Исследование моделей широкополосного шума с равномерным распределением для реализации имитаторов цифровых сигналов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391.8; 519.876.5

Исследование моделей широкополосного шума с равномерным распределением для реализации имитаторов цифровых сигналов

Миронов С.Н.

Получены спектрально-корреляционные характеристики последовательностей шума с равномерным распределением, формируемого различными алгоритмами. Алгоритмы могут быть реализованы на основе микропроцессоров и использованы в имитаторах цифровых сигналов.

Ключевые слова: последовательность шума, спектрально-корреляционные характеристики шума, имитатор цифровых сигналов.

Вводная часть

Получение качественных характеристик работы радиотехнических систем (РТС) является одной из основных задач при их разработке и модернизации. Для получения качественных характеристик, а также сокращения временных и материальных затрат на проведение испытаний РТС применяются имитаторы сигналов [1-3]. Однако аппаратно реализовать имитатор сигналов недостаточно.

В основе работы имитаторов лежат алгоритмы генерации входных воздействий для РТС. В свою очередь, входные воздействия формируются из широкополосного шума возбуждения или базового воздействия. Для получения адекватных по некоторому критерию моделей входных воздействий и достоверных результатов исследования РТС с помощью имитаторов необходимо обеспечить соответствие характеристик шума возбуждения априорно известным характеристикам. Поэтому актуальной является задача определения алгоритма генерации, обеспечивающего теоретические или близкие к ним характеристики шума возбуждения.

В качестве имитационных моделей широкополосного шума возбуждения могут быть использованы псевдослучайные последовательности шума с равномерной плотностью распределения вероятностей (ПРВ) [4]. Последовательности генерируются датчиком псевдослучайных чисел (ДПСЧ). Кроме известной ПРВ необходимо обеспечить равномерность энергетического спектра шума возбуждения, что упрощает дальнейшую имитацию псевдослучайных процессов с заданными статистическими характеристиками. Од-

нако в литературе мало уделено внимания спектрально-корреляционным характеристикам шума возбуждения, а также не выяснено при каких параметрах ДПСЧ шум на его выходе имеет квазиравномерный энергетический спектр, т.е. близок к белому.

Целью работы является исследование спектрально-корреляционных характеристик последовательностей шума возбуждения с равномерным распределением для определения параметров алгоритмов формирования, обеспечивающих характеристики базовых псевдослучайных воздействий, близкие к теоретическим характеристикам.

Цифровые сигнальные процессоры обработки информации оперируют данными, разрядность которых кратна 2. Поэтому для удобства определения значений параметров ДПСЧ выбрана форма их представления с основанием 2. Приведенные ниже алгоритмы формирования моделей шума могут быть реализованы на современном 32- или 64-разрядном сигнальном процессоре с представлением данных в формате плавающей запятой.

На цифровой вычислительной машине (ЦВМ) проведено моделирование ДПСЧ с равномерной ПРВ для объема выборки шума N = 2000 и числа реализаций = 1000, что соответствует 3 % точности измерений. При проверке гипотезы о соответствии экспериментальных распределений шума теоретическим зависимостям использовался критерий согласия хХ для числа степеней свободы к = 120 и уровня значимости а = 0,01, что соответствует пороговому значению критерия

х1а = 158,95. Проверка гипотезы о некорре-

лируемости отсчётов шума проводилась на основе критерия о корреляционных связях [4] для коэффициента доверия р = 0,99 и объема выборки шума N = 2000 . Из указанного критерия получено пороговое значение уровня боковых лепестков (УБЛ) нормированной автокорреляционной функции (АКФ) шума, равное минус 23,2 дБ или 4,8 -10—3 раз, меньше которого принимается гипотеза о белом шуме.

1 Модель шума на основе линейного мультипликативного алгоритма

Отсчёты шума, принимающие значения в интервале (0,1) вычисляются путем нормировки псевдослучайных чисел х(п) [4] А (п) = Х(п VМ , х(п) = А -х(п — 1)(шоёМ), п = 0, N —1, (1) где М - модуль (целое число), А - множитель (целое число), N - объем выборки шума.

При исследовании характеристик последовательностей, вычисляемых по линейному мультипликативному алгоритму (1), рассмотрим два следующих частных случая [4].

1.1 Модуль - чётное число из ряда М = 21, I > 2 . Тогда отрезок апериодичности

Т V-2

Ашах = 2 при условии, что начальное значение х(-1)- нечётно, а множитель А определяется из соотношения А = 2д + 3, q = 3,4,5,... Величины параметра А, необходимые с точки зрения уменьшения УБЛ АКФ, имеют величину порядка 2'12, тогда как малые и большие значения ведут к увеличению корреляции [4]. При реализации расчётов задавались: начальное значение х(— 1) = 1; значения модуля М = 21, I = 25,30,35; множителя А = 2д + 3 , д = 3,6,...,30.

Результаты исследования алгоритма (1) показывают, что величины рассогласования теоретической ПРВ с экспериментальными данными составили от 5,19 до 11,55, поэтому гипотезы о равномерном распределении

псевдослучайных чисел на основе критерия X2 принимаются. Выборочные средние находятся в пределах от 0,4998 до 0,5, а дисперсии принимают значения от 0,0832 до 0,0834, что соответствует максимальным абсолютным погрешностям 0,0002; 0,0001, а соответствующие относительные погрешности составляют 0,04 % и 0,12 %. Полученные погрешности являются незначительными и не превышают погрешности моделирования, поэтому можно считать, что выборочные средние и дисперсии соответствуют математическому ожиданию и дисперсии случайного процесса с теоретическим равномерным распределением в интервале (0,1). Однако значение максимального УБЛ нормированной АКФ шума изменяется с изменением параметров ДПСЧ, что влияет на форму спектральной плотности мощности (СПМ) шума.

Для определения диапазона изменения параметров ДПСЧ, обеспечивающих формирование шума, близкого к белому, построена зависимость максимального УБЛ нормированной АКФ от показателя степени множителя. Графики зависимостей приведены на рис. 1, где сплошной линией показан УБЛ для ДПСЧ (1) с модулем М = 225 , штриховой

линией - М = 230 , пунктиром - М = 235.

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Из рис. 1 видно, что максимальный коэффициент корреляции ориентировочно составляет минус 25 дБ (3,2 -10—3 раз), что меньше теоретического порога минус 23,2 дБ. Для ДПСЧ с УБЛ, меньших порогового значения, полученные энергетические спек-

тры центрированного шума квазиравномерны. Отсюда следует, что для ДПСЧ на основе линейного мультипликативного алгоритма с параметрами М = 2' и А = 2Ч + 3 эмпирический диапазон изменения показателя степени множителя, обеспечивающий формирование шума, близкого к белому, записывается в форме

Ч = 9ЧД/),

Ч (()«{(( " 4)/ = ^ (2)

Утхи [27,/ > 30. У>

где Чтах (') - максимальный показатель степени множителя, / - показатель степени модуля.

Полученные результаты показывают, что характеристики псевдослучайных чисел на основе алгоритма (1) с параметрами (2) хорошо согласуются с теоретическими характеристиками белого шума с равномерным энергетическим спектром и равномерной ПРВ в интервале (0,1).

1.2 Модуль - простое число вида М = 2' -1, / = 2, 3, 5, 13, 17, 19, 31, 61, ... [4]. Тогда отрезок апериодичности Ьтгх = М -1 при условии, что множитель А - любой из первообразных корней сравнения АМ-1 = 1(тсё М).

Из результатов моделирования процесса р0 (п) на основе алгоритма (1) с параметрами

х(-1) = 1, М = 231 -1 и указанными множителями [4] получено, что значения критерия х находятся в диапазоне от 8,46 до 12,16, поэтому гипотеза о равномерном распределении псевдослучайных чисел принимается. Согласно расчётам, выборочные средние находятся в пределах от 0,499 до 0,5, а дисперсии принимают значения от 0,0833 до 0,0834. Соответствующие максимальные абсолютные погрешности равны 0,001; 0,0001, а относительные погрешности составляют 0,2 % и 0,12 %. Полученные погрешности не превышают погрешности моделирования, поэтому можно считать, что выборочные средние и дисперсии соответствуют математическому ожиданию и дисперсии случайного

процесса с теоретическим равномерным распределением в интервале (0, i).

Вычисленные энергетические спектры центрированного шума квазиравномерны. Максимальные УБЛ нормированных АКФ (в районе минус 24,3 дБ), меньше величины минус 23,2 дБ, поэтому принимается гипотеза о белом шуме.

Полученные результаты показывают, что характеристики псевдослучайных чисел на основе алгоритма (i) с указанными параметрами [4] хорошо согласуются с теоретическими характеристиками равномерно распределённого белого шума в интервале (0, l).

2 Модели шума на основе линейных смешанных алгоритмов

В общем виде последовательность псевдослучайных чисел р0 (п) в интервале (0,l) формируется по соотношению [4]

Р (n) = I(n)/М , х(П) = AiX(n -i) +...

... + Asx(n - s) + C (modM), (3)

где At, C -постоянные коэффициенты,

i = 1, s .

При исследовании алгоритмов формирования шумов на основе линейного смешанного алгоритма рассмотрим два следующих случая [4].

2.1 Если в соотношении (3) для индексов i = 2, s принять коэффициенты At = 0 , C Ф 0 ,

то для чётного модуля из ряда М = 2l, l > 2 теоретический отрезок апериодичности максимален и составляет Lmax = М [4]. При этом множитель Ai определяется из соотношения [4] Ai = 2а + 1, а > 2 , значение коэффициента C - нечётно, начальное значение х(-1) -любое. Для реализации расчётов на ЦВМ задавались: начальное значение х(-1) = 0, значения модуля М = 2 25 , 2 30 , 2 35 , коэффициентов A1 = 2а + 1, а = 3,4,..., 18 и C = 1.

В результате моделирования ДПСЧ (3) получено, что значения критерия х2 составили от 0,01 до 23,13, поэтому гипотезы о равномерном распределении псевдослучай-

ных чисел принимаются. Согласно расчётам, выборочные средние принимают значения от 0,4999 до 0,5, а дисперсии находятся в пределах от 0,0833 до 0,0834. При этом максимальные абсолютные погрешности для выборочных средних и дисперсий равны 0,0001, а относительные погрешности составляют 0,02 % и 0,12 %. Отсюда можно сделать вывод о том, что выборочные средние и дисперсии соответствуют математическому ожиданию и дисперсии случайного процесса с теоретическим равномерным распределением в интервале (0,1).

Однако дальнейшее исследование ДПСЧ (3) показывает, что последовательности на основе линейного смешанного алгоритма с модулем М = 2' и одним множителем А = 2а + 1 имеют периодичность, меньшую, чем определено теоретически (Ашах = М ), что подтверждает рис. 2, где приведена одна из нормированных АКФ шума. Периодичность найдена для значений множителей, начиная с величин 211 + 1,216 + 1,221 + 1 , соответст-

т 25 г. 30 т 35

вующих модулям 2,2,2 и составляет 16384 отсчётов. При дальнейшем росте показателя степени множителя на единицу период повторения уменьшается в два раза. Таким образом, условие Ашах = М для ДПСЧ (3) с показателями степени множителей, приближающихся к показателю степени модуля, равного 22

2 и 2 не выполняется.

Гр 0), дБ

+1

-1000 -750 -500 -250 0 250 500 750 1000 Рис.2. АКФ последовательности шума

Периодичность отсчётов шума оказывает влияние на их коррелируемость и, как следствие на форму энергетического спектра шу-

ма. Для определения диапазона изменения показателя степени множителя, соответствующего шуму, близкому к белому, по данным вычислений при различных значениях модуля построена зависимость максимального УБЛ нормированной АКФ от показателя степени множителя. Графики зависимостей приведены на рис. 3. Здесь сплошной линией показан УБЛ для ДПСЧ (3) с модулем М = 225 , штриховой линией - М = 230 , пунктиром - М = 235 .

■23,2 дБ

Рис.3. Зависимость УБЛ от параметра алгоритма

Из рис. 3 получено, что для ДПСЧ (3) с модулем 230 максимальный УБЛ меньше порогового значения минус 23,2 дБ при значении множителя равном 28 +1, 29 +1, 211 +1, 212 +1, для модуля 235 - значение множителя составляет 28 +1, 29 +1, 217 +1. В связи с этим принимается гипотеза о белом шуме для ДПСЧ (3) с модулями 230 , 235 и найденными множителями.

Таким образом, характеристики псевдослучайных чисел на основе алгоритма (3) только в узком диапазоне параметров алгоритма хорошо согласуются с теоретическими характеристиками белого шума с равномерным энергетическим спектром и равномерной ПРВ в интервале (0,1).

2.2 Если в алгоритме (3) для индексов 1 = 1,5 положить А1 Ф 0, С = 0, то это приводит к алгоритму известного в литературе под названием Ван Вейнгардена [4]. Отрезок апериодичности такой последовательности может быть увеличен за счёт введения в нее 5 составляющих. Теоретическое исследова-

ние алгоритма [4] позволяет делать выводы о равномерном распределении отсчётов р0 (и) на интервале (0,1) и исчезающее малой корреляции при 5 > 2, - целые числа.

По результатам экспериментального моделирования шума р0 (и) на основе алгоритма (3) с начальными условиями %(— 1) = 1, х(~ 2)= 1, при модулях М = 225,230,235 , множителях А1 = 13, А2 = 13 и 27 получено, что значения критерия находятся в диапазоне от 8,4 до 12,31, следовательно, гипотезы о равномерном распределении псевдослучайных чисел принимаются. Выборочные средние находятся в пределах от 0,499 до 0,5, а дисперсии принимают значения от 0,0833 до 0,0834, что соответствует максимальным абсолютным погрешностям 0,001; 0,0001. Соответствующие относительные погрешности составляют 0,2 % и 0,12 %. Полученные погрешности не превышают погрешности моделирования, поэтому можно считать, что выборочные средние и дисперсии соответствуют математическому ожиданию и дисперсии случайного процесса с теоретическим равномерным распределением в интервале (0,1).

Для алгоритма Ван Вейнгардена первый коэффициент корреляции шума (в районе минус 36 дБ) в среднем на 5 дБ меньше, чем у рассмотренных выше ДПСЧ при одинаковом УБЛ (около минус 24,5 дБ). Полученные СПМ шума квазиравномерны, УБЛ нормированной АКФ шума меньше порога критерия (минус 23,2 дБ), поэтому принимается гипотеза о белом шуме.

3 Амплитудные преобразования модели шума

Последовательность р0 (и), определённую алгоритмами (1), (3), имеет область значений (0,1). Для моделирования равномерно распределённых чисел, значения которых заданы в интервале (а, Ь), необходимо преобразовать отсчёты р0 (и) по соотношению

Р(п)= (Ь — а)р0 (и)+а . (4)

При этом математическое ожидание тр и дисперсия Бр последовательности (4) с равномерным распределением известны и равны тр = (а + Ь) 2, Бр=(Ь — а )2/12. (5)

В статистических расчётах часто требуется, чтобы шум (4) имел характеристики: математическое ожидание тр = тЛ = 0 и дисперсия Ор= Д4 = 1. Подставляя их значения

в формулы (5), и решая систему уравнений, после несложных вычислений получаем границы интервала а = —^3 , Ь = л[ъ , в котором плотность вероятностей равна 1/2л/3. Последовательность с характеристиками т%х = 0 и Д4 = 1 для равномерного распределения имеет вид

р4 (п) = 2л/3р0 (и)—л/3. (6)

Кроме базовых псевдослучайных воздействий, необходимых для имитации псевдослучайных процессов с заданными статистическими характеристиками, модели шумов (1), (3) могут применяться в качестве аддитивных широкополосных помех РТС.

Выводы

1) на основе критерия согласия %г подтверждены гипотезы о равномерном распределении моделей шума, полученных на основе линейных мультипликативного и смешанных алгоритмов;

2) для линейных алгоритмов получено, что значения выборочных средних и дисперсий моделей шума с высокой точностью согласуются с теоретическими характеристиками;

3) найден эмпирический диапазон изменения показателя степени множителя для линейного мультипликативного алгоритма, обеспечивающий формирование шума, близкого к белому;

4) генерируемый шум на основе линейного мультипликативного алгоритма, в котором множитель и модуль - взаимно простые числа, близок к белому;

5) генерируемый шум на основе линейного смешанного алгоритма с одним множителем, близок к белому в очень узком диапазоне параметров алгоритма, а именно для модулей 230 и 235 при соответствующих множителях 28 +1, 29 +1 и 28 +1;

6) генерируемый шум на основе линейного смешанного алгоритма без свободного коэффициента (алгоритм Ван Вейнгардена) с двумя множителями, близок к белому;

7) с вычислительной точки зрения при формировании чисел с равномерным распределением наиболее предпочтительными являются линейный мультипликативный алгоритм или алгоритм Ван Вейнгардена.

Литература

1. Галкин А.П., Лапин А.Н., Самойлов А.Г. Моделирование каналов систем связи. - М.: Связь, 1979. - 96 с.

2. Кловский Д.Д., Конторович В.Я., Широков С.М. Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений / Под ред. Д. Д. Кловского. - М.: Радио и связь, 1984. - 248 с.

3. Миронов С.Н. Структура имитатора цифровых сигналов // Методы и устройства передачи и обработки информации: межвуз. сб. научн. трудов. Вып. 8.- М.: «Радиотехника», 2007.- С. 82-85.

4. Полляк Ю.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. - М.: Сов. радио, 1971. - 400 с.

Поступила 10 декабря 2010 г.

Spectral-correlations feature of the noise sequences with even distributions, formed different algorithm are received. These algorithms can be realized on the base of microprocessors and are used in digital signals simulators.

Key words: the noise sequence, spectral-correlations feature of the noise, the digital signals simulator.

Миронов Сергей Николаевич - кандидат технических наук, доцент кафедры радиотехники Муромского института (филиала) ГОУ ВПО «Владимирский государственный университет имени А.Г. и Н.Г. Столетовых».