20 The scientific heritage No 42 (2019)
ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Мухамбетова А.А.
к.ф.-м.н., доцент Казахского университета экономики, финансов и международной торговли
THE RESEARCH OF SOLUTIONS OF A SYSTEM OF THE FIRST ORDER QUASILINEAR
DIFFERENTIAL EQUATIONS
Mukhambetova А.
Cand.Sci. Phys-Math Kazakh University of Economics, Finance and International Trade
Аннотация
Объектом исследования настоящей работы являются квазилинейные системы уравнений с линейными дифференциальными операторами в частных производных первого порядка и с коэффициентами, зависящими от характеристик.
Ставится задача об исследовании существования и единственности многопериодического решения квазилинейной системы. Для решения данной задачи используется метод приведения к каноническому виду матрицы системы на основе линейного преобразования.
Уравнения в частных производных первого порядка широко применяются в задачах механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики. Рассмотрение различных видов упругих, звуковых, электромагнитных волн, а также колебательных явлений приводит к исследованию дифференциальных уравнений в частных производных. В свою очередь, исследование их решений является актуальным вопросом, особенно в случаях многочастотных колебаний.
Abstract
The object of this study is a quasi-linear system of equations with linear partial differential operators of the first order and with coefficients depending by characteristics.
The problem about studying the existence and uniqueness of a multiperiodic solution of a quasi-linear system is posed. The method of reduction to the canonical form of the matrix system based on a linear transformation use for solution this problem.
Partial differential equations of the first order widely use in the problems of continuum mechanics, acoustics, optics, hydrodynamics. For example, consideration of various types of elastic, sound, electromagnetic waves, oscillatory phenomena leads to the study of partial differential equations. In turn, the study of their solutions is a topical issue, especially in cases of multi-frequency oscillations.
Ключевые слова. Квазилинейные уравнения, собственные значения, матрица преобразования, каноническая форма, периодическое решение.
Keywords: Quasi-linear equations, eigenvalues, the transformation matrix, the canonical form, the periodic solution.
Рассмотрим систему квазилинейных уравнений вида:
Dx = A(a)x+f (т, t, a, x) (1)
с дифференциальным оператором
тл д / д\
D =-+ ( в,— ), (2)
в дт \ dt/
где A(a) - гладкая и периодическая по ( Е Rm с вектор-периодом О = (щ,..., От) П X П -матрица
A(a + ко) = A(a) е C(1) (Rm ), к е Zm, (3)
к = (к ,..., к )е Z X ... X Z = Zm , Z - множество целых чисел, ко = (к О,,..., к О ) -кратный вектор-период, Те(-Ю,+®)= R, t = (t,..., tm)е R X ... X R = Rm,
д dt
ния векторов, a = t — в T - базовая характеристика оператора
D .
Предполагается, что вектор-функция f (т, t,(, x) обладает свойствами:
^д д ^
3 3 - символический вектор, в = (l,...,l) — m -вектор, ^ - знак скалярного произведе-
дm )
___J(0, 2, 2, 2)
f (r + 0,t + qœ,a + qœ, x) = f (г,t,a, ^ (RxRm xRm xR") (4)
f
dx
(г, t, a, x)
< L = co"st > 0
(5)
При условиях (3)- (5) начальная задача Коши имеет единственное решение с глобальной продолжительностью.
Ставится задача об исследовании существования и единственности ((0, СО, СО) — периодических решений X = X (г, а) квазилинейной системы (1) в терминах собственных значений матрицы А(а) пу-
тем приведения к каноническому виду. Линейной неособенной заменой:
л = Б(<г)у
с ( П X П )-матрицей Б(<) из такого же класса что и А(<) систему (1) приводим к системе:
Dey = Б 1 <)А<)Б<)у + g (т, t, <, у),
(6)
(7)
где
я (г, *, а, у)=В 1 (а) / (г, а, В(а) у).
Очевидно, что если возможно выбрать матрицу В(а) так, чтобы матрица подобия
1(а) = В 1 (а)А(а)в(а)
(8)
имела жорданову каноническую форму, то поставленная задача для системы (1) решалась бы довольно просто. В связи с этим возникает необходимость рассмотрения вопроса о приведении гладкой
многопериодической матрицы (3) к жордановой канонической форме l(< ) преобразованием подобия (8).
Задача такого характера рассматривалась в связи с различными проблемами теории дифференциальных уравнений в работах [1]- [9].
В дальнейшем точки t Е R и t + кш, к Е Zm рассматриваются как идентичные. Совокупность
таких точек Tm называется m - мерным тором. Справедливы следующие леммы.
Лемма 1. Если уравнение det[AE — A(t)] = 0 при условии (3) имеет l различных собственных
значений ла (t), x = 1, l с независящими от t е Tm кратностями Па, то собственные функции Ха (t) обладают свойствами многопериодичности и гладкости.
Лемма 2. Если выполнены условия леммы 1 и ранг Га матрицы Ха (t) E — A(t) не зависит от
t е Tm при каждом x = 1, l, то матрица A(t) подобна матрице
B(t ) = P(t )A(t )P 1 (t ) =
Л (t ) 0
b(t ) Bo (t )
(9)
с некоторой неособенной матрицей преобразования P(t)е C'''(Тm ), где Ax{t) - собственная функция матрицы A(t), 0 - нулевая строка, b(t) - вектор -функция, B0 (t) — квадратная матрица порядка (П — 1), причем b(t)е C(1)(г) и B0(t)е C(1)(Tm).
Далее, предположим, что матрица B0 (t) из (8) приводится к О -периодической гладкой жордановой форме J (t )е C {1)(Tm ) периодическим гладким преобразованием подобия:
P0 (t )B0 (tp1 (t) = J(t), (10)
канонической i
где
Po(t)e C"](Tm), detPo(t)*0,t e Tm, J(t) = diagj2(ä2(t)),..., Ji(ä1 (t))]
жорданова форма с n - клетками вида
J (Л (t)) = H + Л (t)E , a = 2J,
a \ a \ // a a \ / a 7
H -матрица, у которой поддиагональные элементы - единицы, а остальные - нули, E - единичная матрица.
Теорема 1. Пусть выполнены условия леммы 2 и условие (9), тогда матрица A(t) С- периодическим гладким преобразованием подобия приводится к виду
Q(t )A(t Q 1 (t ) =
где
4 (t )!_ 0
a(t) j J(t) a(t) = P0 (t)b(t) e С"\Tm ).
(11)
Рассмотрим матрицу
A(t ) =
4 (t ) 0
a(t ) J 2 (4 (t ))
(12)
где Л1 (), Л2 () - скалярные функции, а() = (ах ((?)) - столбцовая вектор - функция, 3 (Л ()) - жорданова п х п - клетка, соответствующая Л2(), ? £ Тт .
Лемма 3. Если Лг(^)ф Л2(?), а^) £ С (1)(Т™ ), то матрица (11) со -периодической гладкой матрицей Q(t) приводится к жордановой канонической форме:
0 1 (t )A(t )Q(t ) = J (t ),
где j(tt) = diag_K\ (t), J2 (Л (t))] и Q(t) - матрица преобразования вида:
(13)
Q(t )=
1 0
q(t ) E
e
С {l)(Tm )
(14)
с единичной П - матрицей E и неизвестной столбец-функцией ) = (^ (?()). Далее, для обобщения леммы 3 рассмотрим матрицу
A(t ) =
¿M )
a(t )
0 J (t )
(15)
где \ ) - скалярная фунвд 3() = diag[J2 (Л2 ()),..., (Л())] - За (Ла ()) - Пах Па - клетки Жордана, а() = (а2 (а (t)) - а () = (),.., ^ ()) - заданные вектор - функции, П + ... + П = П .
'2 ^
Лемма 4. Если Л () ^ Ла (?), а () £ С^(Т™ ), ( = 2, S, то матрица (15) подобна матрице:
diag^K (t ), J(t )] = P(t)A(t )P 1 (t )
с некоторой неособенной матрицей
p(t )=
1 0
p(t ) E
e
С {1)(Tm ),
(16)
(17)
где p (t) = (p2 (t),..., Ps (t)), Pa(t) = (Pal kl-, Pana (t)) - вектор - функции a = 2,s.
Теорема 2. Пусть выполнены условий леммы 2 и матрица А(( ) имеет различные собственные значе тогда существует неособенная матрица преобразования Р() е С {1)(ТЯ) такая, что
Р — (* )А(* )Р(* ) = 3 (*),
где 3 () - жорданова каноническая матрица.
Для доказательства теоремы используем метод математической индукции. Таким образом, на основе лемм 1-4 и теорем 1, 2 система (1) приводится к каноническому виду
(18)
Dey = J (<r)y+g (г, t, y),
(19)
Матрица
J CT)
имеет диагональный вид:
J(7)=diag[^ (7),...,Лп (о-)],
причем предположим, что все собственные значения Яа ((7), ( —1, П действительные, различные и спектр не содержит нуля:
\Аа (ст)|>8 — const>0, 7еRm, а — 1,п (20)
При условии (20) система (19) дихотомична и задача о ее многопериодическом решении имеет функцию Грина G (т — S, (), которая обладает свойствами:
10. DG (т — S, ()— J (()G (т — S, (), Т Ф S, 20. G(0 +,()—G (0 —,7)—E,
30. G (т — s, 7+qo)—G (т— s,(),t— s е R, 7 е Rm, qEZm, 40. |G(т—s,7)<rе ~у|т— s|,
где E - единичная матрица, Г > 1, у > 0 — некоторые постоянные.
Тогда задача о многопериодическом решении системы (19) имеет единственное решение У (т, t, 7). Это решение определяется из интегрального уравнения:
y(т,t, 7)= JG(т -s,7)g(7,t-ет + es,a,x(s,t-ет + es,a))ds
(21)
Тогда в силу замены (5) система (1) имеет единственное — решение.
Таким образом, имеем основную теорему.
Теорема 3. Пусть наряду с условиями теоремы 2 выполнены условия (4), (5) и (20). Тогда система (1) при достаточно малом Ь > 0 имеет единственное (г, С, с) — периодическое решение
х (г, а)=В (а) у (г, а),
где у (г, а) есть решение системы (19), определяемое интегральным уравнением (21).
Заметим, что доказательство существования решения уравнения (21) приводится на основе принципа неподвижных точек для оператора
@у (г, а)= | G (г — s,а) я (а, * — ет + es,а, х * — ет + es,а)) ds,
— да
определенного в пространстве непрерывно дифференцируемых функций у (г, *, а), ограниченных
по норме: функции.
= У +
д y
дт
+
m
д y
д t
положительным числом А, где • - знак нормы вектор-
а = \
Список литературы
1. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968-464 с.
2. Мухамбетова А.А. Устойчивость линейных уравнений в частных производных второго порядка с колебательными коэффициентами. Международный журнал экспериментального образования, №4, 2013 г., с. 120-124.
3. Мухамбетова А.А., Сартабанов Ж.А. Об ограниченности решений линейных D- уравнений второго порядка с многопериодическим потенциалом //Математический журнал. - Алматы, 2003. Т.3 №1 (7).- С. 68- 73.
4. Самойленко А.М., Лаптинский В.Н., Кен-жебаев К.К. Конструктивные методы исследования периодических и многоточечных краевых задач. -Киев: ИМ НАН Украины, 1999. - 220 с.
5. Сартабанов Ж.А. О краевой задаче для D-уравнений второго порядка. Известия АН КазССР, сет физ-мат, 1992 г., №3, с. 59-64
6. Мухамбетова А.А., Сартабанов Ж.А. Об устойчивости решений систем D- уравнений. Известия НАН РК. Серия физ.-мат., 2004. № 1. - С.33-38.
7. Mukhambetova, A.A., Sartabanov, Zh.A. Research of multiperiodic solutions of quasi-linear system in the first order partial derivatives. Bulletin d'Eurotal-ent-Fidjip, 4, 2014, 33-37.
8. Sibuya Y. Some global properties of matrices of functions of one variable. Math. Ann. 161 (1969), 67-77.
9. Vejvoda O. Partial differential equations: time periodic solutions. The Hague/ Boston/ London, 1982.357 p.