично тому, как магнитный поток проходит в основном через контур с высокой магнитной проводимостью (относительная магнитная проницаемость m), поток электрического поля ^проходит через диэлектрик с высокой диэлектрической проводимостью (диэлектрическая проницаемость sr).
При большом отношении толщины стенки d к диаметру оболочки D вследствие преломления линий электрического поля на границе электрический поток в основном протекает в стенке экрана. Коэффициент затухания рассчитывается по Кадену
aE — ln(Евш/Евн ) — ln (1 + 1,33erd/D) .(20)
Заметное экранирование наступает только при толстостенных экранах с высокой диэлектрической проницаемостью sr d>>D.
На основе закона Гаусса и законов индукции можно получить для диэлектрических экранов следующие соотношения тангенциальных Ек и нормальных Ен составляющих напряженности электрического поля
ЕК1 =ЕК1 и ЕН1 =ЕИ2=£Г2 /Sr1 .
Магнитостатические поля можно экранировать при помощи ферромагнитных оболочек с большой магнитной проницаемостью аналогично тому, как электростатические поля при помощи диэлектрических экранов с высокой диэлектрической проницаемостью. Вследствие преломле-
ния линий магнитного поля на границе поверхности в толстостенных экранах из материала с высокой магнитной проницаемостью магнитный поток в основном проходит в стенке экрана.
Коэффициент затухания рассчитывается
ОН - 1П (НвшНВН )» 1П (1 + 1,33М/я).
При отсутствии токов в экране можно на основе закона Гаусса и закона непрерывности потока получить следующие соотношения нормальных и тангенциальных составляющих напряженности магнитного поля на поверхности экрана
НК1 - НК 2 и НН11НН 2 -Мг 2/ Мт-1 .
Экранирование квазистатических электрических переменных полей происходит как и электростатических полей за счет перераспределения зарядов. Однако если в электростатическом поле коэффициент затухания бесконечно велик, то в переменном поле с ростом частоты появляется фазовый сдвиг, который обусловливает конечное значение коэффициента затухания. Этот эффект становится заметным при весьма высоких частотах. Практически при квазистатических электрических полях, как правило, предполагается также бесконечно большим коэффициент затухания. При этом используются те же граничные условия, что и для электростатического поля. Реальные экраны, например корпусы приборов, имеют зазоры, щели. Если отдельные стенки экрана электрически между собой не связаны, то между ними возникает разность потенциалов и экран практически не действует. При экранировании от электростатических полей необходимо прежде всего соединить экранирующие элементы между собой, по крайней мере, в одной точке.
При наличии щелей между элементами экрана возможно электромагнитное влияние через емкость щели. Это влияние можно ослабить при помощи лабиринтных уплотнителей. При высоких частотах элементы экрана должны иметь многочисленные гальванические контакты для того, чтобы токи, влияющие на выравнивание потенциалов, могли протекать по кратчайшему пути. В то время как всесторонне замкнутый металлический экран обеспечивает отсутствие поля внутри него и без заземления экрана, использование теневого эффекта отдельных экранирующих листов требует их заземления.
Вредное влияние зазоров в замкнутых экранах может свести роль экрана к экранирующему действию одиночных пластин элементов экрана. Чем выше электропроводность материала экрана, тем больше при одинаковой индуктированной напряженности электрического
поля токи в экране и тем выше коэффициент затухания. Так как статические магнитные поля не могут индуктировать токи, то неферромагнитные оболочки для постоянных магнитных полей (/"= 0) не оказывают никакого экранирующего влияния. С другой стороны, с увеличением частоты тока коэффициент затухания квазистатических магнитных полей стремится к бесконечности. Эта тенденция имеет предел на частотах, для которых наряду с квазистатическим магнитным полем необходимо также принимать во внимание магнитное поле токов смещения (электромагнитные волны). С ростом частоты нельзя больше пренебрегать влиянием токов смещения. Это, как правило, имеет место в том случае, когда экран находится в дальней зоне передатчика, в которой электрическое и магнитное поля связаны между собой волновым сопротивлением вакуума 20. В то время как в квазистатическом магнитном поле возникает только магнитное противодействующее поле, то в электромагнитном поле возникает заметное электрическое противодействующее поле. Экран сам становится передатчиком и излучает электромагнитную волну.
Электрическое вихревое поле Еп падающей электромагнитной волны возбуждает в электропроводящей стенке экрана токи, которые обусловливают противодействующее магнитное поле НПР. Магнитное противодействующее поле со своей стороны в соответствии с законом электромагнитной индукции связано с вихревым электрическим полем ЕПР, которое совместно с НПР образует отраженную электромагнитную волну. При детальном рассмотрении те же физические поля имеют место также в случае квазистатического поля. Однако электрические вихревые поля при этом настолько малы, что в непроводящей среде они в состоянии создавать только небольшие токи смещения, которые не могут заметно изменить магнитные поля НП и НПР, обусловленные токами проводимости. В установившемся состоянии поле во внешнем пространстве существует в виде суперпозиции падающей и отраженной волн Е = ЕП + ЕПР. В стенке экрана электрические напряженности падающего и отраженного полей полностью уравновешиваются, т.е. Еп + Епр = 0 или Епр = - Еп.
Для изготовления экранов применяются материалы, которые имеют высокую проводимость для потоков действующих полей и которые за счет индукции в состоянии создавать противодействующее магнитное поле. Наиболее часто используются экраны из хорошо проводящих
металлов и ферромагнитных материалов. Сравнение характеристик двух экранов одинаковой толщины из железа и меди объясняет особенности их экранирующего действия (рис. 4).
2
АН - jwsmH + (гуЛ; АЕ - jwsmE + (jw) гцЕ.
(21)
Операторы Лапласа определяются следующим образом
АН -
Э2Н Э2Н Э2Н
Эх2 Эу
■ + -
■ + -
Эz
2
_ Э 2 Е Э2 Е Э 2 Е АЕ-—- + —- +
(22)
Эх2 Эу2 Эz
2
2
Дифференциальные уравнения (21) необходимо решить для внешнего пространства, для внутреннего пространства и стенки экрана.
На рис. 5 показан цилиндрический экран, который помещен в квазистатическое магнитное поле, направленное параллельно оси экрана.
Рис. 4. Зависимость коэффициента затухания о магнитного поля цилиндрического экрана от частоты / 1 - для железного экрана (г0= 5 м, ё0= 0,1 мм, о = 7 • 106 См/м, =200); 2 - для медного экрана (г0= 5 м, й = 0,1 мм, о =58 • 106 См/м, =1)
В области до 100 кГц глубина проникновения электромагнитного поля больше, чем толщина стенки экрана, и материал с большой электропроводностью имеет более высокий коэффициент затухания. Экранирование здесь основано только на затухании в экране, который действует как короткозамкнутый виток.
Аналитический расчет экранирующего действия электромагнитных экранов требует решения уравнений Максвелла для областей внутри и вне экрана, а также в самой его стенке. В результате решения получают значения Ев , Ен и Нв , Нн , отношения которых друг к другу дают возможность определить коэффициент экранирования или затухания. Этот путь обеспечивает более глубокое, выходящее за рамки известных приближенных формул, понимание принципа действия электромагнитных экранов и функционирования экрана доступным для точной количественной оценки. Однако этот метод математически трудоемок, в приближенных оценках расчет экранов возможен при помощи метода сеток.
Пространственное распространение комплексных амплитуд напряженностей магнитного Н (х, у, е) и электрического полей Е(х, у, е) электромагнитной волны может быть описано двумя частными дифференциальными уравнениями
Рис. 5. Цилиндрический экран в продольном магнитном поле
Связанное с внешним магнитным полем напряженностей Нвш (полем помехи) электрическое вихревое поле напряженностью Евт в соответствии с уравнением J = оЕ вызывает в электропроводной стенке экрана вихревые токи, которые в свою очередь создают противодействующее продольное поле напряженностью Нпр, направленное навстречу возбуждающему полю. В результате во внутреннем объеме остается ослабленное поле напряженностью Нвт= Нвш - Нпр. Во внешнем объеме господствует неизменное магнитное поле напряженностью
Нвш .
Напряженность магнитного поля за экраном (г<г0; о = 0, k = 0) в цилиндрических координатах имеет вид
1 Э ( ЭН
г Эг
ВТ
Эг
( 32
Э 2 Н
ВТ
- к 2 Н
Эz 2
ВТ
(23)
л
1
+
г
2
2
г
В соответствии с законом индукции в дифференциальной форме можно записать
rot Евт = -jwBm =-jwmcH«r-
(24)
Так как Евт содержит только одну составляющую Ер(г) (Ег=0, Ег=0), то в выражении (24) в цилиндрической системе координат
(
rot EBT =
1 ЭЕт
+
___эеф ^
r Эф dz
dEr dEz
ar +
dz dr
1
+-r
(
d_ dz
(rEf)
a+
dEr ' Эф
(25)
После интегрирования и сокращений на r получается
,2
еф = - jwmoНвт rl2 = ■
mok 2ms
Hbt r . (26)
где к = jwG/m
Так как напряженность Нэ имеет только од-
ну составляющую Hz , т. е. H3=Hz(r) (Н9
0,
Hr = 0), то в выражении для rot Нэ в цилиндрических координатах
(
rot НЭ =
1 ЭН z
___ЭНф ^
r Эф dz
ar +
+
ЭНг dHz
dz dr
(
+-r
д_ dz
(rH ф)
a+
ЭНг Эф
(27)
На рис. 6 цилиндрический экран помещен в ориентированное перпендикулярно оси г однородное поле напряженностью Нн
I»
\Г
H=grad (рм, определяем потенциальную функцию рм магнитного поля, продифференцировав которую, рассчитаем составляющие Нр и Нг. Магнитный потенциал рм во внешнем пространстве является суперпозицией потенциала рвш первоначального поля Нвш и потенциала рпр противодействующего магнитного поля Нпр:
Рм=Рвш + Рпр.
Для определения рм решаем уравнение Лапласа для скалярного потенциала в цилиндрических координатах
Афм = ^(гФ 1 + Фф = о. (28)
гдг \ Э г ) г2 Эф2 Эг2
Так как функция рм в направлении оси г. постоянна, то (28) упрощается до
Афм = ^ ( г Ф1 + -1ЭЭфМ = 0. (29)
г дг I Э г
r2 Эф2
или
2 2 Афм — Ф +1 ф + 1 ф — 0. (30)
ш dr2 r Эг r2 Эф2 ( )
Это дифференциальное уравнение в частных производных решаем путем замены переменных. Значение потенциала ( на большом расстоянии от экрана должно стремиться к значению потенциала то есть lim фм — фвш — нвш у
Н =ЭфМ = Н Hr = = Н
dr
ВШ
(ro + d )2 R
Нф =
Эфм Эф
= Н
ВШ
1 -
(ro + d )2 R
sin ф, (31)
cosф .(32)
Рис. 6. Цилиндрический экран в поперечном магнитном поле
Для того чтобы компенсировать внешнее поле, необходимо иметь протекающий в направлении оси г ток или направленную вдоль оси напряженность поля Ег = Е. Этот ток возбуждает и во внешнем пространстве магнитное поле напряженностью Нпр, которое накладывается на первое поле напряженностью Нвш.
Вместо решения двумерного уравнения Лапласа сначала, пользуясь уравнением
В этих уравнениях присутствует, как и прежде, еще неизвестная постоянная интегрирования Я. Она определяется из условий непрерывности.
Решение уравнений Лапласа для внутреннего пространства (при г < г0; <У= 0, к=0) приводит к почти таким результатам, что и для внешнего, (31) и (32), причем значение НВТ должно оставаться конечным. Это означает, что члены, содержащиеся в знаменателе г2, исчезают. Хотя теперь можно получить отношение напряженно-стей внешнего и внутреннего полей, коэффициент экранирования содержит неизвестную Я и сам себя определяет. Для решения этой задачи сначала определяем напряженность электриче-
\
a
z
r-
\
1
a
1
z
2
r
2
r
ского поля в стенке экрана и, пользуясь законом индукции, рассчитываем напряженность магнитного поля, а затем приравняем друг другу его касательные составляющие на обеих граничных поверхностях стенки экрана.
При Ц= 1 (немагнитный экран) и высоких частотах 1/К ® 0 и коэффициент экранирования равен коэффициенту экранирования цилиндра в продольном поле. Магнитное экранирование магнитостатических полей вследствие Ц = 1 отсутствует. При высоких частотах на внешней поверхности экрана Нг исчезает, то есть поле из экрана вытесняется во внешнее пространство.
При Ц >> 1 (ферромагнитный экран), постоянном поле или низких частотах магнитные линии в стенке экрана преломляются, что, однако, приводит к заметному магнитостатиче-скому экранированию только при толстостенных экранах и малых диаметрах экрана. Учитывая коэффициент обратного влияния Я, можно показать, что магнитное поле при г = г0 + й имеет только одну г-составляющую. Это значит, что линии магнитного поля входят в стенку экрана под прямым углом. При высоких частотах или малой глубине проникновения (8<<й) этот эффект исчезает и поле распространяется во внешнем пространстве как при немагнитном экране.
На рис. 7 цилиндрический экран находится в электромагнитном поле, а вектор напряженности падающего поля Еп направлен параллельно оси цилиндра.
Рис. 7. Цилиндрический экран (ц = 1) в электромагнитном поле
В то время как в рассмотренном выше квазистатическом случае возникало только магнитное противодействующее поле напряженностью Нпр, в данном случае возникает также заметное электрическое противодействующее
поле напряженностью Епр. Благодаря пренебрежению токами смещения считалось rot Н = = 0, что позволяло магнитные составляющие напряженности поля Нг и Нр определить из скалярного потенциала (рм. При учете токов смещения rot H = jw eo E напряженности поля во внутреннем и внешнем пространстве падающей и отраженной волн должны определяться из волновых уравнений
DH = ( jw)2 ецН и DE = ( jw)2 ецЕ . (33)
или
DH = -k02H и DE = -k2Е . (34)
Поле помех обычно является монохроматической плоской волной, описываемой волновыми уравнениями
Dh ПР + k2 H ПР = 0; АЕпр + k0 ЕПР = 0,
(35)
которые в декартовой системе координат имеют следующие решения (далее отказываемся от жирного шрифта)
нпр = нвше
- jko *.
епр = Е
вш'
jk0 *
(36)
где Нвш - волновая амплитуда напряженности магнитного поля в отсутствие экранирования;
2о = д/ц-о /е0 - волновое сопротивление свободного пространства.
Волновые уравнения в декартовой системе координат (35) можно представить в полярной системе координат:
нпр = нвше
- jkoxcos ф.
епр = -^0вше
- jk0 xcos ф
(37)
Общепринято решать волновые уравнения в декартовой системе координат, а представлять исключительно в полярной системе. Однако, чтобы иметь возможность в полной мере использовать условие непрерывности напряженности на цилиндрической поверхности, необходимо решение волнового уравнения в цилиндрических координатах, которые известны как так называемые цилиндрические функции. Напряженность электрического поля можно определить после аппроксимации экспоненциальных функций коэффициентов в виде ряда Фурье:
ЕПР =-20НВШ 30 (к0г) + 2X (-1)"3п (к0г)008пф
п=1
(38)
В этом уравнении 30 и 3п - Бесселевы функции нулевого и п-го порядка.
Напряженность поля электромагнитной волны при (г>г0), излучаемой цилиндром (в данном случае отраженной волны) ЕПР , описывается выражением:
£пр - -ZoH
0НВШ
boЯ02) (kor) + (-j)n boH(oZ> (kor) cos n
n-1
E - ZfH
oH ВШ
J^ H?>( koro)-Jn (koro ) +
H{n 2)( koro)
Hf - jHВШ
Jo (kor )-4^ ho2)'( koro ) +
ho 2)( koro)
+2X (-j )n \ Jn (kor) - Jjn2(koro \ (kor) |cosnf
n-1
нП 2)( koro)
H---— — - 2^НВШ x
jwmor Эф
kor
xXn (-j)
n-1
n
Jn (korнП2)(koro ) нП2)( koro)
sin nf
(43)
(39)
В отличие от (38) вместо функции Бесселя 3 здесь используются функции Ганкеля второго
рода Н п(2) , которые описывают излучение волны. На поверхности экрана г = г0 из хорошего проводника падающая и отраженная волны одинаковы, то есть Евщ (г0) = -Епр (г0). Неизвестные коэффициенты в (39) можно получить путем сравнения коэффициентов в выражениях (38) и (39) при г = г0. Отсюда следует
Ьп = 3п (кУ0 )/н(п-) (к0г0). (40)
Подставив коэффициенты Ьп в (39), можно получить выражение для напряженности результирующего поля в наружном пространстве
Здесь к01 = 101 м>т0.
Приведенными уравнениями дается полное описание результирующего поля во внешнем пространстве: напряженности электрического поля - уравнением (41), а магнитного поля -уравнениями (41) и (43).
При (г0 > г > г0 - й). Из (42) можно получить выражение для касательной составляющей напряженности магнитного поля на внешней поверхности экрана г= г0
н ф( ro)- jh вш
' (2)' Jo (koro) Ho (koro)
Ho2)(koro)
- НЙР\ H o 2)'( koro)
Ho (koro)
+
+j-Нвш \ 2X (-j)n
I n-1
' (2)' Jo (koro) H0 (koro)
Ho2)( koro)
cos nfI
+2X (-j )n I J°( koro) нП2 (koro) - Jn (koro) | cos nf
n-1 [ H^' (koro) J
(41)
Напряженность магнитного поля во внешнем пространстве определяется из (41). Так как напряженность Е имеет только одну составляющую по оси z, т.е. E - Ez (r,f), то
ЭЕ
rotE - - jwmoн; — = jwmoHf и
ЭЕ. 1 ЭE
—-jwmo Hr; Hf----
rof T jwmo rdr
- ^^ koro )
H o (ko ro)
(44)
Так как между функциями Ганкеля и Бессе-
ля существует зависимость
тт {„ \ 2HВШ
H f( ro -
pkoro
1
н!2)( ko ro) n-x' ' Ho2 (koro)
- + 2X H)
(2),
-cosnf
(45)
При г0>>й применительно к стенке экрана решается плоская задача. Из уравнения диффузии
Э 2 H
f
Эг 2
= k2H
f
(46)
и граничных условий для Нф (г0 ) в соответствии с (46), а так же учитывая, что Нф (г0 - й) = 0 , определяется Нф внутри стенки экрана
shг [(й - г0) + г ]
shkd
Hf( ro). (47)
По закону полного тока rot H=J=oE рассчитывается напряженность электрического поля на
1
n
внутренней поверхности с учетом известного значения Нф
1 ЭНф 1 кокк Г( й - г0) + г 1 -2 = = Т-,, 0 1 Нф(Го),(48)
а Эг а и при г = г0-й
sкkd
е2=Е2 (го - й)=ак^Нф (го)=—QHф (го),
(49)
где Q=2/(kг0sкkd) (для больших значений й).
-2 (го - й) = +- <22оНвш
К
1
Н0(к0г0) и=1
2! (-у)п
1
Н2(кого)
- 008 пф
(50)
3<22о Нвш
кНп (к0г0)3п (к0гоУ
(52)
и для напряженности поля
у
евт =--220 нвш
К
30(к0г0)
Н 02)(кого) 3о(кого)
+
+2! (-у)п (2) 3о(кого)-
п=1 Н0 )(кого) 3о(кого)
008 пф
Выражения для напряженности магнитного поля во внутреннем пространстве получаем, пользуясь (53) и законом индукции
2„ = ^Л
-о
-о
нф = _--э- = — 2нвш
№0 Эг к
3 о(кого)
Н о2)(кого) 3о(кого)
чп
3п(кого)
+ 2 ! (-/)' (2)
п=1 Нп Чкогз)3п(кого)
008 пф
(54)
Нг =-
1 Э- = -2<НВШ ^Цог Эф Кког
3п (к0г0)
X
х! п(-] )п " п^0'0'-81П пф.
п=1 Нп (к0 г0) 3п (к0г0)
В цилиндрической системе координат вектор напряженности поля направлен по оси х,
Нф (г = 0,ф = 0) = К = <НВШ
у К Н131
Нф (г = 0) у
(56)
Н
= 2
вш
КН1 31
После этого рассчитывается Е2 во внутреннем пространстве и приравнивается этот результат к результату решения (50) при г = г0-й.
При г < г0-й во внутреннем пространстве, так же как и во внешнем, напряженность электрического поля получаем как решение волнового
уравнения АЕ = ко Е = 0
¥
Е = со3о(ког) + 2! (-3)поп3п (ког)008пф. (51)
п=1
Из условия непрерывности и сравнения коэффициентов в (50) получаем уравнение для неизвестных коэффициентов
Коэффициент затухания для магнитной составляющей электромагнитной волны в соответствии с этим равен:
ам = 1п
Н
вш
Нф( г = 0)
= - 1п<1 + 1п л|Н131|. (57)
Аа
Для квазистатического поля он состоит из аэ и члена Аам, который учитывает волновую природу поля. Зависимости Аам = / (го/ 1о) показаны на рис. 8.
(53)
2 1.3Я 1.62 г0/\л
-—И--
-2,5
Рис. 8. Коэффициент противофазного затухания Аам магнитных волн Ц=Ц0
При низких частотах и соответственно при больших длинах волн 10 >> Го коэффициент затухания ам равен аэ(Аам = 0). С ростом частоты значения коэффициента Аам вначале возрастает, но затем начинает снижаться и становится отрицательным, а при определенных отношениях г0/1о экранирующее влияние сильно
а также
+
а
Э
сп =
уменьшается. Минимумы коэффициента затухания совпадают с размерами экрана, представляющего собой пустотелый резонатор, при которых имеют место резонансы. Вблизи резонансных размеров экран, однако, не совсем перестает экранировать.
Коэффициент затухания напряженности электрического поля электромагнитной волны
рН 0 3 0
аэл =
¿0 Н ВШ
Е (г = 0)
= 1п
Q
= - 1п ^ + 1п р Н131|
аэ А«
м
ской системой координат и соответствующими сферическими функциями (решение волновых уравнений проводится в сферических координатах). Приведем лишь результаты расчетов.
Квазистатическое магнитное поле имеет коэффициенты
Q = - '
1 ( 2
^кё + —I К + — | shkd
(60)
(59)
В этом случае коэффициент затухания состоит из коэффициента квазистатического поля с прибавлением члена Ааэл который учитывает волновую природу поля (рис. 9).
аэ = - 1п = 1п
11 2
^кё + —I К +--| shkd
3 \ К
Электромагнитное поле имеет коэффициент затухания напряженности магнитного поля
+ (к0г0 )2 (8'п к0г0 - к0г0С08 к0 г0 )
ам =-1п^| + 1п
аЭ ^
(к0г0 )
АаМ
(61)
Коэффициент затухания напряженности электрического поля
3/1-(к0г0)2 +(к0г0)4 {(к0г0)2 -^^к0г0 -к0г0 С0Як0г0
«эл = - 1п + 1п-
(к0г0 )
(62)
Для составляющих Аам и Ааэл сферического экрана получаются качественно такие же зависимости, что и для цилиндрического, однако положения резонансов вследствие другой конфигурации сдвинуты в сторону больших размеров.
На рис.10 для кабины с длиной сторон 2 м рассчитаны и графически представлены кривые затухания.
Рис. 9. Коэффициент противофазного затухания Ааэл электромагнитных волн (|Л=|Л.0)
При низких частотах и соответственно больших длинах волн Хо » г0 коэффициент затухания ам стремится к бесконечности, так как при /= 0 коэффициент Ааэл (идеальная клетка Фарадея). С увеличением частоты коэффициент затухания уменьшается, так как перемещение зарядов при смене полярности поля запаздывает, и полная компенсация внутри экрана становится невозможной. Для определенных дискретных частот и для электрического поля наступают резонансные явления, что приводит к прозрачности экрана.
Аналогичным образом, как и для цилиндрических экранов, рассчитываются коэффициенты затухания для квазистатических полей и для электромагнитных волн, пользуясь сфериче-
о» ч /
Оэ / ^ я»
V ч. 1
9>
!пи
|
1 г
Л 4 5 й 3 ш 3430 40 »№1^ МО ЗЛ) 500 МГЦ.
Рис. 10. Коэффициенты затухания измерительной кабины с длиной ребра 2 м и толщине экрана из медной фольги 0,1 мм
Следует заметить, что сферические экраны на практике встречаются очень редко, значительно чаще возникает вопрос, как можно рассчитать экранирующее действие прямоугольной экранирующей кабины. Принимая во внимание значи-
а
Э
тельные трудности, не следует пытаться точно аналитически рассчитать коэффициент затухания полей в прямоугольной кабине, а заменить ее сферой, радиус которой г0 равен половине длины ребра кабины. Из-за краевого эффекта экранирующее действие вблизи углов кабины меньше, так как ток в стенке экрана должен проходить больший путь, что обусловливает большое активное и индуктивное падение напряжения вдоль стенки. Краевой эффект можно сгладить закруглением углов и увеличением толщины стенки вблизи углов.
Коэффициент затухания аэ для квазистатических магнитных полей теоретически достигает больших значений, однако практически из-за наличия дверных зазоров, решетчатых вентиляционных окон, подвода питания и т. д. он ограничен.
Методика расчета коэффициента экранирования многослойных цилиндрических и плоских ферромагнитных (магнитостатических) экранов в линейном приближении основана на рекуррентных соотношениях, позволяющих рассчитывать индукцию магнитного поля в области за экраном для произвольного числа слоев экрана. Многослойные цилиндрические экраны обеспечивают более высокий коэффициент экранирования, чем однослойные равной с ними толщины при практически очень незначительном увеличении массы и габаритов. Цилиндрические экраны являются более эффективными, чем плоские. Плоские многослойные и однослойные равной с ними толщины экраны обеспечивают практически одинаковый коэффициент экранирования.
Принципы численного расчета ферромагнитного экрана сложной формы основаны на том, что экран представляется в виде набора дискретных элементов. Размеры и положение каждого элемента определяются исходя из условия минимизации энергии магнитного поля в заданном объеме (экранируемой области), благодаря чему появляется возможность синтезировать экран сложной формы. Метод синтеза активных экранов, основанный на градиентных методах решения экстремальных задач, позволяет рассчитывать геометрические размеры и положение в пространстве осесимметричных экранирующих катушек с прямоугольным поперечным сечением
для сверхпроводящей катушки аналогичной геометрии при условии обеспечения заданной энергоемкости всей системы.
Определены направления численного моделирования и проведена разработка нелинейных численных моделей, позволяющих анализировать взаимодействие источников электромагнитных полей традиционного и сверхпроводящего электрооборудования при условии неограниченной области распространения магнитного поля и отсутствия симметрии распределения поля в пространстве. Для определения влияния электромагнитных полей на интегральные параметры традиционного и сверхпроводящего электрооборудования разработан алгоритм и пакет прикладных программ. Проведены исследования и обоснование параметров и размеров сверхпроводниковых индуктивных реакторов сглаживающих фильтров тяговых подстанций, при которых минимизируется объем занимаемого пространства и обеспечивается наилучшее использование сверхпроводникового материала при заданной энергоемкости.
Полученные результаты исследования можно рассматривать как основы научного направления, связанного с вопросами электромагнитной совместимости силового сверхпроводникового и традиционного электрооборудования тягового электроснабжения и перспективных транспортных средств.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. М.П. Бадер. Электромагнитная совместимость. Учебник для вузов. - М.: Транспорт, 2002 г., 640 с.
Ключевые слова: электромагнитная совместимость, сверхпроводимость, система электроснабжения, тяга, экранирование.
K™40Bi слова: електромагштна сумкнють, надпровщшсть, система електропостачання, тяга, екранування.
Keywords: electromagnetic compatibility, superconductivity, power supply system, traction, screening.
