CC BY
66
А.М. Лавров
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕМАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ,
УПРАВЛЯЕМЫХ ОДНОМЕРНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ТИПА ФОККЕРА - ПЛАНКА - КОЛМОГОРОВА,
С УЧЕТОМ ПОГЛОЩЕНИЯ РЕАЛИЗАЦИЙ НА ГРАНИЦЕ
Показано, что как безусловная, так и условная плотность вероятности непрерывного (не обязательно Марковского) случайного процесса с поглощением реализаций удовлетворяют соответствующему неоднородному уравнению типа Фоккера - Планка -Колмогорова (ФПК), которое учитывает поглощение и имеет нулевые граничные условия на бесконечности.
Решена также и обратная задача: показано, как именно следует задавать граничные условия, чтобы их можно было преобразовать в так называемую функцию поглощения реализаций - правую часть получающегося неоднородного уравнения типа ФПК, то есть так, чтобы переменная часть этой функции определялась только величиной граничных условий.
уравнение типа Фоккера - Планка - Колмогорова (ФПК), обобщенные функции, немарковские случайные процессы, поглощение реализаций.
1. Перевод граничных условий в функцию поглощения реализаций для кинетических уравнений в дивергентной форме
Многие научные и технические задачи исследования систем со случайными воздействиями сводятся к задаче определения вероятности пребывания случайного процесса х(0 в заданной области в течение фиксированного промежутка времени (0, Т). К такого рода задачам относятся: задачи теории надежности [1], анализ срыва слежения в системах автоматического регулирования [2], задачи
о вычислении вероятности перехода системы из одного режима в другой [3] и т. д.
Если х(0 - марковский случайный процесс, для которого существуют локальные характеристики, то искомая вероятность может быть найдена путем решения уравнения Фоккера - Планка - Колмогорова (ФПК) при соответствующих граничных и начальных условиях [4].
В марковском случае общие методы решения таких задач впервые были развиты в работе [5]. Практическое применение их приводит к математической модели с поглощающими экранами на границах. Такая модель соответствует тому, что те реализации случайного процесса, у которых величина координаты х(0 в некоторый момент времени т выходит за установленные границы, должны быть изъяты из рассмотрения при t > т, то есть поглощены.
Таким образом, большой класс практических задач статистического анализа автоматических систем приводит к необходимости изучать модель случайного процесса с поглощением реализаций. В сущности эта модель развивает широко применяемое представление о поглощающих или отражающих границах. Отличие заключается в том, что вместо случайного процесса в заданных границах рассматривается процесс в бесконечной области, но с множествами поглощения и восстановления реализаций при нулевых граничных условиях на бесконечности [6].
В связи с выводом новых кинетических уравнений [7] появилась возможность перенести эту теорию на немарковский случай, а именно: покажем, что как безусловная плотность вероятности w(x, 0, так и условная плотность w(x, 0|Х, Т) непрерывного (не обязательно Марковского) случайного процесса с поглощением реализаций удовлетворяют некоторому неоднородному уравнению типа ФПК, которое учитывает поглощение и имеет нулевые граничные условия на бесконечности, гдеХ, Т = (хь t1, х2, t2, ..., хМ, М} - множество фиксированных значений процесса х{(). Используя теорию обобщенных функций, выведем его путем преобразования исходного уравнения типа ФПК с переводом граничного условия в функцию поглощения реализаций.
Вначалерассмотрим одномерный не-марковский случайный процесс, заданный на полубесконечном интервале- да < х < х0 с поглощающей границей х = х0. При х < х0 одномерная безусловная функция плотности вероятности w = Wl(x, I) удовлетворяет уравнению Павулы - одному из обобщений классического уравнения ФПК:
дw д,л ч 1 52//(Ч/ ч
— = -—+-(-«<х<-«<t<ю), (1.1)
дt дх 2 дх
где А1 = А^ х, t) и А2 = А2( х, t) - кинетические коэффициенты.
Перепишем это уравнение в дивергентной форме
дw д Г 1 д 1
-----\---А^----------(A1w) — 0
дt дх _ 2 дх _
дw дG
О— +--------— 0, (1.2)
дt дх
где
1 д
G{ х, t) — А^ х, t) w{x, Г)---[ А2 (х, Г) w{x, t)] - (1.3)
2 дх
плотность потока вероятности непоглощенных реализаций. Отметим, что поток G можно записать также в виде G( х, t) — АА2 [w]{x, t), где
1 д
¡А а = А\------(А^) - дифференциальный оператор первого порядка с ко-
1 2 2 дх
эффициентами Аі и А2 .
Предположим, что уравнение (1), рассматриваемое при х < х0, —да < ї < да , имеет классическое решение w(х, ї) , удовлетворяющее граничному условию
G(X t) X = Xn = P(t^ -ю< t <ю .
(1.4)
Продолжим функции w(х, t) и G{х, t) нулем на полуплоскость {х > хо}
и обозначим соответственно продолженные функции через w* (х, t) и G* (х, t):
íw{х, t), х < хо,
w *(X, t) =
G* (X, t) =
0, X > X0;
1 а
G( X, t) = Aiw - -—(A2w), X < Xo, 2 öx
0, x > Xo.
(1.5)
(1.6)
Выведем уравнение, которому удовлетворяют функции w* (х, t) и G* (х, t) на всей плоскости.
Уф( X, t) є D(R2) имеем:
(
V
öw öG
------+--------, ф
öt öx
Л f
У
öw
öt
ф
+
ög
öx
ф
(1.7)
Рассмотрим оба слагаемых в правой части (7) по отдельности. Пользуясь определением производной обобщенной функции [8], условием (5), а также тем, что w(х, t) есть обычная функция (классическое решение (1)), и интегрируя по частям (по 0, получаем
ґя. * >
öw
^ ф
öt
= - w
0ф'
' öt _
Xo
- I dx<
ГГ w — dxdt = - | dx\ I w —dt l = öt öt
{X< Xo}
öt
w • ф
t ^+<x>
t ^-<x>
-Zf ф d' \ •
причем внеинтегральное слагаемое в фигурных скобках пропадает из-за того,
что функция ф(х, t) финитна и lim ф(x, t) = 0.
t
Тем самым
*
> ф
Аналогично с учетом (6)
* дф дх
дt
(1.8)
íдGí! Л
\
дх
ф
у
= —[а* -дф| = - ГГ G дфdxdt = —Г dx
{х< хо }
0 з
Г G — dx
1 дх
Г а-
G-ф
х=х0 х^—да
1 дG _ I — ф ^
дх
причем из-за финитности ф подстановка нижнего предела х = —да в фигурных скобках дает 0.
Тем самым
да_
дх
Л
ф
|| -----фdxdt-1 а(х0,t)ф(х0, t)dt.
{х<х0} дх —да
(1.9)
С использованием (7), (8) и (9) Уф е D{Я ) получаем
( л. * п^* ^
дн да
+ —, ф
V
дt дх
У
Ж
{х< х0}
дн да
дt дх
ф dxdt — | а(х0, t) ф(х0, t) dt.
При этом первый интеграл обращается в ноль, так как по предположению
дн да п _
-----1----= 0 в области х < х0, а второй можно записать в виде
дt дх
да
| х0, t) ф(х0, t) dt = (а(х0, t) - 5(х — х0), ф(х, t)) .
= — (а( х0, t) - 5( х — х0), ф( х, t)).
Поэтому УфеD(Я )
дн да
-----+-------, ф
к дt дх у
Это означает, что в Dr(Я2) выполняется соотношение
Л. * Л/^*
- + —= — а(х0, t) 5(х — х0).
(1.10)
дt дх
Следовательно, если граничное условие было задано в виде (4) а(х, t) х=х = p(t), то получаем в явном виде функцию поглощения - правую часть (10):
да
-да
да
/ (х, t) = — а( х0, t) 5( х — х0) = —p(t) 5( х — х0). (1.11)
Уравнение (10) естественно назвать обобщенным (неоднородным) уравнением типа ФПК, в котором граничное условие (4) переведено в функцию поглощения Дх,0, то есть правую часть (10).
Тем самым доказано следующее утверждение.
Теорема 1.1. Предположим, что одномерное уравнение ФПК, записанное в дивергентной форме
дн да Л
—+— = 0, дt дх
1д
где а(х, t) = Л^х, г) н(х, t)-----[^2(х, t) н(х, t)] - плотность потока вероят-
2 дх
ности непоглощенных реализаций, и рассматриваемое при —да < х < х0, —да < t < да , имеет классическое решение н(х, t), удовлетворяющее граничному условию
а( х t)| х=х0 =P(t), —да< t <да .
Тогда продолженные нулем на полуплоскость х > х0 функции н и а , то есть
*, Л Гн(x,t), х < x0, „*, ^ Га(x,t), х < х0,
н (x, t) = 1„ и а (x, 0 = 1А
[0, х > х0, [0, х > х0
2
удовлетворяют в D'(Я ) неоднородному уравнению типа ФПК
** дн да ,ч ч
“Г"- + “г— = —p(t) - 5( х — x0), дt дх
правая часть которого определяется только заданным на границе потоком.
Посмотрим, в каком виде полученные выше результаты, касающиеся уравнения типа ФПК (1.1)
дн _ д 1 д2
аТ= (Л1’*') + 2 дх2 (Лн)'
переносятся на уравнение второго порядка со второй производной по времени в левой части
^ = ——(В1н) +1 -Д.- (В2н). (1.12)
дг дх 2 дх2
Заметим, что с помощью плотности потока вероятности непоглощенных реализаций
1 .я
а( хг) = В1(x, г) н( x, г) — дх [ В2( x, г ) н( х г)] (= £ В, ,В2 [н](x, г))
уравнение (12) можно переписать в другой форме, подобной (2):
д w д
—т~ +------
ді дх
1 д
B1w -(В2^ 2 дх
= 0 о
д2w дG л —=- +— = 0. ді дх
(1.13)
Предположим, что уравнение (12), рассматриваемое при х < х0 , —да < і < да. имеет классическое решение w(х, і) , удовлетворяющее граничному условию
^ х і) х=хп =Р(і), —да< і <да .
(1.14)
Продолжим функции н(х, г) и а(х, г) нулем на полуплоскость {х > х0 }
и обозначим их соответственно через н* (х, г) и а* (х, г) [см. (5), (6)]:
Г н( х, г), х < х0,
w (х, і) = •
G* (х, і) = <
0, х > х0;
1 д
G(х,і) = х,і)w(x,і)-----[В2(х, і)w(x,і)], х < х0
2 дх
0, х > х0.
Выведем уравнение, которому удовлетворяют функции н* (х, г) и а* (х, г) на всей плоскости.
Уф( х, і) є D(R2) имеем:
д w дG
+ -
ді
2
дх
ді2
ф
+
да_
дх
ф
(1.15)
Рассмотрим оба слагаемых в правой части (15) по отдельности. Пользуясь определением производной обобщенной функции [9], условием (5), а также тем, что н(х, г) есть обычная функция (классическое решение (12)), и дважды интегрируя по частям (по г), получаем
52 ^
w
—г,ф
w
г2 х0 | да ^2
Ц w —фdxdі = | dx| | w —фdі ^ =
{х< х0}
х0
Сх ы д-ф ді
‘ —+да— ^ сД=-? сх іда^ «ф л
і —— —да ді ді I * І ді ді
ді ді
ді ді
0
I Сх-
ді
ф
і —— +да г д2w
да ^2 І ^2
д w т І гг д w
і ——да -1 ді —да
/дГ Ф Сх Ф Сі|= II
{х< х0}
ді2
ФСхСі,
—да
х
причем оба раза внеинтегральное слагаемое пропадает из-за финитности функции ф(х, і) .
В результате
(д2 *
о w
Л
Н
{х< хо}
о ^
Оі2
ф&х&і.
Далее, по доказанному выше (см. формулу (9)),
Ґ
оа_
Ох
Л
Ц ------ф&х&і а(х0,і)ф(х0,і)&і .
{х<х0} дх -да
(1.16)
(1.17)
С использованием формул (15), (16) и (17) Уф є D(R ) получаем
(~2 * \ о w оа
+—, ф
оі
2
ох
У
л
{х< хо}^
д2w оал
-----Т~ ^-------
оі2 ох
ф&х&і - | а(хо, і)ф(хо, і)&і.
При этом первый интеграл обращается в ноль, так как по предположению
д\ дG п „
—у- Н-= 0 в области х < Хо, а второй можно записать в виде
дг дх
| а(х0, і) ф(х0, і) & = (а(х0, і) • 5(х - х0), ф(х, і))
2
поэтому Уф є D(R )
о w оа
+—, ф
5і
2
5х
= - (а(х0, і) • 5(х - х0), ф(х, і)) .
У
Это означает, что в D'(R ) выполняется соотношение
оУ оі2
г)Г^*
+ -— = -а( хо, і) 8( х - хо).
ох
(1.18)
Следовательно, если граничное условие было задано в виде (14) G(Х, г) х = х = р(г), то получаем в явном виде функцию поглощения, то есть правую часть (18):
g(Xі) = -а( хо, і) 5( х - хо) = -р(і) 5( х - хо).
(1.19)
Уравнение (10) естественно назвать обобщенным (неоднородным) уравнением типа ФПК, в котором граничное условие (4) переведено в функцию поглощения g (х, г) - правую часть (18).
Уравнение (18) естественно назвать обобщенным (неоднородным) уравнением типа ФПК, в котором граничное условие (5) переведено в функцию поглощения g (х, г) - правую часть (18).
да
да
Тем самым доказано следующее утверждение.
Теорема 1.2. Предположим, что одномерное уравнение ФПК второго порядка со второй производной по времени в левой части
д2н _ д 1 д2 дн дG
=-----(В^н ) Н----—2 (В^н ) -1--= 0,
оі2 ох 2 ох 2 оі ох
1 о
где 0(х, і) = В^х, і) w(х, і)------[В2 (х, і) w(х, і)] - плотность потока ве-
2 ох
роятности непоглощенных реализаций, рассматриваемое при -да < х < хо, -да < і < да , имеет классическое решение w(х, і), удовлетворяющее граничному условию
^Xі)|х=хо =р(і), -да< і <да .
Тогда продолженные нулем на полуплоскость х > хо функции w и О , то есть
*, , Гw(x,іX х < x0,
w (х, і) = < и
о, х > хо,
^ 2
удовлетворяют в D'(R ) неоднородному уравнению типа ФПК
д2^* дG* _
„ 2 + = _р(г)' ^(х _ хо),
дг2 дх
правая часть которого определяется только заданным на границе потоком.
2. Определение граничных условий в задаче о поглощении реализаций случайных процессов, описываемых одномерными уравнениями типа Фоккера - Планка - Колмогорова
Модель полного поглощения реализаций на границах области достаточно хорошо описывает процесс срыва слежения и другие аналогичные процессы. Однако она не учитывает инерциальность системы или возможность восстановления реализаций, если время их пребывания в области поглощения менее некоторого заданного. Это характерно, например, в задачах захвата сигнала.
Для таких задач модель полного поглощения на границах области может быть уточнена путем введения, например, переменной границы поглощения, сдвигаемой внутрь области поглощения на величину проникновения реализации процесса за время, равное половине времени срабатывания автомата захвата [10].
С целью изучения подобных задач рассмотрим заданный в произвольной двумерной области немарковский случайный процесс, одномерная функция плотности которого в этой области удовлетворяет тому или иному уравнению типа
ФПК. При этом естественным образом возникает следующая задача: как именно следует задавать граничные условия, чтобы их можно было преобразовать в так называемую функцию поглощения реализаций - правую часть получающегося неоднородного уравнения типа ФПК, то есть так, чтобы переменная часть этой функции определялась только величиной граничных условий.
Эта задача решается ниже для немарковского случайного процесса, одномерная функция плотности которого удовлетворяет либо обобщенному уравнению ФПК (уравнению Павулы), либо кинетическому уравнению 2 порядка со второй производной по времени в левой части.
Ранее нами изучался одномерный случайный процесс, заданный в двумерной области специального вида - полуплоскости —да < х < х0, —да < t < да , с поглощающей границей х = х0 (см. рис. 1).
Рис. 1. Одномерный случайный процесс, заданный в двумерной области специального вида
Далее будем рассматривать немарковский случайный процесс, заданный в произвольной плоской области D = В 1 с поглощением на границе дD = у (см. рис. 2), и будем искать такой вид граничного условия, которое ранее изложенными методами удалось бы преобразовать в функцию поглощения реализаций - правую часть получающегося при этом неоднородного уравнения.
Рис. 2. Немарковский случайный процесс, заданный в произвольной плоской области
Предположим вначале, что одномерная плотность w( x, t) удовлетворяет уравнению Павулы
д^ д , , ч 1 д , , д^ дG
— —-----------(Л-іЧ') н-----------— (ЛпЧ') -------------1-— 0,
ді дх 2 дх2 ді дх
(2.1)
где А1 = А1(х, t) и А2 = А2(х, t) - кинетические коэффициенты, а G(x, t) =
1 д
= Ах(х, ^(х, 0)-[^(х, t)^(х, t)] - плотность потока вероятности непо-
2 дх
глощенных реализаций.
В дальнейшем нам понадобится формула интегрирования по частям на плоскости, вытекающая из двумерной формулы Остроградского - Г аусса
п
ЦdivF dxdі — | ^, п0) ds,
или в координатах
/Л
D
В
дх ді
дВ
\dxdt — • пх + Р'г • п )
(2.2)
где F = , Ft), а п0 = (пх, пг) - единичная внешняя нормаль к границе
у = дD области D.
Взяв, в частности, F(х, t) = (G(х, t) • ф(х, t), 0), из (2) получаем
А
дх
//—^ • ф) dxdі — / G • ф^ nxds
В
откуда
ЦG -дфЛх Л = — Ц—— фЗхЖ +|G • пх • фds.
дх
дх
(2.3)
D D у
Аналогично при F (х, t) = (0, w( х, t) • ф( х, t)) имеем
А дt
Ц—(— • ф) dxdt = | — • ф- ntds.
D
у
откуда
Ц — ~~ф Лх dt = — Ц—— ф dxdt +| — • п{ • ф ds.
D D у
дн
(2.4)
Переходим к преобразованию однородного уравнения типа ФПК (1) в неоднородное, учитывающее неизвестное пока граничное условие.
Предположим, что при (х, t) е D уравнение (1) имеет классическое решение —( х, t) .
Продолжим функции — (х, t) и —(х, t) нулем на дополнение к области D и обозначим их соответственно через —* (х, t) и —* (х, t) (ср.: (1.5), (1.6)):
— *( х, t) =
Г—( х, t), ( х, t) е D,
[0, (х, t) е Я2\ D,
(2.5)
—* (х, t) = <
1 д
—(х, t) = ^(х, t) — (х, t)-[^(х, t) — (х, t)], (х, t) е ^
2 дх
(2.6)
0, (х, t) е В2 \ D.
Выведем уравнение, которому удовлетворяют функции — * (х, t) и —* (х, t) на всей плоскости.
Уф( х, t) е D(R2) имеем
Гд—* д— +
* \ ( Л. *
д—
^ ф ■
дt
ф
+
д—
дх
ф
(2.7)
Рассмотрим оба слагаемых в правой части (7) по отдельности. Пользуясь определением производной обобщенной функции [11], условием (5), а также формулой интегрирования по частям типа (4), первое слагаемое преобразуем следующим образом:
(д—г, ф]=—[—*, I Н—=^д— фЛхЛ—^—• п 'ф ^. (28)
Б Б у
Второе слагаемое преобразуем с помощью определения производной обобщенной функции и формулой интегрирования по частям типа (3) с учетом (6):
д— ) („ дф) ГГ^дф ггд—
^, ФІ —-^^1 —-//G^dxdt — //^dxdt-/GnxфdS,
ч дх У V дх У в ді В дх у
откуда
дG 1 ffдG л л
-, ф | — // — dxdt - / G пх ф ds . (2.9)
V дх У ** дх
Ву С использованием формул (7), (8) и (9) получаем
^дч* дG* 1 ррдч г rrдG г
------1----, ф — II —ф dx dt - І (ч пі ф)ds + 11--фdxdt -1 (Gnxф)ds ■
ді дх I ** ді ; ** дх ■’
/В у В у
В
//РдЧ+_<дх ]ф - /(Gnx+)ф ^.
При этом первый интеграл обращается в ноль, так как по предположению функция ч(х, і) в области В удовлетворяет уравнению (1), а второй интеграл
с помощью обобщенной функции типа д(х, і) -8у (х, і) - плотности простого слоя на у с поверхностной (в данном случае линейной) плотностью д( х, і), которая действует на основную функцию ф(х, і) є 0(Я ) по правилу
(д(х, і) • 5у(х, і), ф(х, і)) — / д(х, і) ф(х,і)ds,
у
можно записать в виде / (Э • пх + ч • п) фds — (^(х, і) • пх(х, і) + ч(х, і) • п(х, і)] • 5у(х, і), ф(х, і)).
Тем самым Уф( х, і) є В(В2)
дч * дG *
Ч+ ^ — -^• Пх + Ч• п) 5у(х,і). (2.10)
ді дх '
Левая часть этого уравнения с точностью до обозначений совпадает с левой частью исходного уравнения типа ФПК в дивергентной форме. Правую же часть этого уравнения
f(x,t)= — (G • Пх + w • nt) 5у(x, t) (2.11)
можно трактовать как функцию поглощения реализаций, в которую и должно
переходить неизвестное пока граничное условие, которое в результате следует задавать в виде
(G • nx + w • nt )|dD =p(^ t). (2.12)
В частности, если область D есть полуплоскость —да < х < х0, —да < t < да ,
то граница D - прямая у с уравнением х = х0, единичная внешняя нормаль к D
n0 = (nx, nt) имеет компоненты nx = 1, nt = 0, функция 5у (х, t) принимает вид
5( х — Х0 ) • 1(t), функция поглощения реализаций (11) переходит в функцию
f (х, t) = —G( х, t) • 5( х — х0) = —G( х0, t) • 5( х — х0)
(а это в точности функция (11) - правая часть полученного нами ранее уравнения (10)) и естественным граничным условием для уравнения (1) является
G|d = Р(х, t) , то есть задание на границе только одного потока.
Тем самым доказана
Теорема 2.1. Рассмотрим немарковский случайный процесс, заданный
2
в произвольной плоской области D = Rxt с поглощением на границе dD = у . Предположим, что одномерная плотность w(х, t) удовлетворяет области D уравнению Павулы
dw d,.4 1 d,.4 dw dG_
— =-----(Aiw) н--------— (A>w) -----\---= 0,
dt dr 2 dx2 dt dr
где А1 = А1(х, t) и А2 = А2(х, t) - кинетические коэффициенты, а G^t) =
1 d
= А1(х, t)w(x, t)---[A2(х, t)w(х, t)] - плотность потока вероятности непо-
2 dr
глощенных реализаций. Тогда естественным граничным условием для этого уравнения является условие:
(G • пх + w • nt )| dD =p( x, t),
где пх и nt - компоненты единичной внешней нормали к границе у = dD области D. В частности, если область D есть полуплоскость —да< х < х0, —да< t <да , то
естественным граничным условием для уравнения (1) является следующее условие:
—|дБ = Р(х, t) , то есть задание на границе только одного потока.
Посмотрим далее, в каком виде полученные выше в п. 2 результаты, касающиеся уравнения типа ФПК (1)
з2
д—
д
1 д2
д— д—
— =-------(А1—) н--------г- (Ат—) -\---= 0,
дt дх 2 дх2 дt дх
переносятся на уравнение второго порядка со второй производной по времени в левой части
2
д2—
дt
д 1 д2
2 = —(В1— ) ^^Т~2(В2—) о 2 дх 2 дх
д2— д—
о
- + — = 0,
(2.13)
д^ дх
рассматриваемое в произвольной плоской области Б ^ 1 и записанное с по-
мощью плотности потока вероятности непоглощенных реализаций
1д
—(х, t) = В(х, t)—(х, t)-----[В2 (х, t)—(х, t)].
2 дх
(2.14)
Предположим, что при (х, t) е Б уравнение (13) имеет классическое решение —( х, t) .
Продолжим функции — (х, t) и —(х, t) нулем на дополнение к области Б и обозначим их соответственно через —* (х, t) и —* (х, t) (см. (2.5), (2.6)):
\—(хtX (хt) е D,
— *( х, t) = >! 2
10, (х, t) е В2\ Б,
—* (х, t) =
1д
—(х,t) = В1(х,t)—(х,t)--[В2(х,t)—(х,t)], (х,t) еБ,
2 дх
0, (х, t) е В2 \ Б.
Выведем уравнение, которому удовлетворяют функции — * (х, t) и —* (х, t) на всей плоскости.
Уф( х, t) е Б(В2) имеем:
2 * * д — д—
+ -
дг
2
дх
,ф
ф
+
д—
дх
ф
(2.15)
Рассмотрим оба слагаемых в правой части (15) по отдельности. Пользуясь определением второй производной обобщенной функции [12], условием (5) и дважды применяя формулу интегрирования по частям типа (4), получаем
д —
дt2
у
Яд ф , , г дф , ггд— дф , ,
— —— ахт = ——п, ds —-----------ахт =
я*2 л дх t д/ д/
Б
д— дф дt дt
Г дф = I — — п, ds — * Я/
д/
Яд — г д—
—^ ф ах а,+| — ф п ах а/
д—
Б
д/
дt
откуда
(д2— *
, ф =
Яд2— , , г( дф д— )
—— ф ах dt +1 —-----------------ф I п, ds.
д/2 •’I дt д/ 1 t
Б
(2.16)
Второе слагаемое преобразуется в соответствии с доказанной выше формулой (9):
—— дх
Яд— с
— ах dt — | — пх ф ds .
Б
дх
(2.17)
Используя формулы (15), (16) и (17), получаем
(~2 * ^/^* ) ~2 О— д— ) ггО — . . г
+---, фГИ^2 ф ахЛ+1
д/2 дх
дф д— ) гг 5—
+ 11—— —
ф |ntds + ]|—фаха/ — |—пхфds
Б
Я|
Б
'д 2— —О д/2 дх
ф
ах а/ — I\ С—п1 + —пх I ф ds + I — п/ Сф ds .
* гМ * гМ
дф
д/
д/
При этом первый интеграл обращается в ноль, так как по предположению функция — (х, /) удовлетворяет в области Б уравнению (13). Второй интеграл можно записать в терминах обобщенной функции типа плотности простого слоя на у:
/{£* + — пх|ф^ == (—/ п + —пх>у(х,/), ф(х,/)
д/
Третий же интеграл можно записать с помощью обобщенной функции
типа плотности двойного слоя на у с поверхностной
(в данном случае опять же линейной) плотностью у(х, t), которая действует
2
на основную функцию ф(х, t) є D(R ) по правилу
^ (Чх, t) • 5у (х, t)), ф(х, t) | = - Гу(х, t) • 5у (х, t), |ф- 1 = -1 у(х, t) ^ф:ds : (2.18)
' У
I— пг == [— пґ 5у(x, t, ф(x,t)
к0ф
дґ
Тем самым Уф(х, t) є D(R )
(д2— дG* ^ ( д— ^ 1
_2 + - ,ф { дґ2 дх у — { —п + Gnx [дґ х ] •5у (х, ґ), ф(х, ґ) У
Это означает, что в Dr(R2) выполняется соотношение
д2ш* дG* (д— ^ 1 с , ч & г с / ЧІ , ч
+-^= “{^п+ ^х }5у(х,t)-д7 [—п 5У(х, ґ)]. (2.19)
Левая часть этого уравнения с точностью до обозначений совпадает с левой частью исходного уравнения типа ФПК в форме (13). Правую же часть этого уравнения
д—( х, ґ) дґ
П (х, ґ) + G( х, ґ) • пх (х, ґ)
8у (х, ґ) -д- [ —( х, ґ) пґ (х, ґ) 8у (х, ґ) ] (2.20)
дґ
можно трактовать как функцию поглощения реализаций, в которую и должно переходить неизвестное пока граничное условие, которое тем самым следует задавать в виде
-{&ЧПг+Gnx ]5У-дґ 5У)
= р( x, ґ).
дD
В частности, если область D есть полуплоскость —да < х < х0, —да < t < да , то граница D - прямая у с уравнением х = х0, единичная внешняя нормаль к D
п = (пх, Щ) имеет компоненты пх = 1, щ = 0, функция 5у (х, t) принимает вид
5( х — хо ) • 1(t) и функция поглощения реализаций (20) переходит в функцию
g (х, t) = —G( х, t) • 5( х — х0) = —G( х0, t) • 5( х — х0),
а это в точности функция (1.19) - правая часть уравнения (1.18).
Тем самым доказана
Теорема 2.2. Рассмотрим немарковский случайный процесс, заданный в произвольной плоской области D = Rxt с поглощением на границе дD = у . Предположим, что одномерная плотность w( х, t) удовлетворяет области D уравнению второго порядка со второй производной по времени в левой части (13)
д^_ д.с . 1 д2 . д2w дG_n
= —(Blw)+ ГТГ(В2^ + ^ = 0 ,
дг дх 2 дх2 дг дх
где В1 = В1(х,t) и В2 = В2(х,{) - кинетические коэффициенты, а G(x,t) =
1 д
= В1(х, t)w(х, t)-[^2(х,t)w(х,t)] - плотность потока вероятности непо-
2 дх
глощенных реализаций. Тогда естественным граничным условием для этого уравнения является следующее условие:
dw | д
—т + G• nx |5V + —(w • nt-5V)
dt t x J V дГ t V
= P(X t):
dD
где пх и nt - компоненты единичной внешней нормали к границе у = дD области D.
В частности, если область D есть полуплоскость —да < х < х0, —да < t < да,
то естественным граничным условием для уравнения (13) является G|дD = Р(х, t) ,
то есть задание на границе только одного потока.
В заключение отметим, что все сказанное выше об уравнениях типа ФПК второго порядка с первой и второй производными по времени в левой части на безусловную плотность практически без изменений переносится также на уравнения, содержащие неизвестную условную плотность w (х, 11 X, Т).
1. Свешников А.А. Об одной задаче теории надежности // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1964. № 3. С. 58-61.
2. Обрезков Г.В., Разевиг В.Д. Методы анализа срыва слежения. М. : Советское радио, 1972. 239 с.
3. Ланда П.С., Стратонович Р.Л. К теории флуктуационных переходов различных систем из одного стационарного состояния в другое // Вестник Московского университета. Сер. 3, Физика. Астрономия. 1962. № 1. С. 33-45.
4. Свешников А.А. Об одной задаче теории надежности ; Обрезков Г.В., Разевиг В.Д. Методы анализа срыва слежения ; Ланда П.С., Стратонович Р.Л. К теории флуктуационных переходов различных систем из одного стационарного состояния в другое.
5. Понтрягин Л.С., Андронов А.А., Витт А.А. О статистическом рассмотрении динамических систем // Журнал экспериментальной теоретической физики. 1933. Т. 3, вып. 3. С. 165-180.
6. Казаков И.Е. Статическая динамика систем с переменной структурой. М. : Наука, 1977. 416 с.
7. Pawula R.F. Generalizations and Extensions of Fokker-Plank-Kolmogorov Equations // IEEE Trans. Inf. Theory. 1967. Vol. IT-13. № 1. P. 33-41 ; Казаков В.А. Кинетические уравнения для плотностей вероятности немарковских процессов. Эволюция моментных и кумулянтных функций // Известия вузов. Радиофизика. 1987. № 11. С. 1309-1320 ; Лавров А.М. Связь между кинетическими уравнениями различных видов // Математические методы в научных исследованиях : сб. науч. тр. / РГРТА. Рязань, 1998. С. 44-51.
8. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. 2-е изд., испр. и доп. М. : Наука, 1979. з2о с., ил.
9. Там же.
10. Казаков И.Е. Статическая динамика систем с переменной структурой.
11. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике.
12. Там же.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Владимиров, В.С. Обобщенные функции в математической физике [Текст] // В.С. Владимиров. - 2-е изд., испр. и доп. - М. : Наука, 1979. - 320 с., ил.
2. Казаков, В.А. Кинетические уравнения для плотностей вероятности немарковских процессов. Эволюция моментных и кумулянтных функций [Текст] / В.А. Казаков // Известия вузов. Радиофизика. - 1987. - № 11. - С. 1309-1320.
3. Казаков, И.Е. Статическая динамика систем с переменной структурой [Текст] / И.Е. Казаков. - М. : Наука, 1977. - 416 с.
4. Лавров, А.М. Связь между кинетическими уравнениями различных видов. [Текст] / А.М. Лавров // Математические методы в научных исследованиях : сб. науч. тр. / РГРТА. - Рязань, 1998. - С. 44-51.
5. Ланда, П.С. К теории флуктуационных переходов различных систем из одного стационарного состояния в другое [Текст] / П.С. Ланда, Р.Л. Стратонович // Вестник Московского университета. - Сер. 3. Физика. Астрономия. - 1962. - № 1. - С. 33-45.
6. Обрезков, Г. В. Методы анализа срыва слежения [Текст] / Г.В. Обрезков, В.Д. Разевиг. - М. : Советское радио, 1972. - 239 с.
7. Понтрягин, Л.С. О статистическом рассмотрении динамических систем [Текст] / Л.С. Понтрягин, А.А. Андронов, А.А. Витт // Журнал экспериментальной теоретической физики. - 1933. - Т. 3, вып. 3. - С. 165-180.
8. Свешников, А.А. Об одной задаче теории надежности [Текст] / А.А. Свешников // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. - 1964. - № 3. - С. 58-61.
9. Pawula, R.F. Generalizations and Extensions of Fokker-Plank-Kolmogorov Equations [Текст] / R.F Pawula // IEEE Trans. Inf. Theory. - 1967. - Vol. IT-13. - № 1. - P. 33-41.
