Исследование размеров и формы области допустимых значений в многомерном пространстве обобщенных скоростей, задающей допустимые мгновенные состояния механизма андроидного робота Текст научной статьи по специальности «Математика»

15. ЗАО Уральский завод цветных металлов. Модельные составы. — Режим доступа : http://uzcm.ru/spravka/tech/ model/1.php. (дата обращения:13.05.2016).

ЛИТУНОВ Сергей Николаевич, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор, заведующий кафедрой оборудования и технологий полиграфического производства.

ФИЛЕНКО Наталья Ивановна, инженер кафедры оборудования и технологий полиграфического производства.

ЧЕМИСЕНКО Олег Владимирович, инженер научно-образовательного ресурсного центра «Политест», аспирант кафедры физики. КОЩЕЕВА Наталья Сергеевна, студентка гр. ТП-121 нефтехимического института. Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 17.06.2016 г. © С. Н. Литунов, Н. И. Филенко, О. В. Чемисенко, Н. С. Кощеева

УДК 621.01

Ф. Н. ПРИТЫКИН В. И. НЕБРИТОВ

Омский государственный технический университет

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗМЕРОВ И ФОРМЫ ОБЛАСТИ ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЙ В МНОГОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ОБОБЩЕННЫХ СКОРОСТЕЙ, ЗАДАЮЩЕЙ ДОПУСТИМЫЕ МГНОВЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ МЕХАНИЗМА АНДРОИДНОГО РОБОТА

Исследована область допустимых значений вектора обобщенных скоростей андроидного робота для различных положений механизма руки при синтезе движений по вектору скоростей. Для аналитического задания области в многомерном пространстве использована теория множеств. В данной работе представлен метод, позволяющий сократить время синтеза движения манипулятора андроидного робота.

Ключевые слова: синтез движений роботов по вектору скоростей, двигательная избыточность, механизм манипулятора, интеллектуальные системы управления роботами.

С целью обеспечения автономного функционирования роботов в сложно организованных средах существует необходимость в разработке гибридных интеллектуальных систем управления [1]. Одной из составных частей данных систем управления является наличие блока обеспечивающего виртуальное моделирование на основе моделей окружающей среды и механизма манипулятора. В данных системах управления на начальном этапе реализации двигательной задачи возможности механизма манипулятора оценивают виртуально. Если задание от начальной до целевой точки смоделировано виртуально, после этого используется силомомент-ный алгоритм управления с применением системы очувствления. Особую актуальность имеют указанные исследования при наличии двигательной избыточности. Двигательная избыточность позволяет строить движение при наличии запретных зон многовариативными способами.

В работе [2] исследованы максимальные значения параметров в некоторых точках конфигурационного пространства, задающие мгновенные состояния механизма андроидного робота ДК-600Б. Указанные мгновенные состояния механизма удовлетворяют заданной точности позиционирования 8 центра выходного звена (ВЗ) при синтезе движений по вектору скоростей. Значения данных параметров используют при поиске значений вектора обобщённых скоростей (2 = {¿¡1 ¿¡2 ...,с[п). При этом значение вектора Q находится точкой №, принадлежащей р-плоскости Г2, которая задана линейной системой уравнений, определяющей взаимосвязь скоростей ВЗ и обобщённых скоростей [3 — 5]. Верхний индекс 2 определяет принадлежность геометрических объектов многомерному пространству обобщенных скоростей 2. Размерность указанной р-плоскости Г2, в пространстве 2 определяет степень двигательной избыточности при синтезе движений. Положе-

о

го

а б

Рис. 1. Механизм руки и туловища андроидного робота ЛК-600Е: а — общий вид андроидного робота; б — кинематическая схема механизма руки

Таблица 1

Значения массивов и кодов, определяющих геометрическую модель механизма андроидного робота ЛК-600Е

Массивы Номер преобразования систем координат

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1л а & ю сч о о о о сч о ю ю о ю сч о ° ю о

ЬЧ Ь?

1? о = здд д о СО о = 1дд о д со о = 15д о д 5

е ^

л, „ кай 3 12 11 7 3 12 2 12 3 12 2 12

ние точки № е Гт задаётся вектором QN и координатами к1, к2 и т. д .с использованием векторного уравнения:

Ти = Тм + Ё к •т • т

(1)

где Qм — вектор, задающий точку Мт е Гт, соответствующую критерию минимизации объёма движения [4]. Точка Мт задает центр репера, связанного с р-плоскостью Гт; к. — координаты точки № в р-плоскости Гт (каждой точке № соответствует определенное мгновенное состояние механизма манипулятора); т — длина единичного отрезка репера р-плоскости Гт; Q¡ — единичные направляющие векторы осей репера; 1 — размерность р-плоскости Гт.

Известно, что манипулятивность механизма манипулятора характеризуют углом сервиса или углом из [2, 5, 6]. Разные конфигурации руки механизма обеспечивают различный угол и . Определим максимальное значение параметров к. соотношения (1), при которых выполняется условие 5 < 5 мм на при-

мере механизма андроидного робота ЛК-600Б. Параметр 5 задает заданную точность позиционирования центра ВЗ. На рис. 1 представлены общий вид и кинематическая схема механизма руки и туловища андроидного робота ЛК-600Б, положение которой определяют обобщённые координаты

Ч, (5 > , > 1).

Предельные значения обобщённых координат заданы следующими значениями Чтах (120, 120, 120, 120, 120), чтП (-120, -120, 60, -120, 0). В соответствии с методикой обозначения геометрических моделей открытых кинематических цепей, принятой в работе [2] данный механизм имеет следующее обозначение: М3-12-10-8-3-12-2-12-3-12-2-12. Данное обозначение соответствует для случая, когда основание робота является неподвижным, а звенья руки заданы в виде отрезков прямых. Максимальные значения параметра ктах определим при направлении вектора скорости ВЗ У(УХ, Уу, V) вдоль оси Одхд, при этом Ух = 10 мм/с, Уу = 0 и ^ = 0. Проведённые вычислительные эксперименты показывают, что направление вектора V существенного влияния

7=1

Рис. 2. Изображение области е Г°, задающей допустимые значения вектора р при 5 < 5 мм: а — (25°, 60°, 10°, 60°, 10°); б — ^ (25°, 60°, 20°, 60°, 20°); в — ^ (25°, 60°, 30°, 60°, 30°)

на область допустимых значений вектора Q не оказывает. Учитывая то, что размерность вектора V равна трем, а число обобщенных координат ровно пяти, двигательная избыточность для рассматриваемого случая будет равна двум. В связи с этим далее р-плоскость Г2 будем называть 2-плоскостью. Ориентация ВЗ при синтезе движений, может быть какой угодно (указанную ориентацию обеспечивают другие обобщенные координаты, которые в данной работе не исследуются).

Значения списков массивов [2], характеризующих геометрическую модель исполнительного механизма руки, заданы в табл. 1. Значения длин I задают размеры звеньев механизмов, которые определяют отрезки 11 = О1О2, 12 = О2О3, 13 = О3О6,

4 = ОО,

4 6

l

l5 = О8О10

и l6 = О10О12 (рис. 1б). Параметр

6 определяет расстояние до характерной точки кисти — центра ладони (данная точка принимается за центр ВЗ). В табл. 1 параметр nkod определяет значение кода преобразований систем координат [2]. В работе [2] проведены исследования, связанные с определением максимального значения параметра kmax среди двух значений k1max и k2max. Однако между значениями k1max и k2max для различных конфигураций могут быть существенные различия.

С целью сокращения времени расчёта вектора Q рассмотрим способ задания области (которую обозначим Де), располагающейся в 2-плоскости Г2 и задающей допустимые значения вектора Q. Для этого используем метод, основанный на реализации мгновенных состояний [5]. В 2-плоскости Г2 отобразим всё множество возможных точек № (задающие мгновенные состояния удовлетворяющие заданной точности позиционирования центра ВЗ 5 < 5 мм). Границы указанной области Де определяют максимальные значения параметров k1max и k2max. На рис. 2 представлены изображения областей Де для различных конфигураций андроидного робота. Как видно, форма области Де близка к форме ромба. В соответствии с этим для минимальных значе-

" 1 min 7 mini 7 max

ний kmln выполняются соотношения k \ = ki .

Определение для каждой конфигурации погрешностей линеаризации, из области заданной вобщем случае параллелепипедом (на основе использования значений k

ное время вычислений при синтезе движений при наличии запретных зон. Для сокращения данного времени необходимо заведомо проводить анализ только тех точек, которые принадлежат области До. В связи с этим было принято область До приближенно задавать пересечением четырех полуплоскостей, заданных четырьмя прямыми, проходящими через точки Ао, Во, Со и являющиеся вершинами ромба (рис. 2а). Указанные точки располагаются на границе области До и принадлежат осям к1 и к2. Полуплоскости, принадлежащие 2-плоскости Го, заданные указанными прямыми обозначим Д31, ... , До4. Точки, которые принадлежат данным областям, удовлетворяют следую щим неравенствам:

X dnk, +b, > 0,

£ <k,+bm > 0,

(2)

где т — число прямых, ограничивающих область До (для рассм а трива е мого при мера т = 4); 1 = 2 — параметр, определяющий размерность 2-плоскости Г0; йп, ..., Ь , .., Ьт — коэффициенты уравнений прямых, проходящпх через точки АМ, Ве, Св и Б0.

Для определения точек, пуинадлежащих пересечению областей Др1, ... , Д°4 исчользуем функцию, называемую коняюнкцией [к]:

Y = X1 m X 2 = X1 + X2 - д/Xf + X

(3)

k min

k max

k2min) требует дополнитель-

где Х1 и Хр — овоюося арг)ентяюи Д-функции, которые зараютсо неровенсовами (2).

Подставляя вначале два неравенства (2) в ууав-нение (3) получают пересечение двух пмиуяюмско-стей, образующих область М^ о МК° .

Затем полученное уравнения области Мо о МкХ и третьей полуплоскости (2) подставляют вновь в уравнение (3) и получают уравнение обламки, определяющей пересечение областей (М1о о ММ)|чМ3о . В конечном итоге получают уравнение области До:

о

>

б

а

в

(=1

(=1

Значения координат узловых точек интерполирования

Таблица 2

Обозначение точки в Я4 Чз Ч4 Ч5 ктах кшах Обозначение точки в Я4 Чз Ч4 Ч5 к™ к™х

Л 10 60 10 22 28 Л7 40 30 40 20 18

А2 15 55 15 20 26 Л8 45 25 45 18 16

А3 20 50 20 18 22 Л9 50 20 50 18 16

25 45 25 20 20 Л1д 55 15 55 18 16

А5 30 40 30 22 20 Л11 60 10 60 18 14

А, 35 35 35 20 18

Ат= ^ п А2т)п А3т)п А4т

(4)

ч (кГ,ч3, Ч<, д )= 0,

ч' кт.ч,, 44,Д )=0.

(5)

куах = 23,1429-0,05»7Хд3 -0,00211 + 0,000034о купх = 19,142 9- 0,1695д4 + 0,00555>д42 -0,000+38,;;; к""" = 23,142 9- 0,0 97145 ^0,002-]452 + 0,00003840.

(2)

неизвестными.1 Данные уравнен 3 получ 3ют при подстановке в систему уравнение (+) координат точек А/, Л/, Л/ и А11/ (а именно, ч3 и к1тах).

С целью выяснения закономерностей изменения значений к1тах и к2тах в зависимости от положения механизма манипулятора, определяемого обобщёнными координатами ч, найдены значения данных параметров для различных точек конфигурационного пространства. Результаты расчётов для одиннадцати точек представлены в табл. 2 (при значениях ч1 = 25о, ч2 =20о и Дд. = 5°). Для моделирования гиперповерхностей и ¿2 в четырёхмерных пространствах Я14 и Я24, определяемых параметрами к1тах, ч3, Ч4, Ч5 и к2тах, ч3, Ч4, Ч5 выбираем две узловые точки Л"14 (ч3, Ч4, Ч5, к1тах) — ЛЯ11 (10, 60, 10, 22) и ЛЯ21 (Ч3, Ч4, Ч5, к2тах) — ЛЯ21 (10, 60, 10, 28). Через данные точки проведём по три перпендикулярные 3-пло-скости а. . = 1, 2, 3) и а. (, = 1, 2, 3) соответственно в пространствах Я14 и Я24, в каждой из которых лежат точки данных массивов точек (табл. 2).

В каждой из плоскостей а. моделируем интерполирующие кривые данных массивов точек, которые будут являться одномерными образующими моделируемых гиперповерхностей в четырёхмерных пространствах Я14 и Я4:

кГ=*0 + 4, Х1 +д'х2 +д1Х3'

1 сах | 2 | 3

к( =Хо + Д\Х( + Д^Хи + Х3,

сах 2 3

к( = Хо+ Д\Х( + ,7X2 + Х3,

сах 2 3

= = Хо+ Д^Х + Д1Х2 + Х3 .

(7)

сах 2 ша 3 д4 н5 ую систему, по 2учаем коэ 3 фициен-тк1 дс пертст- урав)ден^ия (6). д9н^040г^чн0 пол— 0ем дн^ дт+рого уд>аврeнич (Д), подставив координаты точек Л1//, Л4//, Л/ и Л11// (^ и к1тах), и 13""] тредьего y6aон7ннo 07), подставин чдop1oинаты точек а/У А/", А/" и А1/// (ч5 и к1тах). Для получения уравнения моделирующей гиперповерхности ==2 Я+ нхоб:г;нд]дмо oyммиlювa6ь yнaaнpнин (-) и сумму поделидь на три [83. Уравнение гиперпо-ке]д:с^ссхр^^ т]зе+1н^:г^ п+рядка 44 пoочa 3тдго прини-меет c=eдyюкир 20ид:

к"" =21,8096- 0,0324- д3 - 0,0565- д4 - 0,0324- д5 --0,0007• дН + 0,00197- ^ - 0,0007• д25 + 0,0000127- д33 -

^0^0000127-К + 0,0000127-ь2.

(8)

В качестве одномерных образующих выбираем интерполирующие пои^1421 нpep6050 yopччкa. Дл0 этого в каждой из ¡плоскостей а. е Я14 выбираем по четыре узла интерполирования а1 — Л/ (10, 0, 0, 22); А/ (25, 0, 0, 20); А/ (45, 0, +, 18 + А,/ (650, 3, 0, 18); а2 — Л// (0, 60, 0, 22); А// (0° 45, 0, 20); А" (0, 25, 0, 18); Л11// (0, 10, 0, 18); а3 ^ А/у/ (Д, 0+ 10, 22(; Д3у/ (0, 0, 25, 20); Л8/// (0, 0, 45, 1к(; А/" (Д, 0+ 60, 1+),

Уравнения инаерполирующих полинaмов, располагающих в т=ёх взанмно нepпeндикулярных плоскостях а1, а2 и аз; будут следующие:

Пссле днayогичyыx вычислений для второй ги-пеyпсв2pxно6УИ 032 Я4 yеaвн2рия ире2pчpкрpню-0330 реoиyoмoв и Дторой гинeyпoвepxнocти 44 1 35) -римуг сле^ющи7 вид

ку0 =30;42850)6^](4)40(з•д3-У0;02(0(•У3!-0;000(52Pде, куп = 11:42850y 0;34406• Д3 - 0]01029• дp2 н 0,0001524 дp3, (9) куп = 30;42850+ (;(4406• д5 + 0;02(61• д52 ^У;000( 524 д53 ,

к2у0 =28 ,7619-0,3Я 16-д3 -0,11 49+ 0л -0,3816- д5 -- 0,0072• - + 0,0034^ - 0,0002] ь5р + 0з0000500 д3 -- 0,0000500 д43 + 0,000050Я д53

(10)

Коэффициенты ура внений (6) вычисляют решением тр=х cffil^]икз чxсыoex д нетырьмя

Уравнения (8) и (10) позволяют определять значения к1тах и к2тах в зависимости от обобщенных коо4диуат ч3, Ч4 и Ч5 при значениях, близких ч1 ~ 25° и ч2 ~ 20°. Результаты исследований 1524 зали, что значения параметров ч1 и Ч2

max и k max со-

Рис. 3. Алгоритм вычисления значения вектора Q

на положение и форму области А существенного влияния не оказывают. Относительная максимальная погрешность определения параметров k1 на основе использования соотношений (8,10) ставляет 10—15 %.

Алгоритм вычисления допустимых значений параметров k1 и k2 представлен на рис. 3.

На рис. 3 приняты следующие обозначения: 1 — начало; 2 — ввод значений q. (q, q2, ... q5 ), V(Vx V, Vz) и 5; 3 — определение узлов интерполирования из базы данных ()i а1з) < qi < q +1з); 4 — выбор узловых точек А. и вычисления коэффициентов уравнений (6) и (9); 5 — определение коэффициентов уравнений (8) и (10); 6 — определение значений k1max, k2max в соответствии с уравнениями (8, 10); 7 — вычисление коэффициентов неравенств (2) и уравнения области Де (4); 8 — вычисление вектор а (2 (1)

9 — зычислен+е новой конфигурации ql = ql+ ql

10 — конфигурация пере)е=ает запретную зону;

11 — задание значений ке =k1±1, k2 =k2± 1, опре-де=юших =оложение точки NQ; 12 — значения

kel >;г, k

21 >k'm",; 13 — точка принадлежит области Де; 14 — вывод значений вектора Q; 15 — при синтезе движений возникла тупиковая ситуация; 16 — конец.

На рис. 4а представлены результаты виртуального моделирования движений руки андроидного робота при использовании критерия минимизации объема движения и отсутствии запретной зоны. Моделирование движения выполнено в системе САПР ACAD с использованием алгоритмического языка программирования AutoLISP. На рис. 4б соответственно представлен синтез движений при наличии запретной зоны с использованием разработанного алгоритма вычисления значений вектора обобщенных скоростей Q. На рис. 4 обозначения Dh

(D D , D ) и D (D D , D ) определяют со* н(1) н(2) н(3)> ц * ц(1) ц(2) ц(3)' Г "

ответственно проекции начальной и целевой точек

при синтезе движений. Обозначения Р , Р и Р

(1} i2} (3}

задают положение запретной зоны на трех плоскостях проекций.

Использование соотношений (2, 4, 8, 10) позволяет на 80 % сократить время выполнения тестового задания по сравнению со способом, когда значения

б

Рис. 4. Результаты виртуального моделирования движения руки андроидного робота от начальной точки, заданной вектором ^ (-5°, 20°, 95°, 25°, -65°): а — по критерию минимизации объема движения; б — при наличии запретной зоны

к1 и к2 вычисляются с использованием параллелепипеда.

Результаты проведённых исследований могут быть использованы в интеллектуальных системах управления на этапе анализа виртуального взаимодействия механизма руки с внешней средой. Виртуальное взаимодействие при этом основано на использовании моделей руки андроидного робота и окружающей внешней средой.

о

го

а

Библиографический список

1. Hasegawa, T. A model-based manipulation system with skill-based execution / T. Hasegawa, T. Suehiro, K. Takase // IEEE Trans., Robotics and Automation, 1992, Vol. 8, № 5, pp. 535 — 544.

2. Притыкин, Ф. Н. Определение максимальных значений параметров, задающих угол сервиса и множество конфигураций андроидного робота реализацией мгновенных состояний / Ф. Н. Притыкин, В. И. Небритов // Инженерный вестник Дона. — 2016. — № 1. — Режим доступа : ivdon.ru/ru/ magazine/archive/n1y2016/3506 (дата обращения: 09.03.2016).

3. Whitney, D. E. The Mathematics of Coordinated Control of Prosthetic Arms and Manipulators / D. E. Wihtney // J. Dyn. Sys., Meas., Control 94 (4), 303-309 (Dec 01, 1972) (7 pages) doi:10.1115/1.3426611History: Received August 01, 1972; Online July 13, 2010, рр.19-27.

4. Кобринский, А. А. Манипуляционные системы роботов / А. А. Кобринский, А. Е. Кобринский. — М. : Наука, 1985. — 343 с.

5. Притыкин, Ф. Н. Графическое представление телесного угла и окружающего пространства руки при реализации мгновенных состояний манипуляторов / Ф. Н. Притыкин // Проблемы машиностроения и надёжности машин. — 2002. — № 3. — С. 93 — 101.

6. Лебедев, П. А. Аналитический метод определения коэффициента сервиса манипулятора / П. А. Лебедев // Проблемы машиностроения и надежности машин. — 1991. — № 5. — С. 93-98.

7. Рвачев, В. Л. Методы алгебры логики в математической физике / В. Л. Рвачев. — Киев, 1974. — 256 с.

8. Вертинская, Н. Д. Задачи геометрического моделирования технологических процессов : науч.-метод. пособие / Н. Д. Вертинская. — М. : Издат. дом «Академии естествознания», 2015. — 132 с.

ПРИТЫКИН Федор Николаевич, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры инженерной геометрия и САПР. Адрес для переписки: [email protected] НЕБРИТОВ Валерий Иванович, магистрант гр. ИВТм-153 факультета элитного образования и магистратуры.

Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 19.05.2016 г. © Ф. Н. Притыкин, В. И. Небритов

УДК 621 В. Н. ТАРАСОВ

И. В. БОЯРКИНА

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия,

г. Омск

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ РАЗГОНА И ТОРМОЖЕНИЯ РАБОЧЕГО ОБОРУДОВАНИЯ СТРЕЛОВЫХ МАШИН ПРИ СТУПЕНЧАТОМ ЗАКОНЕ УПРАВЛЕНИЯ

ГИДРОРАСПРЕДЕЛИТЕЛЕМ

Выполнено исследование динамики гидравлического рабочего оборудования стреловой машины на основе предложенного аналитического решения дифференциального уравнения движения поршня силового гидроцилиндра стрелы, в котором входным воздействием является функция управления величиной проходных окон золотника гидрораспределителя.

Ключевые слова: гидрораспределитель, разгон, торможение рабочего оборудования, приведенная масса, коэффициент жесткости.

На рис. 1 в качестве примера современной стре- веденная масса рабочего оборудования и полезного

ловой машины представлен гидравлический экска- груза в ковше. Приведенная инерционная масса

ватор, рабочее оборудование которого управляется рабочего оборудования, как динамическое звено,

при помощи силовых гидроцилиндров. обладает колебательными, демпфирующими и ин-

Динамику рабочего оборудования современных тегрирующими и другими свойствами.

мощных стреловых машин можно описать, рассма- Динамика разгона и торможения поршня сило-

тривая динамику движения поршня силового гидро- вого гидроцилиндра описывается дифференциаль-

цилиндра, на котором условно сосредоточена при- ным уравнением третьего порядка [1, 2]: