Исследование разрешимости краевой задачи для линейной модели Филлипса-Гудвина динамики чвп Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Основы водородной энергетики / под ред. В. А. Мошникова и Е. И. Терукова. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «Лэти», 2010. 288 с.

3. Основы современной энергетики / под общей редакцией чл.-корр. РАН. Е. В. Аметистова. Том 1 / под редакцией проф. А. Д. Трухния // В 2-х томах. Москва: Издательский дом МЭИ, 2008.

Исследование разрешимости краевой задачи для линейной модели Филлипса-Гудвина динамики ЧВП Окунцева А. Ю.

Окунцева Альбина Юрьевна / Okuntseva Albina Yuryevna — студент, кафедра прикладной математики, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь

Аннотация: в статье рассмотрена модель Филлипса-Гудвина динамики ЧВП о О - кратном изменении ЧВП к конечному моменту времени. И изучена краевая задача для этой модели. Ключевые слова: модель Филлипса-Гудвина динамики ЧВП, краевая задача, динамика ЧВП.

УДК 517.929; 517.67

Рассмотрим линейную модель Филлипса-Гудвина динамики ЧВП: t

TY '(t) + Y

T

(T - B)Y' (t) + y|

Y' (t) +

T \ = cY(t) + BY'(t) + A(t) + r¡(t)> t e [0,nT].

«образования:

T cy (t ) = A(t ) + r(t)

Проведем некоторые преобразования:

" с 4

Т t' T

1

T - B

1

T - B

T I-

c_Y (t ) = A(t )+r(t).

T-B

T-B

Введем следующие обозначения:

1 c A(t ) + r(t)

= P' -:

T - B ' T - B

Тогда модель примет вид:

= Ч'

T - B

=f (t).

Y '(t)+ pY

f " t' \

T

V T _ У

+

qY (t ) = f (t).

Рассмотрим краевую задачу для линейной модели Филлипса-Гудвина динамики ЧВП об О ■ кратном изменении ЧВП к конечному моменту времени[3]:

Y '(t)+ pY

(

T I +

qY(t) = f (t> t e [0,nT]

(1)

У (пТ ) = оУ (0). (2)

Краевое условие (2) при Щ = 1 — О, ( = 1, Р = 0 и отражает рост ЧВП в О раз по отношению к начальному периоду.

Подберем функцию и () такую, что и(0) * 0, 1и = 1. Пусть и (?) имеет вид:

/ч О + пТ иЦ) =

nT

(3)

Тогда u(o) = 1 ^ 0 , ¡u = nTo + nT -О= 1, и функция u(t),

определенная

nT

равенством (3).

v

Пусть П = 3, Т = 1 . Тогда краевая задача (1) - (2) примет вид:

У '(г) + рУ ([г ])+ дУ (г) = / (г), г е [0,3], (4) 7 (3) = —У (о). (5)

Краевую задачу (4) - (5) можно свести к интегральному уравнению[1]:

У '(г) + в(г )у (о) = 4)

и'( г) _ с и(о) = 3 .

Краевая задача (4) - (5) однозначно разрешима. Подставив и (?) и 0 получим:

где

В(г) = --

3

У (г) = | ж (г, ^ )*5

(6)

где

ж (г, ^)

5") определено равенством:

ж (г, 5 ) = <;

, 0<5<г<3,

3

- —-1, 0<г<5<3. 3

Применим к исходному уравнению (4) « ж - подстановку»[1]:

У' (г) + в(г)У (о) = -рУ ([г])- дУ (г)+в(г)У (о)+/ (г). Ж) = -рУ ([г]) - дУ (г)+в(г)У (о)+/ (г).

?(г) = - р} ж ([г], 5)2(5 )& - д} ж (г, 5 ^(5 * + в(г)} ж (о, 5 )4у)& + / (г). (7)

о

о < 5 <[г]< 3, -1, о <[г]< 5 < 3,

ж ([г], 5 )=<

' [г]— 3 : [г]— 3

ж (о, 5 ) = <

о, о < 5 < о < 3 ^ 5 = о,

-1, о <5 <3.

С учетом этого уравнение (7) запишется в виде:

[г] 3 г 3

2(г) = - р}ж ([г], 5 >(5 - р \ж ([г], 5)2(5 )*5 - д}ж(г, 5 >(5 )*5 - д}ж (г, 5 >(5 -

-—ж (о, 5)2(5* + / (г).

3 о

2(г) = р } (г, 5 >(5 )*5 + р } ^ + 1^2 (г, 5 >(5* + д} ^ (г, 5 >(5)*

, 5 )2(5)й5 +

+ д} | — +1 к (г, 5>(5)*5 +—} 2(5*5 + /(г).

о V 3 ) 3 о

На рисунках (1) - (4) представлен вид функций

X (г, 5), I = 1,4.

о

3

3

о

о

3

Рис. 1. Вид функции

X ^ 5)

Рис. 2. Вид функции Х2 (г, 5)

Рис. 3. Вид функции X (г, 5)

Рис. 4. Вид функции X4 (г, 5 )

Представим каждую из функций X , , = 1,4 в виде суммы произведений двух функций, одна из которых зависит только от г , а другая - только от 5 .

х^5)=л(г У о 5+л(г у М+М2(г у 5.

Т. к. на промежутке г е [о;1) - [г] = о ^^ Ло(?) = о .

л

1 (г ) =

[1, г е[1;2) [о, г й[1;2)

У (5 ) =

[1,5 е [о;1] [о, 5 «ф;1]

Л (г )=^(г - 1)-^(г - 2)

Л 2 (г ) =

[1, г е[2;3) [о, г ^[2;3)

л 2 (г ) = ^(г - 2)-^(г - 3)

У(5 ) = ^(5 )-^(5 -1) П /1,5 е[о;2] У2(5Но, 5 ,[о;2] У2 (5)-^5 - 2)

Х2 ^ 5) = Л3 (гК (5) + Л4 (гК М + Л5 (гК (4

(л /1' * е[о;1) М(*) = ^0, * й[0;1) М3 (*)=Ф)— Ф — 1)

М /1' ^ е[0;3]

У ^) = ^0,, й[0;3]

Уз )=ф) — ф — з)

М4 (* ) =

1, * е[1;2) 0, * й[1;2)

) =

1, ^ е[1;3] 0, ^ й[1;3]

М4 (* ) = ф — 1) — ф — 2) = м (*)

м, (* Я1 * е[Г;3)

[0, * й[2;3)

М, (* ) = ф — 2) —ф — 3) = ^2 (*)

У4 ) = ф? — 1)-ф(у — 3) м /1,5 е[2;3]

У,

(5 ) = ф — 2) — ф5 — 3)

Функции , будем делить на прямоугольники со стороной 0,015. В связи с этим, полученное решение будет приближенным.

199

Хъ(*,5)=ЕМб(*УА*), *е [0,015ш;0,015(ш +1), 5 е[0;0,015т] т = 0;1;2;...

т=0

/ч_/1,* е [0,015т;0,015(т +1)) , ч_/1,5 е[0;0,015т]

Мт+6 (?) = [0, * й [0,015т;0,015(т +1)) Ут+6 (5)= [0,5 £ [0;0,015т] ~(*,■?) = 2Мт+Л*У^У * е [0,015т;0,015(т +5 е [0,015m;3], т = °Д;2;...

М т+206(* ) =

1, * е [0,015т;0,015(т +1))

У

т+206 х

(5 ) =

[1,5 е[0,015т;3]

[0, * й [0,015т;0,015(т +1)) ' т+206 ^' [0,5 £ [0,015т;3]

Запишем ядро уравнения (7). Оно будет состоять из двух частей - точной и приближенной.

К(*, 5) = К (*, 5) + К (*, 5). К (*, 5) = В((0,5) — ] 5).

2о

к1 ^5)= о • 1 + р(*р—м2(*>у2)+—м3(*

=а„ (') =а, ) =а2 )

_/ =¿4 )

+ Р\° + 1 ]М4 (*) ^ П^) + Р[ 20 + 1 ]М5 (*) ^ = X aJ (* ^ )

_/ =¿5(')

=а4 (»)

=а, (»)

К (*, з) = —д№ (*, 5).

199

К 2 (*, 5 )=Х

7=0

Л

+6(*) • ^т+б^^) + 0 + ^+206(*) • y/+206(s}

=Ь]+6 ) —--' =Ь ] + 206(5)

V

= а] + 6 (* )

6(* )

199

= X (а]+6 (*)Ь]+6 (5) + а]+206(*)Ь]+206(5)).

]=0

вид:

) = | (К (*, 5) + К2 (*, 5 ))г(5 )& + /(*).

]=0

Уравнение (7) примет вид:

3

т=0

а

0

3^5 199 / чЛ

) = i I Z« (t>j (0 + Z(j (t(s) + «+206(t+206(s)j Iz(s>fc + f (t)

0 V j=0 j=0

Умножим обе части последнего равенства на Ъ (г), , = о,4о5 и проинтегрируем почленно от 0 до 3 [4]:

3 5 3 3

} х(г )ъ (г = Т} ъ (г )а} (г)ж •} ъ} (5 +

о о о

199/3 3 3 3 Л 3

+ ТI}ъ,+б (гк* (г* •}Ъ;+6(5Н5* +}ъ,+2о6(/а+М6('* •}ъ^>(5*1 +}ъ (г)/(г

7=о V о о о о У о

Введем следующие обозначения:

3 3 3

} 2(г )Ъ, (г * = , } Ъ (г )аз (г )* = ^, } Ъ (г)/ (г )*г = с,

о о о

Тогда уравнение примет вид:

4о5

Y = YaY + c., i = 0,405. (8)

1 ¿—i у j 1 '

V V

У=о

Уравнение (8) имеет единственное решение, если матрица Л, обратима и выполнено 1

неравенство 8 < — . Общий вид этого решения: Г

4о5 4о5 ( 4о5 Л

2(г) = Та}(г)У} + /(г)=Т^(г)Т^.С ) + /(г)

j=0 .=о V ,=о У

Таким образом, краевая задача (3.1.4) - (3.1.5) однозначно разрешима.

У '(г)+ в(г )У (0)= 2(г). У '(, — (о) = 2(г).

Y(t) = J y (s )ds + J — Y (0)ds = J y (s)ds + — tY (0).

0 0 3 0 3

Причем из равенства (6) получим:

3 3

Y (0) = J W (0, s )z(s )ds = -J z(s )ds.

0 0

Таким образом, доказана теорема:

. 1

Теорема 1. Пусть матрица A - обратима и выполнено неравенство S < — . Тогда краевая

Г

задача (4) - (5) однозначно разрешима, причем ее решение имеет представление

t t

(s)ds - f Bis)

Y(t) = J Y(s )ds - J B(s )Y (0)ds,

0 0

с точностью

nT с-2 г-4 nT

J[z(t)-Y(t)]2dt <■ J f (t)]2dt,

0 (1 -S• Г) 0

и, кроме того,

n T

Y (0)= J W(0, s )z(s )ds.

0

Рассмотрим пример. Пусть в краевой задаче п = 3, T = 1, B = 0.05, c = 0.04, A(t) = 2, ) = 0, О = 1.1. Тогда краевая задача примет вид:

7'(*)+207([*])—4У(*) = 40, * е[0,3],

V/ 19 и^ 9, V/ 19

У (3) = 1,1 • У (0).

В качестве вырожденного ядра выберем кусочно-постоянную аппроксимацию ядра К (*, 5 ) с шагом разбиения 0,015 квадрата [0,3] X [0,3] . Найдем оценку £ :

. .о

33 г8 8*0

£= д218 + 80 I = 0,006253, V 0 0 V 2 3 у

где 8 = 0,0152 • 200 = 0,045 - площадь фигуры, которой пренебрегли при построении вырожденного ядра. Согласно условиям теоремы 1, проверим выполнение

1 1

неравенства £<—. Получим г = 74 5636 ^ —= 0 0134, а, значит, неравенство Г Г

£ < 1 / Г выполнено.

Матрица А обратима, а, значит, условия теоремы 1 выполнены и краевая задача (4) - (5) однозначно разрешима. При этом

3 3

У (0) = | ж (0, 5 ^(.у = — | ¿(5 = 1,894.

0 0 Тогда общий вид решения:

У (*) = | ~ (5 6 — | в(? )У (0)65 = | ~ (5 6 + 0,6945*.

0 0 0

Литература

1. АлленР. Математическая экономия. М.:ИЛ, 1963. 196 с.

2. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально -дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

3. Бергстром А. Р. Построение и применение математических моделей. М.: Прогресс, 1970. 176 с.

4. Колемаев В. А. Математическая экономика: Учебник для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. 399 с.