CC BY
11
6. Pottmann H., Petemell M. Applications of Laguerre Geometry in CAGD // Comp. Aided Geometric Design. 1998. Vol. 15. Р. 165-186.
7. Fiedler W. Cyklographie oder Construction der Aufgabenüber Kreise und Kugeln und elementare Geometrie der Kreis- und Kugelsysteme. Leipzig, Druckund Verlag von B.G. Teubner, 1882. 284 p.
8. Dr. Emil Muller. Vorlesungen über Darstellende Geometrie. II. Band: Die Zyklographie / Edited from the manuscript by Dr. Josef Leopold Krames. Leipzig and Vienna, Franz Deuticke, 1929. 476 p.
9. Панчук К. Л., Кайгородцева Н. В. Циклографическая начертательная геометрия : моногр. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2017. 232 с.
УДК 621.01
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛА СЕРВИСА РУКИ АНДРОИДНОГО РОБОТА МЕТОДОМ СИНТЕЗА МАЛЫХ ДВИЖЕНИЙ ОСИ СХВАТОНОСИТЕЛЯ ПО ВЕКТОРУ СКОРОСТЕЙ
DEFINITION OF SERVICE ANGLE OF ANDROID'S ROBOT HAND BY METHOD OF SMALL MOVEMENTS OF GRIPPER'S AXIS SYNTHESIS BY SPEED VECTOR
Ф. Н. Притыкин, В. И. Небритов
Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия
F. N. Pritykin, V. I. Nebritov
Omsk State Technical University, Omsk, Russia
Аннотация. Излагается обобщённый метод определения телесного угла сервиса на основе синтеза движений по заданным направлениям оси схватоносителя при неподвижном центре захвата. Синтез движений в работе осуществляется по вектору скоростей. В качестве примера определен телесный угол руки андроидного робота, образованный продольной осью схватоносителя. Сущность метода основана на исследовании множеств положений конфигураций, задающих крайние положения точек развертки сферы единичного радиуса, которая задаёт телесный угол сервиса. На основе этого определена сферическая кривая, задающая форму искомого телесного угла. Результаты исследований могут быть использованы при разработке систем управления автономно функционирующих андроидных роботов.
Ключевые слова: механизмы манипуляторов, угол сервиса, синтез движений механизмов, вектор скорости, манипулятивность.
DOI: 10.25206/2310-9793-2018-6-2-276-281
I. Введение
При моделировании процессов перемещения объектов манипулирования с использованием роботов необходимо на начальных этапах выяснять двигательные возможности и собственные свойства исполнительных механизмов. Одной из задач на этом этапе является определение угла сервиса. Решение данной задачи на виртуальном уровне возможно с помощью моделирования малых движений механизмов манипуляторов по вектору скоростей выходного звена с обеспечением заданного фиксированного положения центра выходного звена. В работе [1] приведен способ определения угла сервиса на основе использования векторного уравнения замкнутости эквивалентного механизма. Однако при сложной структуре кинематических цепей механизмов манипуляторов, заданных различных предельных значений обобщенных координат и двигательной избыточности, равной двум и более использование указанного способа затруднено. В работе [2] предложен способ определения телесного угла на основе исследования мгновенных состояний механизмов [3]. Однако синтез движений оси схватоносителя в различных направлениях при неподвижном центре захвата в указанной работе не исследовался, а определялись лишь отдельные положения оси схватоносителя, соответствующие допустимым значениям вектора обобщенных скоростей для заданной конфигурации.
В работе [4] предложен обобщенный способ определения угла сервиса на основе синтеза движений оси схватоносителя по часовой и против часовой стрелки при неподвижном центре захвата для плоских механизмов
манипуляторов. Необходимо отметить, что в данной работе предложенный метод определения угла сервиса может быть использован только для плоских механизмов манипуляторов.
В настоящей работе продолжены геометрические исследования, связанные с определением телесного угла сервиса для механизма руки андроидного робота с использованием синтеза движений оси схватоноситя по различным направлениям при неподвижном центре захвата. Сущность предлагаемого метода основана на нахождении такой конфигурации, при которой угол сервиса в заданном секторе развёртки сферы единичного радиуса увеличивается [2]. Данная конфигурация находится реализацией дискретных значений векторов обобщенных скоростей 2 из области допустимых значений. Область допустимых значений вектора 2 механизма руки андроидного робота для различных конфигураций руки андроидного робота исследована в работе [5]. Геометрический анализ отображений угла сервиса позволяет оценить такие собственные свойства манипуляторов, как манипулятивность и маневренность для заданных предельных значений обобщённых координат в различных точках конфигурационного пространства.
Пусть задан пространственный семизвенный механизм руки андроидного робота АЯ600Е (рис. 1а). На рисунке показано положение системы координат 0пхпуп^п, связанной с характерной точкой кисти руки, движение которой осуществляется по заданной траектории.
Рис. 1. Определение параметров, задающих положение точки Ь на развёртке сферы: а - кинематическая схема механизма руки андроидного робота и положение углов а и р в инерциальной системе координат; б - положение точки Ь на развертке сферы
Точка 012 = 0п определяет центр выходного звена, который не должен отклонять от заданной точки траектории на величину 8, называемую точностью позиционирования. При проведении исследований значение параметра принято 8= 1 мм. Точки 0^012 задают начала систем координат, используемых при задании модели кинематической цепи. Зависимость векторов скоростей захвата и обобщённых скоростей V и 2 механизма манипулятора определяет линейная система уравнений [3]. Реализация векторов 2, из области допустимых значений [5], обеспечивает новое положение кинематической цепи и оси схватоносителя. Под реализацией понимается новое положение кинематической цепи, определяемое значениями обобщённых координат, которые получают путём сложения обобщённых координат старой конфигурации и рассчитанных значений компонент вектора 2 по уравнениям (при принятом допущении Лqi ~ [,):
II. Постановка задачи
а б
ql = ql + с 1,
qi = qi + с г,
где [г - компоненты вектора 2-
III. Теория
С целью графического представления телесного угла сервиса для пространственного шестизвенного механизма руки (рис. 1а), изобразим условную развертку поверхности сферы Ф единичного радиуса. Между точками этой условной развертки и точками сферы Ф существует взаимно однозначное соответствие. Любая точка D поверхности сферы Ф радиуса OnD задает единственную точку L на этой развертке, определяемую полярными координатами ap и ßp (рис. 1б). Отрезок OnD равен единице. Множеству отдельных положений оси Onzn схватоносителя (см. рис. 1а) при реализации значений вектора Q и S =1 мм будут соответствовать положения точки L на развёртке сферы единичного радиуса, которые принадлежат различным секторам развёртки (см. рис. 1б) [2]. Зададим сектор развёртки углами ßpmax и ßpmm В данном секторе угол ßp изменяется в интервале ß™m < ßp < ßpmax. Точка L на развёртке сферы определяется параметрами ap = a и ßp = ß. Параметр ap на этой развертке задает расстояние от центра круга Op до точки L развёртки и определяется углом, образованным между начальным положением продольной оси схватоносителя zn и положением оси схватоносителя полученным реализацией вектора Q (рис. 1а). Единичные направляющие векторы этих осей определяют векторы W2 и W2' (см. рис. 2).
Рис. 2. Определение углов а и р в инерциальной системе координат О0 , задающих положение точки Ь на развёртке сферы
Угол Рр задает направление при нахождении точки Ь на условной развертке с помощью полярных координат (рис. 1б). Этот угол определяется углом р между проекцией вектора Щ6 оси схватоносителя на плоскость ПЮ^п и вектором Щ , задающим направление оси хп (рис. 1а и рис. 2) (Щ с П). Вектор Щ6 находится проекцией вектора Щ5 на плоскость П. При этом вектор Щ5 = Щ3 - Щ3'. Для нахождения точки Оц'П (см. рис. 2) используется вектор Щ3П = Щ3' + Щ7. При этом вектор Щ7 определяется проекцией вектора Щ8 по направлению вектора Щ9. Положение вектора Щ7 определяется точками Оп' и Оп'П и векторами Щ8 и Щ9, где Щ9 = Щ4 - Щ3, Щ8 = Щ4 - Щ3'. Точка О„'П является проекцией точки Оп' на плоскость П. Косинусы углов а и р вычисляют
скалярными произведениями векторов:
NW (2)
cos ß =
_ Wi • \
W■ \б [
Построим совокупность конфигураций и отдельные положения оси схватоносителя, для которых значение угла а будет увеличиваться. При этом движение оси схватоносителя будет происходить в заданном секторе
cos а
развёртки. Следующая конфигурация строится, если значение угла а будет больше значения угла, рассчитанного на предыдущей итерации. Заметим, что при проведении исследований принимается допущение 012 ~ 012', где точки 0П' и 012' определяют реализацией мгновенного состояния. Начальное положение конфигурации руки андроидного робота, определяющей положение точки 012, соответствует значениям обобщенных координат цг(25°, 20°, -65°, 25°, -65°). На каждом шаге расчетов определяют максимальное значение угла а"13* из значений а и а ' (где а и а' значение угла соответственно на к-ой и к+1 итерациях).
(max а, а') ^ amax. После определения конфигурации к+1, которая удовлетворяет условиям:
(3)
apk+ > apmax, Ppmm > р > Ppmax,
(4)
находят следующую конфигурацию к+2 с сохранением списка обобщенных координат цр = ц. При этом за исходно заданную конфигурацию принимается конфигурация к+1, для которой выполняется условия (2). Задание различных значений углов Рртт и Рртах позволяет выполнять синтез движений оси схватоносителя, при нахождении точки 012 внутри сферы радиуса 1мм и в заданном секторе развёртки. Алгоритм вычисления положений точек Ь на развёртке сферы представлен на рис. 3.
Рис. 3. Схема алгоритма вычисления положения крайних точек Ь определяющих сферическую кривую 1р
на развёртке сферы
Обозначения, принятые на схеме: 1 - ввод значений цг(дь д2, ..., д5), цгтах, цгтш, артах = 0, V, Рртт, Рртах, 8тЫ= =1 мм; 2 - ц = цр 3 - вычисление матриц М0,к, определяющих положение звеньев и значений векторов Щ - Щ4; 4 - расчёт матриц М0,к реализацией вектора 2 и определение значений векторов Щ1', Щ2', Щ3', Щ4 - Щ9; 5 -
вычисление погрешностей линеаризации Sp; 6 - Sp < Smin; 7 - q"
qt
q^max. g - вычисление а и P; 9 -
определение артях (3); 10 - ар > артах, Рртш > Рр > Рртах; 11 - ц1р = ц; 12 - изменение параметров к, задающих значение вектора 2 при наличии двигательной избыточности [5] к = к + 1; 13 - к > к,тях; 14 - расчёт вектора 2,
<
<
41 = 41 + 4; 15 - вывод координат крайней точки Ь, принадлежащей сферической кривой 1р и развёртке сферы сектора рртт и рртах ; 16 - Рртах > 360°; 17 - задание следующего сектора развёртки рртт и рртах; 18 - конец.
IV. Результаты экспериментов
На рис. 4а, б представлены результаты исследований, связанных с определением проекций угла а, образованного между крайними положениями осей схватоносителя на трех плоскостях проекций и определением траектории перемещения точки Ь на условной развертке сферы.
____^ 240 0° 20° 40°60° 80°
б
Рис. 4. Проекции угла а и положение точки Ь на развёртке сферы при синтезе движения в одном из секторов развёртки для конфигурации дг = 25°, д2 = 20°, д3 = -65°, д4 = 25°, д5 = -65° при: а) -75° < д, < 75°; б) -120° < д, < 120°
При данном синтезе движений оси схватоносителя точка L смещается в заданном секторе развёртки. Сектор развёртки задан углами 90° и 120°. Предельные значения обобщённых координат для определения сферической кривой рис. 4а заданы интервалом -75° < q; < 75°. На рис. 4б данный угол соответственно построен для интервала значений -120° < q{ < 120°. Углы Ub U2 и U3 на рис. 4а,б определяют проекции угла а. На рис. 4 отображена линейчатая поверхность Dm с помощью её горизонтальной, фронтальной и профильной проекций Dm1, Dm2 и Dm3. Линейчатая поверхность Dm образована отдельными положениями оси схватоносителя (заданной отрезком 0120п) при неподвижном центре захвата 012. Данная точка при синтезе движений не выходит за пределы окружности S =1 мм. Линейчатая поверхность в полной мере характеризует маневренность манипулятора. Изображения проекций Dml, Dm2 и Dm3 области Dm дают лишь некоторое геометрическое представление об указанной маневренности манипулятора в заданном секторе развёртки сферы
max min
при заданных значениях qt и qt .
На рис. 4а, б отражены отдельные положения оси схватоносителя при заданном модуле вектора | V (Vx, Vy, Vz)| = l мм / t. Вектор V при этом параллелен оси x неподвижной системы координат. На рис. 4а, б показаны отдельные положения точки L в заданном секторе. Крайние точки L максимально удаленные от точки Ор центра развертки задают положение сферической кривой lp. Площадь замкнутого контура заданного этой кривой определяет телесный угол сервиса руки андроидного робота.
V. Обсуждение результатов
Результаты проведенных исследований позволяют сделать следующие выводы:
- форма и положение сферической кривой lp в значительной степени зависят от положения механизма руки андроидного робота;
- при вычислении вектора Q следует использовать максимальные значения параметров к¡ncac. При этом значительно сокращается время расчетов при нахождении положения сферической кривой.
VI. Выводы и заключение
Предлагаемый алгоритм вычисления проекций телесного угла сервиса и сферической кривой позволяет с определенным допущением определять указанный угол. Данный алгоритм характеризуется обобщенной универсальностью и может быть использован для манипуляторов, имеющих произвольную структуру кинематических цепей, произвольную степень двигательной избыточности и заданные различные предельные значения обобщенных координат. Разработанный метод изменения ориентации ВЗ может быть использован в интеллектуальных системах управления автономно функционирующих роботов с целью смены положения конфигурации по отношению к заданным запретным зонам.
Список литературы
1. Лебедев П. А. Аналитический метод определения коэффициента сервиса манипулятора // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1991. № 5. С. 93-98.
2. Притыкин Ф. Н. Графическое представление телесного угла и окружающего пространства руки при реализации мгновенных состояний манипуляторов // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2002. № 3. С. 93-101.
3. Корендясев А. И., Саламандра Б. П., Тывес П. Н. Определение числа степеней свободы исполнительного органа промышленного робота // Машиноведение. 1985. № 6. С. 44-53.
4. Pritykin F., Gordeev O. Defining a Service Angle for Planar Mechanisms of Manipulators based on the Instantaneous States Analysis // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2016. Vol. 124. DOI: 10.1088/1757-899X/124/1/012025.
5. Pritykin F. N., Nebritov V. I. Studying tolerance range of generalized velocities vector under android motion synthesis // Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines (Dynamics). 2016. 15-17 Nov. 2016. D0I:10.1109/Dynamics.2016.7819064.
