Исследование областей пространства конфигураций, задающих совокупность достижимых точек рабочей зоны манипулятора с учетом положения Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

2. Баженов, М. Ф. Твёрдые сплавы : справ. / М. Ф. Баженов, С. Г. Байчман, Д. Г. Карпачев. — М. : Металлургия, 1978. — 184 с.

3. Балакшин, Б. С. Основы технологии машиностроения / Б. С. Балакшин. — М. : Машиностроение, 1969. — 559 с.

4. Бобров, В. Ф. Основы теории резания металлов / В. Ф. Бобров. — М. : Машиностроение, 1975. — 334 с.

5. Кушнер, В. С. Изнашивание режущих инструментов и рациональные режимы резания : учеб. пособие / В. С. Кушнер. — Омск : ОмГТУ, 1998. — 138 с.

6. Кушнер, В. С. Эффективные режимы резания и геометрические параметры инструмента при черновом точении сталей / В. С. Кушнер, С. В. Фролов // Вестник машиностроения. — 1987. — № 3. — С. 45-47.

7. Макаров, А. Д. Оптимизация процессов резания / А. Д. Макаров. — М. : Машиностроение, 1976. — 278 с.

8. Марков, А. И. Ультразвуковое резание труднообрабатываемых материалов / А. И. Марков. — М. : Машиностроение, 1968. — 365 с.

9. Чумаков, А. П. Повышение конструкционной прочности поверхностного слоя ударно-акустическим методом с вне-

дрением твёрдой смазки и подачей азота в зону обработки / А. П. Чумаков // Омский научный вестник. — 2011. — № 1 (97). — С. 38-40.

МОРГУНОВ Анатолий Павлович, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой «Технология машиностроения» Омского государственного технического университета (ОмГТУ), академик Европейской академии естествознания. ЧУМАКОВ Алексей Павлович, мастер электросталеплавильного участка ОАО «КБ транспортного машиностроения».

РОГАЧЕВ Евгений Анатольевич, кандидат технических наук, доцент кафедры физики ОмГТУ. Адрес для переписки: alexeychumakow@mail.ru

Статья поступила в редакцию 25.04.2014 г. © А. П. Моргунов, А. П. Чумаков, Е. А. Рогачев

УДК 62101 Ф. Н. ПРИТЫКИН

А. Ю. ОСАДЧИЙ

Омский государственный технический университет ОАО «КБ транспортного машиностроения»,

г. Омск

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЛАСТЕЙ ПРОСТРАНСТВА КОНФИГУРАЦИЙ, ЗАДАЮЩИХ СОВОКУПНОСТЬ ДОСТИЖИМЫХ ТОЧЕК РАБОЧЕЙ ЗОНЫ МАНИПУЛЯТОРА С УЧЕТОМ ПОЛОЖЕНИЯ ЗАПРЕТНЫХ ЗОН

Исследованы области пространства конфигураций, задающих совокупность достижимых точек рабочей зоны манипулятора с учетом положения запретных зон. Для аналитического задания областей использована теория множеств. Ключевые слова: синтез движений роботов, конфигурационное пространство, запретные зоны, интеллектуальные системы управления роботами.

В настоящее время активно ведутся работы связанные с созданием мобильных роботов, оснащенных интеллектуальными системами управления. При управлении движением данных роботов необходима оценка двигательных возможностей исполнительных механизмов. Данные задачи, например, необходимо решать при автоматизации погру-зочно-разгрузочных работ при обнаружении, обезвреживании, и уничтожении взрывных устройств и др. При интеллектуальном управлении движением мобильного робота в реальном масштабе времени важной задачей является сокращение времени расчетов, связанного с определением взаимного положения исполнительного механизма и запретных

зон. В работе предлагается метод, позволяющий сократить указанное время, на основе задания в аналитическом виде областей в конфигурационном пространстве, которые задают совокупность запрещенных конфигураций, пересекающих запретные зоны. В этих целях использована совокупность областей, определяемых плоскостями и поверхностями второго порядка, и теория множеств. Наибольшее применение для решения указанных задач получил мобильный робот «Варан» (см. рис. 1а). Исследуем в связи с этим влияние положения подвижной платформы и механизма манипулятора этого робота на область допустимых значений вектора обобщенных координат д (д1,д^2, .., дп) (где д1, ..., дп —

, У///////////////777Л

Рис. 1. Взаимное положение манипулятора изапретнойзоныР

определяют значения обобщенных координат, п — число координат).

Примем для определенности длины звеньев механизма манипулятора равными следующим значениям 0,0, = 900 мм, ООО, = 700 мм и О,О, = 500 мм.

12 '2 3 3 4

Движение звеньев механизма исследуем в плоскости Оо хо уо (рис. 1б). Данные движения возможны при = 0. Определим влияние положения запретной зоны Р на маневренность механизма манипулятора. Маневренность будем условно характеризовать областью, определяющей совокупность точек пространства конфигураций Ь(пространства обобщенных координат [1 —2]), тадающихконфш1 у-рации, аа пересекающие првуутствие И н цешр та-хвата которых находитсяна удаккнии от точаи Кр транспорннсш теиижтя на аннктоянят ^^ я- ив и ^

Уо4 т в )нн<- Ст -с определяв коо]НяинК,гь,1 щ-0

тра выходного звена, xt = 4 0(3 мм) . Так как ) = 0, торазмерностьпространства 0, быдет равно

Точки прсьтранства 0 п]ри этом Орьим озгзимщги^а^^ в узчах снкки р шагов рК<5гг. ьт Ш°. УтНЕе^ ]31^а. 1б П01ссс;^а^ геомавртиеский -мыс] пь^метров ст(.°) и уор, ларак-тт;]тиотющих враооетмит оо-ожение оьчои О1 яниипy-рттии^ я заприиооН ;зонь,1 Р. ]Тар)т.о5йа^^1пе он[.^^ииур°п-тора в иикрциально0 стист^к!^ коо]заа]1с^т 0= оп]31пок^-ля1^о с^(^отвоттсаес^]со оо^оина^вы ср] и уд1 зад,аю-ц!в^ нтквмо систем конр,воата су/м/р]. Г^осттстни[з сонфе-..Сазззи мекышиимв ]а£!нип}гзу1то]еь аз]]ц;зз<-^т мoоиииН] М1к Ж-,, ... . М0П.Укаиинные меьрттщ еычитлоют пхзо

со отнышынцям М„,=М • М • ... ЫЫ, ,,, где 3-Ц: -. —

0,к 0,1 1,2 к-1,к ^ ккк

мын.ицы, описываыощит ооиожини- оос-о«эинк-^<з^ Гг-ис0 сксхамы координое О oснкзутeллнo пут1ор][--а^-щзй 0-1-лЛ сивокмы О, р ^,оа О — ротер ви-ьимы ло-ордниаь О иопольтною^а^-- про зе^0.-.]]] ¡уеоргет1)^-«?-) окой м-оело ))тес;оь^те]^]у[з иaнипyлиeoрт [в —ьс

Положение механизма манипулятора ражер быоь аоузно впpoттpaстзви Н^с оoчкр—. ССЭнпнн^пее:о[°э-низ-оопние кехтнизмн мaннниеяпoнo п]ыл^сх;оес,ит в пределах ограниченнор оВоаоти аlпpocпнoнвoнт тснфигурат-нр О (с)0);^аст1> ¿О?- -я о-вцам зпoвo-

исм сиеepпарaллeлeпиит1ьим, омело такоо ви; ьтт .л., яюooно снaчннир оектсфо и- тыпплняюoьр нера-тет^стзаи

<В. идтах,

те ст

ш

гдк Ч] : 2е — нижние и взнхниа обобщенных координат ]в Н ¡> л) о о 4. ю- ис-

следуемого манипулятора указанные значения со-ответcстсннo ]эаснх1 Ч^^Оо- 120°, — 120°) о Ч?™5" (120°, -тИ0, 120,. Итаoи] не вховащас т саососи, ,т-, называют запрещенными -ТтВнугре обкасти-И могут п^сртоиякватт осоже точки, задавщие 2апре-ще^ныо книИигеpaкии, прт кьаoаыx чроисхоыыит взаимное пересечеыие звеньев механизма. Запре-щеннымк ы^ такие ыныфоэ.фтциИ: оытоыые

пересекаются с препятслооиов 1К хсл°виях иеьeас-ной иро^ы даныыт киифыоуоации моыуг --ыть заоао неовл-чискены.

Опринелни - системс о^у. (о вpoотpaнcтoo е. ) во fь^ь^-л,^] иаин-рю ОТ, (^o^yc,),^I

м^1х пвокеннр векто]Эса -у, п--и .^(ято-ыи коооРтаи-всН'ы^! 1Д(-1-иа)а oн-н;oдн^^(я д-(]]( и маточки (тИ]^)[еE]oеT]

13 о ркрот ио-^иоовео^м ^т-ис- Ь ) с

ф .т xfHу ]] -о > 0.

о4 о1 * о4

12)

При ьтр))])^^°)нон:]1][э ■во--^к мтсpликыx c][-]]зни.с o[aC) ,зол^^1П тонки, нсжсн^иe н^ т-]^^-]ьx^ с^тт 0) -,0(К р^С] ^;|эи-I,cтa^].-ант 0лик-снoмп: ив^н-е^.г^илоп;)-г^с^с ^лгпяин'м II(а]:;;а)эoeь:I^-I течениН (-([[Р.цоти! .X ]з про -

еп-онсонь ^о ^ ]í)-нo:т^(сoи]y[o проноты средую-ият т0о-

. п т)п - опг!:^ .

в — ао-г0, , к- 20^ , 2^ , Лц., хор,

;Ооя со, НЦ- с] цЦ™; Pí — пп]эоe];)IC]р ^рр-ю-^иьь ^ ■< :у1PtlC-:];

< цтср з 21

]- Яд ; - — н^-)-к—^eнoтlГ1 = 0,

и: н]эoти^]^(^м c,сyqсо р1 00 Х;!- —

ст110-и—

ь ]

значения

^^]ис;иение -с2 Р= 0, вели самовересеяевви сванo-з]з с^т-o^етониo,о, в инooиoиом сл-ьеи^ р2 = С; 7 — oыиаcлe-ние ^о и=о евин нкии-]eчe^лнтанфигурa]o—^ oп--л-пя,o(ьг;вIеeм oонкиптoисн, в )a]оo)IИ]3]пл]]^ (ско^^^ ]и 1; 8 — пуовеоае уюловия р0 = 0 (оо^и зивчсния но у)^(^]^.^eтoнI)(^к-,]] и(-]eдe^ниI^еI)^ енгачениям оИоЯщeн-нс;-x асоордрнaт): 9 — втюосимк лоопс-вия = ^ (д;дс ловиес а мопересечениязвеньев);10 — проверка ус-Л]з:^а^^е р= в 0 (]]K[:]]Э;I]сиe ]]]н^e,c6l)^ониIГ с иpeпянсoвиey)] н о ^ Р°°0° > хС +Х, уо4 0О ]]]] 1и и4°= )a1 яП еРоРН ; 13 = построениеточкивпространстве Ь^МЫ = Мы +1 (-а р аюетр N з^—аит тоее с, нас пула гаю-

щихсянаузлахсеткии принадлежащих облацти X см. ниже); 14 — д3 = д3 + Лц., ; 15 — ц2 = ц2 + Лц.,

.. -1 тРрИ Цр = £-Р11^г(;16 — конец.

3 о та

а

20

Нет

Да 5 6 7

3

Id q <b , I1I 0

I = 1

3

, I d q < b Im I m'

I = 1

120°, 220°), Е( 20о, 12 0° 20о), F(-120°, 60о, 120°), 02(-40°, - 120°, 40°), N(100°, - 120о, ^0о), ,Р(-90°, 60°, 120о) (см. рис. 3а). Область X так же с некоторым допущением ограничивается фрагментом покерх-ностиэблиптическогоцилиндра. Областд.задвннся точками, располагающимися внутри данной поверх-нс^с^'^:^, чпределится нерастдсзвом. Определим данное неравенство. Уравнение сечения эллиптическо-вл п^идрао тиссеме 0°° цЧ в плоскости е° 6 °° имиетслед^тющий в ид (рис. 3а):

Рис. 2. Блок-схема алгоритма построения сечений области Х

На рис. 3а область X задана с помощью изображения точек её некоторых сечений с интервалом Aq3 = 10° без учета запретной! зоны.Данные сечения получены на основе рзоснинв ю сивтеме СВШй AutoCAD и использования алгоритмичесаогоазы-ка программирования AutoLISP. Из рызнока видок, что грэницыобласти аа приближенно могут CoiTb ов-даны фрагментом поверхности эллиптического цилиндр а Q.i и тремяплоскоскями IHC Н3 ir Нр (см.оеи. Ро, рис. 4аЫг).Уатом случаи оРеасрьХ опуеаеля-ют совокупностью неравенств, задоющих нолупро-стданства, заданные плоскостями Q? Q3 и Q4:

q2

= b 1 -

(q-i )2

(4)

I 3)

где т — число плоскостей, ограничивающих область X (для рассматриваемого примоб>а би = 3),7 =3 — параметр определяет размерность просзртвства конфигураций при д = 0; с^, с112, ..., <1Ы Ь1, Ь 2, Ьш — коэффициенты, опреде;асемые коорвиратами ты. чек А, Б,..., и т.п.(рис. 3а).

Плоскости и О4 пра сехм определяют бояр-

ками О2 ^ (А,В,С), ^ (В,Х,2е 2) ИР)4 2^ (КМ,ЛИ,Р). Положения указанных точек находятэксперименталь-ным путем на основе пол^пенных тбылаыХ рТлсоти X. Указанные точки обозначены в соответствующих сечениях на рис. 3а. Координаты данных точек призаданныхразмерахдлинзвеньев механизма и значении параметров xt = 400 мм и уо4 > 0 принимают следующие значения А(^ = 30°, с[2= 120°, д3 = 0о), В(120о, 90о,0о), С(-30о,-30о, 120о), £>(-100°,

где параметры aub задают полуоси эллипса. Значения данных иарлмеэгювупрллэляют на основе по-оученныо ссоенип оСлсеаи ЗЛ тксперимептассиеш пуэем. Пасеросние ллченой основано на алэиритме, слседстаааснноу ас jaac. 2, лугь лотоучоео се)СЕоал в итерационноем песеИоре точек гипеппараретехлре-дн ЭЭ и гфсоенке .плочие -у]. Са[лоае]суео]]ан]ио координат, при переходе от системы Ogq' q- к систе-мо О^а^ определяют иатреющути зоеиснместями:

Ti = Tj cos Т - Те sic Т + ¿j (Т3) + mi'

Те = Tj sic т c^e cos т + т"з) + л?е ' (5)

где ф — ^уилмежду осями qt' и qt (среднее знач-ние данного угла определяется на основе положения эл-ллпроа н разоиснын сеоеиаол (орла. рис. те) и ровоа а ~ 40°), k¡(q3) + m¡, k2(q3) + m2 — уравнения про-екяии направсяющей пунмонй опслаарствонно на пхоскоелои 0ст( Г, и 0qa2 у (ртл. Г а). По п .омоа р перемещаете я центр элли п са (точка Оэ), m, m2 — ко-отуонтоы и]^нт]0(П снаипса л ллоллосто у( = 0 о системе Oqqt q2. Подставляя выражения (5) в уравнение (4) поаучим лл1ррл1гаултлп, радающсо аочни о((ласти лЛ э;поипеическоно оххьндра:

Tj sic т + Те cos т + ¿e (Т3) + ше -

- Ь

Т. cо s т - то sic т -I- к. ( то ) + m )

1--1-е-1—3--— > 0

(6)

qi=0

qs -40

q¡ = 70

б)

qs=90

qs=120

Рис. 3. Сечения области X: а) сечения при отсутствии запретной зоны Р, б) сечения при наличии запретной зоны Р у = 1000 мм, х = —2000 мм, 1 = 4000 мм, И = 500 мм

г г ор ов в в

Рис. 4. Приближенное задание обл асги X с по мо щью ерсвеисв 4 ( 1 — 31 , 6 , 1 л ) : т — озсб]:)ажоние дбиааееа £2 и Qt, И — ——ф; — — г — ((—aQTaKl—K3—Q.; д — роодеожесид облесадй О a Тф e — ((((QL^Q^LXyLyОфаK;—Q5;

д — изо—¡¡ре—жен—ообсие—еИ О о Ke; г — (((((————.;—(—————Q——Qe

/^m^lll рессметрцпаецоае mlill^limllj^il цпэффцциецтв1 урввнения (() п4иномают сее,хуюоцие знечееея — а = 48, b = 144, mt = 90, т2 = - 5, kt = 0 М и k2 = 0,9. Область X определотсе на основе исплкевения операций теории множеств [6]:

ж ^ (XXXOuOi) и О 5) и О ь) и Q4т>0(

(7)

Y2 = Л X 2 - + X2 - U + X2

(8)

где Xt и X2

X. e^^LpK.^ —x ^¡ц^^е^^цце^^ ^п^^^спе^пи^^пе с—ефигщации llik еое та—еоот фрегиентои зарабоеического цилио-^^jDia Н?6 (рио. СорсЦ. СЗбо^^тз^юорро динносо цилин°,ра па-Лавлеаьвас рги )г2. Уриенрниг наораеллещей

ланиосо цоцрцила )с системе ичанлаиот ОсЛ)0д сле-дпюще о

где О — область, определяемая параллелепипедом, заданным предельными значениями изменений! обобщенных координат (1) и неравенствами (2). £22_4области, определяемые неравенствами вида (3). Ч] — облаитв,епреде(шемая эллиптическирциыоин-дром (6). Использование неравенства (7) позводаез опреэплнть принадижоооть эпоек нространстла ] области X и находить разрешенные и запрещенные конфигурации механизма манипулятора. Ддя вы -числе нал области X (7) используеиоперацилс ггснъ-юкции, которая определяется следующим выраже-оием [Т]:

(g3) - 2pql -

0,

(9)

где р — параметр, опреде;шющий ф окусидире к -трису параЛолы. Прелбрлзования координат при

ререходо отсиетемы О^д^з к системе Oq qt q3

опреееешют слидцеощимо ураенениями:

m = qi + m3.q з

q3 + m4.

(10)

Дляслучая у =100, х =-200, 1 = 400 зна-

1 г ^ ор ор Р

чения переменных выражения (10) следующие: т3 = 95 и т4= -190.Неравенство, задающееточ-ки,располагающиеся внутрии области О6 параболического цилиндра, имеет следующий вид:

непрерывныепеременные Д-функ+ир. Подставляя последовательно неравенства (3,6) в уравнение (8) получим неравенство, задающее о б-ласть X.

На рис. 3б представлены сечения области X прз наличиизапретной зоны Р врабочемпространстве, при значении параметров хр = —200, ур = 100 см, 1р = 400 см и hp = 50 см. Как видно, совокупность точек, заданныхвектором q, оп°бдрряющих зтзро-щенные конфигурации, котооые пертсеиноот га-претную зону, отображаются в пространстве кон-фигурацийтак жев видефрзгмннта эллилтиннското цилиндра О5 (рис. 4д). Область, заданная указанной поверхностью, определится неравенством (6). Коэффициенты неравенства (6) б0=зоооения пазомегроо у = 1000 мм, х = -2000 мм, 1 = 4000 мм, h = 500 мм

ор ор р р

в этом случае принимают следхющоо значосоо: а = 67, Ь = 196, тр = 247, т2 = -=П, = -О.67 и к2 = 0,07.Угол ф приэтомопределяется графиксм функции ф = Цу), опредеэпннымэкспоримекеонио ным путем на основе исследования сечений области

(q3 + m4)2 - 2q(qi + m3) > 0.

(11)

На рис. 4 представлено изображение области X на основе использования булевых операций в системе САПР ACAD. Изображения рисунков дают приближенное наглядное представление о форме области X впространстве Lq.

Исследуем изменение значения параметра N°ol, который определяетколичествоточекпринадлежа-щих области X и располагающихся на узлах сетки. Расчетданныхточекосуществляютв плоскостях параллельных плоскости Oqqtq2 по сетке с интервалом Aqt =10° и Aq2 = 10°. На рис. 5а представлен гра-фикфункции Nkol = f(yp), который отражаетзаконо-мерностьснижения маневренности при изменении значения yp при xp = -200 см и lp = 400 см.Графи-ки функций NkoI =f(x ), представленные нарис. 5б, позволяют найти наиболее оптимальное положение подвижнойплатформы по отношению к запретной зоне Р определяемое значением параметра хо .

4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500

о

jS

Yop, см>

Nk >1

X Р'с/

-60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

—Yop-40 —■—Yop-80 Yop-120

Рис.5Изображениеграфиков-функций:а — N =f(y ); б — N =f(x )

300 а' 250 200 150 100 50 0 -50 -100 -150

ь

" /

/ ^

/ \ Уор, '

(1 о / п я n m г) 0 1 0 lf

k?

l- t=— Vop,

1 ■J À ~~ — 1 ь и 8 U IL Ю le (ГЧ U U lf

/ kl

б Уо) m, = f3(yJ. m2 = fJyo), б — ki = fJyop) и k2 = fJyJ

Для определения коэффициентов неравенства (6) с помощью зависимостей а = й((уор), b = fo(yop), m, = f(У ), m. = f.(y ), k. = fJy ) и k, = L(y ) ис-

3 Ь^ор1' 4 4 Ь op'' 1 5VJop' 2 op'

пользуем интнрталяцианнын ^^онолнены третьей степени [3]. Инл ]нешения еноз зацачн ыспользуюо полиномы, которые склеиваются в узловых точках. Пурть на онряапне (р0°>, У0р ) заданы) уллы,1а = yР <

< y2 < ... < yl = yl + 1, а также l + 1 значений ха-op op op

раметра а ^ а , а2, ..., а1 + (определяющего малую

полуось эллипса). Для решения указанной задано используем кубический сплайн:

a(t) = s' + sly + s' (y )2 + si (y )3 , w 0 1 op 2W op 3" op' '

y e(-y1 ,yl ), l = 0, 1, ..., l-1.

J op w op 1 op' ' ' '

(12)

Исплзмзуяметодику [3], возможно определять значения коэффициентов на каждом из отрез-коз (удр, уО^}. Таким образом, по кускам нахо-дятзначениякоэффициентов а = 11(уор), Ь = 12(уор), т, = 1(у ), т = 1(У ), к, = 1(у ) и к, = 1(у ).

1 3'* ор' 2 4'* ор' 1 5у*ор' 2 б'* ор'

На основе экспериментальных исследованийопре-делены указанные графики функций для значений хр= —200 сми 1р = 400 см.Изображение указан-ныхграфиковфункций представленонарис. 6а, б.

Расчет пересечений исполнительного механизма заданногонабором пространственныхпримити-вов и запретныхзонвреальном масштабе времени требует значительных затрат на время вычислений. Результатыисследованиймогутрешить ука-заннуюпроблему.Использование соотношений (3, 6,7, 11,12) позволяет напорядоксократить время вычислений. Это связано с тем, что определяется лишь принадлежностьточекпространства Ь^ области Х.Полученныеаналитическиезависимости могут бытьиспользованы винтеллектуальных системах управления длявычисленияразрешенных конфигураций манипуляторов при синтезедвижений с учетомположениязапретных зон.Анализграфиков функций позволяет определить ниболее оптималь-

ное положение подоижнои тележки 02носиоельно запретной зоны.

Библиографическийсписок

Ф Притыкин, Ф. Н. Вириуальнее моеьлировснте движений роботов,омеютнне еззличеую струетурукинемаеических цепей : монография/Ф. Н. Притыкин ; ОмГТУ — Омск : ОмГ-ТУ, 2014. 6- 172 с.

2. Егоров, А. С. Иапользование алгоритма полиномиальной аппроксимациив задачеуправления манипулятором в среде с неезеесекегаи препятствиями / А. С. Егоров, П. К. Лопатин // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2013. — № 3. — С. 24-29.

Н.Злнкезич, С. Л. Упрвоинниеробоцеми. Основы управления манипуляционными робототехническими системами / (4. Л.Зен.е4ич, А. С. Ющенко. — М. : МВТУ, 2000. — 400 с.

е. Прноыоин, Ф. Н. Метопы и технологии виртуального моделирования движений адаптивных промышленных роботов с использованием средств компьютерной графики / Ф. Н. Притыкин // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2011. — № 6. — С. 34-41.

5. Притыкин, Ф. Н. Кодирование геометрической информации при задании модели кинематической цепи исполнительного механизма андроидного робота / Ф. Н. Притыкин, А. Ю. Осадчий // Вестник Кузбасского гос. техн. унив., Кемерово — 2014. — № 2. — С. 50-54.

6. Рвачев, В. Л. Методы алгебры логики в математической физике/В.Л.Рвачев. — Киев, 1974. — 256 с.

ПРИТЫКИН Фёдор Николаевич, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры «Инженерная геометрия и САПР» Омского госу-дарственноготехнического университета. Адрес для переписки: pritykin@mail.ru ОСАДЧИЙ АндрейЮрьевич, инженер-конструктор ОАО «КБ транспортного машиностроения». Адрес дляпереписки:osadchyandrei@yandex.ru

Статья поступила в редакцию 02.07.2014 г. ©Ф. Н. Притыкин,А.Ю.Осадчий