Исследование одномерных нелинейных динамических задач вязкоупругости Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 539.374_

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ _ЗАДАЧ ВЯЗКОУПРУГОСТИ_

Курбанов Наби Тапдыг оглы

кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой Общая математика Сум-

гаитского государственного университета Алиева Ульвия Санган гызы Старший преподаватель кафедры Общая математика Сумгаитского государственного университета Рзаева Вафа Гюлага гызы Ассистент кафедры Общая математика Сумгаитского государственного университета город Сумгаит, Азербайджан

АННОТАЦИЯ

В работе решается задача о распространении нестационарных динамических волн в стержневых вяз-коупругих системах с учетом нелинейности среды, с помощью интегрального преобразования Лапласа и методом последовательных приближений для произвольных наследственных функций. Показано, что все приближения зависят от нелинейного ядра наследственности, кроме первого приближения, а решение убывает по экспоненциальному закону.

ABSTRACT

I work it is sowed rider about the propagation of unsteady-state motional waves in the bar viscoelastic system in view of the nonlinear medium, using the integral Laplace transformation and the method of successive approximations for arbitrary heterogeneous functions. It is shawn that all approximation depends on the nonlinear nucleus heterogeneous, except the first approximation and the solution decreases at exponential low.

Ключевые слова: вязкоупругость, нелинейность, ядро, наследственность, изображение, оригинал, свертка функций.

Keywords: viscoelastic, nucleus, heredity, original, convolution of the functions, nonlinearity.

В современной технике шир°к° используются х е находящимся в покое при t < 0, а конструкции, изготовленные из композиционных

материалов. Поэтому возникает необходимость при t = 0 на торце х = 0 воздействует нагрузка

изучения напряженно-деформационного состояния [4, c.53-47; 7; 1,c.70-72].

элементов конструкций в нелинейной постановке Математически задача сводится к решению

задачи с учетом вязкоупругих свойств материала системы дифференциальных уравнений [6,с.384; 3

[2, с.280; 6, с.384]. с.330]

В статье исследуется задача о распростране- дС) д2U(i)(X t)

нии нестационарных волн в нелинейных вязко- -= р^')--—-— . (1)

упругих стержневых системах, состоящих из двух дх dt

частей: конечном X 6 [0; £] и полубесконечном при граничных и контактных условиях

с(1)(0, t) = f (t)

ат(£, t) = с(2)(£, t) u t) = u (2\£, t) (2)

и(2)(X г)_> 0 при X_> ГО Определяющее соотношение принимаем в ви-

0 ^ ' ^ . де:

Начальные условия нулевые

(' и т л ди ° Ч Х,0) и) (х,0) = 0,-= 0 . (3)

дг

г г

<) = Е(')[еС) _ ^|Г(')(г _ Т)ес)с1т _ )(г _ ту)р(в('у)с1т] (4)

0 0 где <У(')(X, г) - напряжение, и0)(X, г) - пе- модуль упругости, £ - длина конечного стержня

ремещение, р - плотность материалов.

(i) ') f (t) - заданная функция, £ - некоторый малый

ди О) нию системы нелинейно интегро-

параметр. в°) =-- деформация, Г(г) (г) и дифференциальных уравнений в частных произ-

дх водных, которые решаются методом малого парата (г „ метра и преобразованием Лапласа. Г (г) - функции, характеризующие свойства Учитывая (4) в уравнении (1) получаем: стержней. Поставленная задача сводится к реше-

д2^ _ *г «)(, - Г) д2^ _ *г;-)(, _ Г) х

дх о дх о

г ,ди('\ д2и(0(х, г) ди(0(х, г) йт д2и(0(х, г)л,

х [((—)-г^+—-г^ ]^г= (5)

дх дх дх дих дх

_ 1 д2 и (0( х, г) _ = с(г)2 дх2 ■

Е(г)

—— - скорость распространения волн в стержнях.

Представим (?(в(г)) в виде ряда

(р(в(1)) = к/1) + Лк2 (в(г) )2 + %къ (в(0 )3 +... (6)

где А - безразмерный параметр меньше еди- В этом случае решение задачи [6,с.384; 3

; с.330] будем искать в виде: ницы, к - конечное число.

ад ад

и(г) (х, г) = £ XV0 (х, г); ст(0 (х, г) = £ IV0 (х, г). (7)

г=1 г=1

Учитывая (6) и (7) в (5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X для первого приближения, получаем:

д 2и(')(х, г) ; (г) д2 и (г)( х, г К _ 1 5 2и (г)( х, г)

где С(г) =

е|г(0(г _Г)д и (хг) г

дх 0 дх с(г)2 дг2

О10( х, г) = Е0г)[ди^Г(г)(г-Г) Г

и«(х,0) = 0, = о (8)

1 дг

^(1)(0, г) = / (г) а(1)(£, г) = г), м1(1)(^, г) = и{2)(1, г)

м{2) (х, г) ^ 0, при х ^ ад. Второе приближение находится из следующих систем уравнений

д 2и2г)(х, г)_ г)д2и2°(х, г)_ 1 д 2и2г)(х, г)_

дх2 о 4 7 дх2 С(г)2 дг2 °(х, г) д2и(г)(. 0 дх дх2

= 2* ГГ,("(г-Г)д2ифИ

(О/ т л ди2г)( х,0) и(г)(х,0) = 0, —2 у 7 = 0 (9)

2 4 ' ' ' дг

^2г)(0,г) = 0, г) = г), и^,г) = и22)(^,г)

и2( х, г) ^ 0, при х ^ ад

86_Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) #31, 2016 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

(' )г ди ('')(х, г) (' ^ ди (')(х, г)

<) = Ес)[_ Л г(') (г_т)сТт.

дх о дх

г ди (')(х, г X

_еК |Г/' \г _т)( )2 Ст].

0 дх

Для определения третьего приближения получаем следующую систему уравнений

ди)(х,г) гГт.2и^')(х,г) 1 д2и^(х,г)

^г(' )(г — т)

— ■ / — / ■-— •

дх2 0 х 7 дх2 С(')2 сСг2

г ('^ _ ^Л ди)(х, г) д2и(')(х, г) ди(')(х, г) д2и(')(х, г).

= 2ек \Г('^ - Т ди1 (x,*) + ди2 (x,г) д и1 (хг)](Тт

1 о 1 дх дх2 дх2 дх2

и(')(х,0) = 0, ди3')(х,0) = 0 (10)

^ ^ ^ дг

< )(0, г) = 0, <\£, г) = <3(2)(£, г), иЧ\£, г) = м<2)(£, г)

и2 (х, г) _ 0 , при х _ ГО

<') = Е с) [ди3')(хг) _ * Г г(') (г — т) Ст

дх о дх

_ 2^ ГГ'■(, _т) ^и^ МЧхО Ст].

2 1 х дх дх

Аналогичным образом можем определить си- шением соответствующей линейной задачи вязко-

стему уравнений для нахождения последующих упругости [4, с.53-57; 7].

приближений. Применяя интегральное преобразование

Из систем уравнений (8) видно, что определе- Лапласа по времени г к системе (8) получаем: ние первого приближения решений является ре-

с^^ р) _ ^(!+ * (')(Р))и/')(х,р) = 0 (11)

сх с()2

где чертой сверху обозначены изображения _ ^Г)( р) одноименных функций, р - параметр преобразо- (')(р) =-- ^^— .

вания Лапласа, ^ 1 _ёГ(')(р)

Решения этого уравнения в изображениях Лапласа для каждого стержня имеют вид:

и<■>(х, р) =С<" т(РЬ/1 р) у ^ +

Е() р

Го р(21п_х) I к р р(21п+х) I к(1)( р)

+ £ (_1)^(у С(1) ^1+ак1(р) + у с(1) ^ (р))] И=1

(12)

_ 2с(1)с (2) Т (р)д/1 + (1)( р)

и2(хр) = р(Е(1)С(2) _С(1)Е(2)) Х

рд/ 1+бк(1)( р) [ с(2) (2 п_ 1)£ ]+с(1)( х_ £) р д/ 1+бк (1)( р)

ГО

х]Г (_1)И#'У с(1)с(2)

И=1

Отсюда видно, что вычисление оригинала первого приближения решений сводится к вычислению оригинала функций

Л —j__p_

w - )(z ,p) =-" v (p)

^ Рд/1 -sT (i)( p) где j = 1,2,3,4,5; i = 1,2

Zj = x, z2 = 2nl - x; z3 = 2ni + x, z4 = (2k +1)/; z5 = x + i.

Оригиналы этих функций вычисляются по методике изложенной в работах [4, с.53-57; 7] и имеют вид:

Л') I z z »

w"'(z,.p) = 1 с - jH(t - ^)§sTn')(t) +

2

+^ (t2 - j H (t - U (t) nsnT) (t)+

С I n=1

2

2 é')2 c{')

(-1)2 z m n! + ML (t2 -~zb) • ¿3 (t) • У —-— snT(i) (t) +

26 ( c(1)2J 3( ) y2!(n - 2)! n ( )

(-1)m z2 z

+ ••• + (t2 —j)H(t —j) • S2 . (t) • smT(i) (t) + m!22 С )2 с 2m-1 m

r» t 1

+ sm+1 jj (|Qm+1(r)^r)exp( - ^ sTf V) x

.0 0

1 cos( (ij) x sin ju(1--sT(') )t--С-ф

2 x(1 -1 sT('))

где ¿ (t) - импульсная функция П -го порядка, g (t) X ) означает свертку функций

t t T(') = jT)(r)sinjUTdr; Tf = jT)(q)cos^rdr;

0 0

t

M' )(t) = Q )(t ),•••, Q )(t) = jQ(' )(t - T)Q(m-1(T)dT,...

(13)

H (t) - функция Хевисайда, - постоянная. Тогда оригиналы первого приближения реше-

0 ний для каждого стержня определяются формула-

ми

^^^ = jn(1)(t -т)/-{w(1)(x,T) + ¿(-1)n в- X

dx о от n=1 (14)

X [ w(1) (2 ln- x, т) + w(1) (2 ln+ x, т)]}

du(1)(x, t) _ 2c(2)E(2) »

—У (-1)n0n x dx Ewc(2) - E(2)c(1) yv y

t d xj n(2)(t - т) -д- (w(2)( J ,T))dT, 0 dT

где —) (t) - функция ползучести,

Уп =

с(2)(2п -1)1 + с(1)(х -£) с(1)

Е(2)с(1) - Е(1)с(2) = Е(2)с(1) + Е(1)с(2) '

С помощью формулы (12) для х, г) и 0'((2( х, г) получаем:

ад

сг1(1)(х, г) = ай [м?т(х, г) + £ (-1)п вп х

п=1

х [ (21п- х, г) + (21п+ х, г)]}

2а с(1) Е(2) ад

<(х. г) = Е„а°,с_Е»)с»' £ (-1)П^'№,2>(Уп. г). С5)

Здесь для простоты приняли разования Лапласа по времени г к уравнению (9) /(г) = аН(г) [3, с.330; 7]. Для нахождения получаем: второго приближения решений, применяя преоб-

д2и2')(x, Р)__Р2 иа) / ч = ¿КГ1(Р) / ди1(')(x, Р) -

дх2 с(1)2(1 -¿Г(г)(Р)) 2 ( ,Р) 1 -¿Г(г)(р) йху дх '

Общее решение этого уравнения для каждого стержня в изображениях Лапласа имеет вид: и,1)( х, Р) = 1 {с '"¿^ (((£, Р) х

1 + д 2 Р

ху (-1)п 0п [в-«1Р,/ 1+гк(1)(Р) + в-«2Рл/ 1+гк(1) (Р) ] - с( } О^Ц (р)(1 + Д ) _ (Р) х

п=0 2 Р 1

ху (-1)п 0п [в-«1 ^ 1+*(1)(Р) - в-«2р7 1+гк(1)(Р) ]} - с(1)гк1Г (1)(р)лА + ¿к(1)(Р) р (х Р) п=0 2 Р 1

с (1)*к Г/( р)^1 + гк (1)( р)

и (х, р) = с ¿ч Г1(Р)^ ' (Р) [((£, р) х £ (-1)п впв-«3Р^У(р)-«4^(1)(р) +

2р

п=0

+ ((£,р)£(-1)пвпе-«з-«4] - - саЧ Г(1)(р) ^(р) х

(1 + М) Р

п=0

х

£ (-1)п^пв-«зРл/ 1+гк(1)(р)-«4Рл/ 1+гк(2)(р) - с^А^Ц2 (р)^1 + ¿к ^ (р) _ (х р)

п=1

2Р

(2п +1)£ + х (2п +1)£ - х

где «1 =--' «2 =--

(2п +1)£ х - £

« = --— ■ « =-

«3 с (1) ' «4 с (2) ^с(1)гк^1 + *к(2)(р) Ц(2)(р)

М с(2)гк^1 + гк(1)(р) Г((()(p) 1

в =

1 + Д

ад

г (0, р) = 1 + А (< П £ + ак (1)( р)

р ах сК>

Ш р) = сг(£р + ^г (£, р)

ах

Щ(£, р) = + г (£, р)

ах

т р) = _ г (£, р)

ах

г (£, р) = ж£, р)_ ж£, р) р) = X, р)_ 32 (X, Р)

Г2 (£, р) = 33 (X, Р) _ 34 (X, Р)

с Гди(1) ^2 _

X

31( x, р) = 1

ds{ дя

Ся

£

32 (X, р) = [

С [ дм,

-(1)\2 X

СД дя

(1) рд/ 1+А (1)( р)

е С ая

х

33( x, р) = |

С [ ди

У

,-т(2Л2

£ дя у

х_ я

рл/ 1+ак (2)( р)

е С Ся

ГО

34 (X, р) = |

С [ ди

1ТГ(2Л2

Переходя в пространство оригиналов получаем:

ас(1) к

1_

С (2) ^ ^ (2)( р ) е С ая.

(16)

г

и? (X, г) = ~ \ |Г1(1) (г _ т)^1 (£, т)Ст Х

2(1 + ^2)0

го с ® ак х£ (_1) п£п К(«, г) + w1(«2, г)]--а |Г1(1)(г_ т) г^Стх

«=1 2 0

го с (1)ак г

Х]Г (_ 1)п вп К («, г) _ ^ («2, г)]--а-1 {Г(1) (г _ т)л (х, т)Ст.

«=1 2 0 с (1) ак ^ „го,

и22) (х, г) = —Г Г1(1) (г _ тЖ (х, т)Ст• £ (_ 1)п £п ^ («3^3 + «4, г) +

2(1+м2)г п=0

го £ с(1)2 ак г

+ ^ (X, г) (_ 1)п £ х [(«3 _ 4^3 + «4, г] _ --1ГГ1(1) (г _ т)г (т)Ст х

п=0 С 1 + ^ 0

го с^2) ак г>

х£ (_ 1)п («3^3 + «4, г) —ак1 |Г/2) (г _ т)Г2 (х, т)Ст,

п=0 2 0

где

М3

1 + ак (1)( р)

+ ак (2)( р)'

Оригиналы функций (X, р) (ш = 1,4) определяются следующими формулами [3, с.330; 4,

с.53-57].

х

c (1)t - s

x c(1) d du (s t — r) Ji (x, t) = J J — [ —L-(—--]2 w (x — —,r)drd—

о x—- d- d—

c(1)

1 c d du (— t — r)

J (x, t) = J J — [ —L-(---)]2 w (— — x,r)drd—

d— d—

x ——x „(Ц

J (x, t) = J J d[dUi (—, t r) ]2 w (x — —, r)d—dr : : d— d—

t x— —

J4 (x, t) = J J d[dUl (-, t r)]2 w (— — x,r)d—dr.

x ——x

c

(2)t + x c(2)t — —

c

Аналогичным образом можем найти следующие приближения решений [4, с.53-57;1, с.70-72].

Здесь функция Г(г ) - характеризует линейную часть функции релаксации, а Г(г) ) - является нелинейным ядром релаксации [6,с.384; 3, с.330].

Из формул (14) и (16) видно, что второе приближение зависит от нелинейного ядра Г^)(?) .

Это связано с решением, которое ищется в виде ряда (6) и решение убывает по экспоненциальному закону.

Литература

1. Аршинов Г.А., Елисеев Н.И. Продольные волны в нелинейно вязкрупругом стержне. Изв.вузов, Северо-Кавказский регион, №3, 2003, с.70-72

2. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М. «Наука», 1970, 280 с.

3. Ильясов М.Х. Нестационарные вязкоупру-гие волны. Баку «Азерб. Хава Йоллары», 2011, 330 с.

4. Курбанов Н.Т. Исследование одномерных динамических задач линейной вязкоупругости. «Прикаспийский журнал», АГУ, Россия Астрахань, №2, 2008, с.53-57.

5. Курбанов Н.Т., Алиева У.С. Исследование динамической устойчивости вязкоупругих стержней. «Динамика i мщщсть мащин» В1сник НТУ, Харьков Украина, 2012, с.86-91.

6. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М., «Наука», 1977, 384 с.

7. Kurbanov N.T. and Nasibzada V.N. "Investigation of forced oscillations viscoelastik shells" International Journal of Current research, vol.7. Issue 07 18356 - 18360, India, 2015.

КРИВАЯ НАМАГНИЧИВАНИЯ ДЛИННОГО ПЕРИОДИЧЕСКИ УПОРЯДОЧЕННОГО ДЖОЗЕФСОНОВСКОГО КОНТАКТА ПРИ БОЛЬШИХ _ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРА ПИННИНГА_

Зеликман Марк Аронович

доктор физ-мат.наук, профессор кафедры экспериментальной физики СПбГПУ

имени Петра Великого

АННОТАЦИЯ.

На базе подхода, основанного на анализе непрерывного видоизменения конфигурации, протекающего в направлении уменьшения потенциала Гиббса, рассчитана кривая намагничивания длинного периодически модулированного джозефсоновского контакта при циклическом изменении внешнего магнитного поля для случая немалых значений параметра пиннинга i. Показано, что, в отличие от случая малых i, когда петля гистерезиса представляет собой часть некоторой универсальной кривой, части петель, соответствующие убыванию магнитного поля в первом и втором квадрантах (и симметричные им), проходят ниже универсальной петли, причем степень отклонения растет с ростом параметра пиннинга i.

ABSTRACT.

The magnetization curve for a long periodically modulated Josephson junction is calculated using the approach based on analysis of the continuous change in the configuration in the direction of the decrease in the Gibbs potential upon cyclic variation of the external magnetic field for large values of pinning parameter i. It is