Нелинейные уравнения с весовыми операторами типа потенциала в пространствах Лебега Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968.4

НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЕСОВЫМИ ОПЕРАТОРАМИ ТИПА ПОТЕНЦИАЛА В ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА

С. Н. Асхабов

Чеченский государственный университет,

364907, Грозный, ул. А. Шерипова, 32.

E-mail: [email protected]

Методом монотонных операторов для различных классов нелинейных уравнений с весовыми операторами типа потенциала доказаны глобальные теоремы о существовании, единственности и оценках решений в пространствах Лебега.

Ключевые слова: нелинейные уравнения, оператор типа потенциала, монотонный оператор.

I dx,

В вещественных пространствах Ьр(К1) = Ьр(—оо, оо), 1 < р < оо, рассматриваются нелинейные интегральные уравнения вида

(1)

»М + (*, £ = т, (2)

для которых методом монотонных (по Браудеру—Минти) операторов (см., напри-

мер, [1]) доказываются глобальные теоремы о существовании, единственности и оценках решений.

Для упрощения записей введём следующие обозначения:

/ОО

и(х)ь(а

-ОО

В силу известной теоремы Харди—Литтлвуда (см., например, [1]) оператор типа потенциала /“ действует непрерывно из Ьр в Ьр/(1-ар), если 0<а<1и1<р< 1/а, причём

11-^ ^11^/(1 — ар) ^ 11-^ 11р—/(1 —а р) 11^11^ ^ ^Р’ (^)

где \\1а\\р^р/(1-ар) есть норма оператора /“ : Ьр ->• Ьр/^_ару

Справедливы следующие (двойственные) леммы.

Лемма 1. Пусть 0 < а < 1, 2/(1 +а) < р < 1/а и а € Ьр^р^1+а^_ 2]. Тогда оператор Аа действует непрерывно из Ьр в Ьр>, причём

1И“м11р' < 2 \\1а\\р^р/(1-ар)\\а\\р/[р(1+а)-2]\\и\\р, (4)

(.Ааи,и} = 0 Уи(х) € Ьр. (5)

Султан Нажмудинович Асхабов (д.ф.-м.н., доц.), декан, факультет математики и компьютерных технологий.

Лемма 2. Пусть 0 < о. < 1, 1/(1 — а) < р < 2/(1 — а) и а € Ьр/^,-р{ 1-а)]- Тогда оператор Аа действует непрерывно из Ьр> в Ьр, причём

1И м||р ^ 2 ||/ ||р/(1+ар)^р||а||г,/[2_г,(1_0,)] ||м||р', (6)

(.Ааи,и) = О Уи(х) £ Ьр/. (7)

Лемма 1 доказана в [3]. Докажем лемму 2.

Доказательство. Пусть и € Ьр>. Тогда, применяя неравенство Гёльдера с показателями (1 -\- ар)/(р — 1) и (1 + оф)/[2 — р(1 — а)], имеем

11а ■ и\\р/(1+ар) ^ ||а||р/[2—р(1 —а)] ||м||р'- (8)

Итак, а ■ и € Ьр^1+ару Так как 1 < р/{ 1 + ар) < 1/а (первое неравенство равносильно условию, что 1/(1 — а) <р, а второе —очевидно), согласно теореме Харди—

Литтлвуда 1а(аи) (Е Ьр, поскольку

у

1-\-а р

ар Р->

~ 1-\-ар

причём

II / (а ■ и) ||р ^ \\1 \\р/(1+ар)^р\\а ' и\\р/(1+ар)-Воспользовавшись оценкой (8), из последнего неравенства получаем

||/ (а • и)||р ^ \\1 ||р/(1+ар)^р||а||г,/[2_г,(1_0,)] ЦмЦр'- (9)

Обозначим 1аи = V. Так как и (Е Ьр> и 1 < р' < 1/а (первое неравенство очевидно, а второе равносильно условию, что 1/(1 — а) <р), согласно теореме Харди— Литтлвуда Ги € Ьч, где

р' р ^ 1 — ар' р( 1 — а) — 1 ’

т. е. V = Ги € Ьр/[р(1-а)-1], ^и ^ Ьр/, причём, в силу неравенства (3),

11-^ и\\р/1р(1 — а) — 1] ^ Ц-^ 11р/(р— 1)—*-р/[р(1 — а) — 1] 11м11р'- (Ю)

Далее, применяя неравенство Гёльдера с показателями 1/[р{1— а) — 1] и 1/[2—р(1— а)], имеем

/ /-оо \ 1 /р

||а • / «11^= (у \а(х)\Р\у(х)\Р(],Х \ ^ ||а||р/[2-р(1-а)] Ц-^ м||р/[р(1-а)-1] •

Поэтому с учётом оценки (10) сразу получаем

||а • / мЦр ^ ||/ ||р/(р_1)^р/[р(1_а)_1] ||а||р/[2-р(1-а)] 1М1р'- (11)

Так как Ааи = а-1аи—Г(а-и), из неравенств (9) и (11) следует, что оператор Аа действует непрерывно из ЬрI в Ьр. Используя для оценки сначала неравенство

Минковского, затем оценки (9), (11) и очевидное (см., например, [2, с. 247]) равенство ||/“||р^р/(1_0,р) = ||^“||р/[р(1+а)-1]^р' (поскольку Г самосопряжённый оператор), легко получаем неравенство (6)).

Осталось доказать равенство (7). Так как оператор Г является симметрическим

(.Ааи, и) = (а,1аи, и) — (1а(аи), и) = (Ги, а и) — (аи, /“и) = 0,

что и требовалось доказать. □

Приступим теперь к исследованию нелинейного уравнения (1), содержащего оператор Аа. Обозначим через L+ множество всех неотрицательных функций из Ьр. Всюду далее предполагается, что функция F(x, t), порождающая оператор Немыц-кого Fu = F[x, м(ж)], определена при х £ М1, t £ R1 и удовлетворяет условиям Каратеодори: она измерима по х при каждом фиксированном t и непрерывна по t почти для всех х.

Теорема 1. Пусть 0 < а < 1, 1/(1 — а) < р < 2/(1 — а) и а £ Ьр^2-р(1-а)] • Если нелинейность F{x, t) удовлетворяет следующим условиям:

1) |F(x, t)| ^ с(х) + d\ |t|p_1, где с(х) £ Lpl, d\ > 0;

2) F(x, t) строго возрастает по t почти при каждом фиксированном ж;

3) F(x, t) ■ t ^ d,2\t\p — D(x), где D(x) £ , d,2 > 0,

то уравнение (1) имеет единственное решение и* £ Lp при любом / £ Ьр. Кроме того, если условия 1) и 3) выполнены при с(х) = D(x) = 0, то справедлива оценка

Доказательство. Из условий 1)-3) в силу теорем 2.1, 2.2 и оценки (2.3) из [1] вытекает, что оператор Немыцкого F, порождённый функцией F{x, t), отображает пространство Ьр на сопряжённое с ним пространство Ьр>, непрерывен, строго монотонен и коэрцитивен. Поэтому в силу леммы 2.1 из [1] существует обратный оператор F-1, отображающий Ьр/ на Ьр, хеминепрерывный, строго монотонный и коэрцитивный. Из леммы 2 вытекает, что оператор Аа действует из Ьр> в Lp, непрерывен и положителен. Значит, оператор Ф = F+ Аа отображает Ьр/ на Ьр, хеминепреры-вен, строго монотонен и коэрцитивен. Следовательно, по теореме Браудера—Минти (см. теорема 1.1 из [1]), уравнение F~lru + Aav = f имеет единственное решение v* £ Ьр,. Но тогда непосредственно проверяется, что и* = F~lru* £ Ьр является решением уравнения и + AaFu = /, т. е. данного уравнения (1), и это решение и* является единственным в Ьр (что легко доказывается методом от противного).

Осталось доказать оценку (12). Используя условия 1) и 3) при с{х) = D(x) = 0, равенство (7) и равенство и* + AaFu* = /, имеем

откуда непосредственно получаем оценку (12). □

Следствие 1 .Если 1/2 < а < 3/4 и а £ £2/(201-1), то пРи любом / £ Ь^ уравнение

имеет единственное решение и* £ Ь4, причём ||г**||4 ^ Ц/Ц4.

Следствие 2.Если 0 < а < 1/4 и а £ Ьг/(1+2а), то при любом / £ Ь^/% уравнение

IKIlp^ ад111/11

(12)

d2\\u*\\P < (и*, Fu*) = (и* +AaFu*,Fu*) = (f,Fu*) <

имеет единственное решение и* £ L4/3, причём ||гл*Ц4/3 ^ ll/IU/з-

В следующей теореме, относящейся к нелинейному уравнению (2), условия на нелинейность F{x, t) подбираются так, чтобы порождаемый ею оператор Немыцкого F действовал непрерывно из Ьр, вЬри был строго монотонным и коэрцитивным.

Теорема 2. Пусть 0 < a < 1, 2/(1 +а) < р < 1/а u a £ Ьр/[р(1+а)_2]• Если нелинейность F(x, t) удовлетворяет следующим условиям:

то уравнение (2) имеет единственное решение и* £ Ьр при любом / £ Ьр. Кроме того, если условия 4) и 6) выполнены при д{х) = £>(ж) = 0, то справедлива оценка

Доказательство. Из леммы 1 и условий 4)-6) вытекает, соответственно, что весовой оператор типа потенциала Аа действует из Ьр в Ьр/, непрерывен и положителен, а оператор Немыцкого Р действует, наоборот, из Ьр> в Ьр, непрерывен, строго монотонен и коэрцитивен. Значит, по лемме 2.1 из [1], существует хеминепре-рывный, строго монтонный, коэрцитивный обратный оператор действующий

из Ьр в Ьр,.

Запишем данное уравнение (2) в операторном виде: и + ЬАаи = /. Полагая в нём и = / — V и применяя затем к обеим частям получившегося уравнения оператор приходим к уравнению Фг> = Аа/, где Фг> = Ь~1ги + Аау. В силу указанных выше свойств операторов Аа и оператор Ф действует из Ьр в Ьр/, хеминепреры-вен, строго монотонен и коэрцитивен. Следовательно, по теореме Браудера—Минти (см. теорему 1.1 из [1]), уравнение Фг> = Аа/ имеет единственное решение V* £ Ьр. Но тогда непосредственно проверяется, что уравнение и + ЬАаи = /, т. е. данное уравнение (2), имеет решение и* = / — V* £ Ьр. Единственность этого решения и* легко устанавливается методом от противного.

Осталось доказать оценку (13). Воспользуемся равенствами и* + ЬАаи* = /, Ь^1'и* + Аау* = Аа/, где и* = / — V*. Положим ъи = Тогда Ью = V*.

Используя условия 4) и 6) при д(х) = П(х) = 0, неравенство (4), равенство (5) и неравенство Гёльдера, имеем

что равносильно доказываемой оценке (13). □

Следствие 3.Если 0 < а < 1/4 и а £ £27(1+20), 1710 пРи любом / £ Ь^ уравнение

4) |F(x, t)| < д(х) + d3 где g(x) £ L+, d3 > 0;

5) F{x, t) строго возрастает no t почти при каждом фиксированном ж;

6) F(x, t) ■ t ^ di\t\p/— D(x), где D(x) £ , d^ > 0,

IK - f\\p < (2^dr1|l^llp^p/(l-ap)ll«llp/[p(1+a)-2]ll/llp)1/(P 1} • (13)

di\MPp, < {Fw, w) = {v\F-lv*) = {v\F-lv*) + {v*,Aav*) =

= (v*,Aaf) < \\v*\\p\\Aaf\\p, <2||/“||w(1_ap)||a||p/[p(1+ab2]||/||p||^||p =

= 2 ||I \\p^p/(l-ctp) ||a||p/[p(l+a)_2] ll/llpll-f^llp ^

< 2<Із||/“||р^р/(1_ар)||а||р/[р(1+а)_2]||/||г,|И1р' \

(14)

Так как ||/ — и \\р — ц<у \\р — ^ \\'ш\\р, , используя оценку (14) с учётом, что

р' — 1 = 1/(р — 1), получаем

IK - f\\p < d3 (2d3d^1\\r\\p^p/{1_ap)\\a\\p/lp{1+a)_2]\\f\\p)1/{p 1}

и(х) +

(/

— ОО

■оо

имеет, единственное решение и* £ L4, причём

\\u*-f\U < (2 ||Л|4^4/(1-4а)|Н|2/(1+2а)||/||4)1/3 •

Следствие А.Если 1/2 < a < 3/4 и a € Ь2/(2а:-1), 1710 пРи любом / € L4/3 уравнение

Вопрос о приближённом решении уравнений (1) и (2) рассмотрен в [4].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Асхабов С. Н. Нелинейные уравнения типа свёртки. М.: Физматлит, 2009. 304 с. [Askhabov S. N. Nonlinear equations of convolution type. Moscow: Fizmatlit, 2009. 304 pp.]

2. Колмогоров A. H., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2004. 570 с. [Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. Moscow: Fizmatlit, 2004. 570 pp.]

3. Асхабов С. H. Об одном нелинейном уравнении с весовым оператором типа потенциала / В сб.: Труды восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Матем. моделирование и краев, задачи. Самара: СамГТУ, 2011. С. 24-27. [Askhabov S. N. On a nonlinear equation with a potential-type weighing operator / In: Proceedings of the Eighth All-Russian Scientific Conference with international participation. Part 3 / Matem. Mod. Kraev. Zadachi. Samara: SamGTU, 2011. Pp. 24-27].

4. Асхабов С. H. Приближенное решение нелинейных уравнений с весовыми операторами типа потенциала// Уфимск. матем. журн., 2011. Т. 3, №4. С. 8-13. [Askhabov S. N. Approximate solution of nonlinear equations with weighted potential type operators // Ufimsk. Mat. Zh., 2011. Vol. 3, no. 4. Pp. 8-13].

MSC: 45G10

NONLINEAR EQUATIONS WITH WEIGHTED POTENTIAL TYPE OPERATORS IN LEBESGUE SPACES

S. N. Askhabov

Chechen State University,

32, A. Sheripova St., Groznyi, 364907, Russia.

E-mail: [email protected]

By method of monotone operators, existence and uniqueness theorems are proved for some classes of nonlinear equations with weighted potential type operators in Lebesgue spaces.

Key words: nonlinear equations, potential type operator, monotone operator.

Sultan N. Askhabov (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Dean of Faculty, Faculty of Mathematics and Computer Technology.

имеет единственное решение и* £ L4/3, причём

IIм* - /II4/3 < (2 ||^“|U/3^4/(3—4а)1Н|2/(2а —1)||/||4/з) •

Поступила в редакцию 28/VI/2011; в окончательном варианте — 27/VII/2011.

Original article submitted 28/VI/2011; revision submitted 27/VII/2011.