CC BY
3ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА. ТЕХНИКА. 2024, № 1(4)
УДК 517. 928
DOI: https://doi.org/10.52754/16948645 2024 1(4) 10
ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
Аширбаева Айжаркын Жоробековна, д.ф.-м.н., профессор
aijarkyn. osh@mail. ru Жолдошова Чебире Буркановна, преподаватель
chebire86@mail. ru
Ошский технологический университет имени М. Адышева
Ош, Кыргызстан
Аннотация: В последнее время расширяется область применения метода дополнительного аргумента, разработанного кыргызскими учеными. Метод дополнительного аргумента дает принципиальные возможности приводить различные виды уравнений в частных производных к интегральным уравнениям. В данной работе рассматривается применение указанного метода для интегро-дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка. С помощью метода дополнительного аргумента начальная задача для интегро-дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка сводится к интегральному уравнению. Получены с помощью принципа сжимающих отображений достаточные условия существования и единственности решения интегрального уравнения, эквивалентного начальной задаче для интегро-дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка.
Ключевые слова: Интегро-дифференциальное, частные производные, метод дополнительного аргумента, начальная задача, интегральное уравнение, принцип сжатых отображений.
ТeРТYНЧY ТАРТИПТЕГИ ЖЕКЕЧЕ ТУУНДУЛУУ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫК ТЕНДЕМЕНИН ЧЫГАРЫЛЫШЫН ИЗИЛДее
Аширбаева Айжаркын Жоробековна, ф.-м.и.д., профессор
aijarkyn. osh@mail. ru Жолдошова Чебире Буркановна, окутуучу
chebire86@mail. ru
М. Адышев атындагыОш технологиялык университети
Ош, Кыргызстан
Аннотация: Акыркы мезгилде кыргыз окумуштуулары тарабынан иштелип чыккан кошумча аргумент кийирYY усулунун колдонуу областары кецейYYдв. Кошумча аргумент кийирYY усулу жекече туундулуу дифференциалдык тецдемелердин ар кандай тYрлврYн интегралдык тецдемелерге келтирYYгв негизги MYмKYнЧYЛYктврдY берет. Бул макалада биз твртYнЧY тартиптеги жекече туундулуу интегро -дифференциалдык тецдеме YЧYн бул усулду колдонууну карайбыз. Кошумча аргумент кийирYY усулунун жардамында твртYнЧY тартиптеги жекече туундулуу интегро-дифференциалдык тецдеме YЧYн баштапкы маселе интегралдык тецдемеге келтирилет. ТвртYнЧY тартиптеги жекече туундулуу интегро -дифференциалдык тецдеме YЧYн баштапкы маселеге эквиваленттYY болгон интегралдык тецдеменин чыгарылышынын жашашынын жана жалгыздыгынын жетиштYY шарттары кысып чагылтуу принцибинин жардамы менен алынган.
Ачкыч свздвр: Интегро-дифференциалдык, жекече туундулар, кошумча аргумент кийирYY усулу, баштапкы маселе, интегралдык тецдеме, кысып чагылтуу принциби.
INVESTIGATION OF SOLUTIONS TO THE INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION IN FOURTH-ORDER PARTIAL DERIVATIVES
Ashirbayeva Aizharkyn Zhorobekovna, d.ph-m.s., professor
aijarkyn. osh@mail. ru Zholdoshova Chebire Burkanovna, teacher chebire86@mail. ru Osh Technological University named after M. Adyshev
Osh, Kyrgyzstan
Abstract: Recently, the scope of the additional argument method developed by Kyrgyz scientists has been expanding. The method of an additional argument gives fundamental possibilities to reduce various types of partial differential equations to integral equations. In this paper, we consider the application of this method for a fourth-order integro-differential equation in partial derivatives. Using the method of an additional argument, the initial problem for a fourth-order integro-differential equation in partial derivatives is reduced to an integral equation. Sufficient conditions for the existence and uniqueness of a solution to an integral equation equivalent to the initial problem for a fourth-order partial differential integro-differential equation are obtained using the contraction mapping principle.
Keywords: Integro-differential, partial derivatives, additional argument method, initial problem, integral equation, contraction mapping principle.
В [2,3] рассмотрено применение метода дополнительного аргумента (МДА) для начальной задачи для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка.
В [4] рассмотрен новый способ построения решений уравнений в частных производных четвертого порядка гиперболического типа.
В данной работе используя классы и пространства функций из [1], рассмотрим следующую задачу:
w
D2[—a(t,x)]D2[a(t,x)]u(t,x) = f (t,x,u, JK(t,x,£)u(t,£)dg),
(1)
где
Щ®] = — + а — ~ дифференциальный оператор,
д1 д х
Рассмотрим уравнение (1) с начальными условиями
и (0, х) = х), (2)
д ки(0, х)
dtk
\ (x), k = 1,2,3, (3)
где
x), Ak (x) e C (4)(R), (k = 1,2,3).
Пусть a(t, x) e C (4)(G2 (T)),
f (t, x, u, I) e C (4\G2 (T)) x R2) Lip(L\u, N|,, K (t, x, s) e C(4) (G (T) x R\ причем
J| K (t, x, s|ds <y = const.
Используя начальные данные, введем обозначения:
D[-a(t, x)]D2 [a(t, x)]u (t, x)| i=0 = < (x), 53
—w
— W
В 2[а(г, х)]и(г, х)|,=0= р0 (х),
D [а^, x)]u^, х)| 0 = (x).
Обозначим через p(s, t, х), q(S,I, х) — соответствующие решения интегральных уравнений (ИУ):
г
р(8, г, х) = х + | а(у, р(у, г, х)^у, (4)
£
г
д(8, г, х) = х — | а(у, д(у, г, х))йу, (5)
£
(8,г,х) е 02(Т) = {(8,г,х)\ 0 < £ < г < Т, х е Я]. Следует отметить, ИУ (5), (6) с а(г, х) е С т(02 (Т)) имеют единственные
решения с условием соответственно р(8,8, х) = х, д(8,8, х) = х. Из (4) и (5) вытекают соответственно соотношения
D [—а^, х)]p(s, t, х) = 0, (6)
D [а^, х)]д(5, ^ х) = 0, (7)
Лемма 1. Задача (1), (2), (3) эквивалентна ИУ:
1 гк [ 1 8к
и(г,х) = (Я(0,t,х))ТГ +1(г — Рк(р(0,8д(8,г,х))^ +
к=0 к! 0 к=0 к!
г 8
| (г — 8) X | (8 — т)/(т, р(т, 8, д(8, г, х), и(т, р(т, 8, д)), (8)
00
ад
1К (т, р(т
Доказательство.
Обозначая через 2 (г, х; и) = В 2[а(г, х)]и (г, х), Ь(г, х) = —а(г, х), запишем уравнение (1) в виде:
В 2[Ь(г, х)]г (г, х; и) = / (г, х, и, I)). (9)
Введем функцию
(г, х; и) = В[Ь(г, х)] 2 (г, х; и). (10)
Тогда уравнение (9) принимает вид:
В[Ь(г, х)]г1 (г, х; и) = / (г, х, и, I)). (11)
Уравнение (11) с условиями (2), (3) с помощью МДА сводится к решению интегро -дифференциального уравнения
2 (г, х;и) = р (р(0, г, х)) +
г
+ 1 /(8, р(8, г, х), и(8, р(8, г, х)), 1К(8, р(8, г, х), %)и(8,
0 —ад
В самом деле, дифференцируя (12), получаем (11).
В[Ь(г, х)]гх (г, х; и) = р[( р(0, г, х)) В[Ь(г, х)] р(0, г, х) +
г
+1
0
/ / ди+ / дТ дх ди дх д1 дх
В[Ь(г, х)] р(8, г, х)^8 + / (г, х, и, I).
—ад
ад
Из последнего равенства в силу (5) получаем (11). Полагая г = 0 в (12), получаем ^ (0, x; U ) = < (x).
Если функция 7 (г, x; и) -решение уравнения
z(t, х; и) = < (р(0, г, х)) + < (р(0, г, х)) +
г » (13)
+ | (г — з) / (з, р(з, г, х), и(з, р(з, г, х)), | К ( 8, р(з, г, х),£)и (8,£))С£)сСз,
0 —да
то она является решением задачи (12), (2), (3). В самом деле, из (13)следует
Б[Ь(г, х)]7 (г, х; и) = [< (р(0, г, х)) + <( р(0, г, х))г ]В[Ь(г, х)] р(0, г, х) +
г
+ / (г — 8)
0
с£_ ди + д[_ д1_' дх ди дх д1 дх
Б [Ь(г, х) р(з, г, х))Сз +7 (г, х; и).
Следовательно, в силу (5) получаем справедливость (12). Таким образом, введя функцию 7Х (г, х; и), из (9) вывели (13).
Обратно применяя 2 раза оператор ЩЬЦ, л)] для уравнения (13), получаем справедливость (9), (2), (3). Далее, введем еще следующее обозначение
в(г, х; и) = Б[а(г, х)]и (г, х).
Тогда уравнение (13) принимает вид:
1 /к г
Б[а(г, х)]в(г, х; и) = ]Г < (р(0, г, х)) — + } (г — т) х
к\
х
/(т, р(т,г, х), и(т, р(т, г, х)), |К(т, р(т, г, х),£)и(т,£))С£)Ст.
(14)
Задача (14), (2), (3) с помощью МДА сводится к решению ИУ
I 1 /
в(Х, х; и) = щ (д(0, t, х)) + [ V < (р(0,з, д(з, t, х)) —Сз +
о к=0 к\
| |(з — т)/(т, p(т, з q(s, t, х)) и(т, p(т, з q(s, t, x))), (15)
00
да
[ К(т, р(т, з, д), £)и(т, И;))С^)СтС8.
В самом деле, дифференцируя (15), получаем
г 1
Да^, х)]в^, х; и) = Щ(д) Ц_а^.х)]д(0, t, х) + { V < (р(0, з, д))—х
0 к=0 дх
хБ[а(г, х)]д(з, г, х)Сз + [[ (з — т)
0 0
др
д[_ ди + & а
дх ди дх д! дх
х дх
0
да
да
д ■ +
1 г
В[а(г, х)]д(8, г, х)Л тсС8 + ^ фк (р(0, г, х)) —
k=0 к !
г ад
-1 (г — т)/(т, р(т, г, х), и(т, р), | К(т, р(т, г, х), £)и(т, £))С£)Ст.
г ад
0 —ад
В силу (6) доказано выполнение (13). Полагая t=0 в (15), получаем
9(0, х; и) = (х).
Если функция и (г, х) - решение ИУ
г- 1 8к
и (г, х) = (д(0, г, х)) + гщх (д(0, г, х)) + 1 (г — 8рк (р(0,8.д(8, г, х))) —С8 +
■I И
1 (г — 8)1 (8 — т)/ (т, р(т, 8, д(8, г, х)),и(т, р(т, 8, д(8, г, х))), I )СтС8,
0
г 8
+ \ (г —
00
то она является решением задачи (15), (2), (3).
Дифференцируя (16) по t и по х, получаем (15). В[а(г, х)]и(г, х) = (д) + у\(д)г ]В[а(г.х)]д(0, г, х) +
г 1 др
+1 (г — 8)^р'к (р(8, г, д))^- В[а(г, х)]д(8, г, х) +
0 к=0 дх
к==0 к!
(16)
-\(г — 8)} (8 — т)
'/+//д.
дх ди дх дI дх
др
— В[а(г, х)]д(8, г, х)СтС8 + 9(г, х; и).
дх
+1 (г — 8
о о
В силу (6) доказана справедливость (15). В (16) при г = 0, и(0, х) = р0 (х).
Таким образом, введя функцию 9(г, х; и),, из (13) вывели (16).
Обратно, последовательно применяя для уравнения (16) сначала 2 раза оператор D[a], затем 2 раза оператор D[—а], получаем справедливость (1), (2), (3).
Таким образом, по схеме применения МДА, приведенной в [1], задача (1), (2), (3) сводится к эквивалентному ИУ (16). Из (16) следует (8). Лемма 2. ИУ (8) имеет единственное решение. Доказательство. Введем обозначение
1 гк г 1 8к
ё (г, х) = (д(0, г, х)) - + 1 (г — 8)^Рк (р(0, 8, д(8, г, х)) —С8, (17)
к=0 к! 0 к=0 к!
запишем уравнение (8) в виде оператора
г 8
и (г, х) = л (г, х; и) = е (г, х) + \(г — 8) (8
¡(г, х) = J (г, х; и) = ё (г, х) +1 (г — 8) | (8 — т)х
х /
0 0
Г 00 Л
т, р(т, 8, д), и(т, р(т, 8, д)), | К(т, р(т, 8, д), <^)и(т,
(18)
ЛтсС8.
, 8, д), и(т, р(т, 8, ч ^ ч , V ...
У
Для уравнения (18) применяем принцип сжимающих отображений в пространстве
С (02(Т *)).
Имеем:
г у
| J (г, х; и1) — J (г, х; и2)\< (Ь + Ыу) | (г — у) | (у — р)йрсСу\и1 — и2
0 0 56
следовательно
IIJ(ui) — J(u2)\ < (L + Ny) — \\щ — u^\.
T *4
Отсюда следует, что при T* таком, что (L + Ny)-< 1, уравнение (19) имеет
решение в C (G2 (T*)).
Пример. Пусть в уравнении (1) a(t, x) = с — const, f (t, x, u, I) = f (t, x), т.е.
utttt(t, x) — 2c 2uttxx (t, x) + c 4uxxxx(t, x) = f (t, x). (19) Рассмотрим уравнение (19) с начальными условиями
u (0, x) = x2, ut (0, x) = 0, utt (0, x) = x, uttt (0, x) = 0.
Запишем уравнение (19) в операторном виде: D 2[—c]D 2[c]u(t, x) = f (t, x, u ),
D[—c]D2[c]u(t, x)| t=0 = [Uttt + cuttx — c2Utxx — c3uxxx ] t=0 = c = <1(x) , D 2[c]u(t, x)| t=0 = [utt + 2cutx + c 2uxx ]| t=0 = x + 2c 2 =<0( x) > D[c]u(t, x) =0 = [ut + cux 11=0 = 2= W1(x),
u(0, x) = x2 = Wo (x) .
Следовательно, из (8) получаем решение поставленной задачи в виде:
t 1 sk u(t,x) = Wo(q(0,t,x)) + tWi(q(0,t,x)) + J(t — s)^ <(p(0,s.q(s,t,x)))—ds +
0 k=0 k!
t s
+ J (t — s) J (s — t)f (t, p(r, s, q(s, t, x)))drds,
00
где p(s, t, x) = x + c(t — s), q(s, t, x) = x — c(t — s), (s, t, x) e Q2(T).
Литература
1. Аширбаева А.Ж. Решение нелинейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка методом дополнительного аргумента. - Бишкек: Илим, 2013. - 134 с.
2. Аширбаева А.Ж. Решение нелинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа /Аширбаева А.Ж., Жолдошева Ч.Б. // Вестник ОшГУ, Серия естественных и медицинских наук. - 2012. - № 2. - Вып. 1. - С. 144-149.
3. Аширбаева А.Ж. Исследование решений интегро-дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка /Аширбаева А.Ж., Жолдошева Ч.Б. // Вестник ОшГУ, Серия естественных и медицинских наук. - 2012. - № 2. - Вып. 1. - С. 150-153.
4. Аширбаева А.Ж. Новый способ построения решений уравнений в частных производных четвертого порядка гиперболического типа / Аширбаева А.Ж., Мамазиаева Э.А. // Евразийское научное объединение. -2019.- №2-1(48). - С.6-9.
