Исследование обобщенного неравенства Харди через системы нелинейных дифференциальных уравнений в весовом пространстве Лебега со смешанной нормой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 4, С. 16-26

УДК 517.518

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБОБЩЕННОГО НЕРАВЕНСТВА ХАРДИ ЧЕРЕЗ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ЛЕБЕГА СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ1

Р. А. Бандалиев

Основной целью работы является нахождение критерия для двумерного оператора Харди через системы нелинейных дифференциальных уравнений в весовом пространстве Лебега со смешанной нормой. В частности, доказано, что весовые функции являющиеся коэффициентами системы нелинейных дифференциальных уравнений входят в оценку двумерного оператора Харди в этом пространстве.

Ключевые слова: обобщенное неравенство Харди, нелинейные дифференциальные уравнения, пространство Лебега со смешанной нормой, абсолютно непрерывные функции двух переменных.

1. Введение

В современной теории уравнений математической физики широко применяются функциональные методы, берущие начало из классических работ Д. Гильберта. При исследовании эллиптических уравнений важную роль играют теоремы вложения, изученные различными математиками [1]. Далее при исследовании теоремы вложения в произвольных открытых множествах появляется многомерный оператор Харди. А это в свою очередь требует оценить оператор в различных весовых функциональных пространствах. Среди этих пространств важное место занимает весовое пространство Лебега. Оценка многомерного оператора Харди в весовых пространствах Лебега берет начало с работ [2] и [3]. С другой стороны, многомерный оператор Харди имеет приложения в спектральной теории операторов, в теории дифференциальных уравнений с частными производными, в теории интегральных уравнений, в теории функциональных пространств и др. (см. [4, 5, 10]). Поэтому получение оценки для многомерного оператора Харди в пространстве Лебега является актуальной задачей. В одномерном случае отметим известную монографию [11].

В работе доказывается связь системы нелинейных дифференциальных уравнений с двумерным оператором Харди в весовом пространстве Лебега со смешанной нормой. Другими словами, доказывается, что весовые функции, участвующие в определении весового пространства Лебега со смешанной нормой, связывают эту систему с двумерным оператором Харди в этом пространстве.

Теперь перейдем к изложению некоторых обозначений и вспомогательных фактов. Пусть 1 < Р1,Р2 < го и рг(Ь) — весовые функции, определенные на (0, го), т. е. измеримые по Лебегу, почти всюду положительные и конечные функции на (0, го), г = 1, 2.

© 2014 Бандалиев Р. А.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке фонда развития науки при Президенте Азербайджанской республики, проект № Е1Г-2010-1(1)-40/06-1.

Предположим, что = и ^ = где г = 1,2. Всюду в дальнейшем будем считать, что рассмотренные функции являются измеримыми по Лебегу. Пусть / : (0, то)2 ^ Ж произвольная измеримая функция, где (0, то)2 = (0, то) х (0, то). Определим весовое пространство Лебега со смешанной нормой. Это пространство обозначается через L(p1,p2,p1,p2)[(0, то)2] и состоит из функций, для которых конечна норма [6]

(оо/ ос ч £2. ч

У ( У |/(ж1,ж2)|Р1 Р1 Ы Жл! Р2(х2) Жж2| .

Через С 1(0, то) обозначается пространство непрерывно дифференцируемых функций на (0, то).

вала (0,то) обозначается через АС1ос(0,то).

2. Формулировка основного результата

Пусть Уг(4), (4) — весовые функции, определенные на (0, то), у £ С 1(0, то) и Аг > 0 — некоторые заданные числа, г = 1, 2. Рассмотрим систему обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений

, / 42 Щ-\ «2

А =0,

(1)

где

уг(4) > 0, У(4) > 0 (4 > 0), У(4) £ АС 1ос(0, то), г = 1,2. (2)

Под решением задачи (1)-(2), будем понимать пару функций (у1 (4), У2(4)); которая почти (0, то)

Основной теоремой работы является

Теорема 1. Пусть 1 < рг ^ < то, о>г(4) — весовые функции определенные на

(0, то) и уг £ С 1(0, то), где г = 1, 2 Тогда для разрешимости задачи (1)-(2), необходимо

С0 > 0

тт)< С0

д2и

дж1дж2

£(Р1 ,р2,у1 ,«2)[(0>^)2]

(3)

где и : (0, то)2 ^ Ж — произвольная абсолютно непрерывная функция двух переменных, удовлетворяющая условию

и(ж1,0) = Иш и(ж1,42) = 0, <2 ^+0

и(0,ж2) = Иш и(41,ж2) = 0.

(4)

Для доказательства теоремы 1 сначала докажем следующую теорему. Теорема 2. Пусть 1 < ^ q^ < то, — весовые функции, определенные на

(0, то), у £ С 1(0, то) и Аг > 0, г = 1, 2. Предположим, что задача (1)-(2) имеет решение

Уг(4), г = 1, 2.

Тогда имеет место неравенство

1_ J_

91 л 92

д 2

u

dxidx2

L(p1,p2,vi,v2)[(0,^)2]

(5)

где и : (0, го)2 ^ Ж произвольная абсолютно непрерывная функция двух переменных, которая удовлетворяет условию (4).

< Хорошо известно, что для любой абсолютно непрерывной функции двух переменных имеет место представление (см. [8, с. 246])

u(x1,x2) = u(0,0) + J

xi X2 xi X2

du{ai>0)da1+ + f f 9 !(аГ2) dalda2. (6)

da1

da2

da1da2

0 0

Очевидно, что из условий (4) следует u(0, 0) = lim u(ti ,¿2) = 0. Поэтому из равен-

ti —>+0, t2 —+0

x X2 d2 u(a a )

ства (6) в силу (4) получаем u(Ж1,Ж2) = Jq1 f da"802 da\da.2- Отметим, что последнее

0 1 2

представление определяет двумерный оператор Харди [7]. Предположим, что функция y(x1 ,x2) = (y1(x1),y2(x2)) является решением задачи (1)-(2). Тогда в силу неравенства Гёльдера, имеем

xi Х2 xi Х2

Г f d2u qi ff f d2u

\u(xl,x2)rul(xl)= J y_dildi2 u^)^ J

0 0 0 0

00

xi x2

qi

ш1(ж1)

д2 u

dt1dt2

00

xi x2

[y1 (¿1)] pi [y1 (¿1)] pi ¿¿^¿2 ^1(X1)

qi

д 2u

dt1dt2

00

Xl qi X\ X2

Pl

^y y1 (¿1) dt1

0

< ^1(^1) (У1(Ж1))

[y1 (¿1)] pi dt2 )[yi (¿1)] pi dt1

д2 u

qi

Ш1(Ж1)

00

д^д^

-4- \P1

[y1 (¿1)] pi ^2 Ш1(Ж1)

ii

pi

xi x2

00

д2u

дilдi2

1 \p 1 \ ^

--Г- \ ^ \ P1

[y1 (¿1)] pi ^2 ¿¿1

xi x2

Д\( ff f du

pi

d f Ii , ,

00

__1_ \ PI

[y1 (¿1)] pi ^2 ¿¿1

IL

xi

d ( Ii

-Ai^i

PI Х2 f д2 u

и öiiöi2

-4- \Pl N [y1 (¿1)] pi ¿¿И ¿¿1

II

(7)

i

i

i

p

i

Интегрируя обе части неравенства (7) по переменной Ж1 и применяя обобщенное нера-

венство Минковского, имеем

|и(ж1 ,ж2)|91 ш1(ж1) ¿ж1

£1

91

IX / Х1

<

00

й ( и Щ-

р1 „ ж2 й/ [ д2и

и дьдг2

ч П . £1

\р 1 \ р1 1 91

[у' (41)] р1 ^2 ЖжЛ

x / x

^ / 91 11

Х2

д2и

_ 1 \ 91

£1

91

[у1 (41)] р1 ^2 ¿л ¿41

0 ч<1

x х2

00

£1

91

<1

д2и -4-

[У (¿О]

д^д42

91

00

x х2

£1 Г [ Г д2ь

_ д 91 ii i и и

1

д^2

00

Р1 _£1 Р1

x х2

Г { Г д2и

= А1

д^2

Р1

у1 (41)

00

Таким образом, получили неравенство

|и(ж1 ,ж2)|91 ш1(ж1) ¿жН ^ А9

x х2

д2 и

д42

¿42)Р1 у1(41)

0 0 0 Снова, применяя обобщенное неравенство Минковского, получаем

1 Р1

x х2

00

д2и

д41д42

Р1

^2 У1 (41) ¿М <

1 х2 x

д2и дйдЬ

Р1

00

Р1

Таким образом,

|и(ж1 ,ж2)|91 ш1(ж1)¿жН ^ А91

х2 x

П . ТТГ

д2 и

д41д42

00

Р1

у1 (41)

Р1

Далее, из последнего неравенства получим

х2 x

|и(ж1 ,ж2 )|91 ^1(ж1) ¿ж^ Ш2(ж2) ^ А11 Ш2(ж2)| 0 0 0

2„, Р1

д2и

д41д42

x

x х2

x

1

1

x

1

x

Теперь оценим выражение ш2(ж2)^ /0Ж2 ^ Л цесс доказательства неравенства (7), имеем

(х2 , x

О О

/ Х2

д2 и

Р1 \ — N92

у1(41) И I . Повторяя про-

<

о

(1 I 92 12.

"л2 —([у2(ж2)]и [^(ж!)]^

д2и Р1

дt\дt2

Р2 x

)1 92 / /

V У 0

Р1

92

<92и Р1 -4 '

92 Р2

Поэтому

x

J |и(ж1 ,ж2)^1 Ш1(ж1) ¿ж^ Ш2(ж2) ^ А11 О о

Х2

(1 ( 92

-а2 —([у2(ж2)]^

Р2 92

д2 и

Р1

У1 (41) [у2 (*2)] р2 ^ ¿42

Р2 92

Р1 \ Р2

ж2

неравенство Мпнковского, получим неравенство (5). > Положим

г/ 1 / 4+1

Мг = — И 8Пр--- / <1з, (8)

?< <>0 5г(4) - / (Уг(^))1-Р'- 0 0

где инфпмум берется по всем измеримым функциям дг таким, что для всех 4 > 0

> }(Уг(5))1-Р'.г = 1, 2. 0

Следующая лемма устанавливает связь задачи (1)-(2) с числами Мг (г = 1,2). Лемма 1. Пусть Аг > 0 — числа, заданные в теореме 1, и Мг — величины, определенные равенством (8), г = 1, 2. Предположим, что Уги шг —весовые функции, определенные на (0, то), и для всех 4 £ (0, то) существует производная у'(4). Тогда следующие утверждения эквивалентны:

(а) ежи задача (1)-(2) имеет решение с локально абсолютно непрерывным производным первого порядка, то Аг ^ Мг;

(б) если Мг < +то, то задача (1)-(2) имеет решение для каждого Аг > Мг, г = 1,2.

< Докажем пункт (а). Пусть у(4) = (у1 (4), у2(4)) является решением задачи (1)-(2). Возьмем тг = ^г у\ р\ Тогда функция «;(£) = (гох (¿), г^гявляется положительным решением системы

+1

4+1

т0

(9)

Из (9) вытекает, что

^ у/г(5) =

Уг

(1г\

Шг

(з)(юг(з))^ ёз + Ыз)}1-^ ёз, г = 1,2.

(10)

зо

1

X

9

Из (10) получим (¿) ^ §[г^(«)]1-р и

0

í

г! л г +1

Аг ^ — -г- / (11)

^ Ш (¿) - / (г*(в))1-р ^ 0 0

Из (11) и (8) вытекает, что А, ^ М, и доказательство пункта (а) завершено.

Теперь докажем пункт (6). Фиксируем числа А, > М,, г = 1,2. По определению величин М, существуют лебеговы измеримые функции д(ж,) такие, что

í í

¡Ыз))1-^(18 + А- ! шг(з)(тг(з))^+1 (1З, 1 = 1,2. (12)

] А, ]

00

Определим последовательность функций (г = 1, 2) следующим образом:

шо,г(г) = д, (¿),

и>п+м(*) = /(гф))1"^ + /пеМ. (13)

•У 9г А, „/

00

Из (12) вытекает, что и>о,г(4) ^ Положим шп-1,г(4) ^ Докажем, что после-

довательности {и>пд(4)} и {^,2 (ж)} являются убывающими. Имеем

Р [

~ Шп+= —V" /

9г А, ]

0

^ > 0.

Так как ^ 0, то последовательности (13) сходятся. Обозначим их пределы че-

рез ш(¿). По теореме Леви о монотонной сходимости отсюда следует, что ш являются неотрицательными решениями уравнений

= [{у^у-Р'^з + А- [иг(з)(тг(з)$+1г1з, г = 1,2. •У 9г А, 7

00

Отсюда, получаем, что ш являются абсолютно непрерывными и удовлетворяют дифференциальным уравнениям

Г)' +1

= + , г = 1,2.

9г А,

Поэтому функции

/К«]-1 (^(*))1-р А, УСО = еа' , г = 1, 2,

удовлетворяют условиям задачи (1)-(2). >

Теорема 3. Пусть 1 < р ^ д, < го, М, < го ж — весовые функции,

определенные на (0, го), где г = 1, 2. Предположим, что С > 0 наименьшая постоянная такая, что имеет место неравенство

д2и

Нкь92,^2)[(0,00)3]

дж1дж2

, (14)

,р2,п ,«2}[(0>^)2]

где u : (0, го)2 ^ R — произвольная абсолютно непрерывная функция двух переменных, которая удовлетворяет условию (4). Тогда C ^ Mi M2.

< Обозначим gxigx2 = т(х\,х2)- Далее, при выполнении условий (4) получим u(x1 ,x2) = J01 J02 r(t1, t2) di1di2. Очевидно, что

OO OO Х\ Х2 ^ 92

С = sup J J J J r ' ^2) dtidt^ o>i(iri)diri^ w2{x2)dx2, (15)

о о oo

r

те те

(r(x1 ,x2))piv1 (x1) dxH v2(x2) dx2 = 1.

P2 VI

(16)

0 0

Предположим обратное. Пусть С > М1М2. Тогда существуют числа > 0 и ^2 > 0 такие, что \/~С > > М^, г = 1,2. Так как М^ < го, то в силу пункта 6) леммы 1 задача (1)-(2) имеет решение. Поэтому в силу теоремы 2 получим, что неравенство (5) справедливо с постоянной для каждой абсолютно непрерывной функции и(ж1,ж2),

С

янной в неравенстве (14). Полученное противоречие доказывает теорему 3. >

Следствие 1. Пусть выполняется все условия теоремы 2. Тогда по определению М, (г = 1, 2)

С ^ — sup

9i t>o

1

gi(t) -/ (vi(s))1-p ds 0 o

ds,

где gi(t) положительные измеримые функции такие, что gi(t) > /(vi(s))1 p ds.

o

Следствие 2. Пусть

Тогда

и

< Положим

B = sup / wi(s) ds

ж ¿>0 J

Xi

(Vi(s))1-p ds

, i = 1,2.

5l52 <С<МхМ2<П )

i=1 ^

Ml M2 < П (atei)^ С.

i=1

(17)

(18)

s(X1,X2) = <

i=1 V o 0,

(x1 ,x2) g Pfi¿2; (x1 ,x2 ) G ¿2 ,

t

x

те

где ^¿2 = {(ж1,ж2) £ (0, то)2 : 0 < ж1 < £1, 0 < ж2 < £2} и (£1 ,£2) некоторая фиксированная точка в (0, то)2. Очевидно, что

Р 2

(5(ж1,ж2))Р1 У1(ж1) ¿жи У2(ж2) ¿ж2

00

ь ( Г Г 2 / Г \1т

У [Щ/ [Уг(4г)]1-Р'1 ^ '[Уг(жг)]1-Р'^ ^Ы ^ У2(ж2) ^2 = 1

00

Поэтому функция 5 удовлетворяет равенству (16). Тогда из равенства (15) получим

оо оо XI Х2 у 92

С ^ У (У (У У 1ш2(ж2)^ж2

0 0 0 0

x x Х1 Х2 92

41 \ 91

^У V •/ V./ У 5(^1 ,^2) ¿41 Ш1(ж1) ¿ж^ Ш2(ж2) ¿ж 2

¿2 ¿1 0 0

оо оо ¿1 & 2 & 92

/ П ( / [Уг(уг)]1-Р'¿уО ' [Уг(4г)]1-Р'' ^2 I Ш^)^ I Ш2(ж2) ^2

¿2 ¿1 0 0 »-1 0

П(У Р* У ^г(Жг) ¿Жг-

г=1 п ¿т

о ¿' 9' x

х ' „/ . \ ^

0 ¿'

£1 £2

лучаем, что С ^ ВВ2. Неравенство С ^ М1М2 вытекает из теоремы 3.

9г

Теперь докажем, что Мг ^ 9г(д')р' Вг, г = 1, 2. Прежде всего из определения величин В вытекает, что

9г

В/' ( У 41 > IЫи)}1-^ йь

Положив в равенствах (8)

5г(Жг) = '¿'¿В/4 ( / Шг(Уг) ?/г) ¿ = 1,2,

находим, что

Мг = ^ И вир

1

Яг Х{>0 / оо . -йк XI

д'В« ( / Шг(и) щ - ¡Ыи)]1-Р> Мг

^Х' ' 0

^ вир

Х' I X

X J ОШг{уг)йу>

0 ^ ^-4-1 1 I р'г

В1+*

_р± Щ

И\ Р7;

+ 1

ж;>0 , оо

—+1 14-21

< (д-)р,< В зир

р\ т

А.

¿и

-I Ыи)]1-Р'' 0 0

шг(уг) ¿у,

/ шг(4г) ^

И

Х1> 0 / оо

(¿в?Ч1шг(и)<1и) щ -¡ыи^йи

ЧХ' 7 0

Из определения величин Вг вытекает, что

Х'

/ < ( / Шг(Уг) (1У,

Поэтому

Е±

«ДО

шг(4г) ^

- / [Уг(4г)]1-Р'' ^ (д' - 1)В

шг(4г) ^

Таким образом,

Мг <

• Ч{

г = 1,2.

(?г - 1)в/

А это означает, что неравенство (17) доказано. Неравенство (18) автоматически следует из неравенства (17). >

Замечание 2. Из следствия 2 вытекает, что для справедливости неравенства (14), необходимо и достаточно, чтобы Вг < +то, г = 1, 2. В одномерном случае неравенство типа Харди подробно изучено в монографии [10] (см. также [5]).

Следствие 3. Пусть выполняются все условия теоремы 1. Предположим, что р1 = р2 = р и д1 = д2 = д. Тогда теорема 1 справедлива в обычном весовом пространстве Лебега с весами у (ж 1 ,ж2) = у1 (ж1)у2(ж2 ) и ш(ж1,ж2) = ш1(ж1 )ш2(ж2).

< Достаточность непосредственно следует из теоремы 2. Докажем необходимость. Пусть выполняется неравенство (3) для каждой абсолютно непрерывной функции и(ж1, ж2 ^удовлетворяющей условию (4). Тогда С ^ С0 < то, где С — постоянная в равенстве (15). Из неравенства (17) следует, что Мг < то, г = 1, 2. Тогда в силу пункта 6) леммы 1 задача (1)-(2) имеет решение для каждого Аг > Мг, г = 1,2. >

Х

оо

р

9

оо

Х

оо

Пример. Пусть 1 < pi ^ qi < го, vi(xi) = ж"', wi(xi) = x

S±(Pi-l-ai)-l

i = 1,2.

Тогда для справедливости неравенства (14), необходимо и достаточно, чтобы а < р — 1, I = 1, 2.

Аналогичным путем можно показать, что теорема 1 имеет место для пространства Лебега со смешанной нормой и с переменным показателем суммируемости. А именно, имеет место следующая

Теорема 4. Пусть 1 < р\ ^ д1(х) ^ Щ < оо и 1 < р2 ^ д2(х2) ^ <?2 < Предположим, что ы и о — весовые функции, определенные на (0, го), и для всех Ь £ (0, го) существует производная О (Ь). Тогда следующие утверждения эквивалентны:

а) существует положительное решение следующей системы с локально абсолютно непрерывным производным первого порядка уравнения

,1/К

IIV1 y^ ||Lil(.,x2)(x 1 >t) - A1^1 (t)(y1 (i))1/p1 =0,

l|V2 У1/Р2 |Lq2(x2)(x2>t) - A2W2(i)(y2(t))1/p2 =0,

yi(t) > 0, yi(t) > 0, yi G AC(0, го), Ai > 0; b) имеет место весовая оценка

d2u

где u G AC (R++)

lqi,vi ,xi

< Co

q2,V2 X2

dx1dx2

Ju(0,X2) = limxi^+0 u(X1,X2) = 0,

1 u(x1,0) = limx2^+0 u(x1,x2) = 0. C0 > 0 — постоянная, не зависящая от u, и R++ = (0, го) х (0, го).

u

Литература

1. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физики.—Л.: Изд. ЛГУ, 1950.—255 с.

2. Седов В. Н. Весовые пространства. Теорема вложения // Диф. уравнения,—1972,—Т. 8, № 8.— С. 1452-1462.

3. Сысоева Ф. А. Обобщение некоторого неравенства Харди // Изв. вузов. Сер. мат.—1965.—Т. 49.— № 6.-С. 140-143.

4. Никольский Ю. С. К задаче Дирихле для уравнения с вырождением на бесконечности // Диф. уравнения.—1967.—Т. 3, № 7.—С. 1166-1179.

5. Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева,—Л.: Изд. ЛГУ, 1985,—415 с.

6. Benedek A., Panzone R. The spaces Lp, with mixed norm // Duke Math. J.—1961.—Vol. 28, № 3,— P. 302-324.

7. Шарапудинов И. И. О топологии пространства Lp(t)([0,1]) // Мат. заметки,—1979,—Т. 26, № 4,— С. 613-637.

8. Баидалиев Р. А. Об одном неравенстве в пространстве Лебега со смешанной нормой и с переменным показателем суммируемости // Мат. заметки,—2008.—Т. 84, № 3,—С. 323-333.

9. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 5.—М.: Физматгиз, 1959.—655 с.

10. Kufner A., Persson L.-E. Weighted inequalities of Hardy type.—New Jersey-London: World Scientific Publishing Co, 2003.

11. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полна Г. П. Неравенства.—М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1948.

Статья поступила S июля 2013 г.

Бандалиев Ровшан Алифага оглы

Институт математики и механики HAH Азербайджана,

ведущий научный сотрудник

АЗЕРБАЙДЖАН, AZ1141 1, Баку, ул. Б. Вахабзаде, 9 E-mail: [email protected]

INVESTIGATION OF GENERALIZED HARDY INEQUALITY VIA A SYSTEM OF NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS IN WEIGHTED LEBESGUE SPACES WITH MIXED NORM

Bandaliev R. A.

The main goal of this paper is to found a criteria for two dimensional Hardy operator via a system of nonlinear differential equations in weighted Lebesgue spaces with mixed norm. In particular, it is proved that the weight functions that are the coefficients of a system of nonlinear differential equations are included in the estimate of the two-dimensional Hardy operator in this space.

Key words: generalized Hardy inequality, nonlinear differential equations, Lebesgue spaces with mixed norm, absolutely continuous function of two variables.