CC BY
5Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/
URL статьи: mathmod.esrae.ru/20-83 Ссылка для цитирования этой статьи:
Иванов С.В., Могилевич Л.И., Попова Е.В. Исследование распространения волн в оболочке с мягкой нелинейностью // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2019. №1
Выполнено при поддержке грантов РФФИ № 19-01-00014-а и 18-01-00127-а_________________
УДК 532.517.2:539.3
ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В ОБОЛОЧКЕ С
МЯГКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
1 2 3
Иванов С.В. , Могилевич Л.И. , Попова Е.В.
Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, evilgraywolf@gmail.com
2
Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,
mogilevich@sgu.ru
Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, elizaveta.popova.97@bk.ru
INVESTIGATION OF WAVE PROPAGATIONS IN A SHELL WITH
SOFTENING NONLINEARITY
Ivanov S.V.1, Mogilevich L.I2, Popova E.V.3 1Saratov State University, evilgraywolf@gmail.com
2
Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, mogilevich@sgu.ru 3Saratov State University, elizaveta.popova.97@bk.ru
Аннотация. В настоящей работе развивается метод возмущений для исследования нелинейных волн деформаций в упругой цилиндрической оболочке. Метод двухмасштабных разложений приводит к модифицированному уравнению Кортевега - де Вриза, имеющему точные решения.
Ключевые слова: нелинейные волны, упругие цилиндрические оболочки.
Abstract. The present article deals with further developing of perturbation method for nonlinear deformation waves in an elastic cylinder shell. The method of two-scale expansions leads to the modified Korteweg - de Vries equation having exact solutions.
Keywords: non-linear waves, elastic cylinder shell.
Тонкостенные оболочки широко используются в различных изделиях современной промышленности и инженерных сооружениях, в связи с этим, исследования динамических процессов в них имеют не только теоретический, но и практический интерес. Традиционно распространение волн в сплошных средах изучается при помощи линейных уравнений [1]. В рамках данного
подхода скорость распространения малых возмущений считается постоянной и равной скорости распространения звука в невозмущенной среде. Однако, известен ряд нелинейных волновых явлений, например, распространение уединенных волн в нелинейных средах. В этом случае волновые процессы описываются на базе нелинейных уравнений, а их исследования проводятся с помощью методов возмущений [2]. На сегодняшний день исследований распространения нелинейных уединенных волн деформации в цилиндрической оболочке, имеющей конструкционное демпфирование, практически нет. С другой стороны, известно достаточно много работ [3-15], посвященных вопросам гидроупругости цилиндрических оболочек, взаимодействующих с вязкой жидкость, в которых показана важность учета демпфирования при изучении динамических процессов в них.
В настоящей работе на базе метода возмущений исследуются вопросы математического моделирования распространения нелинейных уединенных волн деформации в физически нелинейной цилиндрической оболочке с учетом конструкционного демпфирования.
В рамках теории пластичности А. А. Илюшина [16,17], компоненты тензора напряжений ах, а0 определены через компоненты тензора деформаций єх, є0 и квадрат интенсивности деформаций єи [18,19] следующими
выражениями
E
=-
1 -V
(єх +МЄ&І1 - m
E
0
E
1 -Vo2
(є0 + Vo Єx J 1 - m
E
(1)
є2 = 3(єХ +Є0 -єхє).
Здесь E - модуль Юнга; m - константа материала, определяемая из опытов на растяжение или сжатие; v0 - коэффициент Пуассона материала оболочки.
Далее будем исследовать осесимметричную задачу для цилиндрической оболочки. Толщина оболочки h0, а ее упругие перемещения - продольное U и прогиб W, направленный к центру кривизны. Связь компонент деформаций с упругими перемещениями имеет вид [20]
dU 1 ( є = +1
х дх 21
dW
д 2W
- z-
W_
R
^дх J дх2 ’ R' (2)
Здесь х - продольная координата вдоль срединной поверхности; z -
нормальная координата в оболочке (- h0 < z < hf'\. Квадрат интенсивности деформаций записывается в виде
2
2
2 = 4 j
є = 3 ^
и+1 f
дх 21
ÖW_
дх
- z-
д 2W дх2
W2 W
+--у +--
R2 R
и+1 f
дх 21
ÖW_
дх
-z
д 2W дх2
(3)
2
2
є
U0 =
є
2
и
и
2
2
2
2
или
2 _ і,
єш 3 і
dU 1(dW dx 2 i dx
-|2
'WY dW + 1 I + i R J dR
dU +1 ( dW
_ z
2 dU+1 (dW)2+W
dx 2 i Sx J R j
d 2W
dx2
+ z 2
dx 2 V dx
d2W'
( 2 ) 2
dx2
V x j
(4)
Усилия в срединной поверхности оболочки и момент определим по формулам
Nx _ \°xdz , N0 _ j&edz , Mx _ \°xzdz •
_ho _ho
2 2
При этом
(5)
ho
2
I
m
1 _YSU
E
dz _ hj 1 _ 4 m і 3 E
dU 1(dW dx 2 i dx
(W| W
+ ( RJ + R
dU 1(dW dx 2 i dx ,
+ -
h
2 (d2W)
12
V &2 J
2
Iz
4 m ' (
1 _ --- Z dz _ h 4 m h 2
E _ 3 E 12 _ V
dU 1 ( dW dx 2 i dx
2
W
H—
R
d 2W
dx2
(6)
Iz 2
_ ho 2
m
1 _ Z
E
hi
4 m
dz _ 0 1 _ і
12 3 E
dU 1(dW dx 2 i dx
(W| W
+ 1 RJ + R
dU 1(dW dx 2 i dx
+
+3 hoL (d 2w )
20
v& j
Подставляя (6) в (5) находим
N. _ Eho
dU +1( dW
1 _ do dx 2 i dx
W 4 m
-do _ і 0 R 3 E
dU 1(dW
dx 2 i dx y
+ (1 _ do)
dU 1(dW
dx 2 i dx
W
( W
d01 — I +
V r J
h
2 (d2W)
12
V &2 J
+ (1 _ do )
dU 1(dW dx 2 i dx
dU 1(dW
dx 2 V dx _
2 )
W
---h
R
W
+ (1 _do ) W
J
R
N 0_
Eh
0
1 _d
2 \ do
0
dU 1(dW dx 2 i dx
W 4 m R 3 E *
do
(dU 1 (d^2 )
dx 2 i dx
i
J
W_
R
2 2
1 (swY'
V dx 2 V J j
+
(W)2 (
+ 1 — I +
V R J
i
dU 1(dW
dr 2 i dx
2
W
R
+
K_
12
3do
(dU+1 (джЛ2)
dx 2 V dx
W
_(1 _do) W
R
2
2
h
2
2
2
2
2
h
h
2
h
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
3
2
М - Eh0
х - 12(l -м02) дх
д 2W_
, 4 m
1 - 1
3 E
dU 1IdW дх 2 і дх
+ 2(l-А
ди 1IдW
дх 2 і дх
W
+
R
(7)
+(1 -Mo )WI + ^0т
h
2 Сд2WЛ
R
20
V дх 2 У
2
2
2
3
2
2
Материал оболочки обладает демпфирующими свойствами в продольном и нормальном направлениях. Учтем данный факт введя в рассмотрение конструкционное демпфирование. Тогда, уравнения динамики рассматриваемой оболочки с конструкционным демпфированием, имеют вид
д 2U
(8)
dN,
дх
— р0 h0
д 2Мх д
-----2---+
дх2 дх
ât2
—I—N
+ Є1 I p0h0
E ди
P(1 -M0) dt
дх
) 1 д 2W l
+ — N0 — p0h0 —— + є2 — p0 h0
I R 0 0 0 ді2 R2
E dW r h0 ,
—(----21^ + k1~T P0h0 —
P0(1 M0 ) dt R3 Pc
E
(1 -M02)
W
Здесь t - время; p0 - плотность материала оболочки; є1, є2 - коэффициенты демпфирования, ki - коэффициент постели окружающей среды. Подставляя (1), (2), (5) в (8) находим уравнения динамики в перемещениях
Eh0 д 'dU
сё
CN о 1 дх
=5.
1
+
M
W 4 m
R 3 E<
öU 1С dW +
дх 2 і дх
+ (1 -M0 )
dU
дх
+
11 âW 2 і дх
W
+ (1 -M hR
W
R + (1 -M0 )
dU 11 dW дх 2 і дх
W_
W Л3 h2 С d2W л2
M01 I +
R
12
дх2
V х У
2
CdU 1 [dW^ +
дх 2 і дх
+
d 2U
1
p0h0 2 + є1 jP0h0,
dt l
E dU P0(1 -M02) dt
Eh0 d 2 ( 'd 2W
12(1 -m0 ) дх2' \ дх2
, 4 m "
ı1 - 3
3 E
V і
ÖU 1I dW дх 2 і дх
22
+ 2(1 -M Р+1 R
V У дх 21 дх
2
У
W
---+
R
У
+(1 MW) + 320
h
22
d_W
дх2
і х У
+-
Eh0 Ö dW
1 - m02 дх дх
dU 11 dW дх 2 і дх
M
W
R
4m
3 E ^
dU 1ІdW
дх 2 і дх .
d 2W
3
+ (1 -M0 )
3 2 2 2
W V h R
M0I — I РУ
0
12
дх 2
і х У
dU 11 dW дх 2 і дх
dU 11 dW
дх 2 і дх _
2 Л
W
R + (1 ~Рс )
dU 11 dW дх 2 і дх
W
У
W
+ (1 -M ) R"
> +
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
+ -
Eho 1 i— Mo2 R
dU UdW_ dx 2 i dx
W 4 m
— R " 3 E ^
Mo
2
' dU 1 few' +
i
dx 2 i dx
1 (W
2 i ox
22
(l ) w
— (1 — Mo )
2
+(W j +
2
dU 1 (dW_ i dx 2 i dx y j
W
R
+ ■
h
2 fd2WЛ
12
vdx 2 j
R
= Po h
d 2W
l
0"0 ^ 2 + S2 R 2 Po h0
E
dW
)
3Mo
h
W
R
dU
dx
+
fU +1 f dW'2 ^
dx 2 i dx
i
j
P
(i - Mo2) dt
+ kı T Po ho
E
M 3 yo ho 2
R po (i — Mo )
W
Проводимые оценки в безразмерных переменных, характеризуют рассматриваемые задачи. Для волновых задач оболочку считаем бесконечной. Для продольных волн в оболочке вводятся безразмерные переменные и параметры. Принимаем за характерную длину l - длину волны, а um, wm -характерные значения упругих перемещений
(io)
* x * c.
* r
* * *
W = WmU3 , U = UmU1 , x = , t = oґ , r = ,
где Co =
E
P(i — Mo)
оболочке.
Положим
l l R
скорость распространения продольных упругих волн в
(11)
ho = є<< 1, ^ = O(s), Wm = O(1), UmR = O(1), — = O(1), % = h2, R- = є3 R l2 ho l ho E l2 R2 l2
где є- малый параметр задачи. В этих переменных уравнения (9) принимают вид
co po ho
1 d , um du1
l dx * ' \ l dx *
2
wm
R
fdu^)2 — m w — 4 m
dx * j Mo R 3 3 E<
um dU1
l dx *
+
1 R2 f wm Vf du, 42
3
+-----2
2 l2
R
dx
+ (1 — Mo)
du1 1 R2 ^
l dx * + 2 l2
w
R
f 0U,
dx
w
R
f um_ du1
v l dx *
+
1 R2 f wm ^2 f du3
+ 2 2 l2
R
dx
1 R2 f Wm Ҳ2 f du 3
Г)
>2 Л
w
+ wi^u,
R
3
M
f wm V u 3 + ho2 R2 wm
3 I
2 J?2 w 2 fd2 u ^2 Г f
R
12 l4 R2
d2 u 3 - 3
v^ *2 J L
um. du1
l dx *
(12)
+
+ 2 2 l2
R
dx
+ (1 — Mo ) > 3
co po ho u d u1 +є co po ho du1 . + є
/ ) = 2° o u
m *2
dt
M l2 dt*
-C2P o o
co o
h hi 1 d2 Rw d2u
l 12 l2 dx*2 \ l R dx
*2
4m
i1----
3 E
+ 2(1 — Mo)
f и du, 1 R2 f w Yf du, Y^
*m 1
* 2
l dx 2 l2 V R ) Vdx
fum du, 1 R2 fwm YfduR^
m 1 + m 3
l dx * 2 l2 V R
V
dx
+
)
+(1—Mo J +
2
2
2
2
2
2
u
u
3
2
+3 hi R4 (Ydu v
20 l4 VR2 ){dx*2 J
2 .1 d Rwm du3
M + c° рЛ ı dx*( ı R dx*
um dUl
l dx *
+
+ 1RL (Wm)2( dU342 2 l2 I R
wm 4 m
R j-», -1 -e і
um du1 1 R2( w.
+ —
l dx 2 l2 V R
+
+(1 - Ro)
w
+ —mu, R 3
m 1
l dx * + 2 l2
( --- Л2 ( du 3 Л21 ---
-u3
V R J Vdx \ J J R 3
u
m1
l dx * + 2 l2
w
Ro----u, +------
0 R 3 12 l4
ho2 R2 (—m Л2 ( d2 u, Л
R
u 3
V^ j
* + 2
l dx 2 l2
+ (1 -Ro) —m
4 m
- 3 E *
1
f
+ co Po ho -R Ro
um du , 1 R2 (—- Y( du R
' ---m Л п ґ du 3 Л +
V R у vdx * у
(--- 2 ( du3
m 21
V R Vdx * J J
2 Л
+
* + 2
l dx 2 l2
Ro
um ŞuL +1R2 (—- lYd^
l dx '* 2 l2 ( R J V dx *
2
—m
R
u
vdx
( um du.
l dx *
—m
R
u3 -
+
1 R2 (—m Y( du 3
22
+ 2 2 l2
m
R
dx
2
f
2
+ I I u з +
um RRl +1R2 (—m 12(du3 l dx * 2 l2 ( R J Vdx *
2
R
u
+
+
ho2 R2 —m ( d2 u Л
12 l4 R2
Vdx*2 j
3Ro
u m du1 ,1 R2 (—m Л ('du з
2
* + 2
l dx 2 l2
R
dx
-(1 -Ro ) з
/ =
d2 u.
du,
= Poho ^- + s2poho o ^ + k,poho o —mu3
l dt R dt R
Введем независимые переменные в виде
* * *
Ç = x - ct , T = St ,
где с - безразмерная неизвестная скорость волны; t - быстрое время. В этих переменных, оставляя в уравнениях (12) члены порядка s и s2, и, отбрасывая члены с более высокими степенями, получим уравнения [21]
д u m du1
dÇ\ l dÇ
Ro
R
—m- T u 3
V R J
—m
R
u
4 m
3 E
(um du1 Y , (l .. ) um du1 —m„ (um du1
г +(1 - Ro) г—u 3 :
V l dÇj
—
■ + —^u,
l dÇ R V l dÇ R
l
2 d2 u1 d2 u1
dÇ:
- 2sc-
dÇdT
um „ A
S c
l 1 dÇ ’
(14)
Ro
u- du1 - —
l dÇ R
m
u 3 -3 3 E
4 m ( u - du1 Л
R
o l dÇ R 3
(um du1 Y , (—m Y u 2 ,
V l dÇ J V R J
+u-_ d^ —^„
l dÇ R 3
R 2 —
l2 R
2 d2 u 3
dÇ;
- 2s^-
d2 u3
dÇdT
R- —m-s2 cdu3 + —k,u3.
l2 R R2 dÇ R R
Зависимые переменные представим в виде асимптотического разложения
3
2
2
m
3
3
u
*
U — Ujo + ЄІЛц + — U30 + £Ugı + ... (15)
Подставляя (15) в (14) и оставляя члены порядка s получим систему уравнений
AKi -и, wLu\ — c 2sV
dÇ\dÇ А0
10 — c_ UmR /
10
(16)
дЛ10 Wlu30 — 0.
dÇ umR
Из этой системы получаем
wml дл10 2 2
^Ул30 —R0^rr> c — 1 -А) •
UmR dÇ
(17)
Таким образом, л10 остается произвольной функцией, а безразмерная
E
скорость волны c — (1 - А0)2 и, следовательно, скорость волны равна
V
Р0
скорости волны в стержне. Здесь Ç — 1
( E 1
x - t
К р0 )
, так как оболочка имеет
бесконечную длину.
В следующем приближении s2 получим систему уравнений
д длп
дЕ dÇ
А0
Wml .
uR
4 m
3 Es
( дЛю Л dÇ
+ (1 - A )
дл10 wml (дл
0 30
E Л mR
■ + ■
w,
ı Л
дЕ UmR
-л,
А0
( wml Л
К ЛmR )
_ д2 л10 2
— -2c----11 + c2
(18)
д2 лп s1 дл10
l
2
А0
дл11 -Е Л mR
д^дг д%2
4 m (um Л2( дл
- c-
S д£ SUm Р0 h0c
2 q*;
Л 31
31 3 Es
l
10
w.
/ Л
-л.
А 30
К дЕ UmR )
m 0 0 0
2
( дл10 Л ( wml 'л
, Wml дЛ10 _
+----------л2
Л mR дЕ
1 R Wml c 2 д Л3
s l umR
дЕ
s R л„
дЕ
дЕ
■ + k
,
К UmR )
Л 30 +
s2 Wm l „ дл30 , и 1 h0 Wm^
1 s R л R 30
m
Подставим соотношение (17) в уравнения (18) и получим систему
д2 л11
А д£2
- ^/т
■А
w l дл.
4 да
— + —
л^ дЕ 3 Es
(1 -А2*
А0 К1 + А + А
)31
дл.
2 д 2
д2 л.
д£ ) дЕ
А
s-zE
А
дл11 Wml
2 дл10 ' А, ,
1 R2 2 д 3л,
(19)
0 дЕ лmR 31 s l2
(1 - а0 А
0 0
дЕ
£
■V1
,2 .. д л10
А0 А0
дЕ
,
1 h0 А дл10 .
+ k1 А0 ;
s R д£
Умножим обе части второго уравнения на а и продифференцируем по Ç. Оно примет вид
3
3
3
л
30
2
l
s
2
2 д2u„
Mo - - Mo
Wml duзі
д^
1 " s R
umR д% s l
2
^о
1 R 2 2 Mo Vі — Mo )
д U10 S2 Г-І 7/2 . .2 д u
д£‘
Vі
■Mo Mo
10
д£3
+
д 2 u
+ ki Ml
(2o)
Левые части уравнения (19) и уравнения (2o) совпали. Вычтем, почленно, из уравнения (20) первое уравнение системы (19) и получим разрешающее уравнение
ч 2
ди10 Л д 2u
д£ ) дf
^ дЦГ-4 §1/7 § -M0 )(1+M+M
, 1 R ..2 V 2 )д U10 S2 2 ,.2 д u10 , ,, 1 "0 . .2 ^ “10
+ s 12 M0V-M>) ягг4 - „ V1
+
д£
s
Mo M
0 0 3
д3и10 ,1 "o 2 д2ub
10 + k1 0 M02 § +
1 s R 0 д£2
д£3
+ —V1-M0
s д£
2 ди10 = 0
Разделим обе части полученного уравнения на 2^1 - m02 , получим
д2 u m (м Л ( ди Л д2 u
10 - 2m д£дг Es
2
■ ~J^j 1 - M0 (1 + M0 + Mı
10
д£) д^;
+
1 R2 2
s l2 M
+ -yr Mİ^M.
2 д u10
д?
1 §2 </2 д u10 + 1 "o
Mo ^^3 + k1
2 s
Mo2
д2 u
10
af
s R 2/1 -Mo2 af!
+
+
1 s1 Su10 = o
2 s öf
Полученное уравнение есть модифицированное уравнение Кортевега - де
Вриза - Бюргерса (МКдВ-Б) для
^10
д£
Если, учитывая (11), положить wm = ",
"l R2 m (u Л m "2 m
um = , - = s, то I m 1= 2 = s = O(1) и уравнение становится таким
R l Es I l ) Es R E
д u10 д£дт
+ k
V1 - Mo 2(1 + Mo + M
2 ( Su10
2 д 2
д2u10 2 г. 2 д4u,
M
2 д2 u10 1 s1 Su1
дf) д£:
= 0
■ + M
E
Mo
дf/
1 s2 ,,2 д u10 .
‘Mo - +
2s
д£
з
1 2^1 - m02 д£' 2 s д£
Su
Полагая 10 = v, п = cf, / = c2r получим модифицированное уравнение
дf
Кортевега - де Вриза - Бюргерса
-- s.
Sv 6^2 дф + дЪф s дV . s д^
, 3 2 2 + s — + sv = 0,
дї дп дп дп дп
1 1 + M + M2 2 1 1-2
--- , c2 = c1 1 M
Mo 3 3
s
Я2
С1 1 Є2 2
, S2 =-- — Я • С 2 2 Є
11 є1 c ,
при этом положено s0 =---1, s1 =-L k1 ,--
c2 2 Є c2 2 1-Я2
При отсутствии продольного конструкционного демпфирования s0 = 0
(є1 = 0) уравнение МКдВ-Б имеет точные решения.
В случае мягкой нелинейности уравнение
д„ с. „2 д„ , д> „ дV , г, д„ г\
dt дп дп дп дп
имеет точное решение в виде кинка-антикинка
V = +—s2 ± kth\ Ik 62
п+[ 2k - s1 + 6 s2 jt
Фазовая скорость — = -2k2 - - s22 + s1, скорость волны при этом
k 6
E
Ро
( 1 ^ 2k2 +1 s22 - s1
6 2 1
(і-Яо2 І1 + Я +Яо2)
1 - Зє
Если числитель дроби 2k2 +—s22 - s1 > 0 (s1 < 2k2 + -s22), то скорость
66
дозвуковая. Если числитель дроби 2k2 + -s22 -s1 <0 (s1 > 2k2 + -s22), то скорость
6
6
сверхзвуковая.
Влияние постели - окружающей среды (sj) в любом случае увеличивает скорость волны.
Конструкционное демпфирование в продольном направлении (s0>0) оказывает влияние на амплитуду волны. Это влияние исследуется с помощью численного решения уравнений МКдВ-Б и МКдВ при s0>0.
Волновое число k - произвольная величина, l = Х = — - длина волны.
k
Для численного исследования модели волновых движений физически нелинейной упругой оболочки с конструкционным демпфированием (рассеянием энергии), взаимодействующей с окружающей ее упругой средой, используем следующую разностную схему для уравнения (21) аналогичную схеме Кранка-Николсона для уравнения теплопроводности.
n+1 n
u j -
n n+1 n+1 n n
uj , s (u! +1 - uj-1j+(uj +1 - u j-1j
-t- s1
4h
-2
3n+1 зn+1 зП зП
\u j+1 — u j-1 + u j+1 — u j-1
4h
+
+
(j - 2u”1 + 2j - j■ 2)+(u; 2 - 2j + 2uj-1 - uj-2)
4h3
-s
(uj+1 - 2uj+1 + un-+1)+ (uj+1 - 2uj + unj-1) un+1 + u
2
2h2
+s
0
2
0
При отсутствии влияния окружающей среды и конструкционного демпфирования в продольном и нормальном направлениях скорость и амплитуда волны не меняется. Движение происходит в отрицательном направлении (рис. 1). Это означает что скорость движения дозвуковая.
Рис. 1. Отсутствие влияния окружающей среды (s1=0) и конструкционного демпфирования в продольном (so=0) и нормальном (s2=0) направлениях
Рис. 2. Отсутствие конструкционного демпфирования в продольном (s0=0) и нормальном (s2=0) направлениях, при наличии влияния окружающей упругой среды (sı>0)
При отсутствии конструкционного демпфирования в продольном и нормальном направлениях и наличии влияния окружающей упругой среды амплитуда волны не меняется. Движение происходит в положительном направлении (рис. 2). Это означает, что скорость движения становится сверхзвуковой.
Рис. 3. Отсутствие влияния конструкционного демпфирования в продольном направлении (s0=0), наличие влияния конструкционного демпфирования нормальном направлении (s2>0)
и окружающей упругой среды (s1>0).
Наличие влияния окружающей упругой среды движение происходит в положительном направлении. Это означает, что скорость движения становится сверхзвуковой (рис. 3). Наличие демпфирования в нормальном направлении приводит к структуре ударной волны сжатия (ф< 0).
Рис. 4. Наличие влияния окружающей упругой среды (s1>0) и конструкционного демпфирования в продольном (s0>0) и нормальном (s2>0) направлениях
Наличие конструкционного демпфирования в продольном направлении приводит к падению амплитуды волны (рис. 4).
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 19-01-00014-а и гранта РФФИ № 18-01-00127-а.
Литература
1. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. М.: Физматлит, 2004 472 с.
2. Van Dyke M. Perturbation methods in fluid mechanics. Stanford, CA: Parabolic Press, 1975. 271 p.
3. Блинкова А.Ю., Ковалева И.А., Могилевич Л.И., Попов В.С. Распространение волн деформации в двух упругих цилиндрических оболочках, между которыми находится вязкая жидкость // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2011. Т. 4. № 1 (59). С. 7-12.
4. Могилевич Л.И., Попов В.С. Математическое моделирование динамики взаимодействия слоя вязкой жидкости в кольцевой щели со стенкой, окруженной упругой средой // Динамика систем, механизмов и машин. 2016. № 2. С. 346-350.
5. Иванов С.В., Могилевич Л.И., Попов В.С. Моделирование колебаний и волн в цилиндрической оболочке с вязкой несжимаемой жидкостью внутри нее // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2011. Т. 4. № 1 (59). С. 13-19.
6. Mogilevich L. I., Popov V. S. Mathematical modeling of incompressible viscous liquid layer interaction dynamics in an annular slit with its wall, surrounded by elastic medium//IEEE Conference Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines (Omsk, 2016) DOI: 10.1109/Dynamics.2016.7819050.
7. Могилевич Л.И., Попова А.А., Попов В.С. Динамика взаимодействия упругой цилиндрической оболочки с ламинарным потоком жидкости внутри нее применительно к трубопроводному транспорту // Наука и техника транспорта. 2007. № 2. С. 64 - 72.
8. Могилевич Л.И., Попов В.С. Динамика взаимодействия упругого цилиндра со слоем вязкой несжимаемой жидкости // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2004. № 5. С. 179-190.
9. Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Динамика взаимодействия
пульсирующей вязкой жидкости со стенками щелевого канала,
установленного на упругом основании // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2017. № 1. С. 15-23.
10. Кондратов Д.В., Кондратова Ю.Н., Попов В.С., Плаксина И.В. Задачи гидроупругости для трубы кольцевого сечения с упругой, геометрически нерегулярной внешней оболочкой при воздействии давления // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13. № 3. С. 70-76.
11. Могилевич Л.И., Попов B.C., Попова А.А. Колебания гильзы цилиндра двигателя внутреннего сгорания с водяным охлаждением под действием
ударных нагрузок со стороны поршневой группы // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2008. № 3. С. 100-106.
12. Попов В.С. Колебания ребристой оболочки, окруженной слоем вязкой несжимаемой жидкости // Вестник Саратовского госагроуниверситета им. Н.И. Вавилова. 2003. № 4. С. 47-50.
13. Попов В.С., Попова А.А., Волов М.И. Математическое моделирование взаимодействия ламинарного пульсирующего потока с цилиндрической ребристой оболочкой, по которой он движется // Совершенствование методов гидравлических расчетов водопропускных и очистных сооружений. 2010. № 1 (36). С. 51-66.
14. Попов В.С. Исследование динамики взаимодействия пульсирующего ламинарного потока жидкости с упругой цилиндрической оболочкой // Совершенствование методов гидравлических расчетов водопропускных и очистных сооружений. 2007. № 1 (33). С. 72-80.
15. Mogilevich L.I., Popov V.S., Kondratov D.V., Rabinskiy L.N. Bending oscillations of a cylinder, surrounded by an elastic medium and containing a viscous liquid and an oscillator // Journal of Vibroengineering. 2017. Т. 19. № 8. С. 5758-5766.
16. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ. 1990. 310 с.
17. Овчаров А.А., Брылев И.С. Математическая модель деформирования нелинейно упругих подкрепленных конических оболочек при динамическом нагружении // Современные проблемы науки и образования. 2014. №3 URL: www.science-education.ru/ru/article/view?id=13235.
18. Каудерер К. Нелинейная механика.- М.: Издательство иностранной
литературы. 1961. 778 с.
19. Фельдштейн В.А. Упругопластические деформации цилиндрической оболочки при продольном ударе // Волны в неупругих средах, Кишинев. 1970. С. 199-204.
20. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Издательство Юрайт. 2018. 439 с.
21. Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках: солитоны, симметрии, эволюция. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т. 1999. 132 с.
22. Землянухин А.И. Бочкарев А.В. Могилевич Л.И. Уединенные продольно-изгибные волны в цилиндрической оболочке, взаимодействующие с нелинейно-упругой средой // Вестник Московского государственного университета им. Н.Э. Баумана. Серия: Естественные науки. 2018. №1(76). С. 47-60.
