Исследование особого ряда в проблеме Клоостермана Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511.51

ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБОГО РЯДА В ПРОБЛЕМЕ КЛООСТЕРМАНА

RESEARCH OF A SPECIAL ROW IN KLOOSTERMAN'S PROBLEM

Л.Н. Куртова, Н.Н. Мотькина L.N. Kurtova, N.N. Mot'kina

Белгородский национальный исследовательский университет, Россия, 308015, г.Белгород, ул. Победы, 85 Belgorod National Research University, 85 Pobedy St, Belgorod, 308015, Russia E-mail: kurtova@bsu.edu.ru; motkina@bsu.edu.ru

Аннотация

В 1770 году Ж.-Л. Лагранж доказал, что каждое натуральное число представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел. В 1926 году Х. Д. Клоостерман получил асимптотическую формулу для числа представлений положительного целого в виде ах2 + by2 + cz2 + dt2. В работе приведены результаты изучения главного члена этой асимптотической формулы. Исследование основано на представлении главного члена в виде произведения по простым числам и применении точных формул для сумм Гаусса.

Abstract

In 1770, J.-L. Lagrange proved that each natural number can be represented as the sum of four squares of integers. In 1926, H. D. Kloosterman obtained an asymptotic formula for the number of representations of a positive integer in the form ах2 + by2 + cz2 + dt2. The report will provide the results of the study the main member of this asymptotic formula. The study is based on the representation of the main member as a product of primes and the use of the exact formulas for Gauss sums.

Ключевые слова: асимптотическая формула, представление главного члена, сумма Гаусса, суммы Клоо-стермана.

Keywords: asymptotic formula, representation of the main member, Gauss sum, Kloosterman sum.

Введение

В 1770 году Ж.-Л. Лагранж доказал, что каждое натуральное число п представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел. В 1926 году Х. Д. Клоостерман [1] получил асимптотическую формулу для числа решений г(п) уравнения п = ах2

я п „ ^ г 17/18+г^

r (n) = ^Т=7 S (n) + O(nlin«+s)

y/abcd

где

S(n) = £ A(q),

1 -2rn-

q=i nl

А(д) = — Е е ^(д; а/;0)£(д; Ь/;0)£(д; с/;0)£(д; й/;0), А = 1, Ч 1=1

(/,Ч)=1

Ч 2

£ (Ч; и;0) = £ е Ч

/=1

- сумма Гаусса.

Данная работа посвящена исследованию особого ряда £(п) . Поскольку функция А(д) является мультипликативной, тогда

£(п) = Е А(ч) = П(1 + А(р) + А(р2) +...) .

Ч=1 р|д

Нами получены явные формулы для всех таких возможных произведений при нечетном простом р. Исследование основано на представлении главного члена в виде произведения по простым числам и применении точных формул для сумм Гаусса ([2] - [4]).

В данной работе представлены случаи, когда число решений уравнения п = ах2 + Ъу2 + сг2 + Ш2 равно нулю.

Вспомогательные леммы

Лемма 1. Для одномерной суммы Гаусса

Б (9; 1; т) = £ е 9

]=1

справедливы следующие утверждения:

1. Если (91; 92 ) = 1, то

Б (9192; 1; т) = Б (91; 9; т)Б 9; 9; т).

2. Если (д; 21) = 1, то

-2* ¡л

,2

S(q; /; m) = e q - S(q;1;0),

I q)

где 4/(4/)* = 1 (mod q), — — символ Якоби.

I q)

3. Если (q; 2) = 1, то

о. шч №• если q = 1 (mod4)

S(q;1;0) = < r

[iyjq • если q = 3 (mod4).

4. Если (q; Z) = n, то

Г0. если n не делит m,

S (q; /; m) = <

[nS(q / n; / / n; m / n). если n делит m.

Лемма 2. (Свойства суммы Клоостермана) Пусть

q 2»u±v* K (q; u; v) = £ e q

j=1

( j ,q)=1

— сумма Клоостермана. Справедливы следующие утверждения:

1. K(q;-u;-v) = K(q;u;v).

2. Если (w; q) = 1, то K(q; uw; v) = K(q;u;vw) .

3. При (q1; q2 ) = 1 имеет место равенство

K (q1q2;u;v) = K q u; v1)S u; v2),

где v и v определены соответственно по модулям q и q сравнением

v1 q22+v2 q2 =v(mod qq').

4. Пусть a > 1, p - простое число.

Если u = v = 0 (modp), то

K (pa; u; v) = pK (pa-1;u;v).

p p

Если u Ф 0 (modp), v = 0 (modp) или u = 0 (modp), v Ф 0 (modp), то

K (pa; u; v) = 0.

5. Пусть (u; p) = 1, a > 1, p - простое число. Тогда

K (p; u;0) = -1; K (pa; u;0) = 0.

6. Пусть u = paux, (u ; p) = 1, a > 1, s > 1, p - простое число. Тогда

K(pa; u;0) = pa-1(p -1); K(pa+1;u;0) = -pa; K(pa+s; u;0) = 0. Лемма 3. (Равенства для обобщенной суммы Клоостермана) Пусть p - нечетное простое

чило и

Kp (pa; u; v) = £

pa Г i \ 2mujvL

j=1 (j, pa)=1

v p )

e

— обобщенная сумма Клоостермана. Справедливы следующие утверждения:

1. Пусть a > 1. Если u = v = 0 (modp), то

Kp (pa ;u; v) = pKp (pa-1;u;v) .

p p

Если u Ф 0 (modp), v = 0 (modp) или u = 0 (modp), v ^ 0 (modp), то

Kp (pa; u; v) = 0.

2. Пусть (u; p) = 1, a > 1. Тогда

Kp (p; u;0) = S(p; u;0) ; K/pa;u;0) = 0.

3. Пусть u = pau1, (ux; p) = 1, a > 1, s > 1. Тогда

Kp(pa;u;0) = 0; Kp(pa+1;u;0) = pa S(p;ц;0) ; K(pa+s;u;0) = 0 .

Исследование особого ряда в проблеме Клоостермана

Рассмотрим случаи, когда число решений уравнения n = ax2 + by2 + cz2 + dt2 равно нулю. Мы рассматриваем нечетное простое p.

1. Случай, когда три коэффициента делятся на p и n взаимно просто p

Пусть

a = paax, (ax; p) = 1, b = p\, (\; p) = 1, c = prcx, (q; p) = 1,

, ( " 1 ;

a> 1, j> 1, /> 1.

Тогда

1 ,3 f d

A(p) = — p - S(p;1;0) £

p V p j t!

(/, p )=1

p ( 1 Л -2*— f dn ^

p)

V p )

При к > 1, поскольку (п; р) = 1, из утверждения 5 леммы 2, утверждения 2 леммы 3 получаем, что А( рк ) = 0.

p

e

Имеем следующий множитель:

П 1 +

С 'Шп^

а=раа ,а>1 (й1, р)=1 Ь=р/Ь1,р>1 Ь р)=1

с=ргс ,/>1 (С1, р)=1 (Ш,р)=1 (п, р)=1

V V

Р ))

Данная скобка может равняться нулю, если ёп - квадратичный невычет по модулю р.

2. Случай, когда все коэффициенты делятся на р и п взаимно просто р

2 /2 2 I 2

В этом случае уравнение п = ах + Ьу + 02 + Ш не имеет решений.

3. Случай, когда два коэффициента и п делятся на р

Положим

а = раа1, (а; р) = 1, Ь = р\, (Ь; р) = 1, п = ргщ, (п; р) = 1, а > 1, /> 1, г> 1. 1. Пусть г <а < /. Тогда при 1 < к < г +1

Арк)=~!кР2к р

(сШ ^ - ■ ^ -2»-

V Р )

^2(рк;1;0) I<

Имеем

с^ ^ р -1

А(рк) = \

V рк )

I=1

(1, рк )=1

, если 1 < к < г,

- сd

)

1

, если к = г +1.

При к > п + 1 в А(рк) будет входить либо сумма Клоостермана, либо обобщенная сумма Клоостермана, которые будут равны нулю в силу утверждения 6 из леммы 2 и утверждения 3 из ле-мы 3.

Получаем произведение:

П

р

1 +

р -1

сШ^

а= раа1,а>1 V (al, р )=1 Ь= р/Ь1,р>1 (Ь1, р )=1 (с,р )=1 (d, р)=1 п=ргп1,г>1

( п1 , р )1=1 1< г<а</

р

+...+

^ р )

-Ш^

V рг ))

- сШ

V р ) р )

г+1

р

Если (-сё) является квадратичным невычетом по модулю р, то для нечетного п рассматриваемая скобка будет равна нулю.

2. Пусть г = а < /. Тогда при 1 < к <г

А( рк) =

\

- сd р -1

р

р

При к = п + 1 имеем:

р

1

р

4(7+1)

Р

27+1

(„ V ы Л

а

V Р у

Р7+1 Vр у

$(р;1;0)$2(р7+1;1;0) £

7+1 ( 1 \

1=1 (1, Р7+1)=1

-2 т-

пП

V р у

_ г ахщ У-ей ) 1

=V ~7к У р'

При к > п + 1 суммы Клоостермана будут равны нулю в силу утверждения 6 из леммы 2 и утверждения 3 из леммы 3.

Получаем следующий множитель:

П

1 +

р -1

а=раа1,а>\ V (а1. р)=1 Ь=р3\,р>\ Ъ р)==1 (е,р)=1 (й, р )=1 п=р7«1,7>1 (пь р)=1 1<7=а<3

р

VV

Р

+...+

- ей

ЛЛ ей

р7 у у

+

V р

V р У р у

7+1

М Л

Р

Данная скобка равна нулю, если п - нечетное, аП и - квадратичные невычеты по

модулю р.

3. Пусть а <7 < ¡3. Имеем

А(рк) =

р

р -1

если 1 < к <а,

(-сd) р -1

р у

(к-а)/2+1

, если а < к <7 и к -а - четное,

0, если а < к <7 и к -а - нечетное.

е

р

/

А(р7+1) =

Р

4(7+1)

Р

а+7+1

а.

^ ей ^

р'

7+1-а

Vр у

$(р7+1-а;1;0)$2(р7+1;1;0) £

7+1 / 7 ^ 1

1=1

(1, р7+1н

Л -2т-

7+1-а

Vр у

Vр у

1

(7+3-а)/2

, если 7 - а - нечетное,

р у

7+1

р у

если 7 - а - четное.

п1

1

р —

е

= <

1

(7+2-а)/ 2

Пусть к > п + 1. Тогда суммы Клоостермана будут равны нулю в силу утверждения 6 из леммы 2 и утверждения 3 из леммы 3.

Если а и п - нечетные, получаем следующий множитель:

П

1 +

Р -1

а=раа1.а>1 V

(а1. Р)=1 Ъ=р3Ъ1,р>1 Ъ Р )=1 (е,Р )=1 (й. р)=1 п=р"п1.">1

(«1. Р)=1

1< а<"</

VV

+

- её

+...+

- её

ЛЛ

+

У У

+

Р -1

Р

г г

VV

-ей}

Ра+2 у

1

— + Р

- ей

Р+4

- +...+

Р2

1

V Р" У

Р

("-а)/2

+

л

а«

V Р У

V Р"+1 У

Р("-а+2)/2

РУ

Данная скобка равна нулю, если ахпх и (-ей) - квадратичные невычеты по модулю Р.

4. Случай, когда три коэффициента и п делятся на p

Пусть

а = Раах, ( а ; р) = 1, Ъ = р3\ , ( Ъ ; р) = 1, е = Р^1, ( е ; р) = 1, п = Р"«1, ( «1; р) = 1

а> 1, /> 1. у> 1. "> 1. 1. Рассмотрим случай, когда " <а < / < у. Получим

Д/) = ~4тР

Р

ък

V Р У

£(рк ;1;0) £

¿- (

1=1

(/. Рк )=1

V Р У

Рк 2 1 (р -1). если 1 < к < " и к - четное,

0. если 1 < к < " и к - нечетное

("-1)/2

Гл. Л

рКЧ *)'2. если к = " +1 и" - нечетное,

<й«1- р" 2. если к = " +1 и" - четное,

V Р У

0. если к >" +1.

Пусть п - четное. Получаем следующий множитель:

"/2

( \\

1 +

V V

й«

р У У

П р"

р

а= раа1 .а>1 (а1. Р)=1

ъ=р3ъ1./>1 (Ъ1. р )=1

е= руе1.у>1

(е1. Р )=1 (й.Р )=1

п= р"« .">1

(п1. Р )=1 1< "<а</<у

Данная скобка равна нулю, если йщ является квадратичным невычетом по модулю р. Пусть п - нечетное. Получаем следующий множитель:

2

2

1

1

п1

Рк _

е

к

— <

1) - р"-1)/2 )= 0.

П (1 + (р -1)(1 + р + р2 +...+ р"-1)/2-^ - ~("-1)/2 1- < р

а=раа1.а>1 (а1. Р )=1 Ъ= р3\ ./>1

(Ъ1. р)=1

е= руе1.у>1 (Ч. р)=1 (й.р)=1 п= р"п1.">1

(п1. р)=1 1<"<а</<у

2. Рассмотрим случай, когда " = а < / < у. Если 1 < к <", то А( рк ) = 0 для нечетного

к, и А(рк ) = рк 2 1(р -1) для четного к.

А(Р"+1) Н

( п тл

V Р У

С ахйЛ

р(" 1)/2. если " - нечетное,

р"12 1. если " - четное.

V У У

При к > п + 1 имеем А(рк) = 0. Если п - нечетное, получаем следующий множитель:

П

р

а= раа1.а>1 ( а1. Р)=1

Ъ=р3Ъ .3>1 (Ъ1. р )=1

е= руе1.у>1

(е1. Р )=1

(Л,р )=1

п=р^п .">1 (п1. Р )=1

1<"=а<3<у

^ Г ап^ 1 + а1п1

V

Л

р У У

-,("-1)/2

Данная скобка равна нулю, если а п является квадратичным невычетом по модулю р. 3. Рассмотрим случай, когда а <" < / < у. Если 1 < к < а, то А(рк) = 0 для нечетного к, и А(р ) = р (р -1) для четного к. Если а < для нечетного а, и для чет-

ного а имеем:

А(рк) = ра/2-1(р -1)

- ай

Получим

А( Р"+1) = \

Р" У

й

п"+1 Vр У

р У

р(а 1)/2. если а - нечетное,

- агй

V р

раП 1. если а - четное.

При к > п + 1 А(рк) = 0. Если а - четное, получаем множитель:

П

р

а=раа1 ,а>1 (а1, р)=1 Ь=р3Ь1,3>1 (Ь1, р)=1

е= р'ге ,/>1 р)=1 (й,р )=1 п= р7п1,7>1

(nl, р И

1<а<7<3</

ра

г/2-1

V

р+(р -1)

А/

- ахй ~ра+Г у

+

- ахй

ра+2

Vр у

+...+

^- айУ^

р"

уу

- ахй

р

7+1

Если а1й является квадратичным невычетом по модулю р и п - нечетное, то рассматриваемая скобка равна нулю.

Если а - нечетное, получаем множитель:

(

П

(а-1)/2

( ( „ V 1 +

а=раа1,а>1 V (аl, р )=1 Ъ=р\,¡>1 (Ъ1, р)=1

е=р/е1,/>1

(е1, р)=1 (й,р)=1 п= р7п ,7>1 (nl, р)=1 1<а<7<3</

Данная скобка равна нулю, если

а

Vр у

й

V», УЛ

р7+1

Vр у

п

р ууу

а,

V й )пл

р

7+1

V р у

-1

4. Рассмотрим случай, когда а <7 = 3 < /. Если 1 < к < а, то А( рк) = 0 для нечетного

к, и А(р ) = р (р -1) для четного к. Если а < к < 7 , то А(р ) = 0 для нечетного а, и для четного а имеем:

А(рк) = ра/2-1(р-1)

- ахй

\

р

А( р7+') И

( „ V

а р

Vр у

- Ъ

V

й

ру

С - ай У Ьп ^

«7+1 Vр у

(а-3)/2

р ) , если а - нечетное,

р7+1 V р у

ру

а/2-1

р , если а - четное,.

При к > п + 1 А(рк) = 0.

Если а - четное, получаем множитель:

П

р

а= раа1,а>1

( а1, р)=1 ь=р3Ь ,¡>1 (Ь1, р )=1

е= р/е1,/>1

(е1, р )=1 ( й1,р)=1 п=p"nl,">1 (n1, р )=1 1<а<7=3</

ра

г/2-1

V

А/

р+(р -1)

л

- ахй

у

+

- ахй

ра+2

Vр у

+...+

р7

+

уу

- ай V р

Ъп р

Данная скобка равна нулю, если п - нечетное, (- ахй) - квадратичный невычет и Ъхпх -квадратичный вычет по модулю р.

5. Рассмотрим случай, когда а < / <" <у. Если 1 < к < а, то А( рк) = 0 для нечетного к, и А(рк) = рк 2 1(р -1) для четного к. Если а < к < /, то А(рк) = 0 для нечетного а, и для чет-

ного а:

А(рк) = ра/2-1(р -1)

— /

у

Если 3 < к < " , то

А( Рк ) =

ахЪхл

. Р У - Ъхй

Р -1

(к-а-/)/2+1

Р - 1

- ахй л

. р У. р -1

(к-а-/)/2+1

Р - 1

(к-а-/)/2+1

, если к - четное, а и 3 - нечетные,

, если к и а - нечетные, 3 - четное,

, если к и 3 - нечетные, а - четное,

(к-а-/)/2+1

. если к .а и / - четные,

0. если 3к-а-/ - нечетное.

А( Р"+1) Н

- ахЪх

1

Р У С - ахй^

("-а-3+3)/2

1

р У

г- Ъхй л

V Р У. 1

("-а-3+3)/2

1

("-а-3+3)/2

. если ".а и 3 - нечетные,

. если" и а - четные, 3 - нечетное,

. если " и 3 - четные, а - нечетное,

("-а-3+3)/2

С - ахЪхйп^

. если а и 3 - четные, " - нечетное,

1

("-а-3+2)/2

, если ".а и 3 - четные,

Р У

С ахпх ^

р У

("-а-3+2)/2

1

("-а-3+2)/2

1

Р У

("-а-3+2)/2

, если а и 3 - нечетные, "- четное,

. если " и а - нечетные, 3 - четное,

. если" и 3 - нечетные, а - четное

Пусть к > п+1. Тогда суммы Клоостермана будут равны нулю в силу утверждения 6 из леммы 2 и 3 из леммы 3.

Если п - четное, а и в - нечетные, получим:

<

П

p

a= paai,a>i V ( ai. p)=l b=p<\ ,<>i (bi, p)=i c= prc1,/>1

(ci, p )=1 ( d,p )=1 n= p<n ,<>i ( nl, p )=1 \<a<<<<</

(a-i)/2

f ( 1 +

- ab

\\

l

jj

(<-a-<+2)/2

if

- ab

- dn

jjj

Данная Если a

скобка равна нулю, если (— а1Ь1) и йщ — квадратичные невычеты по модулю р. - четное, п и в - нечетные, получим:

П

p

a= pa a1 ,a>i ( ai, p )=1 b=p<\,<>i (bi, p)=i c= prCi ,/>i

(ci, p)=i ( d,p )=i n= p^ni,7>i (n1, p)=i

\<a.a<<<<<

pa

г/2-i

V

Г + (p - i)

A /"

VV

- ad

t« j

+...+

p<

p jj

+

- axd p

+

jj

+ ■

i

/V

p

(<-a-<+2)/2

VV

bini p

r -

p

jj

Данная скобка равна нулю, если (— ахй) и Ьщ — квадратичные невычеты по модулю р. Если в

четное, п и a - нечетные, получим

( (

П

p

a= paal ,a>i V ( al, p )=i b=p<bi,<>i (bi, p )=i c=pyc ,/>i

(ci, p)=i ( d,p)=i n=p<ni,<>i

(n1, p)=i

i<a<<<<</

(a-i)/2

i +

bd^

+ ■

i

^ Л an

jj

p

(<-a-<+2)/2

VV

p

p

jj

Данная скобка равна нулю, если (— и аЩ — квадратичные невычеты по модулю р.

Заключение

В работе [l] Х.Д. Клоостерман рассмотрел обобщение задачи Лагранжа. Он получил асимптотическую формулу для количества представлений числа n диагональной формой с четырьмя целыми переменными. Клоостерман привел примеры случаев, когда число представлений равно нулю. В работе [l] случаи для простого p, равного двум, рассмотрены более подробно, чем для нечетного простого p. Представление главного члена в виде произведения по простым числам и применение точных формул для сумм Гаусса позволило нам дополнить случаи [l] для нечетного

2 /2 2 j 2

простого p, при которых уравнение n = ax + by + cz + dt не имеет решений.

Список литературы References

1. Kloosterman H. D. 1926. On the representation of number in the form ax2 + by2 + cz2 + dt2 . Acta mathematica. V. 49: 407-464.

2. Малышев А. В. 1962. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами . Тр. МИАН СССР. 65: 3-212.

Malyshev A. V. 1962. On the representation of integers by positive quadratic forms. Trudy Mat. Inst. Steklov, 65. Moscow: Acad. Sci. USSR: 3-212.

3. Estermann T. A. 1962. New application of the Hardy-Littlewood-Kloosterman method. Proc. London Math. Soc. 12: 425-444.

4. Hua L.K. 1982. Introduction to number theory. Springer.