CC BY
25
_____ УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м V 1974
№ 6
УДК 533.6.011.6
ИССЛЕДОВАНИЕ ОТРЫВА ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ПРИ СИЛЬНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С ГИПЕРЗВУКОВЫМ
ПОТОКОМ ГАЗА
А. А. Коваленко
Рассмотрена задача об отрыве пограничного слоя с поверхности пластины в режиме сильного взаимодействия. Причиной отрыва может быть либо отклоненный щиток, либо падающий скачок уплотнения. Основной целью работы является создание эффективного метода интегрирования краевой задачи при наличии передачи возмущений вверх по течению, позволяющего проходить в область отрыва. Рассмотрен ряд существенных особенностей численного интегрирования при отходе от автомодельного решения, а также при проходе точки отрыва. Приведены результаты расчетов по распределению давления, трения и тепловых потоков на поверхности пластины. Расчеты проводятся для одно-, двух- и трехатомного газов. Приводятся результаты расчета течения, включая область, лежащую за точкой отрыва.
1. В работе [1] показано, что для гиперзвуковых течений с умеренным и сильным взаимодействием возмущения, вызываемые, например, донным срезом или каким-либо препятствием, распространяются до передней кромки тела. Эффект передачи возмущений может привести к возникновению развитых зон отрыва пограничного слоя от поверхности тела, что существенно меняет суммарные аэродинамические характеристики тела. Кроме того, эффект передачи возмущений может существенно влиять на картину течения в гиперзвуковых аэродинамических трубах.
2. В настоящей статье рассматривается система соотношений, описывающих течение в гиперзвуковом пограничном слое у поверхности пластины в режиме сильного взаимодействия. Оценки для гиперзвукового пограничного слоя (см. [2]) Ре^1/а^О(1) при х = позволяют ввести следующие координаты и асимптотические раз-
ложения для функций течения (градусами сверху отмечены размерные величины):
где и, V — составляющие вектора скорости; р— статическое давление; р — плотность; //—полная энтальпия; ¡х — динамический коэффициент вязкости; М — число М; Яе — число Рейнольдса; / — параметр взаимодействия; у —отношение удельных теплоемкостей газа. Индексами 1 и 2 отмечены значения параметров в невозмущенном потоке и на стенке.
Подстановка (2.1) в уравнения Навье — Стокса, а также последующий предельный переход М! -* оо, оо при (1) приво-
дят к следующей системе уравнений:
дующий шаг — преобразование Дородницына — Лиза и введение в качестве зависимых переменных безразмерных величин / и
В новых переменных уравнения, краевые условия и интегральные связи функций течения в пограничном слое и в невязком потоке принимают вид
х° = хГ; у° = у Г х; х = ({Аг/р! и\ 1°)т\ и0 (х°, у0, ЯеО = их [и (х, ^)+...]; г>° (л°, у°, Ми ИеО = и\х[и (х, у) 4-р° (х°, у0, Ми Ив]) = р\ тМ?х2 [р (х, ^)+-..]; р° (х°, у0, М„ Яе!) = р^х2 [р(х, у) + ...]; Н° , у°, М„ Яе,) = (и])* [Н (х, у)+...]; ц° (х°, у0, Ми Ие,) = {*2 [н- (X, у) + ...],
(2.1)
(2.2)
где а — число Прандтля.
Краевые условия:
и (х, 0)~у (л:, 0) = 0; Н (х, 0) = #2; и (х, 8) = 1; ъ(х,Ь)=-Ц±-; Н (х, *) = -+-';
(2.3)
— ^ й
здесь Ь = Y2k\ —, где тг)0 — достаточно большая величина. СлеП Р
X
У
(2.4)
(АТУ +//" -Р (?) (ё ~П - 2$ (/'/'• -/"/•);
X ё')'+/ё' + 2 [м (1—/'/"]'= 2\ (/' г -/• ё').
(2.5)
/(?, 0) = 0; /'(?, 0) = 0; /'(?,<>о)=1;
£(?. 0)-£2; ¿г («. «о) = 1 -
а!5
И?, <*>)=** ,
Л':
_ 27
Р2 На
Р =
VI (?) = V (?, со) =
(?) =
/21
7—1 ё~Г2 ’
С—1 й? 1П /7 ,
аИп 5
1.Р(6)
(2.6)
(2.7)
Для расчета параметров невязкого потока используется предельная форма связи между давлением и скоростью, вытекающая из метода касательных клиньев при у —>оо:
*?(*)■
(2.8)
В настоящей статье вместо функции £• (?, т)) используется функ-
ция
•»
(2.9)
повышающая порядок уравнения энергии до третьего. Кроме того, вместо функции /(?, у\) используется функция
/т (?, ==/ (?. “»I) — ’'!■
(2.10)
Это преобразование учитывает асимптотическое поведение функции /(?, г)) при т) -> оо и повышает точность интегрирования около внешней границы пограничного слоя. Идея использования этих функций в численных расчетах принадлежит В. Я. Нейланду.
Расчеты на ЭЦВМ проводились в предположении линейной зависимости вязкости от температуры <о=1.
Окончательные уравнения для численного интегрирования имеют следующий вид (индекс т у величины /т опущен):
Г + (/+*0/"-Р(?) Р' = 2? [(/'+ 1) /'•-/"/•];
^"'+(/+•^+2?/-) /""+2[3 (?) (/'+1) /"'+2/"2=2? (/'+1 )/7/*. Краевые условия:
/ (?> 0) = 0; /'0,0) = -1; /'(?,оо) = 0;
Р (?, 0) = 0; Р (?, 0) = £2; Г (?, оо) = 0.
[(2.11)
(2.12)
3. Одним из этапов решения задачи о распространении возмущений вверх по течению в режиме сильного взаимодействия является определение собственного значения а данной краевой задачи. Причем величина параметра а характеризует интенсивность передачи возмущений, а именно: чем меньше величина а, тем сильнее влияние краевого условия на конце тела на все течение.
Для определения величины а воспользуемся координатными разложениями функций течения в окрестности носка пластины
Е = 0. В соответствии с работой [1] эти разложения имеют следующий вид:
/(*, ч)=/оМ + ^“+1/1(*]) + •••;
р$) = Раї-1 + />,£« + ...;
ё (5. гі) = ёо Сч) + £а+1 §і (ті) + ••
«і («)= Ц>&_1/а + ^Е*+1/а + •••;
Р(«) = Ро + ^5“+1Рі + -.; ^(5, ч) = /7о(ч) + 4-6‘+1/?,’(ч) + ..
(3.1)
где
Ро = -^; &--*
(«+!);
Л> С1'!) =* І 1ёо — (/о + I)2] Фг.
0
Л (Ч) = і кі - 2 (/о + 1) /\\ ¿Г,
(3.2)
В этих соотношениях Р,— произвольная постоянная, от величины которой зависит координата точки отрыва (при фиксированных параметрах х. а, ^2).
В разложениях (3.1) члены с индексом „0“ представляют собой автомодельное решение. Появление неавтомодельных членов вызвано изменением краевых условий на конце тела.
Подставляя координатные разложения (3.1) в уравнения (2.11), краевые условия (2.12), а также в (2.7) и (2.8), получим:
систему соотношений, определяющих известное автомодельное решение для сильного взаимодействия
/о + (/о + ■*]) /о — Ро Ро = 0;
— К + (/о + Ч) Ро +■ 2 (/о + 1) Ро К + 2/о2 = 0;
/о(0) = 0; /о (0) = —- 1; (оо) — 0;
р0 (0) = 0; р'0ф) = ё2- к (оо) = 0;
(3.3)
(3.4)
(3.5)
систему соотношений, определяющих неавтомодельные добавки, появление которых вызвано изменением краевых условий на конце тела
/Г 4' (Л + -П) /І+/о/. - Рі К - Ро & = 2 (а + 1) [(/о + 1) /[ -/о /,];
— Рі +(/о+7і) Рі + /і /^0 + 2 (а 4- ^/і^о +2 (/о + 1) Рі ^о ~Ь 2/і Ро ^о-)- (3.6) + 2 С/о+1) Ро Р\ + 4/; / = 2 (а + 1) (/о + 1)
(3.7)
Ъ [(я + 4)м~)-(«+1)/го(°°)];
Л = (7+1)
(3.8)
Система уравнений (3.6) линейна и неоднородна при а >—1 (а-<—1 не имеет смысла из-за вида координатных разложений). Интегрирование системы неоднородных дифференциальных уравнений (3.6) при однородных краевых условиях (3.7) дает решения /, {ч\) и (-/¡), зависящие от параметра а. Для определения этого параметра воспользуемся тем обстоятельством, что линейная однородная система (3.8) для коэффициентов Ри ]/х имеет нетривиальное решение лишь в случае равенства нулю ее определителя. Это дает следующее условие для определения величины параметра а:
В таблице представлены результаты расчета зависимости величины параметра а от температурного фактора для одноатомного (7 — 5/3), двухатомного (7/5) и трехатомного (9/7) газов при двух значениях числа Прандтля а=1 и 0,7. Из полученных результатов можно сделать следующие предположения:
1) поскольку величина собственного значения а по мере охлаждения стенки для всех газов возрастает, следует ожидать уменьшения интенсивности передачи возмущений при ^ 0. Это предположение легко сделать, обратившись к виду координатных разложений (3.1);
7 а г-1.0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 . 0,2 0,1
9/7 0,7 1,0 97,460 77,523 115,46 91,693 141,23 111,94 180,39 142,65 193,16 286,43 491,77 1099,4 4326,9
7/5 0,7 1,0 57,161 46,015 66,002 52,985 78.316 62,645 96,428 76,767 98,968 137,66 216,59 426,49 1373,7 2084,0
5/3 0,7 1,0 28,720 23,710 32,053 26,372 36,515 29,905 42,765 34,803 52,082 42,006 67,241 53,514 95,403 74,350 120,80 276,95 1993,1
2) следует ожидать, что при фиксированной величине температурного фактора наиболее интенсивно передача возмущений будет осуществляться в газе с отношением удельных теплоемкостей 7 —5/3, наименее интенсивно с 7 = 9/7;
3) поскольку приведенные в таблице значения а велики, следует ожидать, что отход интегральных кривых от автомодельного решения будет почти не заметен на начальной стадии, а затем
(3.9)
будет совершаться очень резко. Это необходимо учесть при проведении численных расчетов путем соответствующего выбора шагов интегрирования.
Необходимо отметить, что представленные в таблице данные хорошо согласуются с результатами, приведенными в работе [3], которая также основывается на результатах [1].
4. Следующим этапом решения поставленной задачи является численное интегрирование уравнений (2.11) при краевых условиях (2.12). Систематические расчеты проводились на ЭЦВМ БЭСМ-ЗМ и М-222, причем интегрирование до точки отрыва занимало— 3 ч. Для решения задачи использовалась в несколько модифицированном виде стандартная программа для численного интегрирования уравнений двухмерного пограничного слоя, использующая метод, изложенный в [4]. Модификация стандартной программы состояла в том, что на'каждой характеристической полосе при помощи соотношений (2.7) производилась пристрелка параметра ¡3 (I), характеризующего собой местный градиент давления. Исключением являлись несколько первых характеристических полос, на которых величина параметра р (!) задавалась с помощью двухчленного разложения:
где
Ро = -171; р! = 1т1(а + 1)-
С помощью аналогичной методики в работе [5] решение уравнений пограничного слоя продолжено в область за точкой отрыва.
В настоящей работе расчеты проводились только с положительными значениями величины Рх/Р0, что соответствует, например, наличию на конце тела щитка.
В работе [1] была найдена группа преобразований:
с П 11
?П **!» Ри ^ Рл Рп -- ^ Р»
ип = «; ЛП = Л; г'п = у='у; у„ = ^3!2у, = Хп ~ Х> Уп = /1 ~ ^Г! ==
(4.1)
относительно которой инвариантна краевая задача. Эта группа преобразований позволяет свести семейство решений к одному „стандартному“ решению при Р1 = Р0, получив которое, можно найти решение при произвольной величине координаты точки отрыва.
Все результаты, полученные в настоящей работе, были подвергнуты проверке на соотношениях (4.1).
Проинтегрировать исходную систему уравнений за точку отрыва оказалось возможным, выполняя следующие требования:
— поскольку около точки отрыва происходит процесс трансформации предотрывного профиля в отрывный, в окрестности этой точки интегрирование необходимо вести с достаточно мелким шагом по продольной координате;
— для подробного описания пристеночного слоя, в котором появляются возвратные струйки тока, в этом слое необходимо пользоваться по возможности мелкими шагами по нормальной к пластине координате.
Все результаты работы представлены таким образом, чтобы сравнить поведение функций течения на полубесконечный пластине (отмечены индексом “ * „) и на пластине со щитком (при тех же значениях параметров 7, о, £2). Продольная координата отнесена к координате точки отрыва а*0.
Результаты расчетов подтвердили предположение об уменьшении интенсивности передачи возмущений по мере охлаждения стенки, в чем можно убедиться, сравнивая соответствующие кривые распределения давления и коэффициента трения (фиг. 1).
На фиг. 2 приведено сравнение интенсивности передачи возмущений для одно-, двух- и трехатомного газов, из которого следует,, что при фиксированной величине температурного фактора наиболее интенсивно передача возмущений осуществляется в газе с отношением удельных теплоемкостей у = 5/3. Действительно,, для одноатомного газа предотрывная область с возмущенным течением заметно шире, чем соответствующая область для двух-
и трехатомного газов. Это указывает на целесообразность проведения экспериментальных исследований эффекта передачи возмущений в гелиевой среде (7 = 5/3).
Обсуждая поведение интегральных кривых тепловых потоков
на стенке, представленные на фиг. 3, можно сделать следующие выводы.
При фиксированной величине температурного фактора по мере приближения к точке отрыва тепловые потоки падают.
Процесс падения теплового потока начинается ранее для одноатомного газа.
На фиг. 4 представлена зависимость для трех различных газов величины р/(3* от физической координаты х, отнесенной к координате точки отрыва. Анализ этих интегральных кривых показывает, что минимум давления [3 = 0 в случае обтекания пластины одноатомным газом ближе к носку пластины, чем в случае обтекания двух- и трехатомным газами.
При грубых количественных оценках с целью упрощения расчетов часто полагают число Прандтля о равным единице. Приведенные на фиг. 5 результаты показывают, что это упрощение вносит ошибку в Фиг. 4 распределение давления на пластине.
Результаты настоящей работы согласуются с приведенными данными в работе [3] по доотрывному обтеканию потоком воздуха пластины с температурой стенки £¡¡ = 0,5. Так, если по данным работы [3] непосредственно перед точкой отрыва величина отноше-^ ния р!р* = 1,48, то в настоящей работе эта величина равна —1,50. ’ В заключение автор благодарит В. Я- Нейланда за постановку
задачи и полезные консультации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Нейланд В. Я- Распространение вверх по течению при взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слоем. „Изв. АН СССР, МЖГ\ 1970, № 4.
2. Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., Изд. иностр. лит., 1967.
3. Werle М. J., Dwoyer D. L., Hankey W. L. Initial conditions for the hypersonic-shock/boundary-layer interaction problem. AIAA J., vol. 11, No 4, 1973.
4. Петухов И. К. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. В сб. „Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы". М., ,Наука“, 1964.
5. Нейланд В. Я. Течение за точкой отрыва пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. ,Изв. АН СССР, МЖГ*, 1971, № 3.
Рукопись поступила 4jl 1974 г.
