Научная статья на тему 'Исследование распространения волн в оболочке с мягкой нелинейностью'

Исследование распространения волн в оболочке с мягкой нелинейностью Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
46
5
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ / УПРУГИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ / NONLINEAR WAVES / ELASTIC CYLINDER SHELL

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Иванов С. В., Могилевич Л. И., Попова Е. В.

В настоящей работе развивается метод возмущений для исследования нелинейных волн деформаций в упругой цилиндрической оболочке. Метод двухмасштабных разложений приводит к модифицированному уравнению Кортевега де Вриза, имеющему точные решения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Иванов С. В., Могилевич Л. И., Попова Е. В.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

INVESTIGATION OF WAVE PROPAGATIONS IN A SHELL WITH SOFTENING NONLINEARITY

The present article deals with further developing of perturbation method for non-linear deformation waves in an elastic cylinder shell. The method of two-scale expansions leads to the modified Korteweg de Vries equation having exact solutions.

Текст научной работы на тему «Исследование распространения волн в оболочке с мягкой нелинейностью»

Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/

URL статьи: mathmod.esrae.ru/20-83 Ссылка для цитирования этой статьи:

Иванов С.В., Могилевич Л.И., Попова Е.В. Исследование распространения волн в оболочке с мягкой нелинейностью // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2019. №1

Выполнено при поддержке грантов РФФИ № 19-01-00014-а и 18-01-00127-а_________________

УДК 532.517.2:539.3

ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В ОБОЛОЧКЕ С

МЯГКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

1 2 3

Иванов С.В. , Могилевич Л.И. , Попова Е.В.

Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, [email protected]

2

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,

[email protected]

Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, [email protected]

INVESTIGATION OF WAVE PROPAGATIONS IN A SHELL WITH

SOFTENING NONLINEARITY

Ivanov S.V.1, Mogilevich L.I2, Popova E.V.3 1Saratov State University, [email protected]

2

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, [email protected] 3Saratov State University, [email protected]

Аннотация. В настоящей работе развивается метод возмущений для исследования нелинейных волн деформаций в упругой цилиндрической оболочке. Метод двухмасштабных разложений приводит к модифицированному уравнению Кортевега - де Вриза, имеющему точные решения.

Ключевые слова: нелинейные волны, упругие цилиндрические оболочки.

Abstract. The present article deals with further developing of perturbation method for nonlinear deformation waves in an elastic cylinder shell. The method of two-scale expansions leads to the modified Korteweg - de Vries equation having exact solutions.

Keywords: non-linear waves, elastic cylinder shell.

Тонкостенные оболочки широко используются в различных изделиях современной промышленности и инженерных сооружениях, в связи с этим, исследования динамических процессов в них имеют не только теоретический, но и практический интерес. Традиционно распространение волн в сплошных средах изучается при помощи линейных уравнений [1]. В рамках данного

подхода скорость распространения малых возмущений считается постоянной и равной скорости распространения звука в невозмущенной среде. Однако, известен ряд нелинейных волновых явлений, например, распространение уединенных волн в нелинейных средах. В этом случае волновые процессы описываются на базе нелинейных уравнений, а их исследования проводятся с помощью методов возмущений [2]. На сегодняшний день исследований распространения нелинейных уединенных волн деформации в цилиндрической оболочке, имеющей конструкционное демпфирование, практически нет. С другой стороны, известно достаточно много работ [3-15], посвященных вопросам гидроупругости цилиндрических оболочек, взаимодействующих с вязкой жидкость, в которых показана важность учета демпфирования при изучении динамических процессов в них.

В настоящей работе на базе метода возмущений исследуются вопросы математического моделирования распространения нелинейных уединенных волн деформации в физически нелинейной цилиндрической оболочке с учетом конструкционного демпфирования.

В рамках теории пластичности А. А. Илюшина [16,17], компоненты тензора напряжений ах, а0 определены через компоненты тензора деформаций єх, є0 и квадрат интенсивности деформаций єи [18,19] следующими

выражениями

E

=-

1 -V

(єх +МЄ&І1 - m

E

0

E

1 -Vo2

(є0 + Vo Єx J 1 - m

E

(1)

є2 = 3(єХ +Є0 -єхє).

Здесь E - модуль Юнга; m - константа материала, определяемая из опытов на растяжение или сжатие; v0 - коэффициент Пуассона материала оболочки.

Далее будем исследовать осесимметричную задачу для цилиндрической оболочки. Толщина оболочки h0, а ее упругие перемещения - продольное U и прогиб W, направленный к центру кривизны. Связь компонент деформаций с упругими перемещениями имеет вид [20]

dU 1 ( є = +1

х дх 21

dW

д 2W

- z-

W_

R

^дх J дх2 ’ R' (2)

Здесь х - продольная координата вдоль срединной поверхности; z -

нормальная координата в оболочке (- h0 < z < hf'\. Квадрат интенсивности деформаций записывается в виде

2

2

2 = 4 j

є = 3 ^

и+1 f

дх 21

ÖW_

дх

- z-

д 2W дх2

W2 W

+--у +--

R2 R

и+1 f

дх 21

ÖW_

дх

-z

д 2W дх2

(3)

2

2

є

U0 =

є

2

и

и

2

2

2

2

или

2 _ і,

єш 3 і

dU 1(dW dx 2 i dx

-|2

'WY dW + 1 I + i R J dR

dU +1 ( dW

_ z

2 dU+1 (dW)2+W

dx 2 i Sx J R j

d 2W

dx2

+ z 2

dx 2 V dx

d2W'

( 2 ) 2

dx2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V x j

(4)

Усилия в срединной поверхности оболочки и момент определим по формулам

Nx _ \°xdz , N0 _ j&edz , Mx _ \°xzdz •

_ho _ho

2 2

При этом

(5)

ho

2

I

m

1 _YSU

E

dz _ hj 1 _ 4 m і 3 E

dU 1(dW dx 2 i dx

(W| W

+ ( RJ + R

dU 1(dW dx 2 i dx ,

+ -

h

2 (d2W)

12

V &2 J

2

Iz

4 m ' (

1 _ --- Z dz _ h 4 m h 2

E _ 3 E 12 _ V

dU 1 ( dW dx 2 i dx

2

W

H—

R

d 2W

dx2

(6)

Iz 2

_ ho 2

m

1 _ Z

E

hi

4 m

dz _ 0 1 _ і

12 3 E

dU 1(dW dx 2 i dx

(W| W

+ 1 RJ + R

dU 1(dW dx 2 i dx

+

+3 hoL (d 2w )

20

v& j

Подставляя (6) в (5) находим

N. _ Eho

dU +1( dW

1 _ do dx 2 i dx

W 4 m

-do _ і 0 R 3 E

dU 1(dW

dx 2 i dx y

+ (1 _ do)

dU 1(dW

dx 2 i dx

W

( W

d01 — I +

V r J

h

2 (d2W)

12

V &2 J

+ (1 _ do )

dU 1(dW dx 2 i dx

dU 1(dW

dx 2 V dx _

2 )

W

---h

R

W

+ (1 _do ) W

J

R

N 0_

Eh

0

1 _d

2 \ do

0

dU 1(dW dx 2 i dx

W 4 m R 3 E *

do

(dU 1 (d^2 )

dx 2 i dx

i

J

W_

R

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2 2

1 (swY'

V dx 2 V J j

+

(W)2 (

+ 1 — I +

V R J

i

dU 1(dW

dr 2 i dx

2

W

R

+

K_

12

3do

(dU+1 (джЛ2)

dx 2 V dx

W

_(1 _do) W

R

2

2

h

2

2

2

2

2

h

h

2

h

2

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

3

2

М - Eh0

х - 12(l -м02) дх

д 2W_

, 4 m

1 - 1

3 E

dU 1IdW дх 2 і дх

+ 2(l-А

ди 1IдW

дх 2 і дх

W

+

R

(7)

+(1 -Mo )WI + ^0т

h

2 Сд2WЛ

R

20

V дх 2 У

2

2

2

3

2

2

Материал оболочки обладает демпфирующими свойствами в продольном и нормальном направлениях. Учтем данный факт введя в рассмотрение конструкционное демпфирование. Тогда, уравнения динамики рассматриваемой оболочки с конструкционным демпфированием, имеют вид

д 2U

(8)

dN,

дх

— р0 h0

д 2Мх д

-----2---+

дх2 дх

ât2

—I—N

+ Є1 I p0h0

E ди

P(1 -M0) dt

дх

) 1 д 2W l

+ — N0 — p0h0 —— + є2 — p0 h0

I R 0 0 0 ді2 R2

E dW r h0 ,

—(----21^ + k1~T P0h0 —

P0(1 M0 ) dt R3 Pc

E

(1 -M02)

W

Здесь t - время; p0 - плотность материала оболочки; є1, є2 - коэффициенты демпфирования, ki - коэффициент постели окружающей среды. Подставляя (1), (2), (5) в (8) находим уравнения динамики в перемещениях

Eh0 д 'dU

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

сё

CN о 1 дх

=5.

1

+

M

W 4 m

R 3 E<

öU 1С dW +

дх 2 і дх

+ (1 -M0 )

dU

дх

+

11 âW 2 і дх

W

+ (1 -M hR

W

R + (1 -M0 )

dU 11 dW дх 2 і дх

W_

W Л3 h2 С d2W л2

M01 I +

R

12

дх2

V х У

2

CdU 1 [dW^ +

дх 2 і дх

+

d 2U

1

p0h0 2 + є1 jP0h0,

dt l

E dU P0(1 -M02) dt

Eh0 d 2 ( 'd 2W

12(1 -m0 ) дх2' \ дх2

, 4 m "

ı1 - 3

3 E

V і

ÖU 1I dW дх 2 і дх

22

+ 2(1 -M Р+1 R

V У дх 21 дх

2

У

W

---+

R

У

+(1 MW) + 320

h

22

d_W

дх2

і х У

+-

Eh0 Ö dW

1 - m02 дх дх

dU 11 dW дх 2 і дх

M

W

R

4m

3 E ^

dU 1ІdW

дх 2 і дх .

d 2W

3

+ (1 -M0 )

3 2 2 2

W V h R

M0I — I РУ

0

12

дх 2

і х У

dU 11 dW дх 2 і дх

dU 11 dW

дх 2 і дх _

2 Л

W

R + (1 ~Рс )

dU 11 dW дх 2 і дх

W

У

W

+ (1 -M ) R"

> +

3

2

2

2

2

2

2

2

2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2

2

2

2

2

3

+ -

Eho 1 i— Mo2 R

dU UdW_ dx 2 i dx

W 4 m

— R " 3 E ^

Mo

2

' dU 1 few' +

i

dx 2 i dx

1 (W

2 i ox

22

(l ) w

— (1 — Mo )

2

+(W j +

2

dU 1 (dW_ i dx 2 i dx y j

W

R

+ ■

h

2 fd2WЛ

12

vdx 2 j

R

= Po h

d 2W

l

0"0 ^ 2 + S2 R 2 Po h0

E

dW

)

3Mo

h

W

R

dU

dx

+

fU +1 f dW'2 ^

dx 2 i dx

i

j

P

(i - Mo2) dt

+ kı T Po ho

E

M 3 yo ho 2

R po (i — Mo )

W

Проводимые оценки в безразмерных переменных, характеризуют рассматриваемые задачи. Для волновых задач оболочку считаем бесконечной. Для продольных волн в оболочке вводятся безразмерные переменные и параметры. Принимаем за характерную длину l - длину волны, а um, wm -характерные значения упругих перемещений

(io)

* x * c.

* r

* * *

W = WmU3 , U = UmU1 , x = , t = oґ , r = ,

где Co =

E

P(i — Mo)

оболочке.

Положим

l l R

скорость распространения продольных упругих волн в

(11)

ho = є<< 1, ^ = O(s), Wm = O(1), UmR = O(1), — = O(1), % = h2, R- = є3 R l2 ho l ho E l2 R2 l2

где є- малый параметр задачи. В этих переменных уравнения (9) принимают вид

co po ho

1 d , um du1

l dx * ' \ l dx *

2

wm

R

fdu^)2 — m w — 4 m

dx * j Mo R 3 3 E<

um dU1

l dx *

+

1 R2 f wm Vf du, 42

3

+-----2

2 l2

R

dx

+ (1 — Mo)

du1 1 R2 ^

l dx * + 2 l2

w

R

f 0U,

dx

w

R

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

f um_ du1

v l dx *

+

1 R2 f wm ^2 f du3

+ 2 2 l2

R

dx

1 R2 f Wm Ҳ2 f du 3

Г)

>2 Л

w

+ wi^u,

R

3

M

f wm V u 3 + ho2 R2 wm

3 I

2 J?2 w 2 fd2 u ^2 Г f

R

12 l4 R2

d2 u 3 - 3

v^ *2 J L

um. du1

l dx *

(12)

+

+ 2 2 l2

R

dx

+ (1 — Mo ) > 3

co po ho u d u1 +є co po ho du1 . + є

/ ) = 2° o u

m *2

dt

M l2 dt*

-C2P o o

co o

h hi 1 d2 Rw d2u

l 12 l2 dx*2 \ l R dx

*2

4m

i1----

3 E

+ 2(1 — Mo)

f и du, 1 R2 f w Yf du, Y^

*m 1

* 2

l dx 2 l2 V R ) Vdx

fum du, 1 R2 fwm YfduR^

m 1 + m 3

l dx * 2 l2 V R

V

dx

+

)

+(1—Mo J +

2

2

2

2

2

2

u

u

3

2

+3 hi R4 (Ydu v

20 l4 VR2 ){dx*2 J

2 .1 d Rwm du3

M + c° рЛ ı dx*( ı R dx*

um dUl

l dx *

+

+ 1RL (Wm)2( dU342 2 l2 I R

wm 4 m

R j-», -1 -e і

um du1 1 R2( w.

+ —

l dx 2 l2 V R

+

+(1 - Ro)

w

+ —mu, R 3

m 1

l dx * + 2 l2

( --- Л2 ( du 3 Л21 ---

-u3

V R J Vdx \ J J R 3

u

m1

l dx * + 2 l2

w

Ro----u, +------

0 R 3 12 l4

ho2 R2 (—m Л2 ( d2 u, Л

R

u 3

V^ j

* + 2

l dx 2 l2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+ (1 -Ro) —m

4 m

- 3 E *

1

f

+ co Po ho -R Ro

um du , 1 R2 (—- Y( du R

' ---m Л п ґ du 3 Л +

V R у vdx * у

(--- 2 ( du3

m 21

V R Vdx * J J

2 Л

+

* + 2

l dx 2 l2

Ro

um ŞuL +1R2 (—- lYd^

l dx '* 2 l2 ( R J V dx *

2

—m

R

u

vdx

( um du.

l dx *

—m

R

u3 -

+

1 R2 (—m Y( du 3

22

+ 2 2 l2

m

R

dx

2

f

2

+ I I u з +

um RRl +1R2 (—m 12(du3 l dx * 2 l2 ( R J Vdx *

2

R

u

+

+

ho2 R2 —m ( d2 u Л

12 l4 R2

Vdx*2 j

3Ro

u m du1 ,1 R2 (—m Л ('du з

2

* + 2

l dx 2 l2

R

dx

-(1 -Ro ) з

/ =

d2 u.

du,

= Poho ^- + s2poho o ^ + k,poho o —mu3

l dt R dt R

Введем независимые переменные в виде

* * *

Ç = x - ct , T = St ,

где с - безразмерная неизвестная скорость волны; t - быстрое время. В этих переменных, оставляя в уравнениях (12) члены порядка s и s2, и, отбрасывая члены с более высокими степенями, получим уравнения [21]

д u m du1

dÇ\ l dÇ

Ro

R

—m- T u 3

V R J

—m

R

u

4 m

3 E

(um du1 Y , (l .. ) um du1 —m„ (um du1

г +(1 - Ro) г—u 3 :

V l dÇj

■ + —^u,

l dÇ R V l dÇ R

l

2 d2 u1 d2 u1

dÇ:

- 2sc-

dÇdT

um „ A

S c

l 1 dÇ ’

(14)

Ro

u- du1 - —

l dÇ R

m

u 3 -3 3 E

4 m ( u - du1 Л

R

o l dÇ R 3

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(um du1 Y , (—m Y u 2 ,

V l dÇ J V R J

+u-_ d^ —^„

l dÇ R 3

R 2 —

l2 R

2 d2 u 3

dÇ;

- 2s^-

d2 u3

dÇdT

R- —m-s2 cdu3 + —k,u3.

l2 R R2 dÇ R R

Зависимые переменные представим в виде асимптотического разложения

3

2

2

m

3

3

u

*

U — Ujo + ЄІЛц + — U30 + £Ugı + ... (15)

Подставляя (15) в (14) и оставляя члены порядка s получим систему уравнений

AKi -и, wLu\ — c 2sV

dÇ\dÇ А0

10 — c_ UmR /

10

(16)

дЛ10 Wlu30 — 0.

dÇ umR

Из этой системы получаем

wml дл10 2 2

^Ул30 —R0^rr> c — 1 -А) •

UmR dÇ

(17)

Таким образом, л10 остается произвольной функцией, а безразмерная

E

скорость волны c — (1 - А0)2 и, следовательно, скорость волны равна

V

Р0

скорости волны в стержне. Здесь Ç — 1

( E 1

x - t

К р0 )

, так как оболочка имеет

бесконечную длину.

В следующем приближении s2 получим систему уравнений

д длп

дЕ dÇ

А0

Wml .

uR

4 m

3 Es

( дЛю Л dÇ

+ (1 - A )

дл10 wml (дл

0 30

E Л mR

■ + ■

w,

ı Л

дЕ UmR

-л,

А0

( wml Л

К ЛmR )

_ д2 л10 2

— -2c----11 + c2

(18)

д2 лп s1 дл10

l

2

А0

дл11 -Е Л mR

д^дг д%2

4 m (um Л2( дл

- c-

S д£ SUm Р0 h0c

2 q*;

Л 31

31 3 Es

l

10

w.

/ Л

-л.

А 30

К дЕ UmR )

m 0 0 0

2

( дл10 Л ( wml 'л

, Wml дЛ10 _

+----------л2

Л mR дЕ

1 R Wml c 2 д Л3

s l umR

дЕ

s R л„

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

дЕ

дЕ

■ + k

,

К UmR )

Л 30 +

s2 Wm l „ дл30 , и 1 h0 Wm^

1 s R л R 30

m

Подставим соотношение (17) в уравнения (18) и получим систему

д2 л11

А д£2

- ^/т

■А

w l дл.

4 да

— + —

л^ дЕ 3 Es

(1 -А2*

А0 К1 + А + А

)31

дл.

2 д 2

д2 л.

д£ ) дЕ

А

s-zE

А

дл11 Wml

2 дл10 ' А, ,

1 R2 2 д 3л,

(19)

0 дЕ лmR 31 s l2

(1 - а0 А

0 0

дЕ

£

■V1

,2 .. д л10

А0 А0

дЕ

,

1 h0 А дл10 .

+ k1 А0 ;

s R д£

Умножим обе части второго уравнения на а и продифференцируем по Ç. Оно примет вид

3

3

3

л

30

2

l

s

2

2 д2u„

Mo - - Mo

Wml duзі

д^

1 " s R

umR д% s l

2

1 R 2 2 Mo Vі — Mo )

д U10 S2 Г-І 7/2 . .2 д u

д£‘

■Mo Mo

10

д£3

+

д 2 u

+ ki Ml

(2o)

Левые части уравнения (19) и уравнения (2o) совпали. Вычтем, почленно, из уравнения (20) первое уравнение системы (19) и получим разрешающее уравнение

ч 2

ди10 Л д 2u

д£ ) дf

^ дЦГ-4 §1/7 § -M0 )(1+M+M

, 1 R ..2 V 2 )д U10 S2 2 ,.2 д u10 , ,, 1 "0 . .2 ^ “10

+ s 12 M0V-M>) ягг4 - „ V1

+

д£

s

Mo M

0 0 3

д3и10 ,1 "o 2 д2ub

10 + k1 0 M02 § +

1 s R 0 д£2

д£3

+ —V1-M0

s д£

2 ди10 = 0

Разделим обе части полученного уравнения на 2^1 - m02 , получим

д2 u m (м Л ( ди Л д2 u

10 - 2m д£дг Es

2

■ ~J^j 1 - M0 (1 + M0 + Mı

10

д£) д^;

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+

1 R2 2

s l2 M

+ -yr Mİ^M.

2 д u10

д?

1 §2 </2 д u10 + 1 "o

Mo ^^3 + k1

2 s

Mo2

д2 u

10

af

s R 2/1 -Mo2 af!

+

+

1 s1 Su10 = o

2 s öf

Полученное уравнение есть модифицированное уравнение Кортевега - де

Вриза - Бюргерса (МКдВ-Б) для

^10

д£

Если, учитывая (11), положить wm = ",

"l R2 m (u Л m "2 m

um = , - = s, то I m 1= 2 = s = O(1) и уравнение становится таким

R l Es I l ) Es R E

д u10 д£дт

+ k

V1 - Mo 2(1 + Mo + M

2 ( Su10

2 д 2

д2u10 2 г. 2 д4u,

M

2 д2 u10 1 s1 Su1

дf) д£:

= 0

■ + M

E

Mo

дf/

1 s2 ,,2 д u10 .

‘Mo - +

2s

д£

з

1 2^1 - m02 д£' 2 s д£

Su

Полагая 10 = v, п = cf, / = c2r получим модифицированное уравнение

дf

Кортевега - де Вриза - Бюргерса

-- s.

Sv 6^2 дф + дЪф s дV . s д^

, 3 2 2 + s — + sv = 0,

дї дп дп дп дп

1 1 + M + M2 2 1 1-2

--- , c2 = c1 1 M

Mo 3 3

s

Я2

С1 1 Є2 2

, S2 =-- — Я • С 2 2 Є

11 є1 c ,

при этом положено s0 =---1, s1 =-L k1 ,--

c2 2 Є c2 2 1-Я2

При отсутствии продольного конструкционного демпфирования s0 = 0

(є1 = 0) уравнение МКдВ-Б имеет точные решения.

В случае мягкой нелинейности уравнение

д„ с. „2 д„ , д> „ дV , г, д„ г\

dt дп дп дп дп

имеет точное решение в виде кинка-антикинка

V = +—s2 ± kth\ Ik 62

п+[ 2k - s1 + 6 s2 jt

Фазовая скорость — = -2k2 - - s22 + s1, скорость волны при этом

k 6

E

Ро

( 1 ^ 2k2 +1 s22 - s1

6 2 1

(і-Яо2 І1 + Я +Яо2)

1 - Зє

Если числитель дроби 2k2 +—s22 - s1 > 0 (s1 < 2k2 + -s22), то скорость

66

дозвуковая. Если числитель дроби 2k2 + -s22 -s1 <0 (s1 > 2k2 + -s22), то скорость

6

6

сверхзвуковая.

Влияние постели - окружающей среды (sj) в любом случае увеличивает скорость волны.

Конструкционное демпфирование в продольном направлении (s0>0) оказывает влияние на амплитуду волны. Это влияние исследуется с помощью численного решения уравнений МКдВ-Б и МКдВ при s0>0.

Волновое число k - произвольная величина, l = Х = — - длина волны.

k

Для численного исследования модели волновых движений физически нелинейной упругой оболочки с конструкционным демпфированием (рассеянием энергии), взаимодействующей с окружающей ее упругой средой, используем следующую разностную схему для уравнения (21) аналогичную схеме Кранка-Николсона для уравнения теплопроводности.

n+1 n

u j -

n n+1 n+1 n n

uj , s (u! +1 - uj-1j+(uj +1 - u j-1j

-t- s1

4h

-2

3n+1 зn+1 зП зП

\u j+1 — u j-1 + u j+1 — u j-1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4h

+

+

(j - 2u”1 + 2j - j■ 2)+(u; 2 - 2j + 2uj-1 - uj-2)

4h3

-s

(uj+1 - 2uj+1 + un-+1)+ (uj+1 - 2uj + unj-1) un+1 + u

2

2h2

+s

0

2

0

При отсутствии влияния окружающей среды и конструкционного демпфирования в продольном и нормальном направлениях скорость и амплитуда волны не меняется. Движение происходит в отрицательном направлении (рис. 1). Это означает что скорость движения дозвуковая.

Рис. 1. Отсутствие влияния окружающей среды (s1=0) и конструкционного демпфирования в продольном (so=0) и нормальном (s2=0) направлениях

Рис. 2. Отсутствие конструкционного демпфирования в продольном (s0=0) и нормальном (s2=0) направлениях, при наличии влияния окружающей упругой среды (sı>0)

При отсутствии конструкционного демпфирования в продольном и нормальном направлениях и наличии влияния окружающей упругой среды амплитуда волны не меняется. Движение происходит в положительном направлении (рис. 2). Это означает, что скорость движения становится сверхзвуковой.

Рис. 3. Отсутствие влияния конструкционного демпфирования в продольном направлении (s0=0), наличие влияния конструкционного демпфирования нормальном направлении (s2>0)

и окружающей упругой среды (s1>0).

Наличие влияния окружающей упругой среды движение происходит в положительном направлении. Это означает, что скорость движения становится сверхзвуковой (рис. 3). Наличие демпфирования в нормальном направлении приводит к структуре ударной волны сжатия (ф< 0).

Рис. 4. Наличие влияния окружающей упругой среды (s1>0) и конструкционного демпфирования в продольном (s0>0) и нормальном (s2>0) направлениях

Наличие конструкционного демпфирования в продольном направлении приводит к падению амплитуды волны (рис. 4).

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 19-01-00014-а и гранта РФФИ № 18-01-00127-а.

Литература

1. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. М.: Физматлит, 2004 472 с.

2. Van Dyke M. Perturbation methods in fluid mechanics. Stanford, CA: Parabolic Press, 1975. 271 p.

3. Блинкова А.Ю., Ковалева И.А., Могилевич Л.И., Попов В.С. Распространение волн деформации в двух упругих цилиндрических оболочках, между которыми находится вязкая жидкость // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2011. Т. 4. № 1 (59). С. 7-12.

4. Могилевич Л.И., Попов В.С. Математическое моделирование динамики взаимодействия слоя вязкой жидкости в кольцевой щели со стенкой, окруженной упругой средой // Динамика систем, механизмов и машин. 2016. № 2. С. 346-350.

5. Иванов С.В., Могилевич Л.И., Попов В.С. Моделирование колебаний и волн в цилиндрической оболочке с вязкой несжимаемой жидкостью внутри нее // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2011. Т. 4. № 1 (59). С. 13-19.

6. Mogilevich L. I., Popov V. S. Mathematical modeling of incompressible viscous liquid layer interaction dynamics in an annular slit with its wall, surrounded by elastic medium//IEEE Conference Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines (Omsk, 2016) DOI: 10.1109/Dynamics.2016.7819050.

7. Могилевич Л.И., Попова А.А., Попов В.С. Динамика взаимодействия упругой цилиндрической оболочки с ламинарным потоком жидкости внутри нее применительно к трубопроводному транспорту // Наука и техника транспорта. 2007. № 2. С. 64 - 72.

8. Могилевич Л.И., Попов В.С. Динамика взаимодействия упругого цилиндра со слоем вязкой несжимаемой жидкости // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2004. № 5. С. 179-190.

9. Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Динамика взаимодействия

пульсирующей вязкой жидкости со стенками щелевого канала,

установленного на упругом основании // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2017. № 1. С. 15-23.

10. Кондратов Д.В., Кондратова Ю.Н., Попов В.С., Плаксина И.В. Задачи гидроупругости для трубы кольцевого сечения с упругой, геометрически нерегулярной внешней оболочкой при воздействии давления // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13. № 3. С. 70-76.

11. Могилевич Л.И., Попов B.C., Попова А.А. Колебания гильзы цилиндра двигателя внутреннего сгорания с водяным охлаждением под действием

ударных нагрузок со стороны поршневой группы // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2008. № 3. С. 100-106.

12. Попов В.С. Колебания ребристой оболочки, окруженной слоем вязкой несжимаемой жидкости // Вестник Саратовского госагроуниверситета им. Н.И. Вавилова. 2003. № 4. С. 47-50.

13. Попов В.С., Попова А.А., Волов М.И. Математическое моделирование взаимодействия ламинарного пульсирующего потока с цилиндрической ребристой оболочкой, по которой он движется // Совершенствование методов гидравлических расчетов водопропускных и очистных сооружений. 2010. № 1 (36). С. 51-66.

14. Попов В.С. Исследование динамики взаимодействия пульсирующего ламинарного потока жидкости с упругой цилиндрической оболочкой // Совершенствование методов гидравлических расчетов водопропускных и очистных сооружений. 2007. № 1 (33). С. 72-80.

15. Mogilevich L.I., Popov V.S., Kondratov D.V., Rabinskiy L.N. Bending oscillations of a cylinder, surrounded by an elastic medium and containing a viscous liquid and an oscillator // Journal of Vibroengineering. 2017. Т. 19. № 8. С. 5758-5766.

16. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ. 1990. 310 с.

17. Овчаров А.А., Брылев И.С. Математическая модель деформирования нелинейно упругих подкрепленных конических оболочек при динамическом нагружении // Современные проблемы науки и образования. 2014. №3 URL: www.science-education.ru/ru/article/view?id=13235.

18. Каудерер К. Нелинейная механика.- М.: Издательство иностранной

литературы. 1961. 778 с.

19. Фельдштейн В.А. Упругопластические деформации цилиндрической оболочки при продольном ударе // Волны в неупругих средах, Кишинев. 1970. С. 199-204.

20. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Издательство Юрайт. 2018. 439 с.

21. Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках: солитоны, симметрии, эволюция. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т. 1999. 132 с.

22. Землянухин А.И. Бочкарев А.В. Могилевич Л.И. Уединенные продольно-изгибные волны в цилиндрической оболочке, взаимодействующие с нелинейно-упругой средой // Вестник Московского государственного университета им. Н.Э. Баумана. Серия: Естественные науки. 2018. №1(76). С. 47-60.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.